高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数精品学案

指数函数与对数函数

函数的零点与方程的解核心知识

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（1）函数零点的定义是什么？函数在某个区间上是否存在零点的判断方法是什么？

（2）方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系是什么？

核心知识点一：函数的零点

（1）定义：把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点。

（2）方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系

注意：函数零点的本质

（1）函数的零点的本质是方程f（x）＝0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数。例如函数f（x）＝x＋1，当f（x）＝x＋1＝0时，仅有一个实数根x＝－1，所以函数f（x）＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f（x）＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点。

（2）函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点。

例题1  函数的零点是__________.

答案：2

解析：令，即，解得x=2，所以该函数的零点是2.

总结提升：求函数零点的基本方法

（1）方程法：令f（x）=0，该方程的解即为函数的零点;

（2）图象法：画出函数y=f（x）的图象，图象与x轴交点的横坐标为函数的零点.

核心知识点二：零点存在性定理

注意：对函数零点存在性的探究

（1）并不是所有的函数都有零点，如函数y＝。

（2）当函数y＝f（x）同时满足：①函数的图象在[a，b]上是连续曲线；②f（a）·f（b）<0。则可判定函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个。

（3）当函数y＝f（x）的图象在[a，b]上是连续的曲线，但是不满足f（a）·f（b）<0时，函数y＝f（x）在区间（a，b）内可能存在零点，也可能不存在零点。

例题2  判断函数在区间上是否存在零点？

答案：该函数的图象如图所示，

由图象可知，该函数在（-1，1）上无零点。

总结提升：

函数零点存在定理条件中的闭区间[a，b]不能改为（a，b），如本题中虽然满足定理中的f（a）f（b）<0，且该函数在（-1，1）上是连续的，但是该函数却在（-1，1）上没有零点。

1. 函数零点与方程的根、函数图象与x轴交点之间的关系实际上为我们求函数零点提供了两种方法：一是方程法；二是图象法。

2. 零点个数的判断：

（答题时间：30分钟）

1. 函数y＝ln x的零点是（　　）

A. （0，0）        B. x＝0       C. x＝1        D. 不存在

2. 下列各图象表示的函数中没有零点的是（　　）

3. 已知函数f（x）在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f（a）·f（b）＜0，则方程f（x）＝0在区间[a，b]上（　　）

A. 至少有一实数根   B. 至多有一实数根

C. 没有实数根   D. 必有唯一的实数根

4. 若函数f（x）的图象在R上连续不断，且满足f（0）<0，f（1）>0，f（2）>0，则下列说法正确的是（　　）

A. f（x）在区间（0，1）上一定有零点，在区间（1，2）上一定没有零点

B. f（x）在区间（0，1）上一定没有零点，在区间（1，2）上一定有零点

C. f（x）在区间（0，1）上一定有零点，在区间（1，2）上可能有零点

D. f（x）在区间（0，1）上可能有零点，在区间（1，2）上一定有零点

5. 对于函数f（x）＝x2＋mx＋n，若f（a）>0，f（b）>0，则函数f（x）在区间（a，b）内（　　）

A. 一定有零点   B. 一定没有零点

C. 可能有两个零点   D. 至少有一个零点

1. C

2. D

3. D  解析：由题意知函数f（x）为连续函数. ∵f（a）·f（b）＜0，∴函数f（x）在区间[a，b]上至少有一个零点. 又∵函数f（x）在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f（x）在区间[a，b]上至多有一个零点. 故函数f（x）在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f（x）＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根. 故选D.

4. C

5. C  解析：若函数f（x）的图象及给定的区间（a，b），如图（1）或图（2）所示，可知A，D错，若如图（3）所示，可知B错.

函数的零点与方程的解综合训练

（1）f（x）＝；

（2）f（x）＝x2＋2x＋4；

答案：（1）令＝0，解得x＝－3，

所以函数f（x）＝的零点是－3。

（2）令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×4＝－12<0，

所以方程x2＋2x＋4＝0无解，

所以函数f（x）＝x2＋2x＋4不存在零点。

总结提升：函数零点的求法

求函数y＝f（x）的零点通常有两种方法：一是令f（x）＝0，根据解方程f（x）＝0的根求得函数的零点；二是画出函数y＝f（x）的图象，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点。

（1）函数f（x）＝的零点个数为（　　）

A. 3　　　　　　　　　　 B. 2

C. 1 D. 0

（2）函数f（x）＝ln x＋x2－3的零点的个数是________。

答案：（1）B；（2）1个

解析：（1）当x≤0时，由f（x）＝x2＋2x－3＝0得x1＝－3，x2＝1（舍去）；

当x＞0时，由f（x）＝－2＋ln x＝0得x＝e2。

所以函数的零点个数为2。

（2）法一：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，

所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数。

在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象（如图）。

由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点。从而ln x＋x2－3＝0有一个根，

即函数f（x）＝ln x＋x2－3有一个零点。

法二：因为f（1）＝－2，f（2）＝ln 2＋1＞0。

所以f（1）·f（2）＜0，

又f（x）＝ln x＋x2－3的图象在（1，2）上是不间断的，

所以f（x）在（1，2）上必有零点，

又f（x）在（0，＋∞）上是递增的，

所以零点只有一个。

总结提升：

判断函数零点个数的三种方法

（1）方程法：若方程f（x）＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数。

（2）图象法：由f（x）＝g（x）－h（x）＝0，得g（x）＝h（x），在同一平面直角坐标系内作出y1＝g（x）和y2＝h（x）的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数。

（3）定理法：函数y＝f（x）的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f（a）·f（b）＜0即可判断函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点。若函数y＝f（x）在区间（a，b）上是单调函数，则函数f（x）在区间（a，b）内只有一个零点。

函数f（x）＝2x－1＋x－5的零点所在的区间为（　　）

A. （0，1）　　　　　　　　 B. （1，2）

C. （2，3） D. （3，4）

答案：C

解析：f（2）＝22－1＋2－5＜0，f（3）＝23－1＋3－5＞0，故f（2）·f（3）＜0，又f（x）在定义域内是增函数，则函数f（x）＝2x－1＋x－5只有一个零点，且零点所在的区间为（2，3）。

总结提升：

已知a是实数，函数f（x）＝2|x－1|＋x－a，若函数y＝f（x）有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是________。

答案：（1，＋∞）

解析：函数f（x）＝2|x－1|＋x－a有且仅有两个零点，即函数y＝2|x－1|＋x与y＝a有且仅有两个交点。

分别作出函数y＝2|x－1|＋x与y＝a的图象，如图所示。

由图易知：当a>1时，两函数的图象有两个不同的交点，故实数a的取值范围是（1，＋∞）。

总结提升：

根据函数零点个数求参数的方法

已知函数有零点（方程有根）求参数取值范围的方法：

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围。

（2）分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决。

（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解。

1. 函数零点的定义

2. （1）判断函数零点个数的方法：求相应方程的实数根；转化为函数的图象交点问题；利用零点存在性定理

（2）根据函数零点个数求参数的方法：直接法、分离参数法、数形结合法

3. 数学思想方法：函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想

（答题时间：30分钟）

1. 已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下的x，f（x）对应值表：

那么函数f（x）在区间[1，6]上的零点至少有（　　）

A. 2个 B.  3个

C. 4个 D.  5个

2. 函数f（x）＝的零点个数为（　　）

A. 0   B. 1

C. 2   D. 3

3. 函数f（x）＝x＋ln x的零点所在的区间为（　　）

A. （－1，0）   B. （0，1）

C. （1，2）   D. （1，e）

4. 关于函数f（x）＝3x＋x2＋2x－1的零点，下列说法中正确的个数是（　　）

①函数f（x）＝0在x<0时有两个零点；

②函数f（x）在（0，＋∞）上有两个零点；

③函数的两个零点一个大于0，另一个小于0；

④函数的一个零点为0，另一个零点小于0。

A. 1   B. 2

C. 3   D. 4

5. 函数f（x）＝x2－2x＋a在区间（－2，0）和（2，3）内各有一个零点，则实数a的取值范围是（　　）

A. －3<a<0   B. a>－3

C. a<0   D. 0<a<3

6. 函数f（x）＝的零点是________。

7. 已知函数f（x）＝x2－x－2a。

（1）若a＝1，求函数f（x）的零点；

（2）若f（x）有零点，求实数a的取值范围。

1. B  解析：由表可知f（2）·f（3）<0，f（3）·f（4）<0，

f（4）·f（5）<0。

∴f（x）在[1，6]上至少有3个零点。故选B。

2. B  解析：当时，令＝0，无解；当0<x>3时，令＝0，解得x=1，所以原函数有1个零点，故选B。

3. B  解析：法一：因为x>0，所以A错。又因为f（x）＝x＋ln x在（0，＋∞）上为增函数，f（1）＝1>0，所以f（x）＝x＋ln x在（1，2），（1，e）上均有f（x）>0，故C、D错。

法二：取x＝∈（0，1），因为f＝－1<0，f（1）＝1>0，所以f（x）＝x＋ln x的零点所在的区间为（0，1）。

4. A  解析：

令y1＝3x，y2＝－x2－2x＋1＝－（x＋1）2＋2。函数f（x）的零点就是两个函数的交点，在同一直角坐标系内作出两个函数的图象如图，因此可知函数的两个零点一个是0，另一个小于0，故只有④对。

5. A  解析：已知函数f（x）＝x2－2x＋a在区间（－2，0）和（2，3）内各有一个零点，由二次函数的性质，知，即，解得－3<a<0。

6. 1  解析：令f（x）＝0，即＝0，即x－1＝0或ln x＝0，∴x＝1，故函数f（x）的零点为1。

7. 解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2－x－2。

令f（x）＝x2－x－2＝0得x＝－1或x＝2。

即函数f（x）的零点为－1与2。

（2）要使f（x）有零点，则Δ＝1＋8a≥0，

解得a≥－。