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数学必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念精品导学案
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这是一份数学必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念精品导学案，共12页。学案主要包含了能力提升等内容，欢迎下载使用。
集合核心知识
备注：为高频重点，为易错点 为难点
核心知识点一：集合的概念和表示
例题1 已知a∈{1，－1，a2}，则a的值为______________________。
答案：∵a∈{1，－1，a2}，
∴a可以等于1，－1，a2。
（1）当a=1时，集合则为{1，－1，1}，不符合集合元素的互异性。故a≠1。
（2）同上，a=－1时也不成立。
（3）a=a2时，得a=0或1，a=1不满足，舍去，a=0时集合为{1，－1，0}。
综上，a=0。
解析：处理该类问题的关键是对a进行分类讨论，利用元素的互异性解题。
总结提升：集合元素的互异性指集合中的元素必须互不相同，无序性指集合中的元素与顺序无关。因此在处理元素为字母的集合问题时，既要注意对字母进行讨论，又要自觉注意集合元素的互异性、确定性。
例题2 判断下列三个集合是否相等。
{x|y=x2－1}
{y|y=x2－1}
{（x，y）|y=x2－1}
答案：（1）{x|y=x2－1}表示的是函数自变量的集合，它可以为{x|y=x2－1}={x|x∈R}=R。
（2）{y|y=x2－1}表示的是函数因变量的集合，它可以为{y|y=x2－1}={y|y≥－1}。
（3）{（x，y）|y=x2－1}表示点的集合，这些点在二次函数y=x2－1的图象上。
解析：处理此类问题的关键在于要正确而深刻地理解集合的表示方法。
总结提升：正确理解集合的表示方法对以后的学习有极大帮助。特殊数集用特定字母表示有特别规定，不能乱用；二元一次方程组的解集必须为{（x，y）|}的形式；对描述法表示的集合一定要认清竖杠前面的元素是谁，竖杠后其特征又是什么。
核心知识点二：集合间的关系
核心知识点三：集合的运算：
1. 并集
（1）自然语言表示：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。
（2）符号语言表示：A∪B={x|x∈A，或x∈B}。
（3）图形语言（Venn图）表示：。
（4）性质：A∪B=B∪A；A∪A=A；A∪=A。
2. 交集
（1）自然语言表示：由属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，称为集合A与B的交集。
（2）符号语言表示：A∩B={x|x∈A，且x∈B}。
（3）图形语言表示（Venn图）：。
（4）性质：A∩B=B∩A；A∩A=A；A∩=。
3. 补集
（1）自然语言表示：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素所组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。
（2）符号语言表示：A={x|x∈U，且xA}。
（3）图形语言表示（Venn图）：，阴影部分表示A。
（4）性质：（A）∪A=R；（A）∩A=；（A）=A。
（A∪B）=（A）∩（B），（A∩B）=（A）∪（B）。
重要结论：A∩B=AAB；A∪B=BAB；A∩B=AA∪B=B。
例题3 设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2
解：把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2
∴CR（A∪B）＝{x|x≤2或x>10}，
总结提升：求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否。集合的交并补运算应当逐步求解，一层一层的求解。
本节重要知识点
1. 对描述法中代表元素的理解；
2. 集合间的基本关系；
3. 集合的基本运算。
（答题时间：30分钟）
1. 集合{1，3，5，7，9}用描述法表示应是（ ）
A. {x|x是不大于9的非负奇数}
B. {x|x≤9，x∈N}
C. {x|1≤x≤9，x∈N}
D. {x|0≤x≤9，x∈Z}
2. 下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）
A. {x|x＝1} B. {y|（y－1）2＝0}
C. {x＝1} D. {1}
3. 若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有（ ）
A. AC B. CA C. A≠C D. A＝
4. 设U为全集，M、P是U的两个子集，且（M）∩P＝P，则M∩P等于（ ）
A. M B. P C. P D.
5. 设集合M＝{x|x∈R且－1＜x＜2}，N＝{x|x∈R且|x|≥a，a＞0}，若M∩N＝，那么实数a的取值范围是（ ）
A. a＜1 B. a≤－1 C. a＞2 D. a≥2
6. {（x，y）|x＋y＝6，x，y∈N}用列举法表示为___________________________________
7. 设满足y≥|x－1|的点（x，y）的集合为A，满足y≤－|x|+2的点（x，y）的集合为B，则A∩B所表示图形的面积是__________。
1. A
2. C 解析：A、B、D三项表示的集合都是{1}，而C选项表示含有一个方程的集合。
3. A 解析：由A∪B＝B∩C，知A∪BB，A∪BC，∴ABC。故选A。
4. D 解析：由（M）∩P＝P，知PM，于是P∩M＝。故选D。
5. D 解析：M＝{x|－1＜x＜2}，N＝{x|x≤－a或x≥a}。若M∩N＝，则－a≤－1且a≥2，即a≥1且a≥2，综上a≥2。
6. {（0，6），（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）}
7. 解析：画出y≥|x－1|及y≤－|x|+2的图象，则A∩B表示的图形为矩形；由交点坐标及图象与坐标轴的交点坐标简单计算即得。
集合易错题精析
【能力提升】已知集合M＝{（m，n）|m＋n＝2}，N＝{（x，y）|x－y＝4}，那么集合M∩N＝________。
答案：{（3，－1）}
解析：M、N中的元素是平面上的点，M∩N是集合，并且其中元素也是点，所以集合M可以等价表示为M＝{（x，y）|x＋y＝2}解方程组得
∴M∩N＝{（3，－1）}。
易错点拨：
1. 对于描述法，首先应该看代表元素的类型，是代表的数还是点；
2. 集合的代表元素仅仅有代表作用，与用哪个字母代表是无关的。
【能力提升】已知集合A＝{x|－1
答案：（－∞，1]
解析：A∩B＝B，则BA
当m≤0时，B＝，显然BA。
当m>0时，因为A＝{x|－1
所以在数轴上标出两集合，如图，
所以
所以0
综上所述，m的取值范围为（－∞，1]。
易错点拨：
（1）若集合A是集合B的子集，则应当首先考虑集合A是否为空集。
（2）分类讨论的思想
【能力提升】已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B＝A，求实数m的取值集合。
解：∵A∩B＝A∴AB，
∴当A＝时，即方程x2－4mx＋2m＋6＝0无实根，
故Δ＝16m2－8（m＋3）<0，解得－1
当A≠时，方程x2－4mx＋2m＋6＝0的根为负，
则 ⇒
。
综上，实数m的取值集合是{m|－3
易错点拨：
（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况。
（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化。
【能力提升】某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A、B、C三道知识题作答，答错A者17人，答错B者15人，答错C者11人，答错A、B者5人，答错A、C者3人，答错B、C者4人，全答错1人，则全答对者有（ ）
A. 12B. 15C. 17D. 18
答案：D
解析：由题意，设全班同学为全集U，画出Venn图，A表示答错A的集合，B表示答错B 的集合，C表示答错C的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1，2，3，4，10，7，5，因此A∪B∪C中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此A，B，C全对的有50－32＝18人。
一、本节重要知识点
1. 对描述法中代表元素的理解；
2. 集合间的基本关系；
3. 集合的基本运算。
二、易错点
1. 容易忽略集合的元素类型是离散的（整数集）还是实连续的（实数集）；
2. 容易忽略空集，空集是任何集合的自己，凡是考查集合的基本关系首先考虑空集。
三、必会题型
1. 简单的交并补运算；
2. 已知集合的包含关系或运算关系求参数
（答题时间：30分钟）
1. 设集合A＝{（x，y）|x－y＝0}，B＝{（x，y）|2x－3y＋4＝0}，则A∩B＝________。
2. 已知集合A＝{x|x
A. a<1 B. a≤1
C. a>2 D. a≥2
3. 设集合A＝{－1，0，1}，B＝，A∩B＝{0}，则实数a的值为________。
4. 设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，x∈R}。若A∪B＝A，求实数a的取值范围。
5. 已知集合U＝{x∈N|1≤x≤9}，A∩B＝{2，6}，（CUA）∩（CUB）＝{1，3，7}，A∩（CUB）＝{4，9}，则B等于（ ）
A. {1，2，3，6，7} B. {2，5，6，8}
C. {2，4，6，9} D. {2，4，5，6，8，9}
6. 五年级一班共45人，其中语文得优者20人，数学得优者15人，均不得优者20人，则两门功课均得优者有（ ）人 （ ）分。
A. 20B. 10C. 15D. 25
1. 答案：{（4，4）}
解析：由得∴A∩B＝{（4，4）}。
2. 答案：3，a≥2
解析：集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1
由A∩B＝B可得BA，作出数轴如图。
可知a≥2。
4. 答案：a≤－1或a＝1
解：因为A＝{0，－4}，A∪B＝A所以BA分以下三种情况：
②当B＝时，Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）<0，解得a<－1。
②当B≠且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，
并且Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＝0，
解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；
③当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的两个根，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝4a＋12－4a2－1>0，,－2a＋1＝－4，,a2－1＝0，))
解得a＝1；
综上所述，所求实数a的取值范围是a≤－1或a＝1。
5. 答案：B
解析：根据题意可以求得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，画出Venn图（如图所示），可得B＝{2，5，6，8}，故选B。
6. 答案：B
解析：
利用文氏图设双优者人
∴ ∴
重点
集合的概念、元素与集合的关系，集合的表示方法，集合与集合的关系，集合的运算
难点
集合中元素的特征，描述法表示集合，属于与包含之间的区别，集合的运算
考试要求
考试：
考查题型：选择题、填空题和解答题。
考查难度：小题的难度一般中等偏下，存在个别较难的试题；解答题的难度中等偏上，属于易错题。
集
合
概念
把研究对象的总体称为集合，把研究对象统称为元素。
元素的性质
（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性
表
示
方
法
列
举
法
元素一一列举出来
②用“{}”括起来
③元素间用“，”隔开
描
述
法
①写清楚集合中元素的代号
②说明该集合中元素的性质；
③所有描述的内容都写在大括号内。
元素与集合的关系
一般地，用大写拉丁字母如A、B、C表示集合，用小写拉丁字母a、b、c表示集合中的元素，如果a是集合A中的元素就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA。
常用数集及其记法
N为零和正整数组成的集合，即自然数集，N*或N+为正整数组成的集合；Z为整数组成的集合；Q为有理数组成的集合，R为实数组成的集合。
子集
真子集
定义
对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集
若集合AB，但存在元素x∈B，且xA，称集合A是集合B的真子集
符号语言
若任意x∈A，有x∈B，则AB。
若集合AB，但存在元素x∈B，且xA，则AB
表示方法
A为集合B的子集，记作AB或BA。
A不是B的子集时，记作AB或BA。
若集合A是集合B的真子集，记作AB或BA。
性质
①AA
②A
③AB，BCAC
AB，且BCAC
子集个数
含n个元素的集合A的子集个数为
含n个元素的集合A的真子集个数为－1
空集
不含任何元素的集合，记为。空集是任何集合的子集，用符号语言表示为A；若A非空（即A≠），则有A。
典例一：描述法中代表运算的理解
典例二：已知集合的包含关系或运算关系求参数——连续型
典例三：已知集合的包含关系或运算关系求参数——离散型
典例四：集合知识解决实际问题
集合核心知识
备注：为高频重点，为易错点 为难点
核心知识点一：集合的概念和表示
例题1 已知a∈{1，－1，a2}，则a的值为______________________。
答案：∵a∈{1，－1，a2}，
∴a可以等于1，－1，a2。
（1）当a=1时，集合则为{1，－1，1}，不符合集合元素的互异性。故a≠1。
（2）同上，a=－1时也不成立。
（3）a=a2时，得a=0或1，a=1不满足，舍去，a=0时集合为{1，－1，0}。
综上，a=0。
解析：处理该类问题的关键是对a进行分类讨论，利用元素的互异性解题。
总结提升：集合元素的互异性指集合中的元素必须互不相同，无序性指集合中的元素与顺序无关。因此在处理元素为字母的集合问题时，既要注意对字母进行讨论，又要自觉注意集合元素的互异性、确定性。
例题2 判断下列三个集合是否相等。
{x|y=x2－1}
{y|y=x2－1}
{（x，y）|y=x2－1}
答案：（1）{x|y=x2－1}表示的是函数自变量的集合，它可以为{x|y=x2－1}={x|x∈R}=R。
（2）{y|y=x2－1}表示的是函数因变量的集合，它可以为{y|y=x2－1}={y|y≥－1}。
（3）{（x，y）|y=x2－1}表示点的集合，这些点在二次函数y=x2－1的图象上。
解析：处理此类问题的关键在于要正确而深刻地理解集合的表示方法。
总结提升：正确理解集合的表示方法对以后的学习有极大帮助。特殊数集用特定字母表示有特别规定，不能乱用；二元一次方程组的解集必须为{（x，y）|}的形式；对描述法表示的集合一定要认清竖杠前面的元素是谁，竖杠后其特征又是什么。
核心知识点二：集合间的关系
核心知识点三：集合的运算：
1. 并集
（1）自然语言表示：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。
（2）符号语言表示：A∪B={x|x∈A，或x∈B}。
（3）图形语言（Venn图）表示：。
（4）性质：A∪B=B∪A；A∪A=A；A∪=A。
2. 交集
（1）自然语言表示：由属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，称为集合A与B的交集。
（2）符号语言表示：A∩B={x|x∈A，且x∈B}。
（3）图形语言表示（Venn图）：。
（4）性质：A∩B=B∩A；A∩A=A；A∩=。
3. 补集
（1）自然语言表示：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素所组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。
（2）符号语言表示：A={x|x∈U，且xA}。
（3）图形语言表示（Venn图）：，阴影部分表示A。
（4）性质：（A）∪A=R；（A）∩A=；（A）=A。
（A∪B）=（A）∩（B），（A∩B）=（A）∪（B）。
重要结论：A∩B=AAB；A∪B=BAB；A∩B=AA∪B=B。
例题3 设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2
解：把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：
由图知，A∪B＝{x|2
∴CR（A∪B）＝{x|x≤2或x>10}，
总结提升：求解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法及取到与否。集合的交并补运算应当逐步求解，一层一层的求解。
本节重要知识点
1. 对描述法中代表元素的理解；
2. 集合间的基本关系；
3. 集合的基本运算。
（答题时间：30分钟）
1. 集合{1，3，5，7，9}用描述法表示应是（ ）
A. {x|x是不大于9的非负奇数}
B. {x|x≤9，x∈N}
C. {x|1≤x≤9，x∈N}
D. {x|0≤x≤9，x∈Z}
2. 下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）
A. {x|x＝1} B. {y|（y－1）2＝0}
C. {x＝1} D. {1}
3. 若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有（ ）
A. AC B. CA C. A≠C D. A＝
4. 设U为全集，M、P是U的两个子集，且（M）∩P＝P，则M∩P等于（ ）
A. M B. P C. P D.
5. 设集合M＝{x|x∈R且－1＜x＜2}，N＝{x|x∈R且|x|≥a，a＞0}，若M∩N＝，那么实数a的取值范围是（ ）
A. a＜1 B. a≤－1 C. a＞2 D. a≥2
6. {（x，y）|x＋y＝6，x，y∈N}用列举法表示为___________________________________
7. 设满足y≥|x－1|的点（x，y）的集合为A，满足y≤－|x|+2的点（x，y）的集合为B，则A∩B所表示图形的面积是__________。
1. A
2. C 解析：A、B、D三项表示的集合都是{1}，而C选项表示含有一个方程的集合。
3. A 解析：由A∪B＝B∩C，知A∪BB，A∪BC，∴ABC。故选A。
4. D 解析：由（M）∩P＝P，知PM，于是P∩M＝。故选D。
5. D 解析：M＝{x|－1＜x＜2}，N＝{x|x≤－a或x≥a}。若M∩N＝，则－a≤－1且a≥2，即a≥1且a≥2，综上a≥2。
6. {（0，6），（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）}
7. 解析：画出y≥|x－1|及y≤－|x|+2的图象，则A∩B表示的图形为矩形；由交点坐标及图象与坐标轴的交点坐标简单计算即得。
集合易错题精析
【能力提升】已知集合M＝{（m，n）|m＋n＝2}，N＝{（x，y）|x－y＝4}，那么集合M∩N＝________。
答案：{（3，－1）}
解析：M、N中的元素是平面上的点，M∩N是集合，并且其中元素也是点，所以集合M可以等价表示为M＝{（x，y）|x＋y＝2}解方程组得
∴M∩N＝{（3，－1）}。
易错点拨：
1. 对于描述法，首先应该看代表元素的类型，是代表的数还是点；
2. 集合的代表元素仅仅有代表作用，与用哪个字母代表是无关的。
【能力提升】已知集合A＝{x|－1
答案：（－∞，1]
解析：A∩B＝B，则BA
当m≤0时，B＝，显然BA。
当m>0时，因为A＝{x|－1
所以在数轴上标出两集合，如图，
所以
所以0
综上所述，m的取值范围为（－∞，1]。
易错点拨：
（1）若集合A是集合B的子集，则应当首先考虑集合A是否为空集。
（2）分类讨论的思想
【能力提升】已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B＝A，求实数m的取值集合。
解：∵A∩B＝A∴AB，
∴当A＝时，即方程x2－4mx＋2m＋6＝0无实根，
故Δ＝16m2－8（m＋3）<0，解得－1
当A≠时，方程x2－4mx＋2m＋6＝0的根为负，
则 ⇒
。
综上，实数m的取值集合是{m|－3
易错点拨：
（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况。
（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化。
【能力提升】某班50名同学参加一次智力竞猜活动，对其中A、B、C三道知识题作答，答错A者17人，答错B者15人，答错C者11人，答错A、B者5人，答错A、C者3人，答错B、C者4人，全答错1人，则全答对者有（ ）
A. 12B. 15C. 17D. 18
答案：D
解析：由题意，设全班同学为全集U，画出Venn图，A表示答错A的集合，B表示答错B 的集合，C表示答错C的集合，将其集合中元素数目填入图中，自中心区域向四周的各区域数目分别为1，2，3，4，10，7，5，因此A∪B∪C中元素数目为32，从而至少错一题的共32人，因此A，B，C全对的有50－32＝18人。
一、本节重要知识点
1. 对描述法中代表元素的理解；
2. 集合间的基本关系；
3. 集合的基本运算。
二、易错点
1. 容易忽略集合的元素类型是离散的（整数集）还是实连续的（实数集）；
2. 容易忽略空集，空集是任何集合的自己，凡是考查集合的基本关系首先考虑空集。
三、必会题型
1. 简单的交并补运算；
2. 已知集合的包含关系或运算关系求参数
（答题时间：30分钟）
1. 设集合A＝{（x，y）|x－y＝0}，B＝{（x，y）|2x－3y＋4＝0}，则A∩B＝________。
2. 已知集合A＝{x|x
A. a<1 B. a≤1
C. a>2 D. a≥2
3. 设集合A＝{－1，0，1}，B＝，A∩B＝{0}，则实数a的值为________。
4. 设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，x∈R}。若A∪B＝A，求实数a的取值范围。
5. 已知集合U＝{x∈N|1≤x≤9}，A∩B＝{2，6}，（CUA）∩（CUB）＝{1，3，7}，A∩（CUB）＝{4，9}，则B等于（ ）
A. {1，2，3，6，7} B. {2，5，6，8}
C. {2，4，6，9} D. {2，4，5，6，8，9}
6. 五年级一班共45人，其中语文得优者20人，数学得优者15人，均不得优者20人，则两门功课均得优者有（ ）人 （ ）分。
A. 20B. 10C. 15D. 25
1. 答案：{（4，4）}
解析：由得∴A∩B＝{（4，4）}。
2. 答案：3，a≥2
解析：集合B＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1
由A∩B＝B可得BA，作出数轴如图。
可知a≥2。
4. 答案：a≤－1或a＝1
解：因为A＝{0，－4}，A∪B＝A所以BA分以下三种情况：
②当B＝时，Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）<0，解得a<－1。
②当B≠且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，
并且Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＝0，
解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；
③当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的两个根，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝4a＋12－4a2－1>0，,－2a＋1＝－4，,a2－1＝0，))
解得a＝1；
综上所述，所求实数a的取值范围是a≤－1或a＝1。
5. 答案：B
解析：根据题意可以求得U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，画出Venn图（如图所示），可得B＝{2，5，6，8}，故选B。
6. 答案：B
解析：
利用文氏图设双优者人
∴ ∴
重点
集合的概念、元素与集合的关系，集合的表示方法，集合与集合的关系，集合的运算
难点
集合中元素的特征，描述法表示集合，属于与包含之间的区别，集合的运算
考试要求
考试：
考查题型：选择题、填空题和解答题。
考查难度：小题的难度一般中等偏下，存在个别较难的试题；解答题的难度中等偏上，属于易错题。
集
合
概念
把研究对象的总体称为集合，把研究对象统称为元素。
元素的性质
（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性
表
示
方
法
列
举
法
元素一一列举出来
②用“{}”括起来
③元素间用“，”隔开
描
述
法
①写清楚集合中元素的代号
②说明该集合中元素的性质；
③所有描述的内容都写在大括号内。
元素与集合的关系
一般地，用大写拉丁字母如A、B、C表示集合，用小写拉丁字母a、b、c表示集合中的元素，如果a是集合A中的元素就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA。
常用数集及其记法
N为零和正整数组成的集合，即自然数集，N*或N+为正整数组成的集合；Z为整数组成的集合；Q为有理数组成的集合，R为实数组成的集合。
子集
真子集
定义
对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集
若集合AB，但存在元素x∈B，且xA，称集合A是集合B的真子集
符号语言
若任意x∈A，有x∈B，则AB。
若集合AB，但存在元素x∈B，且xA，则AB
表示方法
A为集合B的子集，记作AB或BA。
A不是B的子集时，记作AB或BA。
若集合A是集合B的真子集，记作AB或BA。
性质
①AA
②A
③AB，BCAC
AB，且BCAC
子集个数
含n个元素的集合A的子集个数为
含n个元素的集合A的真子集个数为－1
空集
不含任何元素的集合，记为。空集是任何集合的子集，用符号语言表示为A；若A非空（即A≠），则有A。
典例一：描述法中代表运算的理解
典例二：已知集合的包含关系或运算关系求参数——连续型
典例三：已知集合的包含关系或运算关系求参数——离散型
典例四：集合知识解决实际问题
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