人教A版 (2019)第四章 指数函数与对数函数4.3 对数优质学案

这是一份人教A版 (2019)第四章 指数函数与对数函数4.3 对数优质学案，共17页。

指数函数与对数函数
对数

重点
对数定义、指对互化、对数恒等式、对数运算性质、换底公式
难点
对数概念的理解；对数运算性质及换底公式的灵活应用
考试要求
考试
Ø 题型 选择题、填空题和解答题。
Ø 难度 中等





问题导航
（1）对数的定义是什么？什么是常用对数和自然对数？
（2）如何进行对数式和指数式的互化？
（3）如何利用对数的基本性质及恒等式进行化简和求值？
（4）对数具有哪些运算性质？换底公式是如何表述的？
（5）如何利用对数的运算性质及换底公式进行化简求值？

1. 对数
（1）指数式与对数式的互化及有关概念。

（2）对数的底数a的取值范围是a＞0且a≠1。
2. 常用对数与自然对数

3. 对数的基本性质
（1）负数和零没有对数；
（2）loga1＝0（a＞0，且a≠1）；
（3）logaa＝1（a＞0，且a≠1）。

注意：
1. 在对数logaN中规定a＞0，且a≠1，N＞0的原因
（1）若a＜0，则N为某些数值时，x不存在，如式子（－3）x＝4没有实数解，所以log（－3）4不存在，因此规定a不能小于0；
（2）若a＝0，且N≠0时，logaN不存在；N＝0时，loga0有无数个值，不能确定，因此规定a≠0，N≠0；
（3）若a＝1，且N≠1时，x不存在；而a＝1，N＝1时，x可以为任何实数，不能确定，因此规定a≠1；
（4）由ax＝N，a＞0知N恒大于0。
2. 对指数与对数的互化关系的理解
（1）由指数式ab＝N可以写成logaN＝b（a＞0，且a≠1），这是指数式与对数式互化的依据。从对数定义可知，对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式。其关系如下表：
式子
名称
意义
a
x
N
指数式ax＝N
底数
指数
幂
a的x次幂等于N
对数式logaN＝x
底数
对数
真数
以a为底N的对数等于x
（2）根据指数与对数的互化关系，可以得到恒等式（a＞0，且a≠1，N＞0）。
（3）指数与对数的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效方法。
4. 对数的运算性质
条件
a>0，且a≠1，M>0，N>0
性质
loga（MN）＝logaM＋logaN
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM（n∈R）
5. 换底公式
logab＝（a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0）。
注意：
1. 对对数的运算性质的理解：
（1）利用对数的运算性质可以把乘、除、乘方的运算转化为对数的加、减、乘运算，反之亦然。
（2）对于每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立。
（3）能用语言准确叙述对数的运算性质
loga（M·N）＝logaM＋logaN―→积的对数等于对数的和。
loga＝logaM－logaN―→商的对数等于对数的差。
logaMn＝nlogaM（n∈R）―→真数的n次幂的对数等于对数的n倍。
2. 关于换底公式的两点说明：
（1）换底公式成立的条件是公式中的每一个对数式都有意义。
（2）利用换底公式，可以“随意”地改变对数的底，应注意选择适当的底数，一般转化为常用对数或自然对数，化简和证明中常常用到换底公式。



典例一：利用对数式与指数式的关系求值
求下列各式中的x的值：
（1）log27x＝－；（2）logx16＝－4；（3）lg ＝x；（4）－ln e－3＝x。
解：（1）因为log27x＝－，
所以x＝27＝（33）＝3－2＝；
（2）因为logx16＝－4，所以x－4＝16，
即x－4＝24。
所以＝24，
所以＝2，即x＝；
（3）因为lg＝x，
所以10x＝10－3，
所以x＝－3；
（4）因为－ln e－3＝x，
所以－x＝ln e－3，
即e－x＝e－3，所以x＝3。

总结提升：
求对数式logaN（a>0，且a≠1，N>0）的值的步骤：
（1）设logaN＝m；
（2）将logaN＝m写成指数式am＝N；
（3）将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b。

典例二：对数运算性质的应用
（1）lg －lg ＋lg ；
（2）；
（3）lg 25＋lg 8＋lg 5lg 20＋（lg 2）2。
解：（1）原式＝（5lg 2－2lg 7）－×lg 2＋（2lg 7＋lg 5）
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5＝（lg 2＋lg 5）＝lg 10＝；
（2）原式＝＝
＝＝＝1；
（3）原式＝2lg 5＋2lg 2＋（1－lg 2）（1＋lg 2）＋（lg 2）2
＝2（lg 5＋lg 2）＋1－（lg 2）2＋（lg 2）2＝2＋1＝3。

总结提升：
1. 对于同底的对数的化简，常用方法是：
（1）“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数；
（2）“拆”，将积（商）的对数拆成对数的和（差）。
2. 对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式。要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式。

典例三：换底公式的应用
（1）计算：（log43＋log83）log32＝________；
（2）计算：＋log279＝________；
（3）已知3a＝5b＝c，且＋＝2，则c的值为________。
答案：（1） （2） （3）
解析：（1）原式＝log32
＝log32＝＋＝；
（2）原式＝＋＝＋＝2＋＝；
（3）由3a＝5b＝c得，a＝log3c，b＝log5c，所以＝logc3，＝logc5，又＋＝2，所以logc3＋logc5＝2，即logc15＝2，c＝。
总结提升：
（1）利用换底公式可以把不同底的对数化为同底的对数，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用。
（2）题目中有指数式与对数式时，要注意将指数式与对数式进行互化，统一成一种形式。


1. 利用对数式与指数式的关系求值：灵活运用指对互化。
2. 对数运算性质的应用：巧用“收”“拆”，以及特殊值的运用（比如“1”）。
3. 换底公式运用：当真数相同但是底数不同时可以换成同底。


（答题时间：30分钟）
1. 若a＞0，a2＝，则loga＝________。
2. 若对数式（－3x＋8）有意义，求实数x的取值范围。
3. 对数式lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18的化简结果为 （　　）
A. 1 B. 2
C. 0 D. 3
4. 已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y等于（　　）
A. 3 B. 8
C. 4 D. log48
5. 计算log927＋log2＝________。
6. 方程log3（x2－10）＝1＋log3x的解是________。
7. 若log5·log36·log6x＝2，则x＝________。
8. 化简求值：
（1）4lg 2＋3lg 5－lg；
（2）；
（3）2log32－log3＋log38－。





1. 1 解析：由a＞0，a2＝，可知a＝，
所以＝＝1。
2. 解析：根据对数的定义，有
解得x＜，且x≠0；
即实数x的取值范围是{x|x＜，且x≠0}。
3. C 解析：lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18
＝lg 14－lg＋lg 7－lg 18
＝lg ＝lg 1＝0。
4. A 解析：∵2x＝3，∴x＝log23。
又log4＝y，
∴x＋2y＝log23＋2log4
＝log23＋2（log48－log43）
＝log23＋2
＝log23＋3－log23＝3。
5. 0 解析：log927＋log2＝log99＋log2－log24＝＋－2＝0。
6. x＝5 解析：原方程可化为log3（x2－10）＝log3（3x），所以x2－10＝3x，
解得x＝－2，或x＝5。经检验知x＝5。
7. 解析：原式＝－log53·＝－log5x。
∴－log5x＝2，即log5x＝－2，∴x＝5－2＝。
8. 解：（1）原式＝lg ＝lg 104＝4；
（2）原式＝
＝
＝－3log32×log23＝－3；
（3）原式＝2log32－（log332－log39）＋3log32－3
＝5log32－（5log32－2log33）－3＝－1。


对数函数核心知识

重点
对数函数概念、图象、性质、反函数
难点
对数函数的图象、性质、反函数
考试要求
考试
Ø 题型选择题、填空题和解答题。
Ø 难度中等





问题导航
（1）对数函数的概念是什么？它的解析式具有什么特点？
（2）对数函数的图象是什么，通过图象可观察到对数函数具有哪些性质？
核心知识点一：对数函数的定义
一般地，我们把函数y＝logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）。
注意：
关于对数函数概念的两点说明
（1）对数函数的概念与指数函数类似，都是形式化定义，如y＝2log2x，y＝log2都不是对数函数，可称其为对数型函数。
（2）由指数式与对数式的关系知：对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是（0，＋∞）。
例题1 判断下列函数是否为对数函数？
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
答案：（1）（2）是对数函数；（3）（4）（5）（6）不是对数函数.
总结提升:
判断一个函数是否为对数函数需满足三个条件：
（1）底数是大于0且不等于的1的常数；
（2）自变量在真数位置；
（3）对数式的系数为1.

例题2 已知函数f(x)为对数函数，且图象过点（4,2），求f(1),f(8).
解：设，
∵函数图象过点（4,2），
∴，即，解得a=2或-2（舍）.
∴，
∴
总结提升：求函数解析式的一般步骤
（1）已知函数类型，一般用待定系数法设出函数的解析式；
（2）然后根据已知条件将点的坐标代入到解析式中列方程求解参数.

例题3 求下列函数的定义域：
（1） （2）
解：（1）根据对数函数的定义可知：
所以函数的定义域为.
（2）根据对数函数的定义可知：
，即，解得,
所以函数的定义域为.
总结提升：求对数型函数定义域的一般方法
（1）根据底数大于0且不等于1列两个不等式（底数含参）
（2）根据真数大于0列不等式（真数含参）；
（3）解不等式组求交集即可.

核心知识点二：对数函数的图象及性质
a的范围
0＜a＜1
a＞1
图象


性
质
定义域
（0，＋∞）
值域
R
定点
（1，0），即x＝1时，y＝0
单调性
在（0，＋∞）上是减函数
在（0，＋∞）上是增函数
注意：a对对数函数的图象的影响
（1）底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”；当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”。
（2）底数的大小决定了图象对应位置的高低：不论是a＞1还是0＜a＜1，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大。
（3）函数y＝logax与y＝（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称。

核心知识点三：反函数
对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）和指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）互为反函数。
反函数的性质：
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称。
（2）若函数y＝f（x）图象上有一点（a，b），则点（b，a）必在其反函数图象上，反之若点（b，a）在反函数图象上，则点（a，b）必在原函数图象上。


1. 对数函数概念理解要点：底数大于0且不等于1，真数大于0；
2. 对数函数性质中要明确底数对对数函数图象的影响.


（答题时间：30分钟）
1. 给出下列函数：
①；②；③；④.
其中是对数函数的有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于(　　)
A. {x|x>－1} B. {x|x<1}
C. {x|－1 3. 已知函数f(x)＝loga(x＋2)，若图象过点(6,3)，则f(2)的值为(　　)
A. －2 B. 2 C. D. －
4. 与函数y＝的图象关于直线y＝x对称的函数是（　　）
A. y＝4x B. y＝4－x
C. y＝logx D. y＝log4x
5. 若函数f(x)＝2loga(2－x)＋3(a>0，且a≠1)过定点P，则点P的坐标是__________．






1. A 解析：①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．
2. C 解析：∵M＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，N＝{x|1＋x>0}＝{x|x>－1}，
∴M∩N＝{x|－1 3. B 解析：代入(6,3)，3＝loga(6＋2)＝loga8，
即a3＝8，∴a＝2.
∴f(x)＝log2(x＋2)，∴f(2)＝log2(2＋2)＝2.
4. C 解析：作出图象观察可知函数y＝的图象与y＝logx的图象关于直线y＝x对称。
5. (1,3) 解析：因为对数函数当真数为1时，函数值恒为0，所以只需2-x=1,即x=1,此时，所以该函数恒过（1,3）点.



对数函数综合训练

典例一：对数值的大小比较
比较下列各组数的大小。
（1）log3.10.5与log3.10.2；
（2）与；
（3），；
（4）loga3.2与loga3.7（a＞0，且a≠1）。
答案：（1）∵y＝log3.1x在（0，＋∞）上是增函数，
∴log3.10.5＞log3.10.2；
（2）∵在（0，＋∞）上是减函数，
∴＜；
（3）∵log56＞log55＝1，log65＜log66＝1。
∴log56＞log65；
（4）当a＞1时，y＝logax在（0，＋∞）上是增函数，
∴loga3.2＜loga3.7；
当0＜a＜1时，y＝logax在（0，＋∞）上是减函数，
∴loga3.2＞loga3.7。
总结提升：
对数值大小的比较主要有以下四种情况：
（1）如果同底，可直接利用单调性求解。如果底数为字母，则要分类讨论。
（2）如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间变量。
（3）如果不同底同真数，可利用图象的高低与底数的大小关系解决，或利用换底公式化为同底的再进行比较。
（4）若底数、真数都不相同，则常借助中间量1，0，－1等进行比较。

典例二：对数函数的单调性
求函数的单调增区间，并求函数的最小值。
答案：∴x2＜1，则－1＜x＜1，
因此函数的定义域为（－1，1）。
令t＝1－x2，x∈（－1，1）。
x∈（－1，0]时，x增大，t增大，减小，
∴x∈（－1，0]时，是减函数；
当x∈[0，1）时，是增函数。
故函数的单调增区间为[0，1），且函数的最小值ymin＝＝0。
总结提升：
求形如y＝logaf（x）的函数的单调区间一般有如下几个步骤：
（1）求出函数的定义域；
（2）研究函数t＝f（x）和函数y＝logat在定义域上的单调性；
（3）判断出函数的增减性求出单调区间。

典例三：对数函数性质的综合应用
已知函数f（x）＝loga（x＋1）－loga（1－x）（a＞0且a≠1）。
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明。
答案：（1）f（x）＝loga（x＋1）－loga（1－x），
则解得－1＜x＜1，
故所求定义域为（－1，1）。
（2）f（x）为奇函数，证明如下：
由（1）知f（x）的定义域为（－1，1），
且f（－x）＝loga（－x＋1）－loga（1＋x）
＝－[loga（x＋1）－loga（1－x）]
＝－f（x），
故f（x）为奇函数。
总结提升：解决对数函数综合问题的方法
对数函数常与函数的奇偶性、单调性、最值以及不等式等问题综合，求解中通常会涉及对数运算。解决此类综合问题，首先要将所给的条件进行转化，然后结合涉及的知识，明确各知识点的应用思路、化简方向，与所求目标建立联系，从而找到解决问题的思路。

典例四：分类讨论思想探究对数函数的最值
函数y＝logax（a>0，且a≠1）在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，求a的值。
答案：（1）当a>1时，函数y＝logax在[2，4]上是增函数，所以loga4－loga2＝1，即loga2＝1，所以a＝2。
（2）当0 ∴loga2－loga4＝1，即loga＝1，∴a＝。
由（1）（2）知实数a＝2或。
总结提升：
在解决底数中包含字母的对数函数问题时，要注意对底数进行分类讨论，一般考虑a>1与00，且a≠1）的单调性的影响就会出现漏解或错解。


1. 对数值的大小比较：先比较同底（或先化成同底），再比较同真数，然后再找中间值（常用的是1或0、-1）
2. 对数函数的单调性：结合复合函数单调性判断“同则增异则减”
3. 对数函数性质的综合应用：学会运用转化思想


（答题时间：30分钟）
1. 已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则（　　）
A. a>b>c B. a>c>b
C. b>a>c D. c>a>b
2. 如果logx＜logy＜0，那么（　　）
A. y＜x＜1 B. x＜y＜1
C. 1＜x＜y D. 1＜y＜x
3. 函数f（x）＝log（x2－6x＋17）的值域为（　　）
A. [3，＋∞） B. （3，＋∞）
C. （－∞，－3） D. （－∞，－3]
4. 函数f（x）＝logax（0＜a＜1）在[a2，a]上的最大值是（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. a
5. 不等式log（2x＋1）＞log（3－x）的解集为________。
6. 已知函数f（x）＝lg（2x－b）（x≥1）的值域是[0，＋∞），则b的值为________。






1. B 解析：因为a＝log23.6>1，0c＝log43.6>b＝log43.2，所以选B。
2. D 解析：logx＜logy＜0＝log1，
∵0＜＜1，∴x＞y＞1。
3. D 解析：∵u＝x2－6x＋17＝（x－3）2＋8≥8，且0＜＜1，∴f（x）≤log8＝－3。
4. C 解析：∵0＜a＜1，∴f（x）＝logax在[a2，a]上是减函数，∴f（x）max＝f（a2）＝logaa2＝2。
5. 解析：由题意⇒⇒－＜x＜。
6. 1 解析：∵x≥1，∴f（x）≥lg（2－b）。又∵f（x）≥0，lg（2－b）＝0，即b＝1。