人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式优秀导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式优秀导学案，共13页。学案主要包含了能力提升等内容，欢迎下载使用。
二次函数与一元二次方程、不等式 重点一元二次不等式的解法；一元二次不等式应用题。难点二次函数与一元二次方程、不等式的关系。考试要求考试         题型   选择题、填空题和解答题。         难度   中等  核心知识点一：三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c （a＞0）的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a＞0）的根有两相异实根x1，x2（x1＜x2）有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c＞0 （a＞0）的解集{x|x＞x2或x＜x1}Rax2＋bx＋c＜0 （a＞0）的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅对一元二次不等式概念的三点说明（1）“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即哪一个是“未知数”，哪一个是“参数”即可。（2）“次数最高是2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制。（3）必须是整式不等式。注意：1. 对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形。2. 当Δ＜0时，ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集为R还是∅，要注意区别a的符号。3. 不等式解集的端点是方程的根。 典例一：解不含参数的一元二次不等式【能力提升】求下列不等式的解集：（1）－x2＋8x－3＞0；（2）－2x2＋3x－2＜0；解析：（1）因为Δ＝82－4×（－1）×（－3）＝52＞0，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根x1＝4－，x2＝4＋。又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－＜x＜4＋}。（2）原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R。总结提升：解一元二次不等式的一般步骤（1）通过对不等式变形，使二次项系数大于零；（2）计算对应方程的判别式；（3）求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；（4）根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集。 典例二：解简单的分式不等式【能力提升】解下列不等式：（1）≥0；（2）＞1。解析：（1）因为≥0⇔⇔⇔x＜－或x≥。所以原不等式的解集为。（2）原不等式可化为或⇔或⇔－3＜x＜－。所以原不等式的解集为。易错点拨：分式不等式的解法先通过移项、通分整理成标准型＞0（＜0）或≥0（≤0），再化成整式不等式（组）来解。如果能判断出分母的正负，直接去分母即可。　 典例三：一元二次不等式的实际应用【能力提升】某地区上年度电价为0. 8元/千瓦时，年用电量为a千瓦时。本年度计划将电价降价到0. 55元/千瓦时至0. 75元/千瓦时之间，而用户期望电价为0. 4元/千瓦时。经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）。该地区电力的成本价为0. 3元/千瓦时。（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；（2）设k＝0. 2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?解析：（1）设下调后的电价为x元/千瓦时，依题意知，用电量增至＋a，电力部门的收益为y＝（x－0. 3）（0. 55≤x≤0. 75）。（2）依题意，有，整理，得解此不等式组，得0. 60≤x≤0. 75。所以当电价最低定为0. 60元/千瓦时时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%。 易错点拨：解不等式应用题的步骤  一、本节重要知识点1. 不含参数一元二次不等式：一是注意开口方向；二是注意能否因式分解。2. 一元二次方程、一元二次不等式、二次函数、实质上都是一个函数图像从“y＝”还是“y＞”（或其他不等号）两个角度来分的，等号就是方程，不等号就是不等式。三种情况都可以看成y等于一个参数a与二次函数的交点关系来理解。 二、易错点：1. 实际问题忘记考虑实际情况，导致范围不准 三、必会题型1. 解一元二次不等式；2. 解分式不等式。 四、主要数学思想1. 数形结合的思想。2. 分类讨论的思想 （答题时间：30分钟）1. 不等式的解集为（    ）A. 或   B. C.     D. 2. 若不等式的解集为，则_______。3. 不等式的解集为________4. 解不等式：（1）   （2）5. 国家为了加强对烟酒生产的管理，实行征收附加税政策。现在某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征收R元（叫做税率为R%），则每年产销量将减少10R万瓶。要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，R应怎样确定？    
1. D【解析】根据不含参数的一元二次不等式的解法，可直接求出结果。【详解】由得，解得。故选D【点睛】本题主要考查一元二次不等式，熟记不含参数的一元二次不等式的解法即可，属于基础题型。2.。【解析】分析：由不等式和方程的关系，可直接代入求、的值，进而求出的值。详解：根据不等式解集与方程的关系，将带入得所以由（1）可得点睛：本题考查了不等式和方程的关系，利用不等式解集的边界为方程的解，可直接代入求得的值。3. 【解析】，则 或 ，解得： ，解集为。4. （1）。（2）。【解析】分析：（1）解一元二次不等式，通过穿根法求得解。（2）解分式不等式，要先移项；再把x的系数化为正数，通过穿根法求解。详解：（1）所以，即解集为。（2）分式不等式，移项得根据穿根法，得所以解集为。点睛：本题考查了两种常见不等式的解法，主要是通过穿根法求解，属于简单题。利用穿根法时，注意：（1）奇过偶不过，（2）x的系数为正。5. 。【解析】设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收附加税为70x·R%万元，并且x＝100－10R，由题意得70（100－10R）·R%≥112，解不等式即得解。【详解】设产销量为每年x万瓶，则销售收入为每年70x万元，从中征收附加税为70x·R%万元，并且x＝100－10R，由题意，得70（100－10R）·R%≥112，即R2－10R＋16≤0，解得2≤R≤8，∴税率定在2%～8%（包括2%和8%）时，可使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元。【点睛】本题主要考查函数的应用和不等式的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力。 
二次函数与一元二次方程、不等式参数问题 重点含参数的一元二次不等式的解法，恒成立问题。难点含参数一元二次不等式；恒成立问题。考试要求考试         题型   选择题、填空题和解答题。         难度   中等  核心知识点：三个“二次”间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c （a＞0）的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a＞0）的根有两相异实根x1，x2（x1＜x2）有两相等实根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c＞0 （a＞0）的解集{x|x＞x2或x＜x1}Rax2＋bx＋c＜0 （a＞0）的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅对一元二次不等式概念的三点说明（1）“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即哪一个是“未知数”，哪一个是“参数”即可。（2）“次数最高是2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制。（3）必须是整式不等式。注意：1. 对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形。2. 当Δ＜0时，ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集为R还是∅，要注意区别a的符号。3. 不等式解集的端点是方程的根。 典例一：不等式的恒成立问题【能力提升】若对于一切实数x，mx2－mx－1＜0恒成立，求m的取值范围；答案：－4＜m≤0解析：要使mx2－mx－1＜0恒成立，若m＝0，显然－1＜0，满足题意；若m≠0，⇒－4＜m＜0。所以－4＜m≤0。 易错点拨：处理不等式恒成立问题的常用方法（1）一元二次不等式恒成立的情况：ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立⇔ax2＋bx＋c≤0（a≠0）恒成立⇔典例二：解含参数的一元二次不等式【能力提升】解关于x的不等式ax2＋（a－1）x－1＞0。解析：若a＝0，则原不等式为一元一次不等式－x－1＞0，即x＜－1，不等式的解集为（－∞，－1）。当a≠0时，ax2＋（a－1）x－1＝（ax－1）（x＋1）＝0的两根为x1＝，x2＝－1。当a＞0时，解集为；当－1＜a＜0，即＜－1时，解集为；当a＜－1，即0＞＞－1时，解集为；当a＝－1时，解集为。 总结提升：含参一元二次不等式的解法在解含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：（1）关于不等式类型的讨论：二次项的系数a＞0，a＝0，a＜0。（2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根（Δ＞0），一根（Δ＝0），无根（Δ＜0）。（3）关于不等式对应的方程的根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2。　  一、本节重要知识点1. 含参数一元二次不等式：（1）二次项含参数注意参数的讨论；（2）能因式分解的按照根的大小相等结合开口来讨论；（3）不能因式分解根据判别式△结合开口来讨论 二、易错点：1. 恒成立问题考虑不周全，导致范围扩大 三、必会题型1. 恒成立问题结合函数图像来求范围2. 解含参数和不含参数的一元二次不等式 （答题时间：30分钟）1. 解下列不等式（1）－4x2＋18x－≥0；（2）－x2＋3x－5＞0； 2. 解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0。3. 已知。（1）若，解不等式；（2）若，解不等式。4. 某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24 000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9 000万元，则t的取值范围为________。    
1. 【解析】（1）原不等式可化为，所以原不等式的解集为。（2）原不等式可化为x2－6x＋10＜0，因为Δ＝（－6）2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅。2.【解析】对于方程2x2＋ax＋2＝0，其判别式Δ＝a2－16＝（a＋4）（a－4）。①当a＞4或a＜－4时，Δ＞0，方程2x2＋ax＋2＝0的两根为x1＝，x2＝）。所以原不等式的解集为。②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，所以原不等式的解集为{x|x≠－1}。③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，所以原不等式的解集为{x|x≠1}。④当－4＜a＜4时，Δ＜0，方程无实根，所以原不等式的解集为R。3. 答案：（1）或。（2） 【解析】（1）利用一元二次不等式的解法解不等式得解；（2）由题得，再对a分类讨论解不等式。【详解】（1）当，不等式即，即，解得，或，故不等式的解集为或。（2）若，不等式为，即，∵，∴当时， ，不等式的解集为；当时，，不等式即，它的解集为；当时，，不等式的解集为。4. [3，5]【解析】由题意可列不等式如下：·24 000·t%≥9 000⇔3≤t≤5