2018-2019学年初三数学上期末测试(二)

期末测试(二)

(满分：120分　考试时间：120分钟)

一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1.下列说法正确的是(D)

A．袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机取出一个球，一定是红球

B．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨

C．某地发行一种福利彩票，中奖概率是千分之一．那么，买这种彩票1 000张，一定会中奖

D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上

2．用配方法解方程x2＋1＝8x，变形后的结果正确的是(C)

A．(x＋4)2＝15                  B．(x＋4)2＝17

C．(x－4)2＝15                  D．(x－4)2＝17

3．关于x的一元二次方程ax2－x＋1＝0有实数根，则a的取值范围是(A)

A．a≤且a≠0                  B．a≤

C．a≥－且a≠0                 D．a≥－

4．把抛物线y＝－x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为(B)

A．y＝－(x＋1)2＋1              B．y＝－(x＋1)2－1

C．y＝－(x－1)2＋ 1             D．y＝－(x－1)2－1

5．下列图形：

从中任取一个是中心对称图形的概率是(C)

A.               B.                  C.                     D．1

6．若正六边形的半径长为4，则它的边长等于(A)

A．4              B．2                C．2                 D．4

7．如图，点O为平面直角坐标系的原点，点A在x轴上，△OAB是边长为4的等边三角形，以O为旋转中心，将△OAB按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，那么点A′的坐标为(D)

A．(2，2)            B．(－2，4)          C．(－2，2)             D．(－2，2)

8．如图，从一块直径为24 cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上．将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是(B)

A．2 cm             B．3 cm            C．6 cm              D．12 cm

9．如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为(3，－1)，AB＝2.将⊙P沿着与y轴平行的方向平移多少距离时⊙P与x轴相切(D)

A．1                B．2                C．3               D．1或3

10．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点在(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图，则下列结论：①4ac－b2＜0；②2a－b＝0；③a＋b＋c＜0；④点(x1，y1)，(x2，y2)在抛物线上，若x1＜x2，则y1＜y2.正确结论的个数是(C)

A．1                B．2               C．3              D．4

提示：①②③正确．

二、填空题(每小题3分，共15分)

11．已知抛物线y＝x2－3x＋m与x轴只有一个公共点，则m＝．

12．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的7 000元/m2下降到12月份的5 670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是10%．

13．如图，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠CAB＝50°，则∠ADC＝40°．

14．有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4，6，小红随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则小红第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率为．

15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B＝－1．

三、解答题(本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16．(本大题共2小题，每小题5分，共10分)解方程：

(1)3x2＋2x－5＝0；

解：x1＝1，x2＝－.　　　　　　　　　　

(2)(1－2x)2＝x2－6x＋9.

解：x1＝，x2＝－2.

17．(本题6分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(－4，3)，B(－1，2)，C(－2，1)．

(1)画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；

(2)画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．

解：(1)△A1B1C1如图所示，B1(1，－2)．

(2)△A2B2C2如图所示，A2(3，4)．

18．(本题7分)小明遇到这样一个问题：已知：＝1.求证：b2－4ac≥0.

经过思考，小明的证明过程如下：

∵＝1，∴b－c＝a.∴a－b＋c＝0.接下来，小明想：若把x＝－1代入一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，恰好得到a－b＋c＝0.这说明一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有根，且一个根是x＝－1.所以，根据一元二次方程根的判别式的知识易证：b2－4ac≥0.

根据上面的解题经验，小明模仿上面的问题自己编了一道类似的题目：

已知：＝－2.求证：b2≥4ac.请你参考上面的方法，写出小明所编题目的证明过程．

证明：∵＝－2，

∴4a＋c＝－2b，

∴4a＋2b＋c＝0.

∵把x＝2代入一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，恰好得到4a＋2b＋c＝0，

∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有根，且一个根是x＝2，

∴Δ＝b2－4ac≥0，即b2≥4ac.

19．(本题8分)甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教．

(1)若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名，则所选的2名教师性别相同的概率是；

(2)若从报名的4名教师中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率．

解：用树状图表示所有可能的情形如下：

一共有12种情形，2名教师来自同一所学校的情形有4种，于是2名教师来自同一所学校的概率是＝.

20．(本题10分)如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD∥AB.连接AC，AD，OD，其中AC＝CD.过点B的切线交CD的延长线于E.

(1)求证：DA平分∠CDO；

(2)若AB＝12，求图中阴影部分的周长之和(参考数据：π≈3.1，≈1.4，≈1.7)．

解：(1)证明：∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠BAD.

又∵AO＝OD，∴∠ADO＝∠BAD.

∴∠ADO＝∠CDA，即DA平分∠CDO.

(2)连接BD.

∵AB是直径，∴∠ADB＝90°.

∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA.

又∵∠CDA＝∠BAD.

∴∠CDA＝∠BAD＝∠CAD.∴＝＝.

又∵∠AOB＝180°，∴∠DOB＝60°.

∵OD＝OB，∴△DOB是等边三角形．∴BD＝OB＝AB＝6.

∵＝，∴AC＝BD＝6.

∵BE切⊙O于B，∴BE⊥AB.∴∠DBE＝∠ABE－∠ABD＝30°.

∵CD∥AB，∴BE⊥CE.

∴DE＝BD＝3，BE＝＝＝3.

又∵l＝＝2π，

∴图中阴影部分的周长之和为2π＋6＋2π＋3＋3＝4π＋9＋3≈4×3.1＋9＋3×1.7＝26.5.

21．(本题8分)一幅长20 cm，宽12 cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2，设竖彩条的宽度为x cm，图案中三条彩条所占面积为y cm2.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．

解：(1)根据题意可知：横彩条的宽度为x cm.

∴y＝20×x＋2×12·x－2×x·x.整理，得y＝－3x2＋54x.

(2)根据题意可知：y＝×20×12＝96.∴96＝－3x2＋54x.

整理，得x2－18x＋32＝0.解得x1＝2，x2＝16(舍去)．∴x＝3.

答：横彩条的宽度为3 cm，竖彩条的宽度为2 cm.

22．(本题12分)给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．

(1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称；

(2)如图，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°得到△DBE，连接AD，DC，CE.已知∠DCB＝30°.

①求证：△BCE是等边三角形；

②求证：DC2＋BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．

解：(1)正方形、矩形、直角梯形(任写两个)．

(2)①证明：∵△ABC≌△DBE，∴BC＝BE.

∵∠CBE＝60°，∴△BCE是等边三角形．

②证明：∵△ABC≌△DBE，∴AC＝DE.

∵△BCE是等边三角形，∴BC＝CE，∠BCE＝60°.

∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝90°.

∴在Rt△DCE中，DC2＋CE2＝DE2.

∴DC2＋BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．

23．(本题14分)综合与探究：

如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y＝－x2＋4x刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画．

(1)请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；

(2)小球的落点是A，求点A的坐标；

(3)连接抛物线的最高点P与点O，A得△POA，求△POA的面积；

(4)在OA上方的抛物线上存在一点M(M与P不重合)，△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．

解：(1)由题意，得y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，

故二次函数图象的最高点P的坐标为(2，4)．

(2)解方程－x2＋4x＝x，得x1＝0，x2＝.

当x＝时，y＝×＝.∴点A的坐标为(，)．

(3)作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B.

S△POA＝S△POQ＋S梯形PQBA－S△BOA＝×2×4＋×(＋4)×(－2)－××＝4＋－＝.

(4)过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连接OM，AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．

设直线PM的解析式为y＝x＋b.

∵点P的坐标为(2，4)，∴4＝×2＋b，解得b＝3.

∴直线PM的解析式为y＝x＋3.

解方程－x2＋4x＝x＋3，得x1＝2，x2＝.

当x＝时，y＝×＋3＝.∴点M的坐标为(，)．