人教A版人教A版(2019)数学必修第一册函数yAsin（ωx+φ）学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册全册综合优质学案设计，共9页。
函数y＝Asin（ωx＋φ） 重点1. 理解y＝Asin（ωx＋φ）中ω、φ、A对图象的影响；2. 掌握y＝sinx与y＝Asin（ωx＋φ）图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤；3. 能根据y＝Asin（ωx＋φ）的部分图象，确定其解析式；4. 会用“五点法”画函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象。难点对图象变换与函数解析式的内在联系的认识考试要求考试         题型   选择题、填空题、解答题         难度   中等  核心知识点一：函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图象的两种途径 核心知识点二：用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，x∈R）一个周期内的简图 xωx＋φ0π2πy＝Asin（ωx＋φ）0A0－A0 典例一：三角函数的图象变换例题1　把函数y＝f（x）的图象上的各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin，求f（x）的解析式。解：y＝2siny＝3siny＝3siny＝3sin＝3sin＝3cosx。所以f（x）＝3cosx。 总结提升：（1）已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法。（2）已知函数f（x）图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式。要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可。 典例二：由图象求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式例题2　如图是函数的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式。解：方法一（最值点法）由图象知振幅A＝3，又T＝－（－）＝π，∴ω＝＝2。又，∴图象上的最高点为，，即，可取即得φ＝，∴y＝3sin。方法二　（五点对应法）由图象知A＝3，又图象过点和，根据五点作图法原理（以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点），有解得∴y＝3sin。方法三　（图象变换法）由T＝π，点，A＝3可知，图象是由y＝3sin2x向左平移个单位长度而得到的，∴y＝3sin，即y＝3sin。 总结提升：若设所求解析式为y＝Asin（ωx＋φ），则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ。（1）由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|。（2）由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝，确定ω。（3）确定函数y＝Asin（ωx＋φ）的初相φ的值的两种方法①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时A，ω已知）或代入图象与x轴的交点求解。（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口。“五点”的ωx＋φ的值具体如下：“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为ωx＋φ＝0；“第二点”（即图象的“峰点”）为ωx＋φ＝；“第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为ωx＋φ＝π；“第四点”（即图象的“谷点”）为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π。 典例三：函数y＝Asin（ωx＋φ）性质的综合应用例题3　已知函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<）的图象过点P（，0），图象上与P点最近的一个最高点的坐标为（，5）。（1）求函数解析式；（2）指出函数的增区间；（3）求使y≤0的x的取值范围。解：（1）∵图象最高点的坐标为（，5），∴A＝5。∵＝－＝，∴T＝π，∴ω＝＝2，∴y＝5sin（2x＋φ）。代入点（，5），得sin（＋φ）＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z。令k＝0，则φ＝－，∴y＝5sin（2x－）。（2）∵函数的增区间满足2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），∴2kπ－≤2x≤2kπ＋（k∈Z），∴kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）。∴函数的增区间为[kπ－，kπ＋]（k∈Z）。（3）∵5sin（2x－）≤0，∴2kπ－π≤2x－≤2kπ（k∈Z），∴kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z）。故所求x的取值范围是[kπ－，kπ＋]（k∈Z）。 总结提升：有关函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想。 1. 由y＝sinx的图象，通过变换可得到函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图象，其变化途径有两条：（1）y＝sinxy＝sin（x＋φ）y＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）。（2）y＝sinxy＝sinωxy＝sin[ω（x＋）]＝sin（ωx＋φ）y＝Asin（ωx＋φ）。注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：（1）是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位。（2）是先周期变换后相位变换，平移个单位，这是很易出错的地方，应特别注意。2. 类似地，y＝Acos（ωx＋φ） （A>0，ω>0）的图象也可由y＝cosx的图象变换得到。 （答题时间：30分钟）1. 将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（　　）A. y＝2sin B. y＝2sinC. y＝2sin D. y＝2sin2. 已知函数f（x）＝sin（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）＝cosωx的图象，只需将y＝f（x）的图象上所有的点（　　）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度3. 为得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝sinx的图象（　　）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度4. 把函数y＝sin的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数是（　　）A. 非奇非偶函数B. 既是奇函数又是偶函数C. 奇函数D. 偶函数5. 已知简谐运动f（x）＝2sin（|φ|<）的图象经过点（0，1），则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为（　　）A.T＝6，φ＝ B.T＝6，φ＝C.T＝6π，φ＝ D.T＝6π，φ＝6. 若函数f（x）＝3sin（ωx＋φ）对任意x都有f（＋x）＝f（－x），则有f（）等于（　　）A. 3或0 B. －3或0C. 0 D. －3或37. 如图所示，函数的解析式为（　　）A. y＝sin B. y＝sinC. y＝cos D. y＝cos8. 把函数f（x）＝2cos（ωx＋φ）（ω>0，0<φ<π）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位，得到一个最小正周期为2π的奇函数g（x），则ω和φ的值分别为（　　）A. 1， B. 2，C. ， D. ，9. 设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<）的部分图象如图所示，若x1，x2∈（－，），且f（x1）＝f（x2），则f（x1＋x2）等于（　　）A. 1    B.    C.       D.
1. 答案：D解析：函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位，所得函数为y＝2sin＝2sin，故选D。2. 答案：A解析：由T＝π＝，得ω＝2，g（x）＝cos2x＝sin，f（x）＝sin的图象向左平移单位，得到y＝sin＝sin＝g（x）的图象。3. 答案：C解析：y＝cos（x＋）＝sin[（x＋）＋]＝sin（x＋），所以只需将函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度。4. 答案：D解析：y＝sin的图象向右平移个单位得到y＝sin＝sin＝－cos2x的图象，y＝－cos2x是偶函数。5. 答案：A解析：T＝＝＝6，将点（0，1）代入得sinφ＝。∵－<φ<，∴φ＝。6. 答案：D解析：由f（＋x）＝f（－x）知，x＝是函数的对称轴，解得f（）＝3或－3，故选D。7. 答案：D解析：由图知T＝4×＝π，∴ω＝＝2。又当x＝时，y＝1，经验证，可得D项解析式符合题目要求。8. 答案：B解析：依题意得f（x）第一次变换得到的函数解析式为m（x）＝2cos（x＋φ），则函数g（x）＝2cos（＋＋φ）。因为函数的最小正周期为2π，所以ω＝2，则g（x）＝2cos（x＋＋φ）。又因为函数为奇函数，0<φ<π，所以φ＋＝kπ＋，则φ＝。9. 答案：D解析：由图象可得A＝1，＝＝－（－）＝，解得ω＝2，∴f（x）＝sin（2x＋φ）。点（－，0）相当于y＝sinx中的（0，0），令2×（－）＋φ＝0，解得φ＝，满足|φ|<，符合题意，∴f（x）＝sin（2x＋）。∵sin（2×＋）＝1，∴图中点B的坐标为（，1）。又x1，x2∈（－，），且f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），∴x1＋x2＝×2＝，∴f（x1＋x2）＝sin（2×＋）＝，故选D。