2018-2019学年云南省腾冲县九年级上学期期末考试数学试题含答案解析

这是一份2018-2019学年云南省腾冲县九年级上学期期末考试数学试题含答案解析，共21页。试卷主要包含了下列各组数中，互为相反数的是，下列运算正确的是，不等式组的解集在数轴上表示为，关于二次函数y＝，若反比例函数的图象经过点A，分解因式等内容，欢迎下载使用。

云南省腾冲县2019届九年级上学期期末考试数学试题
一．选择题（满分32分，每小题4分）
1．下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．|﹣|与﹣ B．|﹣|与﹣ C．|﹣|与 D．|﹣|与
2．下列运算正确的是（　　）
A．3x+4y＝7xy B．（﹣a）3•a2＝a5
C．（x3y）5＝x8y5 D．m10÷m7＝m3
3．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
5．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（　　）
实验次数
100
200
300
500
800
1000
2000
频率
0.365
0.328
0.330
0.334
0.336
0.332
0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
D．抛一枚硬币，出现反面的概率
6．关于二次函数y＝（x+1）2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下
B．经过原点
C．对称轴右侧的部分是下降的
D．顶点坐标是（﹣1，0）
7．若一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的全面积为（　　）
A．15πcm2 B．24πcm2 C．39πcm2 D．48πcm2
8．若反比例函数的图象经过点A（，﹣2），则一次函数y＝﹣kx+k与在同一坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（满分18分，每小题3分）
9．将473000用科学记数法表示为　 　．
10．分解因式：4m2﹣16n2＝　 　．
11．已知一组数据1，2，1，0，﹣1，﹣2，0，﹣1，则这组数据的平均数为　 　，中位数为　 　，方差为　 　．
12．⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，若⊙C与⊙O有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是　 　．
13．点（2，3）关于原点对称的点的坐标是　 　．
14．函数中自变量x的取值范围是　 　；函数中自变量x的取值范围是　 　．
三．解答题（共9小题，满分70分）
15．（5分）计算： sin45°﹣|﹣3|+（2018﹣）0+（）﹣1
16．（5分）（1）计算：（﹣2ab）2+a2（a+2b）（a﹣2b）+a8÷a2
（2）解方程：＝1
（3）先化简，再求值：÷，其中x＝﹣．
17．（6分）在直角坐标系中△ABC三个顶点坐标分别为A（7，1）、B（8，2）、C（9，0）．

（1）请在图中画出△ABC的一个以点P （12，0）为位似中心，相似比为3的位似图形△A′B′C′（要求与△ABC同在P点一侧）；
（2）请直接写出点B′及点C′的坐标；
（3）求线段BC的对应线段B′C′所在直线的解析式．
18．（8分）2007年上海国际汽车展期间，某公司对参观本次车展盛会的且有购车意向的消费者进行了随机问卷调查，共发放900份调查问卷，并收回有效问卷750份．工作人员对有效调查问卷作了统计，其中：
①将消费者年收入的情况整理后，制成表格如下：
年收入（万元）
4.8
6
7.2
9
10
被调查的消费者人数（人）
150
338
160
60
42
②将消费者打算购买小车的情况整理后，绘制出频数分布直方图（如图，尚未绘完整）．（注：每组包含最小值不包含最大值．）请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）根据①中信息可知，被调查消费者的年收入的中位数是　 　万元．
（2）请在图中补全这个频数分布直方图．
（3）打算购买价格10万元以下（不含10万元）小车的消费者人数占被调查消费者人数的百分比是　 　．
（4）本次调查的结果，是否能够代表全市所有居民的年收入情况和购车意向？为什么？

19．（8分）已知，如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线交于点P．
①求证：四边形CODP是菱形．
②若AD＝6，AC＝10，求四边形CODP的面积．

20．（9分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠B＝60°．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC＝4时，求劣弧的长．

21．（9分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）下表是该小学的作息时间，若同学们希望在上午第一节下课8：20时能喝到不超过40℃的开水，已知第一节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么时间或时间段接通饮水机电源．（不可以用上课时间接通饮水机电源）
时间
节次
上

午
7：20
到校
7：45～8：20
第一节
8：30～9：05
第二节
…
…

22．（8分）为推进节能减排，发展低碳经济，深化“宜居重庆”的建设，我市某“用电大户”用480万元购得“变频调速技术”后，进一步投入资金1520万元购买配套设备，以提高用电效率达到节约用电的目的．已知该“用电大户”生产的产品“草甘磷”每件成本费为40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到300元之间较为合理．当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格在200元的基础上每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x元），年销售量为y万件），年获利为w万元）．
（年获利＝年销售额﹣生产成本﹣节电投资）
（1）直接写出y与x间的函数关系式；
（2）求第一年的年获利w与x函数关系式，并说明投资的第一年，该“用电大户”是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？
（3）若该“用电大户”把“草甘磷”的销售单价定在超过100元，但不超过200元的范围内，并希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小亏损）后，两年的总盈利为1842万元，请你确定此时销售单价．在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？
23．（12分）如图，点A，B，C都在抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC＝135°，且AB＝4．
（1）填空：抛物线的顶点坐标为　 　；（用含m的代数式表示）；
（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；
（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．

参考答案
一．选择题
1．下列各组数中，互为相反数的是（　　）
A．|﹣|与﹣ B．|﹣|与﹣ C．|﹣|与 D．|﹣|与
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，从而分别分析A，B，C，D四项中符合相反数定义的选项．
解：A项中，|﹣|＝，与﹣互为相反数．
B项中，|﹣|＝，﹣＜﹣，所以|﹣|与﹣不互为相反数．
C项中，|﹣|＝，＝，|﹣|与相等，不互为相反数．
D项中，|﹣|＝，＜，|﹣|与不互为相反数．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的性质和相反数的定义，属于比较基本的问题．
2．下列运算正确的是（　　）
A．3x+4y＝7xy B．（﹣a）3•a2＝a5
C．（x3y）5＝x8y5 D．m10÷m7＝m3
【分析】根据同类项的定义、幂的运算法则逐一计算即可判断．
解：A、3x、4y不是同类项，不能合并，此选项错误；
B、（﹣a）3•a2＝﹣a5，此选项错误；
C、（x3y）5＝x15y5，此选项错误；
D、m10÷m7＝m3，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查整式的运算，解题的关键是掌握同类项的定义、幂的运算法则．
3．不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
解：，
由①得，x＞1，
由②得，x≥2，
故此不等式组得解集为：x≥2．
在数轴上表示为：
．
故选：A．
【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组得解集，熟知“小于向左，大于向右”是解答此题的关键．
4．关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于a的不等式，可求得a的取值范围，则可求得答案．
解：
∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且a≠0，即32﹣4a×（﹣2）＞0且a≠0，
解得a＞﹣1且a≠0，
故选：B．
【点评】本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
5．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（　　）
实验次数
100
200
300
500
800
1000
2000
频率
0.365
0.328
0.330
0.334
0.336
0.332
0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
D．抛一枚硬币，出现反面的概率
【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断．
解：A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意；
B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是，符合题意；
C、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为，不符合题意；
D、抛一枚硬币，出现反面的概率为，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
6．关于二次函数y＝（x+1）2的图象，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下
B．经过原点
C．对称轴右侧的部分是下降的
D．顶点坐标是（﹣1，0）
【分析】由二次函数y＝（x+1）2，可得其对称轴、顶点坐标；由二次项系数，可知图象开口向上；对每个选项分析、判断即可；
解：A、由二次函数二次函数y＝（x+1）2中a＝＞0，则抛物线开口向上；故本项错误；
B、当x＝0时，y＝，则抛物线不过原点；故本项错误；
C、由二次函数y＝（x+1）2得，开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，对称轴右侧的图象上升；故本项错误；
D、由二次函数y＝（x+1）2得，顶点为（﹣1，0）；故本项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，应熟练掌握二次函数的性质：顶点、对称轴的求法及图象的特点．
7．若一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则这个圆锥的全面积为（　　）
A．15πcm2 B．24πcm2 C．39πcm2 D．48πcm2
【分析】这个圆锥的全面积为底面积与侧面积的和，底面积为半径为3的圆的面积，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式求测面积．
解：这个圆锥的全面积＝•2π•3•5+π•32＝24π（cm2）．
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
8．若反比例函数的图象经过点A（，﹣2），则一次函数y＝﹣kx+k与在同一坐标系中的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】首先利用待定系数法算出反比例函数k的值，再根据k的值确定反比例函数所在象限，根据k的值确定一次函数解析式，根据一次函数解析式确定一次函数图象所在象限，即可选出答案．
解：∵反比例函数的图象经过点A（，﹣2），
∴k＝×（﹣2）＝﹣1，
∴反比例函数解析式为：y＝﹣，
∴图象过第二、四象限，
∵k＝﹣1，
∴一次函数y＝x﹣1，
∴图象经过第一、三、四象限，
联立两函数解析式可得：﹣＝x﹣1，
则x2﹣x+1＝0，
∵△＝1﹣4＜0，
∴两函数图象无交点，
故选：D．
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及一次函数与反比例函数图象的性质，关键是根据k的值正确确定函数图象所在象限．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．将473000用科学记数法表示为　4.73×105　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解：将473000用科学记数法表示为4.73×105．
故答案为：4.73×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．分解因式：4m2﹣16n2＝　4（m+2n）（m﹣2n）　．
【分析】原式提取4后，利用平方差公式分解即可．
解：原式＝4（m+2n）（m﹣2n）．
故答案为：4（m+2n）（m﹣2n）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．已知一组数据1，2，1，0，﹣1，﹣2，0，﹣1，则这组数据的平均数为　0　，中位数为　0　，方差为　　．
【分析】根据平均数，中位数定义及方差公式求解．
方差公式：S2＝ [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．
解：平均数为（1+2+1+0﹣1﹣2+0﹣1）＝0，
排序后第4和第5个数的平均数为0，即中位数为0，
方差为＝．
故填0，0，．
【点评】本题考查平均数、中位数和方差的概念．
一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．
方差公式为：S2＝ [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．
12．⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，若⊙C与⊙O有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是　2≤r≤8　．
【分析】利用⊙C与⊙O相切或相交确定r的范围．
解：∵⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，
∴CA＝8，
∵⊙C与⊙O有公共点，即⊙C与⊙O相切或相交，
∴r＝2或r＝8或2＜r＜8，即2≤r≤8．
故答案为2≤r≤8．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d＝R+r；③两圆相交⇔R﹣r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R﹣r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R﹣r（R＞r）．
13．点（2，3）关于原点对称的点的坐标是　（﹣2，﹣3）　．
【分析】根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，结合题意易得答案．
解：根据平面内关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
故点（2，3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，﹣3），
故答案为：（﹣2，﹣3）．
【点评】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．
14．函数中自变量x的取值范围是　x≠2　；函数中自变量x的取值范围是　x≥3　．
【分析】根据分式的意义和二次根式的意义，分别求解．
解：根据分式的意义得2﹣x≠0，解得x≠2；
根据二次根式的意义得2x﹣6≥0，解得x≥3．
【点评】函数自变量的范围一般从几个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
三．解答题（共9小题，满分70分）
15．（5分）计算： sin45°﹣|﹣3|+（2018﹣）0+（）﹣1
【分析】先代入三角函数值、计算绝对值、零指数幂和负整数指数幂，再进一步计算可得．
解：原式＝×﹣3+1+2
＝1﹣3+1+2
＝1．
【点评】本题主要考查实数的运算，解题的关键是熟练掌握特殊锐角三角函数值、绝对值性质及零指数幂和负整数指数幂的运算法则．
16．（5分）（1）计算：（﹣2ab）2+a2（a+2b）（a﹣2b）+a8÷a2
（2）解方程：＝1
（3）先化简，再求值：÷，其中x＝﹣．
【分析】（1）先计算前面的乘方和后面的乘除运算，再合并同类项即可得；
（2）将方程两边都乘以（x+4）（x﹣4），化分式方程为整式方程，解之求得x的值，再检验即可得出方程的解；
（3）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再将x的值代入计算可得．
解：（1）原式＝4a2b2+a2（a2﹣4b2）+a6
＝4a2b2+a4﹣4a2b2+a6
＝a4+a6；

（2）两边都乘以（x+4）（x﹣4），
得：（x+4）2﹣6（x﹣4）＝（x+4）（x﹣4），
解得：x＝﹣28，
当x＝﹣28时，（x+4）（x﹣4）＝768≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣28；

（3）原式＝﹣•
＝+
＝+
＝
＝，
当x＝﹣时，原式＝﹣．
【点评】本题主要考查分式的化简求值、整式的混合运算及解分式方程，解题的关键是熟练掌握分式和整式的混合运算顺序和运算法则及解分式方程的步骤．
17．（6分）在直角坐标系中△ABC三个顶点坐标分别为A（7，1）、B（8，2）、C（9，0）．

（1）请在图中画出△ABC的一个以点P （12，0）为位似中心，相似比为3的位似图形△A′B′C′（要求与△ABC同在P点一侧）；
（2）请直接写出点B′及点C′的坐标；
（3）求线段BC的对应线段B′C′所在直线的解析式．
【分析】（1）根据画位似图形的一般步骤和相似比找出图形；
（2）根据相似比和相似三角形的性质求出点B′及点C′的坐标；
（3）运用待定系数法求出一次函数解析式．
解：（1）如图△A′B′C′即为所求；
（2）∵△ABC与△A′B′C′的相似比为1：3，
∴B′（0，6），C′（3，0）；
（3）设B′C′所在直线的解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴B′C′所在直线的解析式y＝﹣2x+6．

【点评】本题考查的是作图﹣位似变换、待定系数法求一次函数解析式，掌握画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形是解题的关键．
18．（8分）2007年上海国际汽车展期间，某公司对参观本次车展盛会的且有购车意向的消费者进行了随机问卷调查，共发放900份调查问卷，并收回有效问卷750份．工作人员对有效调查问卷作了统计，其中：
①将消费者年收入的情况整理后，制成表格如下：
年收入（万元）
4.8
6
7.2
9
10
被调查的消费者人数（人）
150
338
160
60
42
②将消费者打算购买小车的情况整理后，绘制出频数分布直方图（如图，尚未绘完整）．（注：每组包含最小值不包含最大值．）请你根据以上信息，回答下列问题：
（1）根据①中信息可知，被调查消费者的年收入的中位数是　6　万元．
（2）请在图中补全这个频数分布直方图．
（3）打算购买价格10万元以下（不含10万元）小车的消费者人数占被调查消费者人数的百分比是　52%　．
（4）本次调查的结果，是否能够代表全市所有居民的年收入情况和购车意向？为什么？

【分析】（1）根据中位数的定义，结合表格找出第375与376两人的年收入，然后求平均数即可；
（2）根据有效问卷是750，求出车价10～12万元的人数，然后补全条形统计图即可；
（3）用10万元一下的各组的人数之和除以有效问卷的总数，然后乘以百分之百即可；
（4）根据调查不具有代表性解答．
解：（1）∵第375与376两人的年收入都是6万元，
∴被调查消费者的年收入的中位数是6万元；…（2分）

（2）750﹣30﹣90﹣270﹣150﹣30＝750﹣570＝180人，
补全图形如图；…

（3）×100%＝52%； …

（4）不能．因为被调查者是参观车展且有购车意向的部分消费者，不能代表全市所有居民．…（2分）

【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．同时考查中位数的求法：给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．
19．（8分）已知，如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线交于点P．
①求证：四边形CODP是菱形．
②若AD＝6，AC＝10，求四边形CODP的面积．

【分析】①根据DP∥AC，CP∥BD，即可证出四边形CODP是平行四边形，由矩形的性质得出OC＝OD，即可得出结论；
②根据勾股定理可求CD＝8，由S△COD＝S△ADC＝××AD×CD＝12＝S菱形CODP，可求四边形CODP的面积．
证明：①∵DP∥AC，CP∥BD
∴四边形CODP是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，
∴OD＝OC，
∴四边形CODP是菱形．
②∵AD＝6，AC＝10
∴DC＝＝8
∵AO＝CO
∴S△COD＝S△ADC＝××AD×CD＝12
∵四边形CODP是菱形，
∴S△COD＝S菱形CODP＝12，
∴S菱形CODP＝24
【点评】本题主要考查矩形性质和菱形的判定；熟练掌握菱形的判定方法，由矩形的性质得出OC＝OD是解决问题的关键．
20．（9分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC＝∠B＝60°．
（1）求∠ADC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC＝4时，求劣弧的长．

【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，即可解决问题．
（2）利用直径所对的圆周角是直角，求出∠BAC，即可解决问题．
（3）连接OC，求出⊙O半径，∠AOC即可解决问题．
（1）解：∵∠ADC＝∠ABC，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝60°

（2）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝30°，
∵∠CAE＝60°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝30°+60°＝90°，
∴AE是⊙O的切线．

（3）解：连接OC．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4
∴AB＝2BC＝8，
∴OA＝4，
∵∠AOC＝2∠ADC，∠ADC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴劣弧的长＝＝．

【点评】本题考查切线的判定、圆周角定理、弧长公式、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
21．（9分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）下表是该小学的作息时间，若同学们希望在上午第一节下课8：20时能喝到不超过40℃的开水，已知第一节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么时间或时间段接通饮水机电源．（不可以用上课时间接通饮水机电源）
时间
节次
上

午
7：20
到校
7：45～8：20
第一节
8：30～9：05
第二节
…
…

【分析】（1）由函数图象可设函数解析式，再由图中坐标代入解析式，即可求得y与x的关系式；
（2）将y＝20代入，即可得到a的值；
（3）要想喝到不超过40℃的热水，让解析式小于等于40，则可得x的取值范围，再由题意可知开饮水机的时间．
解：（1）当0≤x≤8时，设y＝k1x+b，
将（0，20），（8，100）代入y＝k1x+b
得k1＝10，b＝20
∴当0≤x≤8时，y＝10x+20；
当8＜x≤a时，设，
将（8，100）代入
得k2＝800
∴当8＜x≤a时，；
∴当0≤x≤8时，y＝10x+20；
当8＜x≤a时，；

（2）将y＝20代入，
解得a＝40；

（3）要想喝到不超过40℃的热水，则：
∵10x+20≤40，
∴0＜x≤2，
∵≤40，
∴20≤x＜40
因为40分钟为一个循环，
所以8：20喝到不超过40℃的开水，
则需要在8：20﹣（40+20）分钟＝7：20
或在（8：20﹣40分钟）﹣2分钟＝7：38～7：45打开饮水机
故在7：20或7：38～7：45时打开饮水机．
【点评】本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，还有时间的讨论问题．同学们在解答时要读懂题意，才不易出错．
22．（8分）为推进节能减排，发展低碳经济，深化“宜居重庆”的建设，我市某“用电大户”用480万元购得“变频调速技术”后，进一步投入资金1520万元购买配套设备，以提高用电效率达到节约用电的目的．已知该“用电大户”生产的产品“草甘磷”每件成本费为40元．经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在100元到300元之间较为合理．当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；当销售单价超过100元，但不超过200元时，每件新产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格在200元的基础上每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x元），年销售量为y万件），年获利为w万元）．
（年获利＝年销售额﹣生产成本﹣节电投资）
（1）直接写出y与x间的函数关系式；
（2）求第一年的年获利w与x函数关系式，并说明投资的第一年，该“用电大户”是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？
（3）若该“用电大户”把“草甘磷”的销售单价定在超过100元，但不超过200元的范围内，并希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小亏损）后，两年的总盈利为1842万元，请你确定此时销售单价．在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？
【分析】（1）分段讨论当100＜x≤200和当200＜x≤300的函数关系式，
（2）由年获利＝年销售额﹣生产成本﹣节电投资分别列出当100＜x≤200和200＜x≤300的利润关系式，求出最大利润，
（3）依题意可知，当100＜x≤200时，写出第二年w与x关系为式，由两年的总盈利为1842万元，解得单价x．
解：（1）当100＜x≤200，
y＝20﹣×0.8，
∴，
当200＜x≤300，
把x＝200代入y＝﹣x+28，
得：y＝12，
∴y＝12﹣×1，
；

（2）当100＜x≤200时，
w＝（x﹣40）y﹣（1520+480）
＝，
＝﹣，
＝
∵
x＝195，w最大＝﹣78
当200＜x≤300时，
w＝（x﹣40）y﹣（1520+480）
＝，
＝，
＝，
当x＝180时，不在200＜x≤300范围内，
∵，∴当在200＜x≤300时，y随x的增大而减小，
∴w＜﹣80
是亏损的，最少亏损为78万元．（7分）

（3）依题意可知，当100＜x≤200时，第二年w与x关系为

当总利润刚好为1842万元时，依题意可得（8分）
整理，得x2﹣390x+38000＝0
解得，x1＝190，x2＝200
∴要使两年的总盈利为1842万元，销售单价可定为190元或200元．（9分）
∵对，y随x增大而减小
∴使销售量最大的销售单价应定为190元．（10分）
【点评】本题主要考查二次函数的应用，用二次函数解决实际问题，比较简单．
23．（12分）如图，点A，B，C都在抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC＝135°，且AB＝4．
（1）填空：抛物线的顶点坐标为　（m，2m﹣5）　；（用含m的代数式表示）；
（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；
（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．

【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，此题得解；
（2）过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D，由AB∥x轴且AB＝4，可得出点B的坐标为（m+2，4a+2m﹣5），设BD＝t，则点C的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t），利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于t的一元二次方程，解之取其正值即可得出t值，再利用三角形的面积公式即可得出S△ABC的值；
（3）由（2）的结论结合S△ABC＝2可求出a值，分三种情况考虑：①当m＞2m﹣2，即m＜2时，x＝2m﹣2时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元二次方程，解之可求出m的值；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，x＝m时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元一次方程，解之可求出m的值；③当m＜2m﹣5，即m＞5时，x＝2m﹣5时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元一次方程，解之可求出m的值．综上即可得出结论．
解：（1）∵y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5＝a（x﹣m）2+2m﹣5，
∴抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）．
故答案为：（m，2m﹣5）．

（2）过点C作直线AB的垂线，交线段AB的延长线于点D，如图所示．
∵AB∥x轴，且AB＝4，
∴点B的坐标为（m+2，4a+2m﹣5）．
∵∠ABC＝135°，
∴设BD＝t，则CD＝t，
∴点C的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t）．
∵点C在抛物线y＝a（x﹣m）2+2m﹣5上，
∴4a+2m﹣5﹣t＝a（2+t）2+2m﹣5，
整理，得：at2+（4a+1）t＝0，
解得：t1＝0（舍去），t2＝﹣，
∴S△ABC＝AB•CD＝﹣．

（3）∵△ABC的面积为2，
∴﹣＝2，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣m）2+2m﹣5．
分三种情况考虑：
①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2，
整理，得：m2﹣14m+39＝0，
解得：m1＝7﹣（舍去），m2＝7+（舍去）；
②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5＝2，
解得：m＝；
③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2，
整理，得：m2﹣20m+60＝0，
解得：m3＝10﹣2（舍去），m4＝10+2．
综上所述：m的值为或10+2．

【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式、二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、解一元二次方程以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式；（2）利用等腰直角三角形的性质找出点C的坐标；（3）分m＜2、2≤m≤5及m＞5三种情况考虑．