（新高考）2021届高考二轮复习专题二 平面向量与复数 学生版

1．平面向量

平面向量是高考的重点和热点，在选择题、填空题、解答题中均有出现．选择题、填空题主要考查平面向量的基本运算，难度中等偏低；解答题中常与三角函数、直线与圆锥曲线的位置关系问题相结合，通常涉及向量共线与数量积．

2．复数

复数的考查主要为复数的运算、复数的几何意义、复数概念的考查．

一、平面向量

1．平面向量基本定理

如果，是同一平面内的两个不共线的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使．

其中，不共线的非零向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

2．平面向量的坐标运算

向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设，，则，，

，．

3．平面向量共线的坐标表示

设，，其中，．

4．平面向量的数量积

（1）定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，则数量叫做向量和的数量积，

记作．

规定：零向量与任一向量的数量积为．

（2）投影：叫做向量在方向上的投影．

（3）数量积的坐标运算：设向量，，

则①

②

③

④

5．三角形“四心”向量形式的充要条件

设为所在平面上一点，角所对的边长分别为，

则：为内心

（1）为外心

（2）为重心

（4）为垂心

二、复数

1．形如的数叫做复数，复数通常用字母表示．

全体复数构成的集合叫做复数集，一般用大写字母表示．其中，分别叫做复数的实部与虚部．

2．复数相等

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．

如果，那么且．

特别地，，．

两个实数可以比较大小，但对于两个复数，如果不全是实数，就只能说相等或不相等，不能比较大小．

3．复数的分类

复数，时为实数；时为虚数，，时为纯虚数，

即复数（，）．

4．复平面

直角坐标系中，表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴．实轴上的点表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．

复数集和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数对应复平面内的点．

5．共轭复数

（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．

复数的共轭复数用表示，即如果，那么．

（2）共轭复数的性质

①；②非零复数是纯虚数；③，；④；；．

（3）两个共轭复数的积

两个共轭复数，的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即．

6．复数的模

向量的模叫做复数的模(或长度)，记作或．

由模的定义可知（显然，）．

当时，复数表示实数，此时．

7．复数的加法与减法

两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，

即．

8．复数的乘法

（1）复数的乘法法则

复数乘法按多项式乘法法则进行，设，，

则它们的积．

（2）复数乘法的运算律

复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．对任何，

有① (交换律)；

② (结合律)；

③ (分配律)．

9．复数的除法

复数除法的实质是分母实数化，

即．

一、选择题．

1．如图，若是线段上靠近点的一个三等分点，且，

则（    ）

A． B． C． D．

2．已知向量，满足，，且与反向，则（    ）

A．36 B．48 C．57 D．64

3．设向量，，，且，则（    ）

A． B． C． D．

4．在中，若，则的形状一定是（    ）

A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

5．已知双曲线的左､右焦点分别为，，且以为直径的圆与双曲线的渐近线在第四象限交点为，交双曲线左支于，若，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

6．复数（    ）

A． B． C． D．

7．在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

8．已知为实数，复数（为虚数单位），复数的共轭复数为，若为纯虚数，

则（    ）

A． B． C． D．

9．对于给定的复数z，若满足的复数对应的点的轨迹是圆，则的取值范围是（    ）

A． B．

C．  D．

10．已知，是虚数单位，若，则（     ）

A． B． C． D．

11．（多选）设为复数，．下列命题中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

二、填空题．

12．已知，，若，则与的夹角为________．

一、填空题．

1．平面向量，的夹角为，且，则的最大值为_________．

一、选择题．

1．已知向量，，若与反向，则（     ）

A． B． C． D．

2．如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知平面向量，均为单位向量，若向量，的夹角为，则（    ）

A．25 B．7 C．5 D．

4．如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量满足，则（    ）

A．0 B．1 C． D．7

5．已知复数z满足（i为虚数单位），则（为z的共轭复数）在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．已知复数，，则为（    ）

A． B． C． D．

7．已知复数，，则的虚部为（    ）

A． B．4 C．3 D．

8．若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（    ）

A．2 B．3 C． D．

9．复数，则复数在复平面内所对应的点在第（    ）象限．

A．一 B．二 C．三 D．四

二、填空题．

10．已知向量|，若，且，则的最大值为_______．

11．在中，，，点在边上．若，，则的值为_________．

一、选择题．

1．【答案】D

【解析】，

即，得．故选D．

【点评】本题考查了平面向量的基本定理，结合向量的线性运算即可解题，属于基础题．

2．【答案】A

【解析】因为与反向，所以，

又，，所以，故选A．

【点评】本题考查了平面向量的数量积，属于基础题．

3．【答案】A

【解析】因为，，所以，

当时，则有，解得，故选A．

【点评】本题主要考查向量垂直的坐标运算公式，设向量，，

则当时，．

4．【答案】B

【解析】因为，所以，

所以，所以，

所以，所以三角形是直角三角形，故选B．

【点评】判断三角形的形状，常用的方法有：（1）边化角；（2）角化边．在边角互化时常利用正弦定理和余弦定理．

5．【答案】A

【解析】，圆方程为，

由，由，，解得，即，

设，

由，，得，，

因为在双曲线上，

∴，，解得（舍去），

故选A．

【点评】解题关键是找到关于的齐次关系式，由题意中向量的线性关系，可得解法，圆与渐近线相交得点坐标，由向量线性关系得点坐标，代入双曲线方程可得．

6．【答案】B

【解析】，故选B．

【点评】本题主要考查了复数的运算，属于基础题．

7．【答案】D

【解析】由复数的运算法则，可得，

对应的点位于第四象限，故选D．

【点评】本题主要考了复数的运算，以及复数平面的概念，属于基础题．

8．【答案】B

【解析】∵为纯虚数，∴，则，

∴，则，故选B．

【点评】本题主要考查了复数的相关概念，属于基础题．

9．【答案】A

【解析】∵的复数对应的点的轨迹是圆，圆心为，半径为，

表示点到定点的距离，，

∴，故选A．

【点评】本题考查复数的几何意义，表示复平面上对应点到原点的距离，表示对应的点间的距离，而，则复数对应的点在以对应点为圆心，为半径的圆上，利用几何意义题中问题转化为求定点到圆心的距离即可得．

10．【答案】A

【解析】，，

，故选A．

【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算、复数相等的充要条件、复数的模，属于基础题．

11．【答案】BC

【解析】由复数模的概念可知，不能得到，例如，A错误；

由可得，因为，所以，即，B正确；

因为，，而，所以，所以，C正确；

取，显然满足，但，D错误，

故选BC．

【点评】本题主要考了复数的一些抽象概念，难度中等偏易．

二、填空题．

12．【答案】

【解析】，

，，解得，

即，

，

又与的夹角的范围是，则与的夹角为，故答案为．

【点评】本题考查了向量的垂直，向量的坐标运算，向量夹角的求法，考查计算能力．

一、填空题．

1．【答案】

【解析】，

因为，所以，所以，

所以，

所以，

，

令，则，

当且仅当，即时，等号成立．

所以的最大值为，故答案为．

【点评】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．

一、选择题．

1．【答案】A

【解析】若与共线，则，解得，

∴，∴，故选A．

【点评】本题考查了向量共线的条件以及向量的坐标运算，属于基础题．

2．【答案】B

【解析】依题意，，

故选B．

【点评】本题考查了平面向量的基本定理，以及向量的线性运算，属于基础题．

3．【答案】D

【解析】因为平面向量，为单位向量，且向量，的夹角为，

所以，

故故选D．

【点评】本题考查了向量模长的计算，运用“遇模则平方”的思想即可解题．

4．【答案】D

【解析】将向量放入如图所示的坐标系中，每个小正方形的边长为1，

则，

，，

即，解得，

，故选D．

【点评】本题主要考查向量的分解，利用向量的坐标运算是解决本题的关键．

5．【答案】C

【解析】因为，所以，

所以，在复平面内对应的点为，在第三象限，故选C．

【点评】本题考点为复数的运算和复数的概念属于基础题．

6．【答案】C

【解析】由题意，复数，，

可得，

则，故选C．

【点评】本题主要考了复数的运算和复数的几何意义，属于基础题．

7．【答案】C

【解析】因为，，

所以，所以的虚部为，故选C．

【点评】本题考点为复数的运算及复数的相关概念，属于基础题．

8．【答案】D

【解析】因为表示以点为圆心，半径的圆及其内部，

又表示复平面内的点到的距离，据此作出如下示意图：

所以，故选D．

【点评】常见的复数与轨迹的结论：

（1）：表示以为圆心，半径为的圆；

（2）且：表示以为端点的线段；

（3）且：表示以为焦点的椭圆；

（4）且：表示以为焦点的双曲线．

9．【答案】A

【解析】，

对应的点为，在第一象限，故选A．

【点评】本题主要考查了复数的周期性、复数的运算法则、复数的几何意义，属于基础题．

二、填空题．

10．【答案】

【解析】∵，且，∴与的夹角为，

设，则，

∵，∴，

又，∴，化简得，

∴，当且仅当时，等号成立，

∴，故答案为．

【点评】本题考查了平面向量的混合运算，还涉及利用基本不等式解决最值问题，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．

11．【答案】

【解析】设，故，

即，

故，

，

所以，两式相加可得，

此式代入（1）式可得或（舍去），

代入（1）式可得，

故答案为．

【点评】本题考查平面向量的基本定理、数量积的运算，以及方程思想的运用，属于中档题．