人教A版人教A版(2019)数学必修第一册专题：集合与基本不等式综合提高学案

专题：集合与基本不等式综合提高

集合中的分类思想

例题1  已知集合且，则a=________。

答案：或

①当时，与元素的互异性矛盾，应舍去。

②当时，满足条件。

总结提升：

在解决有关集合元素问题时，要注意养成检验的习惯，看所求集合是否满足集合元素的互异性。

例题2　已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围。

答案：由A＝{x|x2－3x－10≤0}，

得A＝{x|－2≤x≤5}，∵B⊆A，∴

①若B＝，则m＋1＞2m－1，

即m＜2，此时满足B⊆A。

②若B≠，则。解得2≤m≤3。

由①②得，m的取值范围是（－∞，3]。

易错警示：

集合间的包含、相等关系，关键是搞清A、B两集合谁是谁的子集，B⊆A说明B是A的子集，即集合B中元素都在集合A中，注意B是空集的情况。同样A⊆B，说明A是B的子集，此时注意B是不是空集，A＝B，说明两集合元素完全相同。

例题3  设集合，

（1）若A∩B＝{2}，求实数a的值；

（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围。

答案：由得或，故集合。

（1）∵A∩B＝{2}，

∴2∈B，代入B中的方程，得即。

当时，，满足条件；

当时，，满足条件；

综上，的值为。

（2）对于集合B，

。

∵A∪B＝A，∴B⊆A，

①当Δ<0，即a<－3时，B＝满足条件；

②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}，满足条件；

③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1，2}才能满足条件，

则由根与系数的关系得⇒，矛盾；

综上，a的取值范围是a≤－3。

总结提升：　

（1）对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，而后根据已知条件求参数。

（2）在解答过程中易出现求得a值后不验证是否适合题意或在B⊆A中漏掉B＝∅的情况，导致此种错误的原因是：没有熟练掌握集合的概念或集合与空集之间的关系；

（3）解决含参数问题的集合运算，首先要理清题目要求，看清集合间存在的相互关系，注意分类整合、数形结合思想的应用以及空集作为一个特殊集合与非空集合间的关系，在解题中漏掉它极易导致错解。

1. 做集合的运算题时要注意：①勿忘对空集的讨论；②勿忘集合中元素的互异性；③对于集合A的补集运算，勿忘A必须是全集的子集；④对于含参数（或待定系数）的集合问题，勿忘对所求数值进行合理取舍。

2. 在集合运算过程中应力求做到“三化”：

（1）意义化：即首先分清集合的类型，是表示数集、点集还是图形，是表示函数的定义域、值域还是方程或不等式的解集。

（2）直观化：借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来。

（3）具体化：具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等；不能具体求出的，也应力求将相关集合转化为最简单形式。

3. 数学思想方法：分类讨论思想、数形结合思想

（答题时间：30分钟）

1. 已知集合M＝{1，a2}，P＝{－1，－a}，若M∪P有三个元素，则M∩P＝（　　）

A. {0，1}   B. {0，－1}

C. {0}   D. {－1}

2. 若P＝{x|x<1}，Q＝{x|x>－1}，则（　　）

A. P⊆Q   B. Q⊆P

C. ∁RP⊆Q   D. Q⊆∁RP

3. 设常数a∈R，集合A＝{x|（x－1）（x－a）≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为（　　）

A. （－∞，2）   B. （－∞，2]

C. （2，＋∞）   D. [2，＋∞）

4. 已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（　　）

A. 5   B. 4

C. 3   D. 2

5. 满足条件{0，1}∪A＝{0，1}的所有集合A的个数是（　　）

A. 1   B. 2

C. 3   D. 4

6. 若集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数a＝________。

7. 已知集合A＝{a，b，2}，B＝{2，b2，2a}，且A∩B＝A∪B，则a＝________。

1. 答案：C

解析：由题意知a2＝－a，解得a＝0或a＝－1。

①当a＝0时，M＝{1，0}，P＝{－1，0}，M∪P＝{－1，0，1}，满足条件，此时M∩P＝{0}；

②当a＝－1时，a2＝1，与集合M中元素的互异性矛盾，舍去，故选C。

2. 答案：C

解析：由题意，得∁RP＝{x|x≥1}，画数轴可知，选项A，B，D错，故选C。

3. 答案：B

解析：当a>1时，A＝（－∞，1]∪[a，＋∞），B＝[a－1，＋∞），当且仅当a－1≤1时，A∪B＝R，故1<a≤2；当a＝1时，A＝R，B＝{x|x≥0}，A∪B＝R，满足题意；当a<1时，A＝（－∞，a]∪[1，＋∞），B＝[a－1，＋∞），又∵a－1<a，∴A∪B＝R，故a<1满足题意，综上知a∈（－∞，2]。

4. 答案：D

解析：由已知得A＝{2，5，8，11，14，17，…}，又B＝{6，8，10，12，14}，所以A∩B＝{8，14}。故选D。

5. 答案：D

解析：∵{0，1}∪A＝{0，1}，∴A⊆{0，1}，故满足条件的集合A的个数为22。

6. 答案：0或

解析：因为集合A的子集只有两个，所以A中只有一个元素。当a＝0时，x＝符合要求。当a≠0时，Δ＝（－3）2－4a×2＝0，所以a＝。故a＝0或。

7. 答案：0或

解析：因为A∩B＝A∪B，所以A＝B，

则应有或

解得或或

又时，不满足元素的互异性，故舍去，

所以a的值为0或。

基本不等式求最值

例题1　已知a>0，b>0，a＋b＝1，求的最小值。

答案：∵a>0，b>0，a＋b＝1，

∴1＋＝1＋＝2＋。同理，1＋＝2＋。

∴＝≥5＋4＝9，当且仅当＝，即a＝b时取“＝”。

∴≥9，当且仅当a＝b＝时等号成立。

例题2  已知，且，求的最小值。

【错解】，且，，故。

【错因】解法中两次连用基本不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是，即，取等号的条件不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

答案：，，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，。

总结提升：

（1）多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，也就是几个等号能不能同时取到，若不是取的同一个值，就出现了错误。

（2）尽量通过对式子适当变形，使用一次基本不等式。减少错误的几率。

例题3  已知，求的最小值。

答案：因为，则。

所以且仅当，即时等号成立。

总结提升：

（1）不能直接应用基本不等式时，需要将原式适当的凑项，拼凑成积为定值的形式。

（2）使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定。从而可利用基本不等式求最值。

例题4  求的最小值。

答案：，当，即时，（当且仅当时取“＝”号）。

总结提升：

本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有的项，再将其分离，凑系数后可得到积为定值，再利用基本不等式求解最值。

1. 利用基本不等式求最值的方法

（1）“1”的变形

（2）凑项变换法

（3）分离常数法

2. 利用基本不等式求最值应注意的问题

（1）基本不等式涉及的量为正实数，同时验证等号能否取到；

（2）分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，适合用基本不等式求最值；

（3）取倒数以应用基本不等式是分式函数求最值的一种常见方法。

3. 数学思想方法：转化与化归思想

（答题时间：30分钟）

一、选择题

1. 下列不等式一定成立的是（　　）

A. lg（x2＋）＞lg x（x＞0）         B. sin x＋≥2（x≠kπ，k∈Z）

C. x2＋1≥2|x|（x∈R）               D. ＞1（x∈R）

2. 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则（　　）

A. a<v<　　　　　　　　　  B. v＝

C. <v<                   D. v＝

3. 若a>0，b>0，且ln（a＋b）＝0，则＋的最小值是（　　）

A.                               B. 1       

C. 4                                D. 8

4. 函数y＝（x>1）的最小值是（　　）

A. 2＋2                        B. 2－2

C. 2                            D. 2

5. 若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是（　　）

A. 　　　　  B.      C. 5              D. 6

6. 已知x<，求f（x）＝4x－2＋的最大值。

7. 已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：（1）xy的最小值；

（2）x＋y的最小值。

1. 答案：C

解析：取x＝，则lg＝lg x，故排除A；取x＝π，则sin x＝－1，故排除B；取x＝0，则＝1，故排除D。

2. 答案：A

解析：设甲、乙两地的距离为S，则从甲地到乙地所需时间为，从乙地到甲地所需时间为，又因为a<b，所以全程的平均速度为v＝＝<＝，

>＝a，即a<v<。

3. 答案：C

解析：由a>0，b>0，ln（a＋b）＝0得

故＋＝＝≥

当且仅当a＝b＝时上式取“＝”。

4. 答案：A

解析：∵x>1，∴x－1>0，

当且仅当x－1＝，即x＝1＋时，取等号。

5. 答案：C　

解析：（1）由x＋3y＝5xy，

得＋＝5（x>0，y>0），

则3x＋4y＝（3x＋4y）

＝

＝（13＋12）＝5。

当且仅当＝，

即x＝2y时，“＝”成立，此时由解得

6. 答案：1

解析：因为x<，所以5－4x>0，则f（x）＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1。当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立。

7. 解：（1）∵x>0，y>0，

∴xy＝2x＋8y≥2，

即xy≥8，∴≥8，即xy≥64。

当且仅当2x＝8y，

即x＝16，y＝4时，“＝”成立。

∴xy的最小值为64。

（2）∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，

∴2x＋8y＝xy，即＋＝1。

∴x＋y＝（x＋y）·＝10＋＋≥10＋2 ＝18，

当且仅当＝，即x＝2y＝12时“＝”成立。

∴x＋y的最小值为18。