2018-2019学年初三数学上期末测试(一)

期末测试(一)

(满分：120分　考试时间：120分钟)

一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1.一元二次方程x2－4＝0的根是(D)

A．2               B．－2                 C.               D．±2

2．下列剪纸作品是中心对称图形的是(B)

      A　　　　  　  B　　　　　C　　　　　　　D

3．“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是(D)

A．确定事件           B．必然事件       C．不可能事件          D．不确定事件

4．下列一元二次方程没有实数根的是(C)

A．x2＋6x＋9＝0                     B．x2－5＝0     

 C．x2＋x＋3＝0                    D．x2－2x－1＝0

5．关于抛物线y＝x2－4x＋4，下列说法错误的是(B)

A．开口向上                        B．与x轴有两个重合的交点

C．对称轴是直线x＝2                D．当x＞2时，y随x的增大而减小

6．我们学习了一次函数和二次函数，回顾学习过程，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是(B)

A．演绎           B．数形结合               C．抽象           D．公理化

7．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED.若线段AB＝3，则BE＝(B)

A．2                B．3                    C．4               D．5

8．如图，以AB为直径，点O为圆心的半圆经过点C，若AC＝BC＝，则图中阴影部分的面积是(A)

A.                B.＋                C.               D.＋

9．如图，一边靠墙(墙有足够长)，其它三边用12 m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园，这个花园的最大面积是(C)

A．16 m2           B．12 m2             C．18 m2                D．以上都不对

10．如图所示，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象正好经过坐标原点，对称轴为直线x＝－，给出以下四个结论：①abc＝0；②a－b＋c＞0；③a＜b；④4ac－b2＜0.正确的有(C)

A．1个              B．2个             C．3个              D．4个

二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

11．已知关于x的方程x2＋3x＋2a＋1＝0的一个根是0，则a＝－．

12．某文具店七月份销售铅笔200支，八、九两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该文具店九月份销售铅笔的支数是200(1＋x)2(用含x的代数式表示)．

13．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，则袋中约有绿球3个．

14．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝8，BC＝4，则∠BDC＝30度．

15．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(m－2，0)和点B，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐

标为(m，c)，则点B的坐标是(2，0)．

三、解答题(本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16．(本题共2个小题，每小题5分，共10分)解方程：

(1)2x2－6x－1＝0；

解：a＝2，b＝－6，c＝－1，

Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×2×(－1)＝44.

∴x＝.

∴x1＝，x2＝.　　　　　　　　　　

　(2)2y(y＋2)－y＝2.

解：2y(y＋2)－y－2＝0.

2y(y＋2)－(y＋2)＝0.

(y＋2)(2y－1)＝0.

∴y1＝－2，y2＝.

17．(本题7分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4，4)，B(－2，1)，C(－1，3)．

(1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为(5，4)，写出顶点A1，B1的坐标；

(2)若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；

(3)将△ABC绕着点O按逆时针方向旋转90°得到△A3B3C3，画出△A3B3C3.

解：(1)A1(2，5)，B1(4，2)．

(2)A2(4，－4)，B2(2，－1)，C2(1，－3)．

(3)△A3B3C3如图所示．

18．(本题8分)请阅读下列材料，并解决问题：

阿尔·卡西的石榴问题

阿尔·卡西(约1380－1429年)是阿拉伯数学家，在其所著《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了．如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？”

这个问题题对于初中生来说解答非常困难，需要学会以下知识．

人们解答问题：求1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n(n为正整数)的值时，用“头尾相加法”推导得出了一个公式．

方法：把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2.

1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n

即：1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＝.

请求出“阿尔·卡西的石榴问题”中这群人共有多少人？

解：设有x人，总共摘了1＋2＋3＋…＋(x－1)＋x＝个石榴．

又每个人分到6个石榴，就表示石榴有6x个．

依题意，得＝6x.解得x1＝0(舍去)，x2＝11.

所以这群人共有11人．

19．(本题8分)在校园文化艺术节中，九年级一班有1名男生和2名女生获得美术奖，另有2名男生和2名女生获得音乐奖．

(1)从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，求刚好是男生的概率；

(2)分别从获得美术奖、音乐奖的学生中各选取1名参加颁奖大会，用列表或树状图求刚好是一男生一女生的概率．

解：(1)从获得美术奖和音乐奖的7名学生中选取1名参加颁奖大会，刚好是男生的概率为＝.

(2)画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中刚好是一男生一女生的结果有6种，

所以刚好是一男生一女生的概率为＝.

20．(本题8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE.

(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段DE的长．

解：(1)直线DE与⊙O相切，理由如下：

连接OD，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ODA.

∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED.∴∠B＝∠EDB.

∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∴∠ODA＋∠EDB＝90°.

∴∠ODE＝180°－90°＝90°，即OD⊥DE.

又∵OD为⊙O的半径，

∴直线DE与⊙O相切．

(2)连接OE，

设DE＝x，则EB＝ED＝x，CE＝8－x，OC＝4.

∵∠C＝∠ODE＝90°，∴OC2＋CE2＝OE2＝OD2＋DE2.∴42＋(8－x)2＝22＋x2.解得x＝4.75，

∴DE＝4.75.

21．(本题10分)某山西特产专卖店销售某种核桃，原来平均每天可销售200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种核桃每千克降价1元，则每天可多售出20千克．

(1)设每千克核桃降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数解析式；

(2)若要销售这种核桃平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？

解：(1)根据题意，可得y＝(200＋20x)(6－x)．

化简，得y＝－20x2－80x＋1 200.

(2)当y＝960时，－20x2－80x＋1 200＝960.

即(x＋2)2＝16.

解得x1＝2，x2＝－6(舍去)．

∴要使平均每天盈利960元，则每千克应降价2元．

22．(本题11分)综合与探究：

(1)操作发现：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点C为中心，把△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C；再以点A为中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△AB2C1，连接A1C1，则A1C1与AC的位置关系为平行；

(2)探究证明：如图2，当△ABC是锐角三角形，∠ACB＝α(α≠60°)时，将△ABC按照(1)中的方式，以点C为中心，把△ABC顺时针旋转α，得到△A1B1C；再以点A为中心，把△ABC逆时针旋转α，得到△AB2C1，连接A1C1，

①探究AC1与BC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；

②探究A1C1与AC的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明．

解：①AC1∥BC.

证明：由旋转的性质，知∠CAC1＝α.

又∵∠ACB＝α，

∴∠CAC1＝∠ACB.

∴AC1∥BC.

②A1C1∥AC.

证明：过点A1作A1E∥AC1，交AC于点E.

∴∠A1EC＝∠CAC1＝α.

又由旋转的性质知∠A1CA＝∠CAC1＝α，A1C＝AC1，

∴∠A1EC＝∠ACA1＝α.

∴A1E＝A1C.

∴AC1＝A1E.

∴四边形AEA1C1为平行四边形．

∴A1C1∥AC.

23．(本题13分)综合与探究：

如图，抛物线y＝－x2＋2x＋与x轴相交于A，B两点，点B在点A的右侧，与y轴相交于点C.

(1)求点A，B，C的坐标；

(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标；

(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)当x＝0时，y＝，∴C(0，)．

当y＝0时，－x2＋2x＋＝0，化简，得

x2－4x－5＝0.

解得x1＝5，x2＝－1.

∴A(－1，0)，B(5，0)．

(2)连接BC，交对称轴于点P，连接AP.

∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称，∴AP＝PB.要使PA＋PC的值最小，则应使PB＋PC的值最小，所以BC与对称轴的交点P使得PA＋PC的值最小．设BC的解析式为y＝kx＋b.

将B(5，0)，C(0，)代入，可得　解得∴y＝－x＋.

抛物线的对称轴为直线x＝－＝2.

当x＝2时，y＝－×2＋＝.∴P(2，)．

(3)①当N在x轴上方，

此时AM1＝CN，且AM1∥CN1.则N1(4，)．

∴四边形ACN1M1是平行四边形．

②当N在x轴下方：

作N2D⊥AM2，交AM2于点D.

如果四边形ACM2N2是平行四边形．

∴AC∥M2N2，AC＝M2N2.

∴∠CAO＝∠N2M2D.

又∵∠AOC＝∠M2DN2，

∴△AOC≌△M2DN2(AAS)．

∴DN2＝OC＝.

当y＝－时，－x2＋2x＋＝－.

∴x1＝2－，x2＝2＋.

∴N2(2＋，－)，N3(2－，－)．

综上所述，点N的坐标为(4，)，(2＋，－)或(2－，－)．