（新高考）2021届高考二轮复习专题七 数列 教师版

这是一份（新高考）2021届高考二轮复习专题七 数列 教师版，共19页。试卷主要包含了相关公式，判断等差数列的方法，判断等比数列的常用方法等内容，欢迎下载使用。
     本部分高考的热点主要为等差、等比数列的基本量和性质的考查和数列求和及数列的综合问题．基本量和性质的考查常以小题的形式出现，数列求和及数列综合问题常以解答题的形式出现是高考的重点．  1．相关公式等差数列的通项公式：等差中项：，若，则等差数列的求和公式：，等比数列的通项公式：等比中项：，若，则等比数列的求和公式：前项和与第项的关系：2．判断等差数列的方法（1）定义法（常数）是等差数列；（2）通项公式法（为常数，）是等差数列；（3）中项公式法是等差数列；（4）前项和公式法（为常数，）是等差数列．3．判断等比数列的常用方法（1）定义法（是不为0的常数，）是等比数列；（2）通项公式法（均是不为0的常数，）是等比数列；（3）中项公式法是等比数列．  
      一、选择题．1．设是数列的前项和，若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】在数列中，，，则，，，以此类推可知，对任意的，，即数列是以为周期的周期数列，，因此，，故选B．【点评】根据递推公式证明数列是周期数列的步骤：（1）先根据已知条件写出数列的前几项，直至出现数列中的循环项，判断循环的项包含的项数；（2）证明，则可说明数列是周期为的周期数列．2．已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列中，，，依次成等比数列，则的值是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】设公差不为零的等差数列的公差为d，则有，因为，，依次成等比数列，，所以有，即，整理得，因为，所以，，因此，故选A．【点评】本题主要考了等查数列的通项公式，可以利用基本量法进行求解，属于基础题．3．等比数列中，，，则的前8项和为（    ）A．90 B． C． D．72【答案】A【解析】是等比数列，也成等比数列，，，，前8项和为，故选A．【点评】本题主要考了等比数列的性质以及等比数列的通项公式，属于基础题．4．若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知，若数列为“梦想数列”，则，可得，所以，“梦想数列”是公比为的等比数列，若正项数列为“梦想数列”，则，所以，，即正项数列是公比为的等比数列，因为，因此，，故选D．【点评】本题考查数列的新定义“梦想数列”，解题的关键就是紧扣新定义，本题中，“梦想数列”就是公比为的等比数列，解题要将这种定义应用到数列中，推导出数列为等比数列，然后利用等比数列基本量法求解．5．等差数列中，已知，，求（    ）A．11 B．22 C．33 D．44【答案】B【解析】∵等差数列中，，∴，，∴，，∴，故选B．【点评】本题的考点为等差中项，及等差数列的通项公式，属于基础题．6．两个等差数列的前项和之比为，则它们的第7项之比为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设两个等差数列分别为，，它们的前项和分别为，，则，，故选B．【点评】本题考查等差数列的性质，若等差数列含有奇数项，则其前项和等于项数乘以中间项，是基础题．7．在等差数列中，，其前n项和为，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设等差数列的前项和为，则，所以是等差数列．因为，所以的公差为，又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，故选C．【点评】本题主要考查等差数列前项和公式的理解和运用，考查等差数列基本量的计算，属于基础题．8．等差数列的前项和为，其中，，则当取得最大值时的值为（    ）A．4或5 B．3或4 C．4 D．3【答案】C【解析】设公差为，由题意知，解得，由等差数列前项和公式，知，对称轴为，所以当时，最大，故选C．【点评】本题主要考查等差数列的基本量的计算及前项和的最值问题，属于基础题．9．已知数列的前n项和，则“”是“数列是等比数列”的（    ）A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，，，不是等比数列；若数列是等比数列，当时，，所以，与数列是等比数列矛盾，所以，，所以，，所以，因此“”是“数列是等比数列”的必要不充分条件，故选B．【点评】（1）本题主要考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力．（2）判断充要条件，首先必须分清谁是条件，谁是结论，然后利用定义法、转换法和集合法来判断． 二、填空题．10．等差数列中，，，则_______．【答案】135【解析】由已知得，所以，所以公差，所以，故答案为135．【点评】此题考查等差数列的性质的应用，属于基础题．11．设数列中，若等比数列满足，且，则______．【答案】2【解析】根据题意，数列满足，即，则有，而数列为等比数列，则，则，又由，则，故答案为2．【点评】本题考查了等比数列的性质以及应用，考查了累乘法求数列通项的应用及运算求解能力，属于中档题． 三、解答题．12．设等差数列的前n项和为，首项，且．数列的前n项和为，且满足．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）设数列的公差为d，且，又，则，所以，则；由可得，两式相减得，，又，所以，故是首项为1，公比为3的等比数列，所以．（2）设，记的前n项和为．则，，两式相减得：，，所以．【点评】数列求和的方法：（1）等差等比公式法；（2）裂项相消法；（3）错位相减法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法．13．已知数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设等差数列的前项和为，且，令，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，，；当时，由，①得，②①②，得，，也符合，因此，数列的通项公式为．（2）由题意，设等差数列的公差为，则，，解得，，由（1）知，，故．【点评】数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于型数列，利用分组求和法；（4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和． 一、解答题．1．已知数列满足：．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为数列满足：，所以，当时，，当时，，相减可得，所以，综上可得，．（2）因为，所以．【点评】该题考查的是有关数列的问题，解题方法如下：（1）利用数列项与和的关系，求得通项，注意需要对首项验证；（2）将化简，利用裂项相消法求和即可． 一、选择题．1．公差不为0的等差数列中，，数列是等比数列，且，则（    ）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】D【解析】等差数列中，，故原式等价于，解得或，各项不为0的等差数列，故得到，数列是等比数列，故=16，故选D．【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的性质．2．设等差数列的前项和为，若成等差数列，且，则的值为（    ）A．28 B．36 C．42 D．46【答案】B【解析】成等差数列，，设的公差为，则，解得，，，，，，故选B．【点评】本题主要考查等差数列的性质以及前项和公式，考查学生的运算求解能力，求解本题的关键是熟练掌握等差数列的有关公式，并灵活运用，属于基础题．3．设等差数列的前n项和为，且，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意，，又，∴，故选D．【点评】本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差中项的性质，考查计算能力，属于基础题．4．若等差数列的公差为d，前n项和为，记，则（    ）A．数列是等差数列，的公差也为dB．数列是等差数列，的公差为2dC．数列是等差数列，的公差为dD．数列是等差数列，的公差为【答案】D【解析】由题可得，，则是关于n的一次函数，则数列是公差为的等差数列，故A，B错误；由是关于n的一次函数，得数列是公差为的等差数列，故C错误；又是关于n的一次函数，则数列是公差为的等差数列，故D正确，故选D．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查等差数列是关于的一次函数，公差为，熟练掌握等差数列通项公式的函数性质是解题的关键，属于基础题．5．等比数列的首项，前n项和为，若，则数列的前10项和为（    ）A．65 B．75 C．90 D．110【答案】A【解析】∵的首项，前项和为，，，解得，故数列的前项和为，故选A．【点评】本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．6．（多选）设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（    ）A．  B．C．  D．与均为的最大值【答案】BD【解析】根据题意，设等差数列的公差为，依次分析选项：是等差数列，若，则，故B正确；又由得，则有，故A错误；而C选项，，即，可得，又由且，则，必有，显然C选项是错误的；∵，，∴与均为的最大值，故D正确，故选BD．【点评】本题考查了等差数列以及前项和的性质，需熟记公式，属于基础题． 二、填空题．7．数列中，，若，则_________．【答案】3【解析】因为，所以，所以，是等比数列，公比为2，所以．因为，所以，故答案为3．【点评】本题主要考查等比数列的定义、前n项和公式的应用，属于基础题．8．在等差数列中，若，，则_____；使得数列前n项的和取到最大值的_____．【答案】9，5【解析】设等差数列的公差为d，∵，，∴，，解得，．∴．令，解得．∴使得数列前n项的和取到最大值的．故答案为9，5．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n项的和的最值，考查学生的计算能力，是中档题．三、解答题．9．已知数列是等差数列，其前n项和为，且，．数列为等比数列，满足，．（1）求数列，的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设数列的公差是d，数列是的公比是q．由题意得，所以，所以；∴，，∴，∴．（2）由（1）知，∴．【点评】数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；（3）对于结构，利用分组求和法；（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和．10．已知是等差数列，其前项和为．若，，成等比数列，．（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以，即，①因为，所以，即，②由①②得，或，．当，时，，与，，成等比数列矛盾，所以，，所以．（2）由（1）得，所以．【点评】数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和．（2）错位相减法：若是等差数列，是等比数列，求．（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项．常见的裂项有，，等．（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和．（5）倒序相加法．