2018-2019学年吉林省白山市长白县九年级（上）期中数学模拟试卷

2018-2019学年吉林省白山市长白县九年级（上）期中数学模拟试卷

一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）

1．（3分）点A（a，3）与点B（﹣4，b）关于原点对称，则a+b=（　　）

A．﹣1 B．4 C．﹣4 D．1 

2．（3分）下列交通标志图案中，是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（　　）

A．xy+2=1 B． C．x2=0   D．ax2+bx+c=0 

4．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D． 

5．（3分）已知二次函数y=x2﹣5x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（　　）

A．（﹣1，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（﹣6，0）

6．（3分）抛物线y=3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（　　）

A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）

二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）

7．（3分）已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，则3m2﹣3m﹣3的值为　   　．

8．（3分）关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　   　．

9．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+1=0有两个相等的实数根，则（m﹣2）2﹣2m（m﹣1）的值为　   　．

10．（3分）二次函数y=mx2﹣2x+1，当x时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是　   　．

11．（3分）已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，则a+c=　   　．

12．（3分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（，1），将OA绕原点逆时针方向旋转90°得OB，则点B的坐标为　   　．

13．（3分）图中，甲图怎样变成乙图：　   　．

14．（3分）若抛物线y=2x2﹣px+4p+1中不管p取何值时都通过定点，则定点坐标为　   　．

三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）

15．（6分）用配方法解方程：x2﹣7x+5=0．

16．（6分）用公式法解下列方程：

（1）2x2﹣3x﹣5=0

（2）y2﹣3y+1=0．

17．（6分）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2+1=0．

（1）若m是方程的一个实数根，求m的值；

（2）若m为负数，判断方程根的情况．

四．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）

18．（8分）将抛物线y=﹣x2﹣2x﹣3向右平移三个单位，再绕原点O旋转180°，求所得抛物线的解析式？

19．（8分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．

（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？

五．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分）

20．（10分）如图，已知四边形ABCD为正方形，点E是边AD上任意一点，△ABE接逆时针方向旋转一定角度后得到△ADF，延长BE交DF于点G，且AF=4，AB=7．

（1）请指出旋转中心和旋转角度；

（2）求BE的长；

（3）试猜测BG与DF的位置关系，并说明理由．

21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6CM．点P，Q同时由B，A两点出发，分别沿射线BC，AC方向以1cm/s的速度匀速运动．

（1）几秒后△PCQ的面积是△ABC面积的一半？

（2）连结BQ，几秒后△BPQ是等腰三角形？

六．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分）

22．（12分）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．

（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；

（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？

23．（12分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．

参考答案

1．D．

2．C．

3．C．

4．B．

5．B．

6．A．

7．3．

8．k＜1．

9．

10．0＜m≤3．

11．1．

12．（﹣1，）．

13．绕点A顺时针旋转．

14．（4，33）．

15．解：x2﹣7x+5=0，

x2﹣7x=﹣5，

x2﹣7x+（）2=﹣5+（）2，

（x﹣）2=，

x﹣=±，

x•=，x2=．

16．解：（1）由题意可知：a=2，b=﹣3，c=﹣5，

∴△=9﹣4×2×（﹣5）=49

∴x=

∴x=或x=﹣1

（2）由题意可知：a=1，b=﹣3，c=1，

∴△=9﹣4×1×（﹣1）=13

∴y=

17．解：

（1）∵m是方程的一个实数根，

∴m2﹣（2m﹣3）m+m2+1=0，

∴；

（2）△=b2﹣4ac=﹣12m+5，

∵m＜0，

∴﹣12m＞0．

∴△=﹣12m+5＞0．

∴此方程有两个不相等的实数根．

18．解：y=﹣x2﹣2x﹣3，

=﹣（x2+2x+1）+1﹣3，

=﹣（x+1）2﹣2，

所以，抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），

∵向右平移三个单位，

∴平移后的抛物线的顶点坐标为（2，﹣2），

∵再绕原点O旋转180°，

∴旋转后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，2），

∴所得抛物线解析式为y=（x+2）2+2．

19．解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]

=（x﹣50）（﹣5x+550）

=﹣5x2+800x﹣27500，

∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；

（2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500，

∵a=﹣5＜0，

∴抛物线开口向下．

∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，

∴当x=80时，y最大值=4500；

（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，

解得x1=70，x2=90．

∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．

20．解：（1）旋转中心A点，旋转角度是90°．

（2）∵△ABE接逆时针方向旋转一定角度后得到△ADF，

∴△ABE≌△ADF，

∴AF=AE=4，

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠BAE=90°，

由勾股定理得：BE===，

答：BE的长是．

（3）BG与DF的位置关系是垂直，

理由是：∵△ABE≌△ADF，

∴∠EBA=∠ADF，

∵∠EBA+∠AEB=180°﹣90°=90°，

∵∠AEB=∠DEG，

∴∠DEG+∠ADF=90°，

∴∠DGE=180°﹣（∠DEG+∠ADF）=90°，

∴BG⊥DF．

21．解：（1）设运动x秒后，△PCQ的面积是△ABC面积的一半，

当0＜x＜6时，

S△ABC=×AC•BC=×6×8=24，

即：×（8﹣x）×（6﹣x）=×24，

x2﹣14x+24=0，

（x﹣2）（x﹣12）=0，

x1=12（舍去），x2=2；

当6＜x＜8时，

×（8﹣x）×（x﹣6）=×24，

x2﹣14x+72=0，

b2﹣4ac=196﹣288=﹣92＜0，

∴此方程无实数根，

当x＞8时，

S△ABC=×AC•BC=×6×8=24，

即：×（x﹣8）×（x﹣6）=×24，

x2﹣14x+24=0，

（x﹣2）（x﹣12）=0，

x1=12，x2=2（舍去），

所以，当2秒或12秒时使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半．

（2）设t秒后△BPQ是等腰三角形，

①当BP=BQ时，t2=62+（8﹣t）2，

解得：t=；

②当PQ=BQ时，（6﹣t）2+（8﹣t）2=62+（8﹣t）2，

解得：t=12；

③当BP=PQ时，t2=（6﹣t）2+（8﹣t）2，

解得：t=14±4．

22．解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），

将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：

，解得：，

∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000．

（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，

根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000，

整理，得：x2﹣130x+4000=0，

解得：x1=50，x2=80．

∵此设备的销售单价不得高于70万元，

∴x=50．

答：该设备的销售单价应是50万元/台．

23．解：（1）∵OA=1，OB=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

代入y=﹣x2+bx+c，得

解得　b=2，c=3．

∴抛物线对应二次函数的表达式为：y=﹣x2+2x+3；

（2）如图，设直线CD切⊙P于点E．连结PE、PA，作CF⊥DQ于点F．

∴PE⊥CD，PE=PA．　

由y=﹣x2+2x+3，得

对称轴为直线x=1，C（0，3）、D（1，4）．

∴DF=4﹣3=1，CF=1，

∴DF=CF，

∴△DCF为等腰直角三角形．

∴∠CDF=45°，

∴∠EDP=∠EPD=45°，

∴DE=EP，

∴△DEP为等腰三角形．

设P（1，m），

∴EP2=（4﹣m）2．　

在△APQ中，∠PQA=90°，

∴AP2=AQ2+PQ2=[1﹣（﹣1）]2+m2

∴（4﹣m）2=[1﹣（﹣1）]2+m2．

整理，得m2+8m﹣8=0

解得，m=﹣4±2．

∴点P的坐标为（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．

（3）存在点M，使得△DCM∽△BQC．

如图，连结CQ、CB、CM，

∵C（0，3），OB=3，∠COB=90°，

∴△COB为等腰直角三角形，

∴∠CBQ=45°，BC=3．

由（2）可知，∠CDM=45°，CD=，

∴∠CBQ=∠CDM．

∴△DCM∽△BQC分两种情况．

当=时，

∴=，解得　DM=．

∴QM=DQ﹣DM=4﹣=．

∴M1（1，）．

当时，

∴=，解得　DM=3．

∴QM=DQ﹣DM=4﹣3=1．

∴M2（1，1）．

综上，点M的坐标为（1，）或（1，1）．