高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质优秀学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质优秀学案及答案，共16页。学案主要包含了基础训练，能力提升等内容，欢迎下载使用。
必修1 第三章函数的概念与性质
幂函数


重点
幂函数的概念、性质，从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质
难点
幂函数性质及应用，画五个幂函数的图象并由图象概括其性质
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题和解答题。
Ø 难度 中等





核心知识点一：
1. 幂函数的概念
函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。
2. 幂函数的图象与性质
（1）五种常见幂函数的图象。

（2）五类幂函数的性质，

幂函数
y＝x
y＝x2
y＝x3

y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞）
（－∞，0）∪（0，＋∞）
值域
R
[0，＋∞）
R
[0，＋∞）
{y|y∈R且y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
x∈[0，＋∞），增
x∈（－∞，0]，减
增
增
x∈（0，＋∞），减
x∈（－∞，0），减
公共点
都经过点（1，1）
幂函数的性质归纳
（1）所有的幂函数在区间（0，＋∞）上都有定义，并且图象都过点（1，1）。
（2）α＞0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞）上是增函数。
特别地，当α＞1时，幂函数的图象下凸；
当0＜α＜1时，幂函数的图象上凸。
（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，＋∞）上是减函数。在第一象限内，当x从右趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴。


典例一：幂函数的概念理解
【基础训练】下列函数为幂函数的是（　　）
①y＝－x2；②y＝2x；③y＝xπ；④y＝（x－1）3；⑤；⑥y＝x2＋。
A. ①③⑤ B. ①②⑤
C. ③⑤ D. 只有⑤
解析：选C。①y＝－x2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；②y＝2x是指数函数；④y＝（x－1）3的底数是x－1而不是x，故不是幂函数；⑥y＝x2＋是两个幂函数和的形式，也不是幂函数。很明显③⑤是幂函数。

【能力提升】已知幂函数y=f（x）的图象经过点（3，），求这个函数的解析式。
解析：
设所求幂函数的解析式为
因为点（3，）在函数图像上，所以代入解析式得 ∴ ∴
∴幂函数的解析式为。

总结提升：幂函数y＝xα（α∈R），其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数（也可以为0）。这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准。

典例二：幂函数的图象应用
已知幂函数y＝xm－2（m∈N）的图象与x，y轴都无交点，且关于y轴对称，求m的值，并画出它的图象。
解析：∵图象与x，y轴都无交点，
∴m－2≤0，即m≤2。
又m∈N，∴m＝0，1，2。
∵幂函数图象关于y轴对称，
∴m＝0，或m＝2。
当m＝0时，函数为y＝x－2，图象如图1；
当m＝2时，函数为y＝x0＝1（x≠0），图象如图2。


归纳总结：（1）幂函数y＝xα的图象恒过定点（1，1），且不过第四象限。
（2）解决幂函数图象问题，需把握两个原则：①幂指数α的正负决定函数图象在第一象限的升降；②依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，在第一象限内，直线x＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小。

典例三：幂函数的性质应用
比较下列各题中两个值大小。

解析：（1）在（0，＋∞）上是增函数，
∵0.7>0.6，∴
（2）在（0，＋∞）上是增函数，
∵1.5g（x）；②f（x）＝g（x）；③f（x）1或xg（x）；
②当x＝±1时，f（x）＝g（x）；
③当－1