（新高考）2021届高考二轮复习专题十 解析几何 教师版

这是一份（新高考）2021届高考二轮复习专题十 解析几何 教师版，共45页。试卷主要包含了圆锥曲线的考查主要为两种，圆锥曲线及其性质，圆锥曲线的综合问题，已知直线l，已知圆C1等内容，欢迎下载使用。

专题 10
××

解析几何






命题趋势

解析几何的考查主要为直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线的考查．
1．直线与圆的考查常与导数结合，考查直线方程，考查点到直线的距离公式，主要以选择题、填空题的形式出现，难度相对简单，也与圆锥曲线结合，主要考查的问题为圆方程、圆弦长、面积等，难度中等．
2．圆锥曲线的考查主要为两种：一是对其概念及性质的考查，主要以选择题或填空题的形式出现；二是圆锥曲线综合问题的考查，比如范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题，常以大题的形式出现，难度较难，计算量较大．


考点清单

1．直线方程与圆的方程
（1）直线方程的五种形式
名称
方程形式
适用条件
点斜式
y-y0=k(x-x0)
不能表示斜率不存在的直线
斜截式
y=kx+b
两点式

不能表示平行于坐标轴的直线
截距式

不能表示平行于坐标轴的直线和过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0(A，B不同时为零)
可以表示所有类型的直线
（2）两条直线平行与垂直的判定
①两条直线平行：
对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有；
当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，．
②两条直线垂直：
如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2=-1；
当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2．
（3）两条直线的交点的求法
直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，
则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
（4）三种距离公式
①P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离：|P1P2|=(x2-x1)2+(y2-y1)2．
②点P0(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离：．
③平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间距离：．
（5）圆的定义及方程
定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
圆心：(a，b)，半径：r
一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0，
(D2+E2-4F>0)
圆心：，
半径：
（6）点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系：
①若M(x0，y0)在圆外，则(x0-a)2+(y0-b)2>r2．
②若M(x0，y0)在圆上，则(x0-a)2+(y0-b)2=r2．
③若M(x0，y0)在圆内，则(x0-a)2+(y0-b)2r
d=r
dr)，则
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
公共点个数
0
1
2
1
0
d，R，r的关系
d>R+r
d=R+r
R-r0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形




顶点
O(0，0)
对称轴
y=0(x轴)
x=0(y轴)
焦点




离心率
e=1
准线方程




范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
焦半径(其中P(x0，y0)




4．圆锥曲线的综合问题
（1）直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax+By+C=0 (A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)=0，消去y (也可以消去x)得到一个关于变量x (或变量y)的一元方程．
即联立，消去y，得ax2+bx+c=0．
①当a≠0时，设一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式为Δ，
则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；
Δ=0⇔直线与圆锥曲线C相切；
Δ0，b>0）的右焦点为F，直线（k>0）与E交于M，N两点（M在第一象限），直线MF与E的另一个交点为P，以NP为直径的圆经过点F，且NF=PF，则E的渐近线方程为__________．
【答案】
【解析】如图，设E的左焦点为F1，PF=t，连接MF1，PF1，，
利用双曲线定义得PF1=t+2a，

因为以NP为直径的圆经过点F，所以PF⊥NF，依题意，得四边形FMF1N为矩形，
则MF1=NF=t，MF=t-2a，MN=FF1=2c，则MP=MF+PF=2t-2a．
在Rt△MNF中，MN2=MF2+NF2，
即2c2=t-2a2+t2①，
在Rt△MPF1中，PF12=MF12+MP2，即t+2a2=t2+2t-2a2，
所以t=3a②，
由①②，得5a2=2c2，所以5a2=2a2+b2，所以，
所以E的渐近线方程为,故答案为．
【点评】求双曲线的渐近线的方法：
（1）定义法：直接利用a，b，求得比值，则焦点在x轴时渐近线，焦点在y轴时渐近线；
（2）构造齐次式，利用已知条件，结合a2+b2=c2，构建的关系式（或先构建的关系式），再根据焦点位置写渐近线即可．
13．已知点A(0，1)，直线l1:x-y-1=0，直线l2:x-2y+2=0，则点A关于直线l1的对称点B的坐标为__________，直线l2关于直线l1的对称直线方程是__________．
【答案】2，-1，2x-y-5=0
【解析】（1）设B(x，y)，则，．
（2）由，得，
设C(4，3)，由（1）得l2上的点A0，1关于直线l1的对称点B，
因此所求对称直线过BC，即，．
【点评】本题主要考查了一个点关于某直线的对称点坐标的求法，直线关于直线对称的直线的求法，属于基础题．

三、解答题．
14．已知椭圆过点B2，1，且离心率为．

（1）求椭圆的方程；
（2）设经过椭圆右焦点F的直线l交椭圆于C，D两点，判断点与以线段CD为直径的圆的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2）详见解析．
【解析】（1）由已知，点B2，1在椭圆上．
因此，解得a=2，b=2，
所以椭圆的方程为．
（2）设点，Dx2，y2，CD中点为Qx0，y0．
椭圆的右焦点为2，0，当直线CD斜率为零时，点P显然在圆外；
当直线CD斜率不为零时，设直线CD的方程为x=ky+2，
由，得k2+2y2+22ky-2=0，
所以，，从而．
所以，
，
故
，
当k∈-∞，-2∪2，+∞时，点在以CD为直径的圆的外部；
当k=2或k=-2时，点在以CD为直径的圆上；
当时，点在以CD为直径的圆的内部．
【点评】本题考查了椭圆的方程、点和圆的位置关系，关键点是求出圆心和半径，利用P点到圆心的距离和半径比较大小，考查了学生分析问题、解决问题及转化的能力．
15．已知椭圆的离心率为，短轴长为23．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点P4，0且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N
两点，直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）因为椭圆的离心率，，，
又2b=23，∴b=3．
因为b2=a2-c2=3c2=3，所以c=1，a=2，
所以椭圆C的方程为．
（2）解法一：设直线MN:x=ty+4，Mx1，y1，Nx2，y2，
，可得3t2+4y2+24ty+36=0，
所以．
直线AM的方程：①，直线BN的方程：②
由对称性可知：点Q在垂直于x轴的直线上，
联立①②，可得．
因为，所以，
所以点Q在直线x=1上．
解法二：设Mx1，y1，Nx2，y2，Qx3，y3，x1，x2，x3两两不等，
因为P，M，N三点共线，
所以，
整理得：2x1x2-5x1+x2+8=0．
又A，M，Q三点共线，有①，
又B，N，Q三点共线，有②，
将①与②两式相除得：
，
即，
将2x1x2-5x1+x2+8=0，即，
代入得，解得x3=4（舍去）或x3=1，（因为直线BQ与椭圆相交故x3≠4）
所以Q在定直线x=1上．
【点评】求解直线与圆锥曲线定点定值问题：关键在于运用设而不求思想、联立方程和韦达定理，构造坐标点方程从而解决相关问题．
16．椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率，过F2的直线l交C于点A、B，且△F1AB的周长为8．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点O为坐标原点，求△AOB面积S的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为△F1AB的周长为8，
由椭圆的定义知4a=8，故a=2，
又，所以c=1⇒b2=a2-c2=3，
所以椭圆C的标准方程为．
（2）由题意可设直线l的方程为x=my+1，Ax1，y1，Bx2，y2，
由，
显然Δ>0且，，
∴
，
令m2+1=t(t≥1)，∴，
易知S在单调递减，从而．
【点评】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、
三角形的面积等问题．
17．已知椭圆过点(0，2)，其长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，直线l与x轴的正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆Γ相交于两点M、N，各点互不重合，且满足，．
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）若直线l的方程为y=-x+1，求的值；
（3）若，试证明直线l恒过定点，并求此定点的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，(2，0)．
【解析】（1）由题意，因为椭圆过点(0，2)，可得b=2，
设焦距为，又由长轴长､焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，
可得(2a)2+(2b)2=2(2c)2，即a2+b2=2c2，
又因为a2=b2+c2，解得a2=12，
所以椭圆Γ的标准方程为．
（2）由直线l的方程为y=-x+1，可得而P(0，1)，Q(1，0)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，因为，，
可得(x1，y1-1)=λ1(1-x1，-y1)，(x2，y2-1)=λ2(1-x2，-y2)，
从而x1=λ1(1-x1)，x2=λ2(1-x2)，
于是，，所以，
由，整理得4x2-6x-9=0，可得，，
所以．
（3）显然直线l的斜率k存在且不为零，
设直线l的方程为y=kx-mm>0，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
可得P(0，-km)，Q(m，0)，
由，可得(x1，y1+km)=λ1(m-x1，-y1)，
所以x1=λ1m-x1，从而，同理，
又，∴x1x2-2m(x1+x2)+3m2=0⋯①，
联立，得(1+3k2)x2-6k2mx+3k2m2-12=0，
则Δ=36k4m2-4(1+3k2)(3k2m2-12)=1212k2+4-k2m2>0⋯②，
且，
③代入①得，∴m=2，(满足②)
故直线l的方程为y=kx-2，所以直线l恒过定点(2，0)．
【点评】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k）；②利用条件找到k过定点的曲线F(x，y)=0之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
18．在平面直角坐标系中，己知圆心为点Q的动圆恒过点F(1，0)，且与直线x=-1相切，设动圆的圆心Q的轨迹为曲线Γ．
（1）求曲线Γ的方程；
（2）过点F的两条直线l1、l2与曲线Γ相交于A、B、C、D四点，且M、N分别为AB、CD的中点．设l1与l2的斜率依次为k1、k2，若k1+k2=-1，求证：直线MN恒过定点．
【答案】（1）y2=4x；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意，设，
因为圆心为点Q的动圆恒过点F(1，0)，且与直线x=-1相切，
可得|x+1|=(x-1)2+y2，化简得y2=4x．
（2）设l1，l2的方程分别为，y=k2(x-1)，
联立方程组，整理得k12x2-2k12+4x+k12=0，
所以，则，同理，
所以，
由k1+k2=-1，可得kMN=k11+k1，
所以直线MN的方程为，
整理得y+2=k11+k1(x-1)，所以直线MN恒过定点．
【点评】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：
1．参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k）；②利用条件找到k过定点的曲线F(x，y)=0之间的关系，得到关于k与x，y的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；
2．由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关．
19．已知抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点为F，点在抛物线E上，点的横坐标为2，且．
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）若A，B为抛物线E上的两个动点(异于点P)，且AP⊥AB，求点B的横坐标的取值范围．
【答案】（1）x2=4y；（2）．
【解析】（1）依题意得，设，，
又点是E上一点，所以，得p2-4p+4=0，即p=2，
所以抛物线E的标准方程为x2=4y．
（2）由题意知P2，1，
设，，则，
因为x1≠-2，所以，
AB所在直线方程为，联立x2=4y．
因为x≠x1，得(x+x1)(x1+2)+16=0，即x12+x+2x1+2x+16=0，
因为Δ=(x+2)2-42x+16≥0，即x2-4x-60≥0，故x≥10或x≤-6，
经检验，当x=-6时，不满足题意，
所以点B的横坐标的取值范围是．
【点评】解决本题的相关问题的关键在于，将目标条件转化到点的坐标的关系，由方程的根的判别式求得范围．
20．已知双曲线的左右两个顶点是A1，，曲线C上的动点P，Q关于x轴对称，直线A1P与A2Q交于点M，
（1）求动点M的轨迹D的方程；
（2）点E0，2，轨迹D上的点A，B满足EA=λEB，求实数λ的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知A1-2，0，A22，0，
设，，
则直线，直线，
两式相乘得，化简得，
即动点M的轨迹D的方程为．
（2）过E0，2的直线若斜率不存在则或3，
设直线斜率k存在，Ax1，y1，Bx2，y2，
，
则（2）
由（2）（4）解得x1，x2，代入（3）式得，
化简得，
由（1）Δ≥0，解得代入上式右端得，解得，
综上实数的取值范围是．
【点评】本题考查了动点的轨迹方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
21．如图，已知圆和双曲线，记Γ1与y轴正半轴、x轴负半轴的公共点分别为A、B，又记Γ1与Γ2在第一、第四象限的公共点分别为C、D．

（1）若r=2，且B恰为Γ2的左焦点，求Γ2的两条渐近线的方程；
（2）若r=2，且AC+AD=(m，-5)，求实数m的值；
（3）若B恰为Γ2的左焦点，求证：在x轴上不存在这样的点P，使得PA-PC=2019．
【答案】（1）；（2）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意圆方程为x2+(y-1)2=4，令y=0，得x=±3，
∴B(-3，0)，即c=3，∴b=c2-a2=3-1=2，，
∴渐近线方程为．
（2）由（1）圆方程为x2+(y-1)2=4，，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由，得(b2+1)y2-2b2y-2b2=0 (*)，
，，
AC+AD=(x1，y1-3)+(x2，y2-3)=(x1+x2，y1+y2-6)=(m，-5)，
所以y1+y2-6=-5，即，解得b=1，
方程(*)为2y2-2y-2=0，即y2-y-1=0，，
代入双曲线方程得，
∵C，D在第一、四象限，∴，，
∴．
（3）由题意，，，，
，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由，得，，
由，得，解得，，
，
所以，
AC=2，
PA-PC≤AC=2，当且仅当P，A，C三点共线时，等号成立，
∴x轴上不存在点P，使得PA-PC=2019．
【点评】本题考查求渐近线方程，考查圆与双曲线相交问题．考查向量的加法运算，本题对学生的运算求解能力要求较高，解题时都是直接求出交点坐标．难度较大，属于困难题．

高频易错题

一、选择题．
1．已知P是曲线C：x+2y-y2=0上的点，Q是直线x-y-1=0上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由x+2y-y2=0，得x2+y-12=1(x≤0)，
∴曲线C是圆心为，半径r=1的左半圆，曲线C上的点到直线x-y-1=0的最小距离为原点到直线的距离，
所以的最小值为，故选D．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，涉及知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，属于中档题．
2．过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A．x-y+1=0 B．x+y-3=0
C．2x-y=0或x+y-3=0 D．2x-y=0或x-y+1=0
【答案】D
【解析】易知斜率不存在时，不满足；
设直线方程为，则截距和为，解得k=1或k=2，
故直线方程为y=x+1和y=2x，故选D．
【点评】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力．
3．若F1，F2是双曲线与椭圆的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且△PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为椭圆的焦点坐标为，
所以双曲线中，c=3，a2+b2=9，
设点P为两曲线在第一象限的交点，
由于在椭圆中，△PF1F2为等腰三角形，所以PF2=F1F2=6，
所以PF1=2a-PF2=10-6=4，
在双曲线中，2a=PF2-PF1=6-4=2，所以，代入a2+b2=9，得b=22，
所以该双曲线的渐近线方程为，故选B．
【点评】此题考查椭圆、双曲线的定义的应用，解题的关键由△PF1F2为等腰三角形和椭圆的定义求出PF2，PF1的值，属于中档题．

精准预测题

一、选择题．
1．已知点A(2，3)，与直线l:kx-y-k+1=0，且直线l与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
【解析】已知点A(2，3)，与直线l:kx-y-k+1=0，且直线l与线段AB相交，
直线l:kx-y-k+1=0，即直线l:k(x-1)-y+1=0，它经过定点，
的斜率为，的斜率为，
则直线l的斜率k的取值范围为或，故选A．

【点评】本题主要考查直线的斜率，考查数形结合思想，属于基础题．
2．点P在函数的图象上．若满足到直线的距离为2的点P有且仅有3个，则实数a的值
为（ ）
A．22 B．23 C．3 D．4
【答案】C
【解析】过函数y＝ex的图象上点作切线，使得此切线与直线平行，
∵，于是ex0=1，则，，
∴，
于是当点P到直线的距离为2时，
则满足到直线的距离为2的点P有且仅有3个，
∴，解得或，
又当时，函数的图象与直线相切，从而只有两个点到直线距离为2，所以不满足，
故a＝3，故选C．
【点评】本题考查利用导数求切线切点，以及曲线与直线的位置关系的综合应用，难度较大．
3．设A-2，0，B2，0，O为坐标原点，点P满足PA2+PB2≤16，若直线kx-y+6=0上存在点Q使得，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设Px，y，则PA2+PB2=x+22+y2+x-22+y2≤16，
整理可得x2+y2≤4，故OP≤2，
在△PQO中，，
则，
设原点到直线的距离为d，则需满足d≤4，，解得或，
故选C．
【点评】本题考查直线中参数范围的求解，解题的关键是得出OQ=2OPsin∠QPO≤4，利用原点到直线的距离小于等于4求解．
4．设a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C所对边的边长，则直线x⋅sinA+a⋅y+c=0与b⋅x-y⋅sinB+sinC=0位置关系是（ ）
A．平行 B．重合 C．垂直 D．相交但不垂直
【答案】C
【解析】a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C所对边的边长，
则直线x⋅sinA+a⋅y+c=0斜率为，
b⋅x-y⋅sinB+sinC=0的斜率为，
∵，∴两条直线垂直，故选C．
【点评】本题考查直线的斜率，正弦定理的应用，基本知识的考查．
5．如图，双曲线以梯形ABCD的顶点A，D为焦点，且经过点B，C．其中，，CD=4AB，则Γ的离心率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接CA，BD，
不妨设AB=1，则CD=4，BD=1+2a，AC=4+2a．
在△ABD中，1+4c2-2⋅1⋅2c⋅cos60°=(1+2a)2①
在△ACD中，16+4c2-2⋅4⋅2c⋅cos120°=(4+2a)2②
②-①，得15+10c=12a+15，则，故选C．

【点评】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是正确利用焦点三角形特点进行计算．

二、填空题．
6．已知椭圆的一个焦点F，若椭圆上存在一点P，满足以椭圆短半轴为半径的圆与线段PF相切于该线段的
中点，则该椭圆的离心率________．
【答案】
【解析】设切点为M，右焦点为F1，
由题意可知OF=c，OM=b，则PF=2c2-b2，
因为M，O分别是PF，FF1的中点，所以PF1=2OM=2b，
由椭圆的定义可知2c2-b2+2b=2a，即c2-b2=a-b，
两边平方得，
即，

故答案为．
【点评】解决本题的关键是由椭圆的定义得出，进而得出离心率．
7．双曲线的左顶点为A，M是双曲线的渐近线与圆的一个交点，过M作圆的切线l交y轴于P，若AP的斜率为3，则双曲线E的离心率为_________．
【答案】3
【解析】不妨设M是圆与渐近线在第一象限的交点，
由，解得，
则切线PM的方程为，
令x=0，得y=c，即P(0，c)，
∵AP的斜率为3，∴，即离心率为3，
故答案为3．
【点评】本题结合直线与圆的位置关系，考查了双曲线的离心率，属于基础题．
8．已知圆C:x2+y2-16y+48=0与双曲线的渐近线相切，则E的离心率
为______．
【答案】
【解析】由x2+y2-16y+48=0得x2+(y-8)2=42，
所以圆心C0，8，半径r=4，
双曲线的一条渐近线为，
由题意得圆心到渐近线的距离，所以，
所以，所以，
故答案为．
【点评】本题的关键点是正确求出双曲线的渐近线方程，直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径，
可得a，b，c之间的关系，即可求离心率．

三、解答题．
9．已知点F是椭圆的右焦点，P是椭圆E的上顶点，O为坐标原点且．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）已知M1，0，N4，3，过点M作任意直线l与椭圆E交于A，B两点．设直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，若k1+k2=2，求椭圆E的方程．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题可得OF=c，OP=b，
，即c=3b，
∴a=b2+c2=2b，．
（2）由（1）可得椭圆方程为，
当直线l的斜率存在时，设l：y=kx-1，设，，
联立直线与椭圆，得1+4k2x2-8k2x+4k2-4b2=0，
则Δ=64k4-41+4k24k2-4b2>0，即4k2b2-k2+b2>0，
则，，

，
，
即b2-1k-1=0对任意k成立，即b2=1，
则椭圆方程为；
当直线斜率不存在时，则直线方程为x=1，则A1，y1，B1，y2，且y1+y2=0，
此时，满足题意，
综上，椭圆方程为．
【点评】解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为Ax1，y1，Bx2，y2；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为x1+x2，x1x2形式；
（5）代入韦达定理求解．
10．已知椭圆的离心率为，且过点A2，1．
（1）求C的方程；
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，证明：直线MN过定点．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】（1）由题意得，解得，
∴椭圆C的方程为．
（2）设点Mx1，y1，Nx2，y2，
∵AM⊥AN，∴AM⋅AN=x1-2x2-2+y1-1y2-1=0，
整理可得y1y2-y1+y2+1=-x1x2+2x1+x2-4…①
当直线MN斜率k不存在时，显然AM⊥AN不成立，
则可设MN:y=kx+m，
联立，得，
由Δ=16k2m2-41+2k22m2-6>0，得6k2-m2+3>0，
则，，
，
，
代入①式化简可得4k2+8km+m-13m+1=0，
即2k+m-12k+3m+1=0，∴m=1-2k或，
则直线方程为y=kx+1-2k=x-2k+1或，
∴直线过定点2，1或，
又2，1和A点重合，故舍去，
∴直线MN过定点．
【点评】本题考查直线与椭圆综合应用中的定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x或y的一元二次方程的形式；
②利用Δ>0求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定点．
11．已知椭圆的长轴长为4，离心率为．

（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点A(a，0)，B(0，b)，直线l交椭圆C于P，Q两点(点A，B位于直线l的两侧)．
①若直线l过坐标原点O，设直线AP，AQ，BP，BQ的斜率分别为k1，k2，k3，k4．求证：为定值；
②若直线l的斜率为，求四边形APBQ的面积的最大值．
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②．
【解析】（1）由题意得，解得，，
所以椭圆C的方程为．
（2）①点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，3)．
设点P的坐标为(m，n)，由对称性知点Q的坐标为，
所以，，所以．
又因为点P在椭圆上，所以，即，
所以，同理，
所以，为定值．
②由题意，A(2，0)，B(0，3)，
设，
由点A(2，0)，B(0，3)位于直线l的两侧，得，
解得．
由，消去y并整理，得．
由判别式，得．
当时，显然，判别式．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由根与系数的关系得，．
＝，
点A(2，0)到直线的距离．
因为，所以．
点B(0，3)到直线的距离，
因为，所以．
因此，四边形APBQ的面积，
．
因为，显然，当t＝0时，．
【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出直线中以及弦长，考查了弦长公式、数学运算．
12．已知椭圆与抛物线C：x2=2pyp>0有相同的焦点F，抛物线C的准线交椭圆于A，B两点，且AB=1．
（1）求椭圆Γ与抛物线C的方程；
（2）O为坐标原点，过焦点F的直线l交椭圆Γ于M，N两点，求△OMN面积的最大值．
【答案】（1）椭圆Γ的方程为，抛物线C的方程为x2=43y；（2）最大值为1．
【解析】（1）因为AB=1，所以不妨设A的坐标为，B的坐标为，
所以有，∴a2=4，p=23，
∴椭圆Γ的方程为，抛物线C的方程为x2=43y．
（2）由（1）可知：F的坐标为(0，3)，
设直线l的方程为：y=kx+3，O到MN的距离为d，则，
联立，可得k2+4x2+23kx-1=0，
则，
，
当且仅当k2=2时取等号，故△OMN面积的最大值为1．
【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系，涉及弦长公式的使用，以及点到直线的距离公式，属于中档题．
13．已知双曲线C经过点(2，3)，它的渐近线方程为．椭圆C1与双曲线C有相同的焦点，椭圆C1的短轴长与双曲线C的实轴长相等．
（1）求双曲线C和椭圆C1的方程；
（2）经过椭圆C1左焦点F的直线l与椭圆C1交于A、B两点，是否存在定点D，使得无论AB怎样运动，都有∠ADF =∠BDF？若存在，求出D点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）存在点．
【解析】（1）双曲线C方程为，则．
∴双曲线C的方程为．
设椭圆C1的方程，
椭圆C1的短轴长与双曲线C的实轴长相等，
∴椭圆C1的短轴长为，椭圆C1与双曲线C有相同的焦点(±2，0)，
即c=2，∴a=5，椭圆C1的方程为．
（2）直线l垂直x轴时，A、B两点关于x轴对称，
，∴要使，则点D必在x轴上，
设D(m，0)，直线l不垂直x轴时，l的方程设为y=k(x+2)，
设，，
联立，得．
∴，．
，∴直线AD、BD的斜率互为相反数，
即，
k=0时，恒成立；
k≠0时，，
∴存在定点，使得无论AB怎样运动，都有．
【点评】本题考查了双曲线的方程，及存在性问题，转化思想是解题关键，属于中档题．