2018-2019学年广东省汕头市潮南区胪岗镇九年级上期末数学模拟试卷（含答案解析）

广东省汕头市潮南区胪岗镇2018-2019学年九年级（上）

期末数学模拟试卷

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（　　）

A．方程有两个相等的实数根 

B．方程有两个不相等的实数根 

C．没有实数根 

D．无法确定

2．如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3．已知点A（6，3），点B（6，﹣3），则点A与点B的关系是（　　）

A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 

C．关于原点对称 D．没有对称关系

4．半径为10的⊙O和直线l上一点A，且OA=10，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）

A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交

5．一元二次方程（x+2017）2=1的解为（　　）

A．﹣2016，﹣2018 B．﹣2016 

C．﹣2018 D．﹣2017

6．如图，直线l是⊙O的切线，点A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C，D是优弧AC上一点，连接AD、CD．若∠ABO=40°．则∠D的大小是（　　）

A．50° B．40° C．35° D．25°

7．如图，A，B，P是半径为2的⊙上的三点，∠APB=45°，则的长为（　　）

A．π B．2π C．3π D．4π

8．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（　　）

A．﹣1 B．2 C．22 D．30

9．如图，AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作，过点O作AC的平行线交两弧于点D、E，则阴影部分的面积是（　　）

A． B． C．2 D．

10．某城市广场中有一块圆形憩息地，市政府拟在此区域内修建一个菱形花坛（如图）；花坛中心A与憩息地圆心重合，A到菱形的顶点B的距离为5m，B到圆周上C点的距离为4m，则花坛的边长是（　　）

A．8m B．8.5m C．9m D． m

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11．我们定义：关于x的函数y=ax2+bx与y=bx2+ax（其中a≠b）叫做互为交换函数．如y=3x2+4x与y=4x2+3x是互为交换函数．如果函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，那么b=　   　．

12．如图，A（4，0），B（0，2），将线段AB绕原点O顺时针旋转90°，线段AB的中点C恰好落在抛物线y=ax2上，则a=　   　．

13．某十字路口设有交通信号灯，东西向信号灯的开启规律如下：红灯开启30秒后关闭，紧接着黄灯开启3秒后关闭，再紧接着绿灯开启42秒，按此规律循环下去．如果不考虑其他因素，当一辆汽车沿东西方向随机地行驶到该路口时，遇到红灯的概率是　   　．

14．已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，圆锥的母线是　   　cm．

15．已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为　   　．

16．如图，△ABC的周长为8，⊙O与BC相切于点D，与AC的延长线相切于点E，与AB的延长线相切于点F，则AF的长为　   　．

三．解答题（共3小题，满分24分）

17．（6分）解下列方程：

（1）x2﹣2x﹣2=0；

（2）（x﹣1）（x﹣3）=8．

18．（6分）小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．

（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是　   　．

（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．

（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）

19．（12分）如图所示，已知在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．

（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；

（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等．

四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）

20．（7分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，请仅用无刻度的直尺在下列图形中按要求画图．

（1）在图1中，已知OD⊥BC于点D，画出∠A的角平分线；

（2）在图2中，已知OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，画出∠A的角平分线．

21．（7分）已知关于x的方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1=0．

（1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；

（2）当a为何值时，方程仅有一个根？求出此时a的值及方程的根．

22．（7分）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：

（1）填空：每天可售出书　   　本（用含x的代数式表示）；

（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？

五．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）

23．（9分）如图，∠MAN=30°，点O为边AN上一点，以O为圆心，4为半径作⊙O交AN于D，E两点．

（1）当⊙O与AM相切时，求AD的长；

（2）如果AD=2，那么AM与⊙O又会有怎样的位置关系？并说明理由．

24．（9分）某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：

（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？

25．（9分）有一个二次函数满足以下条件：

①函数图象与x轴的交点坐标分别为A（1，0），B（x2，y2）（点B在点A的右侧）；

②对称轴是x=3；

③该函数有最小值是﹣2．

（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；

（2）将该函数图象x＞x2的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，平行于x轴的直线与图象“G”相交于点C（x3，y3）、D（x4，y4）、E（x5，y5）（x3＜x4＜x5），结合画出的函数图象求x3+x4+x5的取值范围．

参考答案

一．选择题

1．解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：B．

2．解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形．

故选：A．

3．解：∵点A（6，3），点B（6，﹣3）的横坐标相同，纵坐标互为相反数，

∴点A与点B关于x轴对称．

故选：A．

4．【解答】解：若OA⊥l，则圆心O到直线l的距离就是OA的长，等于半径，所以直线l与⊙O相切；

若OA与直线l不垂直，根据垂线段最短，圆心O到直线l的距离小于5，即小于半径，所以直线l与⊙O相交．

故选：D．

5．解：x+2017=±1，

所以x1=﹣2018，x2=﹣2016．

故选：A．

6．解：∵AB是⊙O的切线，

∴OA⊥AB，

∴∠OAB=90°，

∵∠B=38°，

∴∠AOB=90°﹣40°=50°，

∴∠D=∠AOB=25°．

故选：D．

7．解：连接OA、OB，

∵∠APB=45°，

∴∠AOB=2∠APB=90°，

∴的长为=π，

故选：A．

8．解：∵α、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，

∴α+β=2，α2﹣2α﹣4=0，

∴α2=2α+4

∴α3+8β+6=α•α2+8β+6

=α•（2α+4）+8β+6

=2α2+4α+8β+6

=2（2α+4）+4α+8β+6

=8α+8β+14

=8（α+β）+14=30，

故选：D．

9．解：如图，连接CE．

∵AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作弧AB，

∴∠ACB=90°，OB=OC=OD=2，BC=CE=4．

又∵OE∥AC，

∴∠ACB=∠COE=90°．

∴在直角△OEC中，OC=2，CE=4，

∴∠CEO=30°，∠ECB=60°，OE=2

∴S阴影=S扇形BCE﹣S扇形BOD﹣S△OCE=﹣π×22﹣×2×2=﹣2，

故选：A．

10．解：如图，连接AD．

A为菱形的圆心，易证得四边形ABDE为矩形，∴BE=AD

∵AD=AC=AB+BC=9cm，

∴BE=AD=9cm

即菱形的边长为9cm．

故选：C．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11．解：∵由题意函数y=2x2+bx的交换函数为y=bx2+2x，

∵函数y=2x2+bx与它的交换函数图象顶点关于x轴对称，两个函数的对称轴相同，

∴﹣=﹣，

解得b=﹣2或2，

∵互为交换函数a≠b，

故答案为：﹣2．

12．解：∵A（4，0），B（0，2），

∴将线段AB绕原点O顺时针旋转90°后，对应点A′（0，﹣4），B′（2，0），

∴线段AB的中点C的对应点C′（1，﹣2），

∵点C′恰好落在抛物线y=ax2上，

∴﹣2=a，

故答案为：a=﹣2．

13．解：∵红灯亮30秒，黄灯亮3秒，绿灯亮42秒，

∴P（红灯亮）==，

故答案为：．

14．解：设母线长为R，则：65π=π×5R，

解得R=13cm．

15．解：设方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0两根为x1，x2

得x1+x2=﹣（2k+1），x1•x2=k2﹣2，

△=（2k+1）2﹣4×（k2﹣2）=4k+9≥0，

∴k≥﹣，

∵x12+x22=11，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2=11，

∴（2k+1）2﹣2（k2﹣2）=11，

解得k=1或﹣3；

∵k≥﹣，

故答案为：1．

16．解：∵AB、AC的延长线与圆分别相切于点E、F，

∴AF=AE，

∵圆O与BC相切于点D，

∴CE=CD，BF=BD，

∴BC=DC+BD=CE+BF，

∵△ABC的周长等于8，

∴AB+AC+BC=8，

∴AB+AC+CE+BF=8，

∴AF+AE=8，

∴AF=4．

故答案为4

三．解答题（共3小题，满分24分）

17．解：（1）x2﹣2x﹣2=0

x2﹣2x+1=3

（x﹣1）2=3，

x﹣1=±，

x1=+1，x2=﹣+1；

（2）原方程变形为：x2﹣4x﹣5=0

（x﹣5）（x+1）=0

x1=5，x2=﹣1．

18．解：（1）∵第一道单选题有3个选项，

∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：；

故答案为：；

（2）分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，

画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，

∴小明顺利通关的概率为：；

（3）∵如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；

∴建议小明在第一题使用“求助”．

19．解：（1）∵旋转角为90°，

∴∠AOF=90°，

∴EF⊥AC．

∵AB⊥AC，

∴AB∥FE．

∵AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形．

（2）∵∠FAO=∠ECO，∠AOF=∠COE，OA=OC，

∴△AFO≌△CEO，

∴AF=EC．

四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）

20．解：（1）如图1所示：AM即为所求；

（2）如图2所示：AN即为所求．

21．解：（1）将x=2代入方程（a﹣1）x2+2x+a﹣1=0，

解得：a=．

将a=代入原方程得﹣x2+2x﹣=0，

解得：x1=，x2=2．

∴a=，方程的另一根为．

（2）①当a=1时，方程为2x=0，

解得：x=0；

②当a≠1时，由b2﹣4ac=0得4﹣4（a﹣1）2=0，

解得：a=2或0．

当a=2时，原方程为：x2+2x+1=0，

解得：x1=x2=﹣1；

当a=0时，原方程为：﹣x2+2x﹣1=0，

解得： ==1．

22．解：（1）∵每本书上涨了x元，

∴每天可售出书（300﹣10x）本．

故答案为：（300﹣10x）．

（2）设每本书上涨了x元（x≤10），

根据题意得：（40﹣30+x）（300﹣10x）=3750，

整理，得：x2﹣20x+75=0，

解得：x1=5，x2=15（不合题意，舍去）．

答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．

五．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）

23．解：（1）设AM与⊙O相切于点B，并连接OB，则OB⊥AB；

在△AOB中，∠A=30°，

则AO=2OB=8，

所以AD=AO﹣OD，

即AD=4．

（2）AM与⊙O相交，理由如下：

如图2，过点O作OF⊥AM于F，

∴∠AFO=90°，

∴sinA=，

∴OF=OA•sinA，

∵AD=2，DO=4，

∴AO=AD+DO=6，且∠A=30°，

∴OF=6•sin30°=3＜4，

∴AM与⊙O相交．

24．解：（1）根据题意得y=（70﹣x﹣50）（300+20x）=﹣20x2+100x+6000，

∵70﹣x﹣50＞0，且x≥0，

∴0≤x＜20；

（2）∵y=﹣20x2+100x+6000=﹣20（x﹣）2+6125，

∴当x=时，y取得最大值，最大值为6125，

答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元．

25．解：（1）由上述信息可知该函数图象的顶点坐标为：（3，﹣2）

设二次函数表达式为：y=a（x﹣3）2﹣2．

∵该图象过A（1，0）

∴0=a（1﹣3）2﹣2，解得a=．

∴表达式为y=（x﹣3）2﹣2

（2）如图所示：

由已知条件可知直线与图形“G”要有三个交点

1当直线与x轴重合时，有2个交点，由二次函数的轴对称性可求x3+x4=6，

∴x3+x4+x5＞11．

当直线过y=（x﹣3）2﹣2的图象顶点时，有2个交点，

由翻折可以得到翻折后的函数图象为y=﹣（x﹣3）2+2

∴令（x﹣3）2+2=﹣2时，解得x=3+2或x=3﹣2（舍去）

∴x3+x4+x5＜9+2．

综上所述11＜x3+x4+x5＜9+2．