2019年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷（含答案解析）

这是一份2019年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷（含答案解析），共21页。试卷主要包含了已知点P，已知正比例函数y＝，二次函数y＝ax2+bx+c等内容，欢迎下载使用。

2019年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．若实数a、b互为相反数，则下列等式中成立的是（　　）
A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．ab＝﹣1
2．下面图形中经过折叠可以围成一个棱柱的是（　　）
A． B．
C． D．
3．把图中阴影部分的小正方形移动一个，使它与其余四个阴影部分的正方形组成一个既是轴对称又是中心对称的新图形，这样的移法，正确的是（　　）

A．6→3 B．7→16 C．7→8 D．6→15
4．已知点P（a，3+a）在第二象限，则a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．a＞﹣3 C．﹣3＜a＜0 D．a＜﹣3
5．已知正比例函数y＝（2t﹣1）x的图象上一点（x1，y1），且x1y1＜0，那么t的取值范围是（　　）
A．t＜0.5 B．t＞0.5
C．t＜0.5或t＞0.5 D．不确定
6．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（　　）

A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90°
7．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数字28应标在（　　）

A．第7个正方形的右下角 B．第7个正方形的左下角
C．第8个正方形左下角 D．第8个正方形的右下角
8．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，点B在⊙O上，且cosB＝，则下列量中，值会发生变化的量是（　　）

A．∠B的度数 B．BC的长 C．AC的长 D．的长
9．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作等边三角形，面积分别记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（　　）

A．S12+S22＝S32 B．S1+S2＞S3
C．S1+S2＜S3 D．S1+S2＝S3
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表，该抛物线的对称轴是直线（　　）
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝1.5 D．x＝2
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
11．比较大小：﹣2　 　﹣7
12．计算：90°23′﹣36°12′＝　 　．
13．如图，已知双曲线y＝（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣8，6），则△AOC的面积为　 　．

14．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，以BC为边在三角形外作正方形BCDE，连接BD，CE交于点O，则线段AO的最大值为　 　．

三．解答题（共11小题，满分78分）
15．计算：
（1）（﹣）2+|1﹣|﹣（）﹣1
（2）﹣+．
16．先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣．
17．在△ABC中，AB＝AC，求作一点P，使点P为△ABC的外接圆圆心．（保留作图痕迹，不写作法）

18．某中学九（1）班同学积极响应“阳光体育工程”的号召，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从长跑、篮球、铅球、立定跳远中选一项进行训练，训练前后都进行了测试．现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图表．训练后篮球定时定点投篮测试进球数统计表
进球数（个）
8
7
6
5
4
3
人数
2
1
4
7
8
2
请你根据图表中的信息回答下列问题：
（1）训练后篮球定时定点投篮人均进球数为　 　；
（2）选择长跑训练的人数占全班人数的百分比是　 　，该班共有同学　 　人；
（3）根据测试资料，训练后篮球定时定点投篮的人均进球数比训练之前人均进球数增加25%，请求出参加训练之前的人均进球数．

19．如图，AD是△ABC的边BC的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF，BF交AC于G．
（1）若四边形ADCF是菱形，试证明△ABC是直角三角形；
（2）求证：CG＝2AG．

20．如图，“人字梯”放在水平地面上，梯子的两边相等（AB＝AC），当梯子的一边AB与梯子两底端的连线BC的夹角α为60°时，BC的长为2米，若将α调整为65°时，求梯子顶端A上升的高度．（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°＝0.42，tan65°≈2.41，＝1.73，结果精确到0.1m）

21．某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具．
下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：
型号
载客量
租金单价
A
30人/辆
380元/辆
B
20人/辆
280元/辆
注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数
设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元．
（Ⅰ）求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围；
（Ⅱ）若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案总费用最省？最省的总费用是多少？
22．已知一个不透明的袋子中装有7个只有颜色不同的球，其中2个白球，5个红球．
（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率．
（2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率．
（3）若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球．搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出两个球，颜色是一白一黄的概率为，求袋中有几个红球被换成了黄球．
23．如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，BC，点E在AB上，且AE＝CE．
（1）求证：∠ABC＝∠ACE；
（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，证明PB＝PE；
（3）在第（2）问的基础上，设⊙O半径为2，若点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最大值．

24．已知二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的一些对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
…
y＝ax2+bx+c
…
8
3
0
﹣1
0
3
…
（1）根据表中数据，求二次函数解析式；
（2）结合表格分析，当1＜x≤4时，y的取值范围是　 　．
25．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（3，4），P为线段OA上一动点，过O，P，B三点的圆交x轴正半轴于点C，连结AB，PC，BC，设OP＝m．
（1）求证：当P与A重合时，四边形POCB是矩形．
（2）连结PB，求tan∠BPC的值．
（3）记该圆的圆心为M，连结OM，BM，当四边形POMB中有一组对边平行时，求所有满足条件的m的值．
（4）作点O关于PC的对称点O'，在点P的整个运动过程中，当点O'落在△APB的内部（含边界）时，请写出m的取值范围．


2019年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答．
【解答】解：∵实数a、b互为相反数，
∴a+b＝0．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
2．【分析】利用棱柱的展开图中两底面的位置对B、D进行判断；根据侧面的个数与底面多边形的边数相同对A、C进行判断．
【解答】解：棱柱的两个底面展开后在侧面展开图相对的两边上，所以B、D选项错误；
当底面为三角形时，则棱柱有三个侧面，所以C选项错误，A选项正确．
故选：A．
【点评】本题考查了展开图折叠成几何体：通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．
3．【分析】直接利用轴对称图形以及中心对称图形的性质分别分析得出答案．
【解答】解：阴影部分的小正方形6→15，能使它与其余四个阴影部分的正方形组成一个既是轴对称又是中心对称的新图形．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形以及轴对称图形，正确把握相关定义是解题关键．
4．【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可．
【解答】解：∵点P（a，3+a）在第二象限，
∴，
解得﹣3＜a＜0．
故选：C．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
5．【分析】根据正比例函数图象的性质可得出答案．
【解答】解：因为x1y1＜0，
所以该点的横、纵坐标异号，
即图象经过二、四象限，
则2t﹣1＜0，t＜．
故选：A．
【点评】本题考查正比例函数的性质，解题的关键是掌握正比例函数图象的性质：当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．能够根据实数的运算法则，判断字母的符号．
6．【分析】过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠1＝∠β，∠2＝180°﹣∠α，于是得到结论．
【解答】解：过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠1＝∠β，∠α＝180°﹣∠2，
∴∠α﹣∠β＝180°﹣∠2﹣∠1＝180°﹣∠BCD＝90°，
故选：D．

【点评】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
7．【分析】根据所标数字是从0开始，每4个数为一周期循环求解可得．
【解答】解：由已知图形知，所标数字是从0开始，每4个数为一周期循环，
则（28+1）÷4＝7…1，
∴数字28表在第8个正方形的右下角，
故选：D．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
8．【分析】连接AO并延长交⊙O于B′，连接B′C，OC，根据已知条件得到∠B的度数一定；解直角三角形得到AC＝10•sinB，故AC的长一定；根据弧长公式得到的长度＝一定；于是得到结论．
【解答】解：连接AO并延长交⊙O于B′，连接B′C，OC，
∴∠ACB′＝90°，
∵cosB＝，
∴∠B的度数一定；
∴AC＝10•sinB，故AC的长一定；
∵∠AOC＝2∠B，
∴的长度＝一定；
故BC的长会发生变化，
故选：B．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
9．【分析】根据等边三角形的性质，知等边三角形的面积等于其边长的平方的倍，结合勾股定理，知以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积．
【解答】解：设直角三角形的三边从小到大是a，b，c．
则S1＝b2，S2＝a2，S3＝c2．
又a2+b2＝c2，
则S1+S2＝S3．
故选：D．
【点评】本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理和等边三角形的面积公式．
10．【分析】利用二次函数的对称性，结合对应点坐标变化得出其对称轴即可．
【解答】解：由表知当x＝0和x＝3时，y＝3，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝，即x＝1.5，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的对称性，本题属于基础题型．
二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
11．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值（或平方）大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：＝20，（﹣7）2＝49，
∵20＜49，
∴﹣2＞﹣7
故答案为：＞．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
12．【分析】1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″，依据度分秒的换算即可得到结果．
【解答】解：90°23′﹣36°12′＝54°11′，
故答案为：54°11′
【点评】本题主要考查了度分秒的换算，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
13．【分析】由点D为线段OA的中点可得出D点的坐标，将点D的坐标代入双曲线解析式中解出k值，即可得出双曲线的解析式，再令x＝﹣8可得点C的坐标，根据边与边的关系结合三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵点D为线段OA的中点，且点A的坐标为（﹣8，6），
∴点D的坐标为（﹣4，3）．
将点D（﹣4，3）代入到y＝中得：
3＝，解得：k＝﹣12．
∴双曲线的解析式为y＝﹣．
令x＝﹣8，则有y＝﹣＝，
即点C的坐标为（﹣8，）．
∵AB⊥BO，
∴点B（﹣8，0），AC＝6﹣＝，OB＝0﹣（﹣8）＝8，
∴△AOC的面积S＝AC•OB＝××8＝18．
故答案为：18．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、中点坐标公式以及三角形的面积公式，解题的关键是找出点C、D的坐标．解决该题型题目时，求出点的坐标由待定系数法求出反比例函数解析式是关键．
14．【分析】以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°，由题意可证△AOB≌△FOC，可得AB＝CF＝4，根据三角形的三边关系可求AF的最大值，即可得AO的最大值．
【解答】解：如图：以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°

∵四边形BCDE是正方形
∴BO＝CO，∠BOC＝90°
∵△AOF是等腰直角三角形
∴AO＝FO，AF＝AO
∵∠BOC＝∠AOF＝90°
∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO
∴△AOB≌△FOC（SAS）
∴AB＝CF＝4
若点A，点C，点F三点不共线时，AF＜AC+CF；
若点A，点C，点F三点共线时，AF＝AC+CF
∴AF≤AC+CF＝3+4＝7
∴AF的最大值为7
∵AF＝AO
∴AO的最大值为．
故答案为：
【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，恰当添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．
三．解答题（共11小题，满分78分）
15．【分析】（1）直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．
【解答】解：（1）原式＝2+﹣1﹣2
＝﹣1；

（2）原式＝6﹣3+2
＝5．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
16．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝（+）•
＝•
＝2（x+2）
＝2x+4，
当x＝﹣时，
原式＝2×（﹣）+4
＝﹣1+4
＝3．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
17．【分析】分别作BC和AC的垂直平分线，它们的交点P即为△ABC的外接圆圆心．
【解答】解：如图，点P为所作．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
18．【分析】（1）根据加权平均数的求解方法列式进行计算即可得解；
（2）根据各部分的百分比总和为1，列式进行计算即可求解，用篮球的总人数除以所占的百分比进行计算即可；
（3）设训练前人均进球数为x，然后根据等式为：训练前的进球数×（1+25%）＝训练后的进球数，列方程求解即可．
【解答】解：（1）＝＝＝5；

（2）1﹣60%﹣10%﹣20%＝10%，
（2+1+4+7+8+2）÷60%＝24÷60%＝40人；

（3）设参加训练前的人均进球数为x个，则
x（1+25%）＝5，
解得x＝4，
即参加训练之前的人均进球数是4个．
【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，各部分占所占的百分比总和等于1．
19．【分析】（1）由菱形定义及AD是△ABC的中线知AD＝DC＝BD，从而得∠DBA＝∠DAB、∠DAC＝∠DCA，根据∠DBA+∠DAC+∠DAB+∠DCA＝180°可得答案．
（2）作DM∥EG交AC于点M，分别证DM是△BCG的中位线和EG是△ADM的中位线得AG＝GM＝CM，从而得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ADCF是菱形，AD是△ABC的中线，
∴AD＝DC＝BD，
∴∠DBA＝∠DAB、∠DAC＝∠DCA，
∵∠DBA+∠DAC+∠DAB+∠DCA＝180°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝90°，
∴△ABC是直角三角形；

（2）过点D作DM∥EG交AC于点M，

∵AD是△ABC的边BC的中线，
∴BD＝DC，
∵DM∥EG，
∴DM是△BCG的中位线，
∴M是CG的中点，
∴CM＝MG，
∵DM∥EG，E是AD的中点，
∴EG是△ADM的中位线，
∴G是AM的中点，
∴AG＝MG，
∴CG＝2AG．
【点评】本题主要考查菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识点．
20．【分析】先由等腰三角形的一个60°的角，确定梯子AB的长，在直角三角形ABD和A1B1D1中，利用锐角三角函数计算AD、A1D11的长，求差得结论．
【解答】解：如图1，由题意可得：
∠B＝∠C＝60°，则△ABC是等边三角形，
∴BC＝AB＝AC＝2m，
在Rt△ABD中，AD＝2sin60°
＝＝≈1.73m；
如图2，由题意可得：
∠B1＝∠C1＝65°，A1B1＝AB＝2m，
在Rt△A1B1D1中，A1D1＝2sin65°
≈2×0.91＝1.82m；
∴A1D1﹣AD＝1.82﹣1.73＝0.09≈0.1（m）
答：梯子顶端A上升的高度约为0.1m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用．掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
21．【分析】（Ⅰ）根据租车总费用＝A、B两种车的费用之和，列出函数关系式即可；
（Ⅱ）列出不等式，求出自变量x的取值范围，利用函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（Ⅰ）由题意：y＝380x+280（62﹣x）＝100x+17360．
∵30x+20（62﹣x）≥1441，
∴x≥20.1，
又∵x为整数，
∴x的取值范围为21≤x≤62的整数；

（Ⅱ）由题意100x+17360≤21940，
∴x≤45.8，
∴21≤x≤45，
∴共有25种租车方案，
x＝21时，y有最小值＝19460元．
即租21辆A型号客车时总费用最省，最省的总费用是19460元．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题．
22．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解可得；
（3）设有x个红球被换成了黄球，根据颜色是一白一黄的概率为列出关于x的方程，解之可得．
【解答】解：（1）∵袋中共有7个小球，其中红球有5个，
∴从袋中随机摸出一个球是红球的概率为；

（2）列表如下：

白
白
红
红
红
红
红
白
（白，白）
（白，白）
（白，红）
（白，红）
（白，红）
（白，红）
（白，红）
白
（白，白）
（白，白）
（白，红）
（白，红）
（白，红）
（白，红）
（白，红）
红
（白，红）
（白，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
红
（白，红）
（白，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
红
（白，红）
（白，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
红
（白，红）
（白，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
红
（白，红）
（白，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
（红，红）
由表知共有49种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有20种结果，
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为；

（3）设有x个红球被换成了黄球．
根据题意，得：，
解得：x＝3，
即袋中有3个红球被换成了黄球．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．【分析】（1）因为直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，所以，所以∠CAE＝∠ABC，因为AE＝CE，所以∠CAE＝∠ACE，所以∠ABC＝∠ACE；
（2）连接OB，设∠CAE＝∠ACE＝∠ABC＝x，通过计算可得∠PEB＝∠PBE＝2x，所以PB＝PE；
（3）连接OP，证明△OBC和△PBE为等边三角形，因为⊙O半径为2，可得BN＝3，NE＝1，即PB＝BE＝4，在Rt△PBO中求得PO的长，即可得出PQ的最大值．
【解答】解：（1）证明：∵直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，
∴，
∴∠CAE＝∠ABC，
∵AE＝CE，
∴∠CAE＝∠ACE，
∴∠ABC＝∠ACE；
（2）如图，连接OB，
∵过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，
∴∠OBP＝90°，
设∠CAE＝∠ACE＝∠ABC＝x，
则∠PEB＝2x，
∵OB＝OC，AB⊥CD，
∴∠OBC＝∠OCB＝90°﹣x，
∴∠BOC＝180°﹣2（90°﹣x）＝2x，
∴∠OBE＝90°﹣2x，
∴∠PBE＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，
∴∠PEB＝∠PBE，
∴PB＝PE；
（3）如图，连接OP，
∵点N为OC中点，AB⊥CD，
∴AB是CD的垂直平分线，
∴BC＝OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∵⊙O半径为2，
∴CN＝，
∵∠CAE＝∠ACE＝∠BOC＝30°，
∴∠CEN＝60°，∠PBE＝2∠CAB＝60°，
∴△PBE为等边三角形，BN＝3，NE＝1，
∴PB＝BE＝BN+NE＝3+1＝4，
∴PO＝，
∴PQ的最大值为PO+＝．

【点评】本题考查圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理．解题的关键是掌握圆的切线的性质．
24．【分析】（1）利用表中对应值，可设交点式y＝a（x﹣1）（x﹣3），然后把（0，3）代入求出a即可得到抛物线的解析式；
（2）利用y＝（x﹣2）2﹣1得到抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（0，1），即x＝2时，函数有最小值﹣1，从而得到当1＜x≤4时所对应的函数值的范围．
【解答】解：（1）抛物线过点（1，0），（3，0），（0，3），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），
把（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣3）＝3，解得a＝1，
所以抛物线的解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3），
即y＝x2﹣4x+3；

（2）y＝（x﹣2）2﹣1，
则抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（0，1），
所以当1＜x≤4时，﹣1≤y≤3，
故答案为：﹣1≤y≤3．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
25．【分析】（1）由∠POC＝90°可知PC为直径，所以∠PBC＝90°，P、A重合时得3个直角，即证四边形POCB为矩形．
（2）题干已知的边长只有OA、AB，所以要把∠BPC转化到与OA、OB有关的三角形内．连接O，B据圆周角定理，得∠COB＝∠BPC，又AB∥OC有∠ABP＝∠COB，得∠BPC＝∠ABP．
（3）分两种情况：①OP∥BM即BM⊥x轴，延长BM交x轴于N，根据垂径定理得ON＝CN＝3，设半径为r，利用Rt△CMN的三边关系列方程即求出；②OM∥PB，根据圆周角定理和等腰三角形性质得到△BOM≌△COM，所以BO＝CO＝5，用m表达各条线段，再利用勾股定理为等量关系列方程求得m．
（4）因为点O与点O'关于直线对称，所以∠PO'C＝∠POC＝90°，即点O'在圆上；考虑点P运动到特殊位置：①点O'与点O重合；②点O'落在AB上；③点O'与点B重合．算出对应的m值再考虑范围．
【解答】解：（1）∵∠COA＝90°
∴PC是直径，
∴∠PBC＝90°
∵A（0，4）B（3，4）
∴AB⊥y轴
∴当A与P重合时，∠OPB＝90°
∴四边形POCB是矩形
（2）连结OB，（如图1）
∴∠BPC＝∠BOC
∵AB∥OC
∴∠ABO＝∠BOC
∴∠BPC＝∠BOC＝∠ABO
∴tan∠BPC＝tan∠ABO＝



（3）∵PC为直径
∴M为PC中点
①如图2，当OP∥BM时，延长BM交x轴于点N
∵OP∥BM
∴BN⊥OC于N
∴ON＝NC，四边形OABN是矩形
∴NC＝ON＝AB＝3，BN＝OA＝4
设⊙M半径为r，则BM＝CM＝PM＝r
∴MN＝BN﹣BM＝4﹣r
∵MN2+NC2＝CM2
∴（4﹣r）2+32＝r2
解得：r＝
∴MN＝4﹣
∵M、N分别为PC、OC中点
∴m＝OP＝2MN＝

②如图3，当OM∥PB时，∠BOM＝∠PBO
∵∠PBO＝∠PCO，∠PCO＝∠MOC
∴∠OBM＝∠BOM＝∠MOC＝∠MCO
在△BOM与△COM中

∴△BOM≌△COM（AAS）
∴OC＝OB＝＝5
∵AP＝4﹣m
∴BP2＝AP2+AB2＝（4﹣m）2+32
∵∠ABO＝∠BOC＝∠BPC，∠BAO＝∠PBC＝90°
∴△ABO∽△BPC
∴
∴PC＝
∴PC2＝BP2＝ [（4﹣m）2+32]
又PC2＝OP2+OC2＝m2+52
∴ [（4﹣m）2+32]＝m2+52
解得：m＝或m＝10（舍去）
综上所述，m＝或m＝


（4）∵点O与点O'关于直线对称
∴∠PO'C＝∠POC＝90°，即点O'在圆上
当O'与O重合时，得m＝0
当O'落在AB上时，得m＝
当O'与点B重合时，得m＝
∴0≤m≤或m＝
【点评】本题考查了圆周角定理（同弧所对的圆周角相等），矩形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题涉及方程思想和分类讨论．第（2）题关键是把∠BPC进行转换；第（3）题分类讨论，设某个量为未知数，再利用勾股定理列方程来解，这是圆中已知弦长（或弦心距）求半径时常用做法；第（4）题可先把点O'到达△APB各边上为特殊位置求出m，再讨论m的范围．