2018-2019学年初三数学上期中测试

期中测试

(满分：120分　考试时间：120分钟)

一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1.抛物线y＝2x2－1的顶点坐标是(A)

A．(0，－1)            B．(0，1)             C．(－1，0)            D．(1，0)

2．如果x＝－1是方程x2－x＋k＝0的解，那么常数k的值为(D)

A．2                   B．1                    C．－1              D．－2

3．将抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是(B)

A．y＝(x＋2)2＋1               B．y＝(x－2)2＋1

C．y＝(x＋2)2－1               D．y＝(x－2)2－1

4．小明在解方程x2－4x－15＝0时，他是这样求解的：移项，得x2－4x＝15，两边同时加4，得x2－4x＋4＝19，∴(x－2)2＝19，∴x－2＝±，∴x1＝2＋，x2＝2－.这种解方程的方法称为(B)

A．待定系数法            B．配方法           C．公式法          D．因式分解法

5．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(C)

      A　　 　　　　　B　　　　　　　　　　　　C　　　　　　　　D

6．已知抛物线y＝－2x2＋x经过A(－1，y1)和B(3，y2)两点，那么下列关系式一定正确的是(C)

A．0＜y2＜y1            B．y1＜y2＜0             C．y2＜y1＜0           D．y2＜0＜y1

7．已知a，b，c分别是三角形的三边长，则方程(a＋b)x2＋2cx＋(a＋b)＝0的根的情况是(D)

A．有两个不相等的实数根              B．有两个相等的实数根

C．可能有且只有一个实数根             D．没有实数根

8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝70°，将△ABC绕点A顺时针旋转70°，B，C旋转后的对应点分别是B′和C′，连接BB′，则∠BB′C′的度数是(A)

A．35°             B．40°              C．45°              D．50°

9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是(D)

A．a＞b＞c               B．c＞a＞b            C．c＞b＞a               D．b＞a＞c

10．如图，将△ABC绕着点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD，AC与DB交于点P，DE与CB交于点Q，连接PQ，若AD＝5 cm，＝，则PQ的长为(A)

A．2 cm             B. cm                C．3 cm                D. cm

二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)

11．在平面直角坐标系中，点A(0，1)关于原点对称的点是(0，－1)．

12．方程x(x＋1)＝0的根为x1＝0，x2＝－1．

13．某楼盘2016年房价为每平方米8 100元，经过两年连续降价后，2018年房价为7 600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为8__100(1－x)2＝7__600．

14．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中的部分对应值如下表：

则当x＝－2时，y的值为11．

15.如图，射线OC与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OC上一点，AH⊥x轴于H，将△AOH绕着点O逆时针旋转90°后，到达△DOB的位置，再将△DOB沿着y轴翻折到达△GOB的位置，若点G恰好在抛物线y＝x2(x＞0)上，则点A的坐标为(3，)．

三、解答题(本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16．(共题共2个小题，每小题5分，共10分)

(1)解方程：x(x＋5)＝5x＋25；

解：x(x＋5)＝5(x＋5)，x(x＋5)－5(x＋5)＝0，

∴(x－5)(x＋5)＝0，∴x－5＝0或x＋5＝0，

∴x1＝5，x2＝－5.

(2)已知点(5，0)在抛物线y＝－x2＋(k＋1)x－k上，求出抛物线的对称轴．

解：将点(5，0)代入y＝－x2＋(k＋1)x－k，得0＝－52＋5×(k＋1)－k，－25＋5k＋5－k＝0.

∴4k＝20，∴k＝5.

∴y＝－x2＋6x－5，∴该抛物线的对称轴为直线x＝－＝3.

17．(本题6分)如图所示的是一桥拱的示意图，它的形状类似于抛物线，在正常水位时，该桥下面宽度为20米，拱顶距离正常水面4米，建立平面直角坐标系如图所示．求抛物线的解析式．

解：设该抛物线的解析式为y＝ax2.

由图象可知，点B(10，－4)在函数图象上，代入y＝ax2得100a＝－1，

解得a＝－，

∴该抛物线的解析式为y＝－x2.

18．(本题7分)如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，已知△A1AC1是由△ABC绕某点顺时针旋转90°得到的．

(1)请你写出旋转中心的坐标是(0，0)；

(2)以(1)中的旋转中心为中心，画出△A1AC1顺时针旋转90°，180°后的三角形．

解：如图，△A1B1C2，△B1BC3即为所求作图形．

19．(本题7分)已知一元二次方程x2＋x－2＝0有两个不相等的实数根，即x1＝1，x2＝－2.

(1)求二次函数y＝x2＋x－2与x轴的交点坐标；

(2)若二次函数y＝－x2＋x＋a与x轴有一个交点，求a的值．

解：(1)令y＝0，则有x2－x－2＝0.

解得x1＝1，x2＝－2.

∴二次函数y＝x2＋x－2与x轴的交点坐标为(1，0)，(－2，0)．

(2)∵二次函数y＝－x2＋x＋a与x轴有一个交点，

∴令y＝0，即－x2＋x＋a＝0有两个相等的实数根．

∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－.

20．(本题7分)如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE、FG相交于点H.

(1)判断线段DE、FG的位置关系，并说明理由；

(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．

解：(1)FG⊥DE，理由如下：

∵△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE，∴∠DEB＝∠ACB.

∵把△ABC沿射线平移至△FEG，∴∠GFE＝∠A.

∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠ACB＝90°.∴∠DEB＋∠GFE＝90°.∴∠FHE＝90°.

∴FG⊥DE.

(2)证明：根据旋转和平移可得∠GEF＝90°，∠CBE＝90°，CG∥EB，CB＝BE，

∵CG∥EB，∴∠BCG＝∠CBE＝90°.∴四边形CBEG是矩形．

∵CB＝BE，

∴四边形CBEG是正方形.

21．(本题12分)我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元(x＞0)时，平均每天可盈利y元．

(1)写出y与x的函数关系式；

(2)根据(1)中你写出的函数关系式，解答下列问题：

①当该专卖店每件童装降价5元时，平均每天盈利多少元？

②当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？

③该专卖店要想平均每天盈利600元，可能吗？请说明理由．

解：(1)根据题意得y＝(20＋2x)(60－40－x)＝(20＋2x)(20－x)＝400＋40x－20x－2x2＝－2x2＋20x＋400.

∴y＝－2x2＋20x＋400.

(2)①当x＝5时，y＝－2×52＋20×5＋400＝450，

∴当该专卖店每件童装降价5元时，平均每天盈利450元．

②当y＝400时，400＝－2x2＋20x＋400，

整理得x2－10x＝0，解得x1＝10，x2＝0(不合题意，舍去)，

∴当该专卖店每件童装降价10元时，平均每天盈利400元．

③该专卖店平均每天盈利不可能为600元．

理由：当y＝600时，600＝－2x2＋20x＋400，整理得x2－10x＋100＝0，

∵Δ＝(－10)2－4×1×100＝－300＜0，

∴方程没有实数根，即该专卖店平均每天盈利不可能为600元．

22．(本题12分)综合与实践：

问题情境：

(1)如图1，两块等腰直角三角板△ABC和△ECD如图所示摆放，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，点F，H，G分别是线段DE，AE，BD的中点，A，C，D和B，C，E分别共线，则FH和FG的数量关系是FH＝FG，位置关系是FH⊥FG；

合作探究：

(2)如图2，若将图1中的△DEC绕着点C顺时针旋转至A、C、E在一条直线上，其余条件不变，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

(3)如图3，若将图1中的△DEC绕着点C顺时针旋转一个锐角，那么(1)中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

解：(1)FH＝FG，FH⊥FG.

提示：∵CE＝CD，AC＝BC，A，C，D和B，C，E分别共线，∠ECD＝∠ACB＝90°，

∴AD⊥BE，BE＝AD.

∵F，H，G分别是DE，AE，BD的中点，

∴FH＝AD，FH∥AD，FG＝BE，FG∥BE.

∴FH＝FG，∵AD⊥BE，∴FH⊥FG.

(2)(1)中的结论还成立．

证明：∵CE＝CD，AC＝BC，∠ECD＝∠ACD＝90°，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE.∵∠CBE＋∠CEB＝90°，

∴∠CAD＋∠CEB＝90°，即AD⊥BE.

∵F，H，G分别是DE，AE，BD的中点，

∴FH＝AD，FH∥AD，FG＝BE，FG∥BE，∴EH＝FG.

∵AD⊥BE，∴FH⊥FG，∴(1)中结论还成立．

(3)(1)中的结论仍成立，

理由：如图，连接AD、BE，两线交于点Z，AD交BC于点X.

同(1)可得FH＝AD，FH∥AD，FG＝BE，FG∥BE.

∵△ECD，△ACB都是等腰直角三角形，∴CE＝CD，AC＝BC，∠ECD＝∠ACB＝90°.

∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE，∠EBC＝∠DAC，∴FH＝FG.

∵∠DAC＋∠CXA＝90°，∠CXA＝∠DXB，

∴∠DXB＋∠EBC＝90°，∴∠EZA＝180°－90°＝90°，∴AD⊥BE.

∵FH∥AD，FG∥BE，∴FH⊥FG，∴(1)中的结论仍成立．

23．(本题14分)综合与探究：

如图，二次函数y＝－x2＋x＋4的图象与x轴交于点B，点C(点B在点C的左边)，与y轴交于点A，连接AC、AB.

(1)求证：AO2＝BO·CO；

(2)若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作MN∥AC，交AB于点M，当△AMN的面积取得最大值时，求直线AN的解析式；

(3)连接OM，在(2)的结论下，试判断OM与AN的数量关系，并证明你的结论．

解：(1)证明：当y＝0时，－x2＋x＋4＝0，

整理，得x2－6x－16＝0，解得x1＝－2，x2＝8，∴B(－2，0)，C(8，0)．

令x＝0得y＝4，∴A(0，4)，∴AO＝4，BO＝2，CO＝8，∴AO2＝BO·CO.

(2)设点N(n，0)(－2＜n＜8)，则BN＝n＋2，CN＝8－n，BC＝10.

∵MN∥AC，∴＝＝，S△ABN＝×(n＋2)×4＝2n＋4.

＝＝＝，

∴S△AMN＝S△ABN＝×(2n＋4)＝(8－n)(n＋2)，

即S△AMN＝－(n－3)2＋5.

∵－<0，∴当n＝3时，即N(3，0)，△AMN的面积最大．

设直线AN的解析式为y＝kx＋b.将A(0，4)，N(3，0)代入，得

解得

∴此时直线AN的解析式为y＝－x＋4.

(3)OM2＝AN.证明：∵N(3，0)，∴ON＝3，∴CN＝8－3＝5.

∵BC＝10，∴N为线段BC的中点，

∵MN∥AC，∴M为AB的中点，∴AB＝＝＝2.

∵∠AOB＝90°，∴OM＝AB＝，

∵AN＝＝＝5，

∴OM2＝AN，即OM与AN的数量关系是OM2＝AN.