人教A版人教A版(2019)数学必修第一册函数模型的应用（不同函数增长的差异）学案

函数模型的应用

     ——不同函数模型增长的差异

问题导航：

（1）函数y＝ax（a>1），y＝logax（a>1）和y＝xn（n>0）在（0，＋∞）上的单调性是怎样的？图象的变化规律是什么？

（2）函数y＝ax（a>1），y＝logax（a>1）和y＝xn（n>0）的增长速度有什么不同？

1. 三种函数模型的性质

2. 三种函数增长速度的比较

（1）在区间（0，＋∞）上，函数y＝ax（a>1），y＝logax（a>1）和y＝xn（n>0）都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上。

（2）随着x的增大，y＝ax（a>1）的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn（n>0）的增长速度，而y＝logax（a>1）的增长速度越来越慢。

（3）存在一个x0，当x>x0时，有ax>xn>logax

注意：

四类不同增长的函数模型

（1）增长速度不变的函数模型是一次函数模型。

（2）增长速度最快即呈现爆炸式增长的函数模型是指数型函数模型。

（3）增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型。

（4）增长速度平稳的函数模型是幂函数模型。

函数f（x）＝1.1x，g（x）＝ln x＋1，h（x）＝x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异（以1，e，a，b，c，d为分界点）。

答案：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是

f（x）＝1.1x，曲线C2对应的函数是h（x）＝x，曲线C3对应的函数是g（x）＝ln x＋1。

由题图知，当0<x<1时，f（x）>h（x）>g（x）；

当1<x<e时，f（x）>g（x）>h（x）；

当e<x<a时，g（x）>f（x）>h（x）；

当a<x<b时，g（x）>h（x）>f（x）；

当b<x<c时，h（x）>g（x）>f（x）；

当c<x<d时，h（x）>f（x）>g（x）；

当x>d时，f（x）>h（x）>g（x）。

总结提升：

指数函数、对数函数和幂函数增长差异的判断方法

（1）根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断。

（2）根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数。

某汽车制造商在2019年初公告：公司计划2019年生产目标定为43万辆。已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：

如果我们分别将2016、2017、2018、2019定义为第一、二、三、四年。现在你有两个函数模型：二次函数模型f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），指数函数模型g（x）＝a·bx＋c（a≠0，b＞0，b≠1），哪个模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系？

答案：（1）构造二次函数模型f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），将点坐标代入，

可得

解得a＝1，b＝7，c＝0，

则f（x）＝x2＋7x，

故f（4）＝44，

与计划误差为1。

（2）构造指数函数模型g（x）＝a·bx＋c（a≠0，b＞0，b≠1），

将点坐标代入，

可得

解得a＝，b＝，c＝－42，

则g（x）＝×－42，

故g（4）＝×－42＝44.4，

与计划误差为1.4。

由（1）（2）可得，

f（x）＝x2＋7x模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系。

解析：建立生产量y与年份x的函数，可知函数必过点（1，8），（2，18），（3，30）。

总结提升：

不同函数模型的选取标准

不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律：

（1）线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；

（2）指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；

（3）对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；

（4）幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律。

大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数。

（1）当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？

（2）某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍。

答案：（1）由v＝log3可知，

当θ＝900时，

v＝log3＝log39＝1（m/s）。

所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s。

（2）由v2－v1＝1，

即log3－log3＝1，

得＝9。所以耗氧量的单位数为原来的9倍。

易错点拨：

解决指数、对数型函数模型的方法

（1）有关对数函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据值回答其实际意义。

（2）在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示。通常可以表示为y＝N（1＋p）x（其中N为基础数，p为增长率，x为时间）的形式。

1. 解函数模型确定的应用题的基本步骤

（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型。

（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型。

（3）求模：求解数学模型，得出数学模型。

（4）还原：将数学结论还原为实际问题的意义。

2. 拟合函数模型的应用题的解题步骤

（1）作图：即根据已知数据，画出散点图。

（2）选择函数模型：一般是根据散点图的特征，联想哪些函数具有类似的图象特征，找几个比较接近的函数模型尝试。

（3）求出函数模型：求出（2）中找到的几个函数模型的解析式。

（4）检验：将（3）中求出的几个函数模型进行比较、验证、得出最适合的函数模型。

（答题时间：30分钟）

1. 某水果批发市场规定，批发苹果不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3 000元到市场采购苹果，并以每千克2.5元买进，如果购买的苹果为x千克，小王付款后的剩余现金为y元，则y与x之间的函数解析式为（　　）

A. y＝3 000－2.5x（100≤x≤1 200）

B. y＝3 000－2.5x（100<x<1 200）

C. y＝3 000－2.5x（0＜x＜1 200）

D. y＝3 000－2.5x（0≤x≤1 200）

2. 某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（　　）

A. 310元　　　　　　　 B. 300元

C. 290元 D. 280元

3. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1（℃），空气的温度是T0（℃），经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式T＝T0＋（T1－T0）e－0.25t求得。把温度是90℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于（参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693）（　　）

A. 1.78 B. 2.77

C. 2.89 D. 4.40

4. 某种动物的数量y（单位：只）与时间x（单位：年）的函数关系式为y＝alog2（x＋1），若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为（　　）

A. 300只 B. 400只

C. 500只 D. 600只

5. 某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元（不满三分钟按三分钟计算），以后每加一分钟增收0.10元（不满一分钟按一分钟计算），那么某人打市话550秒，应支付电话费（　　）

A. 1.00元 B. 0.90元

C. 1.20元 D. 0.80元

6. 生产某机器的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为______台。

7. 甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km。如图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min，那么y＝f（x）的解析式为________。

8. 某电脑公司2016年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%。该公司预计2018年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2016年到2018年每年经营总收入的年增长率相同，则2017年预计经营总收入为________万元。

1. A  解析：因为3 000÷2.5＝1 200，

所以100≤x≤1 200。

2. B  解析：设函数解析式为y＝kx＋b（k≠0），

函数图象过点（1，800），（2，1 300），

则

解得

所以y＝500x＋300，

当x＝0时，y＝300。

所以营销人员没有销售量时的收入是300元。

3. B  解析：由题意可知50＝10＋（90－10）·e－0.25t，整理得e－0.25t＝，即－0.25t＝ln ＝－ln 2＝－0.693，解得t≈2.77。

4. A  解析：由题意，知100＝alog2（1＋1），得a＝100，则当x＝7时，y＝100log2（7＋1）＝100×3＝300。

5. B  解析：设x为通话时间，y为通话费用，则y＝0.2＋0.1×（[x]－3）（[x]是大于x的最小整数，x＞0），令x＝，故[x]＝10，则y＝0.90。故选B。

6. 50  解析：设安排生产x台，则获得利润f（x）＝25x－y＝－x2＋100x＝－（x－50）2＋2 500。

故当x＝50台时，获利润最大。

7. y＝f（x）＝解析：由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得

y＝f（x）＝

8. 1300  解析：设从2016年到2018年每年经营总收入的年增长率为x。

由题意，得2016年经营总收入为＝1 000万元，

则有1 000（1＋x）2＝1 690。

解得x＝0.3，

故2017年预计经营总收入为1 000（1＋0.3）＝1 300（万元）。