人教A版人教A版(2019)数学必修第一册专题：三角恒等变换的综合应用、三角函数最值的求法学案

专题：三角恒等变换的综合应用、三角函数最值的求法

三角恒等变换的综合应用

核心知识点一：三角函数式的化简

1. 常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

2. 化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

核心知识点二：三角函数的求值类型有三类

（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；

（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；

（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

核心知识点三：三角等式的证明

（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；

（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

例题1  已知函数f（x）＝，x∈R。

（1）求的值；

（2）设α，β∈，f＝，f（3β＋2π）＝，求cos（α＋β）的值。

解：（1）∵f（x）＝，

∴＝2sin＝2sin＝。

（2）∵α，β∈，f ＝，f（3β＋2π）＝，

∴2sin α＝，2sin＝。

即sin α＝，cos β＝。

∴cos α＝，sin β＝。

∴cos（α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β

＝×－×＝。

总结提升：

角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的。

例题2　已知函数f（x）＝2cos2－sin x。

（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；

（2）若α为第二象限角，且f＝，求的值。

解：（1）∵f（x）＝2cos2－sin x＝1＋cos x－sin x＝1＋2cos，

∴周期T＝2π，f（x）的值域为[－1，3]。

（2）∵f＝，∴1＋2cos α＝，即cos α＝－。

∵α为第二象限角，∴sin α＝。

∴＝

＝＝＝。

总结提升：

运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan（α＋β）·（1－tan αtan β）和二倍角的余弦公式的多种变形等。

例题3  （1）＝（　　）

A. －　　　　　　　　  B. －

C.          D.

（2）已知α、β为锐角，sin α＝，cos＝－，则2α＋β＝________。

答案：（1）C　（2）π

解析：（1）原式＝

＝

＝＝sin 30°＝。

（2）∵sin α＝，α∈，

∴cos α＝，

∵cos（α＋β）＝－，α＋β∈（0，π），

∴sin（α＋β）＝，

∴sin（2α＋β）＝sin[α＋（α＋β）]＝sin αcos（α＋β）＋cos αsin（α＋β）＝×＋×＝0。

又2α＋β∈。

∴2α＋β＝π。

总结提升：三角函数求值有三类

（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解。

（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系。

（3）“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角。

三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y＝Asin（ωx＋φ）的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题。

（答题时间：30分钟）

1. 已知sin α＝，则cos（π＋2α）＝（　　）

A.        B. －

C.       D. －

2. cos 15°－4sin215°·cos 15°＝（　　）

A.         B.

C. 1       D.

3. 已知sin＝，则sin 2θ＝（　　）

A. －　　　　　　　　  B. －

C.       D.

4. 已知 α，β都是锐角，且sin αcos β ＝cos α（1＋sin β），则（　　）

A. 3α－β＝     B. 2α－β＝

C. 3α＋β＝     D. 2α＋β＝

5. 已知tan（α＋β）＝4，tan（α－β）＝2，则tan 2α的值为________。

6. 函数f（x）＝sin－2sin2x的最小正周期是__________。

1. 答案：D

解析：法一：因为sin α＝，所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－＝，所以cos（π＋2α）＝－cos 2α＝－，故选D。

法二：因为sin α＝，所以cos2α＝1－sin2α＝，所以cos（π＋2α）＝－cos 2α＝1－2cos2α＝－，故选D。

2. 答案：D

解析：cos 15°－4sin215°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝cos 15°－sin 15°＝2cos（15°＋30°）＝2cos 45°＝。故选D。

3. 答案：A

解析：因为sin＝，所以（sinθ＋cosθ）＝，两边平方得（1＋sin2θ）＝，解得sin 2θ＝－。

4. 答案：B

解析：因为sin αcos β＝cos α（1＋sin β），

所以sin（α－β）＝cos α＝sin，

所以α－β＝－α，即2α－β＝。

5. 答案：－

解析：tan 2α＝tan[（α＋β）＋（α－β）]＝＝－。

6. 答案：π

解析：∵f（x）＝sin 2x－cos 2x－（1－cos 2x）＝sin 2x＋cos 2x－＝sin－，∴f（x）的最小正周期T＝＝π。

三角函数最值的求法

例题1  求函数（）的最值。

解法1：，

∴函数的最大值为，最小值为。

解法2：   ∴函数的最大值为，最小值为。

解法3：（运用和差化积公式 ）

  ∴函数的最大值为，最小值为。

总结提升：

型

此类型通常可以可化为求其最值（或值域）。

例题2  求函数的最大值并指出当x为何值时，取得最大值。

解法1：，当sin2x = 1，且，即，解得，

解法2：设t=sinx+cosx，则 ∴

∴

∴

∵当时，函数y是减函数 ∴

∵当时，函数y是增函数 ∴

∴即

当时，，即，

解得，∴时，。

总结提升：

含有的最值问题。解此类型最值问题通常令，，，再进一步转化为二次函数在区间上的最值问题。

例题3  若的最小值。

解：由得：xsinx>0，根据均值不等式：

当，即时，

总结提升：

形如型函数最值问题。构造条件并利用均值不等式求解。

例题4  已知，求的取值范围。

解：∵，∴

∵

∴。

∵， 

∵。

∴sinα=0时，； 时，。

∴。

总结提升：

用函数的思想分析问题，这是已知关于sinα，sinβ的二元条件等式求二元二次函数的值域问题，应消元，把二元变一元，注意自变量的范围。

有关三角函数的值域（最值）的问题是各级各类考试考察的热点之一，这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想，采取的数学方法包括易元变换、问题转换、等价化归等常用方法。掌握这类问题的解法，不仅能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。

（答题时间：30分钟）

1. 函数在区间上的最大值是（    ）

A. 1    B.        C.          D. 1+

2. 已知函数f（x）＝sin2x，g（x）＝cos（2x+），直线x＝t（t∈R）与函数f（x）、g（x）的图象分别交于M、N两点

（1）当t＝时，求|MN|的值；

（2）求|MN|在t∈[0，]时的最大值。

3. 设函数（其中），且f（x）的图象在y轴的第一个最高点的横坐标是。

（1）求的值；

（2）如果f（x）在区间上的最小值为，求a的值。

1. 答案：C

解析：由，

。

2. 解：（1）。

（2），

，

∴|MN|的最大值为。

3. 解：（1）

依题意得。

（2）由（1）知，。又当时，

，故，从而在区间上的最小值为

，故。