2018-2019学年广东省潮州市湘桥区九年级上期末数学模拟检测试题（含答案）

广东省潮州市湘桥区2018-2019学年九年级（上）期末数学模拟检测试题

一．选择题（共10小题，满分30分）

1．下列常见的手机软件图标，其中是轴对称又是中心对称的是（　　）

A． B． C． D．

2．一元二次方程（x+3）（x﹣7）=0的两个根是（　　）

A．x1=3，x2=﹣7 B．x1=3，x2=7 

C．x1=﹣3，x2=7 D．x1=﹣3，x2=﹣7

3．抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标是（　　）

A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，5） D．（2，﹣5）

4．一元二次方程x2﹣8x﹣2=0，配方的结果是（　　）

A．（x+4）2=18 B．（x+4）2=14 C．（x﹣4）2=18 D．（x﹣4）2=14

5．下列事件中，属于不确定事件的是（　　）

A．科学实验，前100次实验都失败了，第101次实验会成功 

B．投掷一枚骰子，朝上面出现的点数是7点 

C．太阳从西边升起来了 

D．用长度分别是3cm，4cm，5cm的细木条首尾顺次相连组成一个直角三角形

6．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB=20°，则∠ADC的度数是（　　）

A．55° B．60° C．65° D．70°

7．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（　　）

A．方程有两个相等的实数根 

B．方程有两个不相等的实数根 

C．没有实数根 

D．无法确定

8．半径为R的圆内接正三角形的边长为（　　）

A．R B． R C． R D．3R

9．在平面直角坐标系中，经过点（4sin45°，2cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（　　）

A．相交 B．相切 

C．相离 D．以上三者都有可能

10．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OB，∠ABO=40°，则∠C的度数是（　　）

A．100° B．80° C．50° D．40°

二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）

11．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n=　   　．

12．若点P（2a+3b，2）关于原点的对称点为Q（3，a﹣2b），则（3a+b）2018=　   　．

13．如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是　   　．

14．如果抛物线y=ax2﹣2ax+c与x轴的一个交点为（5，0），那么与x轴的另一个交点的坐标是　   　．

15．小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个圆锥的高是　   　．

16．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D，C，若∠ACB=30°，AB=，则阴影部分的面积是　   　．

三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）

17．（6分）x2﹣2x﹣15=0．（公式法）

18．（6分）已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG与DC的延长线交于点F．

（1）如CD=8，BE=2，求⊙O的半径长；

（2）求证：∠FGC=∠AGD．

19．（6分）如图，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标．

四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）

20．（7分）某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品．经调查发现，每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件．根据规定：纪念品售价不能超过批发价的2.5倍．

（1）当每个纪念品定价为3.5元时，商店每天能卖出　   　件；

（2）如果商店要实现每天800元的销售利润，那该如何定价？

21．（7分）在体育活动课中，体育老师随机抽取了九年级甲、乙两班部分学生进行某体育项目的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表，请你根据表中的信息完成下列问题：

（1）频数分布表中a=　   　，b=　   　；

（2）如果该校九年级共有学生900人，估计该校该体育项目的成绩为良和优的学生有多少人？

（3）已知第一组中有两个甲班学生，第二组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生对体育活动课提出建议，则所选两人正好是甲班和乙班各一人的概率是多少？

22．（7分）如图①，两个全等的等腰直角△ABC和△EDC中，∠ACB=∠ECD=90°，点A与点E重合，点D与点B重合．现△ABC不动，把△EDC绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．

（1）如图②，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．求证：CF=CH；

（2）如图③，当α=45°时，试判断四边形ACDM是什么四边形，并说明理由；

（3）如图②，在△EDC绕点C旋转的过程中，连接BD，当旋转角α的度数为　   　时，△BDH是等腰三角形．

五．解答题（共3小题，满分27分）

23．（9分）某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他各项费用80元．

（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；

（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？

（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？

24．（9分）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点， =，弦CD交AB于点E．

（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；

（2）求证：BC2﹣CE2=CE•DE；

（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．

25．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？

（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案

一．选择题

1．解：A、是中心对称图形，

故选：A．

2．解：

∵（x+3）（x﹣7）=0，

∴x+3=0或x﹣7=0，

∴x1=﹣3，x2=7，

故选：C．

3．解：抛物线y=3（x﹣2）2+5的顶点坐标为（2，5），

故选：C．

4．解：x2﹣8x=2，

x2﹣8x+16=18，

（x﹣4）2=18．

故选：C．

5．解：A、是随机事件，故A符合题意；

B、是不可能事件，故B不符合题意；

C、是不可能事件，故C不符合题意；

D、是必然事件，故D不符合题意；

故选：A．

6．解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．

∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE，

∴∠ACD=90°﹣20°=70°，

∵点A，D，E在同一条直线上，

∴∠ADC+∠EDC=180°，

∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°，

∴∠ADC=∠E+20°，

∵∠ACE=90°，AC=CE

∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45°

在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°，

即45°+70°+∠ADC=180°，

解得：∠ADC=65°，

故选：C．

7．解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：B．

8．解：如图所示，OB=OA=R；

∵△ABC是正三角形，

由于正三角形的中心就是圆的圆心，

且正三角形三线合一，

所以BO是∠ABC的平分线；

∠OBD=60°×=30°，

BD=R•cos30°=R•；

根据垂径定理，BC=2×R=R．

故选：C．

9．解：设直线经过的点为A，

∵点A的坐标为（4sin45°，2cos30°），

∴OA=，

∵圆的半径为2，

∴OA＞2，

∴点A在圆外，

∴直线和圆相交，相切、相离都有可能，

故选：D．

10．解：∵OA=OB，∠ABO=40°，

∴∠AOB=100°，

∴∠C=∠AOB=50°，

故选：C．

二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）

11．解：∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根，

∴4+2m+2n=0，

∴n+m=﹣2，

故答案为：﹣2．

12．解：∵点P（2a+3b，2）关于原点的对称点为Q（3，a﹣2b），

∴，

解得，

所以，（3a+b）2018=[3×（﹣）+]2018=52018．

故答案为：52018．

13．解：∵抛物线y=ax2+bx+c上的P（4，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，

∴P，Q两点到对称轴x=1的距离相等，

∴Q点的坐标为：（﹣2，0）．

∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解是x1=﹣2、x2=4，

故答案为：x1=﹣2、x2=4．

14．解：∵抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点为（5，0），

∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（1×2﹣5，0），即（﹣3，0）．

故答案为：（﹣3，0）．

15．解：设圆锥的底面圆的半径为r，

根据题意得2πr=6π，解得r=3，

所以圆锥的高==4（cm）．

故答案为4cm．

16．解：连接OB．

∵AB是⊙O切线，

∴OB⊥AB，

∵OC=OB，∠C=30°，

∴∠C=∠OBC=30°，

∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°，

在Rt△ABO中，∵∠ABO=90°，AB=，∠A=30°，

∴OB=1，

∴S阴=S△ABO﹣S扇形OBD=×1×﹣=﹣．

故答案为=﹣．

三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）

17．解：∵x2﹣2x﹣15=0．

∴a=1，b=﹣2，c=﹣15，

∴b2﹣4ac=4+60=64＞0，

∴x=，

∴x=5或﹣3．

18．（1）解：连接OC．设⊙O的半径为R．

∵CD⊥AB，

∴DE=EC=4，

在Rt△OEC中，∵OC2=OE2+EC2，

∴R2=（R﹣2）2+42，

解得R=5．

（2）证明：连接AD，

∵弦CD⊥AB

∴=，

∴∠ADC=∠AGD，

∵四边形ADCG是圆内接四边形，

∴∠ADC=∠FGC，

∴∠FGC=∠AGD．

19．解：如图所示，△A1B1C1即为所求，

A1（3，﹣2），B1（2，1），C1（﹣2，﹣3）．

四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）

20．解：（1）∵每个定价3元，每天可以能卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10件，

∴当每个纪念品定价为3.5元时，商店每天能卖出：500﹣10×=450（件）；

故答案为：450；

（2）设实现每天800元利润的定价为x元/个，根据题意，得

（x﹣2）（500﹣×10）=800．

整理得：x2﹣10x+24=0．

解之得：x1=4，x2=6．

∵物价局规定，售价不能超过批发价的2.5倍．即2.5×2=5＜6

∴x2=6不合题意，舍去，得x=4．

答：应定价4元/个，才可获得800元的利润．

21．解：（1）a=1﹣（0.15+0.20+0.35）=0.3，

∵总人数为：3÷0.15=20（人），

∴b=20×0.20=4（人）；

故答案为：0.3，4；

（2）900×（0.35+0.3）=585（人），

答：估计该校该体育项目的成绩为良和优的学生有585人；

（3）画树状图如下：

由树状图可知共有12种等可能结果，其中所选两人正好是甲班和乙班各一人的有5种，

所以所选两人正好是甲班和乙班各一人的概率为．

22．（1）证明：∵△ABC和△EDC是全等的等腰直角三角形，

∴∠A=∠B=∠E=∠D=45°，CA=CB=CE=CD，

∵△ABC不动，把△EDC绕点C按顺时针方向旋转，旋转角为α，

∴CA=CD，∠A=∠D，∠ACE=∠BCD=α，

在△CAF和△CDH中

，

∴△CAF≌△CDH，

∴CF=CH；  

（2）解：四边形ACDM是菱形．理由如下：

∵∠ACE=∠BCD=45°，

而∠A=45°，

∴∠AFC=90°，

而∠FCD=90°，

∴AB∥CD，

同理可得AC∥DE，

∴四边形ACDM是平行四边形，

而CA=CD，

∴四边形ACDM是菱形；

（3）解：∵CB=CD，∠BCD=α，

∴∠CBD=∠CDB=（180°﹣α），

∴∠HBD＞∠BDH，

∴当DB=DH或BH=BD时，△BDH是等腰三角形，

∵∠BHD=∠HCD+∠HDC=α+45°，

当DB=DH，则∠HBD=∠BHD，即（180°﹣α）=α+45°，解得α=30°；

当BH=BD，则∠BHD=∠BDH，即α+45°=（180°﹣α）﹣45°，解得α=0（舍去），

∴α=30°，

即当旋转角α的度数为30°时，△BDH是等腰三角形．

故答案为30°．

五．解答题（共3小题，满分18分）

23．解：（1）设y=kx+b，

将x=3.5，y=280；x=5.5，y=120代入，

得，解得，

则y与x之间的函数关系式为y=﹣80x+560；

（2）由题意，得（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80=160，

整理，得x2﹣10x+24=0，

解得x1=4，x2=6．

∵3.5≤x≤5.5，

∴x=4．

答：如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；

（3）由题意得：w=（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80

=﹣80x2+800x﹣1760

=﹣80（x﹣5）2+240，

∵3.5≤x≤5.5，

∴当x=5时，w有最大值为240．

故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．

24．解：（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即∠BAD+∠ABD=90°，

∵PB是⊙O的切线，

∴∠ABP=90°，即∠PBD+∠ABD=90°，

∴∠BAD=∠PBD；

（2）∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB，

∴△ADE∽△CBE，

∴=，即DE•CE=AE•BE，

如图，连接OC，

设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，

则DE•CE=AE•BE=（OA﹣OE）（OB+OE）=r2﹣OE2，

∵=，

∴∠AOC=∠BOC=90°，

∴CE2=OE2+OC2=OE2+r2，BC2=BO2+CO2=2r2，

则BC2﹣CE2=2r2﹣（OE2+r2）=r2﹣OE2，

∴BC2﹣CE2=DE•CE；

（3）∵OA=4，

∴OB=OC=OA=4，

∴BC==4，

又∵E是半径OA的中点，

∴AE=OE=2，

则CE===2，

∵BC2﹣CE2=DE•CE，

∴（4）2﹣（2）2=DE•2，

解得：DE=．

25．解：（1）由抛物线过点A（﹣1，0）、B（4，0）可设解析式为y=a（x+1）（x﹣4），

将点C（0，2）代入，得：﹣4a=2，

解得：a=﹣，

则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2；

（2）由题意知点D坐标为（0，﹣2），

设直线BD解析式为y=kx+b，

将B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：，

解得：，

∴直线BD解析式为y=x﹣2，

∵QM⊥x轴，P（m，0），

∴Q（m，﹣m2+m+2）、M（m， m﹣2），

则QM=﹣m2+m+2﹣（m﹣2）=﹣m2+m+4，

∵F（0，）、D（0，﹣2），

∴DF=，

∵QM∥DF，

∴当﹣m2+m+4=时，四边形DMQF是平行四边形，

解得：m=﹣1或m=3，

即m=﹣1或m=3时，四边形DMQF是平行四边形；

（3）如图所示：

∵QM∥DF，

∴∠ODB=∠QMB，

分以下两种情况：

①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，

则===，

∵∠MBQ=90°，

∴∠MBP+∠PBQ=90°，

∵∠MPB=∠BPQ=90°，

∴∠MBP+∠BMP=90°，

∴∠BMP=∠PBQ，

∴△MBQ∽△BPQ，

∴=，即=，

解得：m1=3、m2=4，

当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，

∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；

②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，

此时m=﹣1，点Q的坐标为（﹣1，0）；

综上，点Q的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．