人教版九年级下册27.2 相似三角形综合与测试课后复习题

这是一份人教版九年级下册27.2 相似三角形综合与测试课后复习题，共4页。试卷主要包含了求证等内容，欢迎下载使用。

模型1 X字型及其变形


模型展示：(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；


(2)如图2，对顶角的对边不平行，则△ABO∽△CDO.





母题：如图，AE与BD相交于点C，已知AC＝5，BC＝3，EC＝10，DC＝6.求证：AB∥DE.





证明：∵eq \f(AC,EC)＝eq \f(5,10)＝eq \f(1,2)，eq \f(BC,DC)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)，


∴eq \f(AC,EC)＝eq \f(BC,DC).


又∵∠ACB＝∠ECD，


∴△ABC∽△EDC.


∴∠A＝∠E.


∴AB∥DE.





变式训练：


1．(恩施中考)如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC等于(D)





A．1∶4


B．1∶3


C．2∶3


D．1∶2


2．已知：如图，∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的长．





解：∵∠ADE＝∠ACB，


∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB，


即∠BDF＝∠ECF.


又∵∠BFD＝∠EFC，


∴△BDF∽△ECF.


∴eq \f(BD,EC)＝eq \f(DF,CF)，即eq \f(8,4)＝eq \f(DF,2).


∴DF＝4.


模型2 A字型及其变形


模型展示：(1)如图1，公共角所对应的边平行，则△ADE∽△ABC；


(2)如图2、图3，公共角的对边不平行，且有一对角相等，则△ADE∽△ACB.





母题：如图，点B，C分别在△ADE的边AD，AE上，且AC＝6，AB＝5，EC＝4，DB＝7.求证：△ABC∽△AED.





证明：∵eq \f(AC,AD)＝eq \f(1,2)，eq \f(AB,AE)＝eq \f(1,2)，


∴eq \f(AC,AD)＝eq \f(AB,AE).


又∵∠CAB＝∠DAE，


∴△ABC∽△AED.





变式训练：


3．(泰安中考改编)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB.求证：eq \f(AB,AE)＝eq \f(AC,AD).





证明：∵AB＝AD，


∴∠ADB＝∠ABE.


又∵∠ADB＝∠ACB，


∴∠ABE＝∠ACB.


又∵∠BAE＝∠CAB，


∴△ABE∽△ACB.


∴eq \f(AB,AC)＝eq \f(AE,AB).


∴eq \f(AB,AE)＝eq \f(AC,AB).


∴eq \f(AB,AE)＝eq \f(AC,AD).





4．如图，AD与BC相交于E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：eq \f(1,AB)＋eq \f(1,CD)＝eq \f(1,EF).





证明：∵AB∥EF，


∴△DEF∽△DAB.


∴eq \f(EF,AB)＝eq \f(DF,DB).


又∵EF∥CD，


∴△BEF∽△BCD.


∴eq \f(EF,CD)＝eq \f(BF,BD).


∴eq \f(EF,AB)＋eq \f(EF,CD)＝eq \f(DF,DB)＋eq \f(BF,BD)＝eq \f(BD,BD)＝1.


∴eq \f(1,AB)＋eq \f(1,CD)＝eq \f(1,EF).





模型3 旋转型


模型展示：如图，若∠BAD＝∠CAE，则△ADE绕点A旋转一定角度后与△ABC构成A字型的相似三角形．





教材母题(教材P89T3)：如图，∠1＝∠2，AB·AD＝AC·AE.求证：△ABC∽△AED.





证明：∵∠1＝∠2，∠1＋∠EAC＝∠BAC，


∠2＋∠EAC＝∠EAD，


∴∠BAC＝∠EAD.


又∵AB·AD＝AC·AE，


即eq \f(AB,AE)＝eq \f(AC,AD)，


∴△ABC∽△AED.





变式训练：


5．如图，在△ABC与△ADE中，∠C＝∠E，∠1＝∠2，AC＝AD＝2AB＝6，求AE的长．





解：∵∠1＝∠2，


∴∠CAB＝∠EAD.


又∵∠C＝∠E，


∴△ABC∽△ADE.


∴eq \f(AC,AE)＝eq \f(AB,AD).


∵AC＝AD＝2AB＝6，


∴AB＝3.


∴eq \f(6,AE)＝eq \f(3,6).


∴AE＝12.








模型4 双垂型


模型展示：如图，直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.





母题：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．求证：


(1)AC2＝AD·AB；


(2)CD2＝BD·AD.





证明：(1)∵CD⊥AB，


∴∠CDA＝90°.


∴∠CDA＝∠BCA.


又∵∠BAC＝∠CAD，


∴△ACB∽△ADC.


∴eq \f(AB,AC)＝eq \f(AC,AD)，即AC2＝AD·AB.


(2)∵∠ACD＋∠A＝90°，∠ACD＋∠BCD＝90°，


∴∠BCD＝∠A.


又∵∠ADC＝∠CDB＝90°，


∴△ACD∽△CBD.


∴eq \f(AD,CD)＝eq \f(CD,BD)，即CD2＝BD·AD.





变式训练：


6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形有(C)


A．1对 B．2对


C．3对 D．4对





7．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝3eq \r(5)，则斜边AB的长为(B)


A．3eq \r(6) B．15


C．9eq \r(5) D．3＋3eq \r(5)





模型5 M字型





模型展示：如图，Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，则有△ABD∽△CEB.





母题：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE.已知ED＝1，BD＝4，求AB的长．





解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，


∴∠B＝∠D＝90°，∠ACB＋∠A＝90°.


∵AC⊥CE，


∴∠ACB＋∠ECD＝90°.


∴∠A＝∠ECD.


∴△ABC∽△CDE.


∴eq \f(AB,CD)＝eq \f(BC,DE).


又∵C是线段BD的中点，ED＝1，BD＝4，


∴AB＝4.





变式训练：


8．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°.


(1)求证：△ABE∽△DEF；





(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．


解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，


∴∠A＝∠D＝90°，


∴∠ABE＋∠AEB＝90°.


又∵∠BEF＝90°，


∴∠AEB＋∠DEF＝90°，


∴∠ABE＝∠DEF，


∴△ABE∽△DEF.


(2)∵四边形ABCD是正方形，


∴AB＝BC＝CD＝AD＝4.


∵CF＝3FD，


∴DF＝1，CF＝3.


∵E是AD的中点，


∴DE＝2.


又∵ED∥CG，


∴△EDF∽△GCF，


∴eq \f(DE,CG)＝eq \f(DF,CF)，即eq \f(2,CG)＝eq \f(1,3).


∴CG＝6.


∴BG＝BC＋CG＝10.