2018-2019学年广东省广州市越秀区九年级上期末数学模拟试卷含答案解析

这是一份2018-2019学年广东省广州市越秀区九年级上期末数学模拟试卷含答案解析，共21页。试卷主要包含了下列事件中必然发生的事件是，下列关于抛物线 y＝3， 故选，【解答】解等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）
下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
B．
C．D．
将抛物线 y＝x2﹣6x+21 向左平移 2 个单位后，得到新抛物线的解析式为（）
A．y＝ （x﹣8）2+5B．y＝ （x﹣4）2+5
C．y＝ （x﹣8）2+3D．y＝ （x﹣4）2+3 3．下列事件中必然发生的事件是（）
A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式
C．200 件产品中有 5 件次品，从中任意抽取 6 件，至少有一件是正品
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数
已知 x＝3 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x﹣m＝0 的根，则该方程的另一个根是（）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝4，BC 的中点为 D．将△ ABC 绕点 C 顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF 的中点为 G，连接 DG．在旋转过程中，DG 的最大值是（ ）
A．4 B．6C．2+2 D．8
要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为 5cm，6cm 和 9cm， 另一个三角形的最短边长为 2.5cm，则它的最长边为（ ）
A．3cmB．4cmC．4.5cmD．5cm 7．下列关于抛物线 y＝3（x﹣1）2+1 的说法，正确的是（）
A．开口向下B．对称轴是 x＝﹣1
C．顶点坐标是（﹣1，1）D．有最小值 y＝1
8．关于 x 的一元二次方程 kx2+2x﹣1＝0 有两个不相等实数根，则 k 的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k≠0D．k＞﹣1 且 k≠0 9．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，对正方形 ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把
每个点的横、纵坐标都乘以同一个实数 a，将得到的点先向右平移 m 个单位，再向上平移 n 个单位（m＞0，n＞0），得到正方形 A'B'C'D'及其内部的点，其中点 A、B 的对应点分别为 A'，B'．已知正方形 ABCD 内部的一个点 F 经过上述操作后得到的对应点 F'与点F 重合，则点 F 的坐标是（ ）
A．（1，4）B．（1，5）C．（﹣1，4）D．（4，1） 10．已知正六边形的边长为 4，则它的内切圆的半径为（）
A.1 B． C．2D．2
二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）
若一平行四边形的 3 个顶点坐标分别为（0，0），（4，0），（2，4），则第 4 个顶点坐标是 ．
在一个不透明的口袋中装有 5 个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过
多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.25 附近，则估计口袋中白球大约有个．
抛物线 y＝2（x+1）2﹣3 的顶点坐标为 ．
如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径 CA＝6，圆心角∠ACB＝120°，则此圆锥高 OC 的长度是 ．
若矩形 ABCD 的两邻边长分别为一元二次方程 x2﹣6x+4＝0 的两个实数根，则矩形 ABCD
的周长为 ．
若△ABC∽△A′B′C′，且△ABC 与△A′B′C′的面积之比为 1：3，则相似比为 ．
三．解答题（共 9 小题，满分 102 分）
17．解方程：x（x+4）＝﹣3（x+4）．
在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示．（每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形）
画出△ABC 关于原点对称的△A'B'C'；
将△A'B'C'绕点 C'顺时针旋转 90°，画出旋转后得到的△A″B″C″，并直接写出此过程中线段 C'A'扫过图形的面积．（结果保留π）
如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别 标有数字 1，2，3．
( 1 ) 小明转动转盘一次， 当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ；
(2)小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是 3 的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．
如图，AC 是▱ABCD 的对角线，在 AD 边上取一点 F，连接 BF 交 AC 于点 E，并延长BF 交 CD 的延长线于点 G．
若∠ABF＝∠ACF，求证：CE2＝EF•EG；
若 DG＝DC，BE＝6，求 EF 的长．
某公司今年 1 月份的生产成本是 400 万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3 月份
的生产成本是 361 万元．
假设该公司 2、3、4 月每个月生产成本的下降率都相同．
求每个月生产成本的下降率；
请你预测 4 月份该公司的生产成本．
如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°．
作出经过点 B，圆心 O 在斜边 AB 上且与边 AC 相切于点 E 的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
设（1）中所作的⊙O 与边 AB 交于异于点 B 的另外一点 D，若⊙O 的直径为 5，BC＝ 4；求 DE 的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）
抛物线 y＝ax2+2ax+c（a＞0，c＜0），与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧），与 y 轴交于点 C，A 点坐标为（﹣3，0），抛物线顶点为 D，△ACD 的面积为 3．
求二次函数解析式；
点 P（m，n）是抛物线第三象限内一点，P 关于原点的对称点 Q 在第一象限内，当
QB2 取最小值时，求 m 的值．
如图，已知二次函数 y＝ax2+bx﹣3a 经过点 A（﹣1，0），C（0，3），与 x 轴交于另一点 B，抛物线的顶点为 D．
求此二次函数解析式；
连接 DC、BC、DB，求证：△BCD 是直角三角形；
在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于 H，过 CD 延长线上一点 E 作⊙O 的切线交 AB
的延长线于 F，切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K．
如图 1，求证：KE＝GE；
如图 2，连接 CABG，若∠FGB＝∠ACH，求证：CA∥FE；
如图 3，在（2）的条件下，连接 CG 交 AB 于点 N，若 sinE＝，AK＝ ，求 CN
的长．
参考答案
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误． 故选：B．
【解答】解：
＝ （x2﹣12x）+21
＝ [（x﹣6）2﹣36]+21
＝ （x﹣6）2+3，
故 y＝（x﹣6）2+3，向左平移 2 个单位后， 得到新抛物线的解析式为：y＝ （x﹣4）2+3． 故选：D．
【解答】解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；
B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；
C、200 件产品中有 5 件次品，从中任意抽取 6 件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；
D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误； 故选：C．
【解答】解：设方程的另一个根为x1，根据题意得：x1+3＝2，
解得：x1＝﹣1． 故选：D．
5．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝AC÷cs30°＝4 ÷＝8，
BC＝AC•tan30°＝4 ×＝4，
∵BC 的中点为 D，
∴CD＝ BC＝ ×4＝2，
连接 CG，∵△ABC 绕点 C 顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF 的中点为 G，
∴CG＝ EF＝ AB＝ ×8＝4，
由三角形的三边关系得，CD+CG＞DG，
∴D、C、G 三点共线时 DG 有最大值， 此时 DG＝CD+CG＝2+4＝6．
故选：B．
【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得： ＝ ，
解得：x＝4.5，
即另一个三角形的最长边长为 4.5cm， 故选：C．
【解答】解：抛物线 y＝3（x﹣1）2+1 中 a＝3＞0，开口向上；对称轴为直线 x＝1；顶点坐标为（1，1）；当 x＝1 时取得最小值 y＝1；
故选：D．
8．【解答】解：根据题意得 k≠0 且△＝22﹣4k×（﹣1）＞0，所以 k＞﹣1 且 k≠0．
故选：D．
【解答】解：由点 A 到 A′，可得方程组；由 B 到 B′，可得方程组，
解得，
设 F 点的坐标为（x，y），点 F′点 F 重合得到方程组，
解得，
即 F（1，4）．故选：A．
10【解答】解：如图，连接 OA、OB，OG；
∵六边形 ABCDEF 是边长为 4 的正六边形，
∴△OAB 是等边三角形，
∴OA＝AB＝4，
∴OG＝OA•sin60°＝4× ＝2，
∴边长为 4 的正六边形的内切圆的半径为：2． 故选：D．
二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）
11．【解答】解：如图，第 4 个顶点坐标是（6，4）或（﹣2，4）或（2，﹣4）．故答案为：（6，4）或（﹣2，4）或（2，﹣4）．
12【解答】解：设白球个数为：x 个，
∵摸到红色球的频率稳定在 0.25 左右，
∴口袋中得到红色球的概率为 0.25，
∴ ＝ ， 解得：x＝15，
即白球的个数为 15 个， 故答案为：15．
13【解答】解：顶点坐标是（﹣1，﹣3）．故答案为：（﹣1，﹣3）．
14【解答】解：设圆锥底面圆的半径为 r，
∵AC＝6，∠ACB＝120°，
∴＝ ＝2πr，
∴r＝2，即：OA＝2，
在 Rt△AOC 中，OA＝2，AC＝6，根据勾股定理得，OC＝＝4 ， 故答案为：4 ．
15【解答】解：∵设矩形 ABCD 的两邻边长分别为α、β是一元二次方程 x2﹣6x+4＝0 的两个实数根，
∴α+β＝6，
∴矩形 ABCD 的周长为 6×2＝12． 故答案为：12．
16【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′的面积之比为 1：3，
∴△ABC 与△A′B′C′的相似比为 1：． 故答案为：1： ．
三．解答题（共 9 小题，满分 102 分）
17．【解答】解：x（x+4）+3（x+4）＝0，
（x+4）（x+3）＝0，
x+4＝0 或 x+3＝0，
所以 x1＝﹣4，x2＝﹣3．
18【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求．
（2）如图所示，△A″B″C″即为所求，
∵A′C′＝ ＝3 ，∠A′C′A″＝90°，
∴线段 C'A'扫过图形的面积＝ π．
19【解答】解：（1）∵在标有数字 1、2、3 的 3 个转盘中，奇数的有 1、3 这 2 个，
∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ， 故答案为： ；
（2）列表如下：
1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
由表可知，所有等可能的情况数为 9 种，其中这两个数字之和是 3 的倍数的有 3 种，
所以这两个数字之和是 3 的倍数的概率为＝ ．
20【解答】解：（1）∵AB∥CG，
∴∠ABF＝∠G，
又∵∠ABF＝∠ACF，
∴∠ECF＝∠G，
又∵∠CEF＝∠CEG，
∴△ECF∽△EGC，
∴ ，即 CE2＝EF•EG；
（2）∵平行四边形 ABCD 中，AB＝CD， 又∵DG＝DC，
∴AB＝CD＝DG，
∴AB：CG＝1：2，
∵AB∥CG，
∴ ，
即 ，
∴EG＝12，BG＝18，
∵AB∥DG，
∴ ，
∴BF＝ BG＝9，
∴EF＝BF﹣BE＝9﹣6＝3．
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
21【解答】解：（1）设每个月生产成本的下降率为 x，根据题意得：400（1﹣x）2＝361，
解得：x1＝0.05＝5%，x2＝1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为 5%．
（2）361×（1﹣5%）＝342.95（万元）．
答：预测 4 月份该公司的生产成本为 342.95 万元．
22【解答】解：（1）⊙O 如图所示；
作 OH⊥BC 于 H．
∵AC 是⊙O 的切线，
∴OE⊥AC，
∴∠C＝∠CEO＝∠OHC＝90°，
∴四边形 ECHO 是矩形，
∴OE＝CH＝ ，BH＝BC﹣CH＝ ，
在 Rt△OBH 中，OH＝＝2，
∴EC＝OH＝2，BE＝ ＝2 ，
∵∠EBC＝∠EBD，∠BED＝∠C＝90°，
∴△BCE∽△BED，
∴ ＝ ，
∴ ＝，
∴DE＝ ．
23【解答】解：（1）把 A（﹣3，0）代入 y＝ax2+2ax+c 得到 c＝﹣3a，
∴抛物线的解析式为 y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a，
∴D（﹣1，﹣4a），C（0，﹣3a），
∵S△ACD＝S△AOD+S△OCD﹣S△AOC，
∴ ×3×4a+ ×3a×1﹣ ×3×3a＝15， 解得 a＝1，
∴抛物线的解析式为 y＝x2+2x﹣3．
（2）由题意 Q（﹣m，﹣n），B（1，0），
∴QB2＝（m+1）2+n2，
∵n＝（m+1）2﹣4，
∴（m+1）2＝n+4，
∴QB2＝n+4+n2＝（n+ ）2+ ，
∴n＝﹣ 时，QB2 有最小值， 此时﹣＝（m+1）2﹣4，
∴当 QB2 取最小值时，m 的值为﹣1﹣
解得 m＝﹣1﹣或﹣1+（舍弃）．
．
24．【解答】解：（1）∵二次函数 y＝ax2+bx﹣3a 经过点 A（﹣1，0）、C（0，3），
∴根据题意，得， 解得，
∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2x+3．
（2）由 y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4 得，D 点坐标为（1，4），
∴CD＝ ＝ ，
BC＝ ＝3 ，
BD＝ ＝2 ，
∵CD2+BC2＝（ ）2+（3 ）2＝20，BD2＝（2 ）2＝20，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴△BCD 是直角三角形；
存在．
y＝﹣x2+2x+3 对称轴为直线 x＝1．
①若以 CD 为底边，则 P1D＝P1C，
设 P1 点坐标为（x，y），根据勾股定理可得 P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）
2，
因此 x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2， 即 y＝4﹣x．
又 P1 点（x，y）在抛物线上，
∴4﹣x＝﹣x2+2x+3， 即 x2﹣3x+1＝0，
解得 x1＝，x2＝ ＜1，应舍去，
∴x＝，
∴y＝4﹣x＝，
即点 P1 坐标为（，）．
②若以 CD 为一腰，
∵点 P2 在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点 P2 与点 C 关于直线 x＝1 对称， 此时点 P2 坐标为（2，3）．
∴符合条件的点 P 坐标为
25．【解答】（1）证明：连接 OG．
∵EF 切⊙O 于 G，
∴OG⊥EF，
∴∠AGO+∠AGE＝90°，
∵CD⊥AB 于 H，
∴∠AHD＝90°，
∴∠OAG＝∠AKH＝90°，
∵OA＝OG，
∴∠AGO＝∠OAG，
∴∠AGE＝∠AKH，
∵∠EKG＝∠AKH，
∴∠EKG＝∠AGE，
∴KE＝GE．
设∠FGB＝α，
∵AB 是直径，
∴∠AGB＝90°，
∴∠AGE＝∠EKG＝90°﹣α，
∴∠E＝180°﹣∠AGE﹣∠EKG＝2α，
∵∠FGB＝ ∠ACH，
∴∠ACH＝2α，
∴∠ACH＝∠E，
∴CA∥FE．
作 NP⊥AC 于 P．
∵∠ACH＝∠E，
∴sin∠E＝sin∠ACH＝ ＝ ，设 AH＝3a，AC＝5a， 则 CH＝＝4a，tan∠CAH＝ ＝ ，
∵CA∥FE，
∴∠CAK＝∠AGE，
∵∠AGE＝∠AKH，
∴∠CAK＝∠AKH，
∴AC＝CK＝5a，HK＝CK﹣CH＝a，tan∠AKH＝ ＝3，AK＝＝a，
∵AK＝ ，
∴ a＝ ，
∴a＝1．AC＝5，
∵∠BHD＝∠AGB＝90°，
∴∠BHD+∠AGB＝180°，
在四边形 BGKH 中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG＝360°，
∴∠ABG+∠HKG＝180°，∵∠AKH+∠HKG＝180°，
∴∠AKH＝∠ABG，
∵∠ACN＝∠ABG，
∴∠AKH＝∠ACN，
∴tan∠AKH＝tan∠ACN＝3，
∵NP⊥AC 于 P，
∴∠APN＝∠CPN＝90°，
在 Rt△APN 中，tan∠CAH＝＝ ，设 PN＝12b，则 AP＝9b， 在 Rt△CPN 中，tan∠ACN＝＝3，
∴CP＝4b，
∴AC＝AP+CP＝13b，
∵AC＝5，
∴13b＝5，
∴b＝ ，
∴CN＝＝4b＝．