2019年四川省成都市浦江县中考数学一模试卷（含答案解析）

这是一份2019年四川省成都市浦江县中考数学一模试卷（含答案解析），共21页。试卷主要包含了下面是一个被墨水污染过的方程，第14届中国，关于x的一元二次方程x2﹣，某排球队6名场上队员的身高等内容，欢迎下载使用。

2019年四川省成都市浦江县中考数学一模试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，数轴的单位长度为1，如果A、B表示的数的绝对值相等，那么点C表示的数是（　　）

A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4
2．下面是一个被墨水污染过的方程：2x﹣＝3x+，答案显示此方程的解是x＝﹣1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣ D．
3．某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个赢利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店（　　）
A．不赔不赚 B．赚了10元 C．赔了10元 D．赚了50元
4．第14届中国（深圳）国际茶产业博览会在深圳会展中心展出一只如图所示的紫砂壶，从不同方向看这只紫砂壶，你认为是从上面看到的效果图是（　　）

A． B．
C． D．
5．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0的根的情况是（　　）
A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根
C．无实数根 D．不能确定
6．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（　　）

A．20° B．35° C．40° D．70°
7．某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，194．现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（　　）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大
8．如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y＝的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC＝60°，则k的值是（　　）

A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2
9．施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（　　）
A． ＝2 B． ＝2
C． ＝2 D． ＝2
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x＝1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
11．因式分解：a3﹣2a2b+ab2＝　 　．
12．如图，∠A＝60°，∠ACD＝110°，∠B＝　 　°．

13．分式与的和为4，则x的值为　 　．
14．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在边AD上，若AB＝8，BC＝10，则CE＝　 　．

三．解答题（共6小题，满分54分）
15．（1）计算：20180﹣||+（）﹣1+2cos45°
（2）解方程：3（x+2）2＝x2﹣4
16．先化简÷，然后从﹣1，0，2中选一个合适的x的值，代入求值．
17．由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向．如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

18．抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．

19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y1＝﹣2x的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣1，n），B两点．
（1）求出反比例函数的解析式及点B的坐标；
（2）观察图象，请直接写出满足y≤2的取值范围；
（3）点P是第四象限内反比例函数的图象上一点，若△POB的面积为1，请直接写出点P的横坐标．

20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；
（3）若BE＝8，sinB＝，求DG的长，

四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
21．已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为　 　．
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为　 　．

23．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连接AD1，BC1．若∠ACB＝30°，AB＝1，CC1＝x，则下列结论：
①△A1AD1≌△CC1B；
②当x＝1时，四边形ABC1D1是菱形；
③当x＝2时，△BDD1为等边三角形．
其中正确的是　 　（填序号）．

24．如图，直线y＝x分别与双曲线y＝（m＞0，x＞0），双曲线y＝（n＞0，x＞0）交于点A和点B，且，将直线y＝x向左平移6个单位长度后，与双曲线y＝交于点C，若S△ABC＝4，则的值为　 　，mn的值为　 　．

25．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于　 　．

五．解答题（共3小题，满分30分）
26．某种蔬菜每千克售价y1（元）与销售月份x之间的关系如图1所示，每千克成本y2（元）与销售月份x之间的关系如图2所示，其中图1中的点在同一条线段上，图2中的点在同一条抛物线上，且抛物线的最低点的坐标为（6，1）．
（1）求出y1与x之间满足的函数表达式，并直接写出x的取值范围；
（2）求出y2与x之间满足的函数表达式；
（3）设这种蔬菜每千克收益为w元，试问在哪个月份出售这种蔬菜，w将取得最大值？并求出此最大值．（收益＝售价﹣成本）

27．有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD，MF，若BD＝16cm，∠ADB＝30°．
（1）试探究线段BD 与线段MF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）把△BCD 与△MEF 剪去，将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，边AD1交FM 于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK 为等腰三角形时，求β的度数；
（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离．

28．如图所示，已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．
（1）请直接写出a，k，b的值及关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；
（2）当点P在直线AB上方时，请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．


2019年四川省成都市浦江县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，数轴的单位长度为1，如果A、B表示的数的绝对值相等，那么点C表示的数是（　　）

A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4
【分析】根据AC＝CB结合A、B表示的数的绝对值相等，即可得出点C表示的数，此题得解．
【解答】解：观察数轴，可知：AC＝CB＝2，
∵A、B表示的数的绝对值相等，
∴点C表示的数是0．
故选：C．
【点评】本题考查了数轴以及绝对值，牢记“互为相反数的两个数绝对值相等”是解题的关键．
2．下面是一个被墨水污染过的方程：2x﹣＝3x+，答案显示此方程的解是x＝﹣1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣ D．
【分析】把方程的解x＝﹣1代入方程进行计算即可求解．
【解答】解：∵x＝﹣1是方程的解，
∴2×（﹣1）﹣＝3×（﹣1）+，
﹣2﹣＝﹣3+，
解得＝．
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，方程的解就是使方程成立的未知数的值，代入进行计算即可求解，比较简单．
3．某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个赢利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店（　　）
A．不赔不赚 B．赚了10元 C．赔了10元 D．赚了50元
【分析】设盈利的进价是x元，亏本的是y元，根据某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个赢利60%，另一个亏本20%，可列方程求解．
【解答】解：设盈利的进价是x元，
80﹣x＝60%x
x＝50
设亏本的进价是y元
y﹣80＝20%y
y＝100
80+80﹣100﹣50＝10元．
故赚了10元．
故选：B．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是根据利润＝售价﹣进价，求出两个商品的进价，从而得解．
4．第14届中国（深圳）国际茶产业博览会在深圳会展中心展出一只如图所示的紫砂壶，从不同方向看这只紫砂壶，你认为是从上面看到的效果图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】俯视图就是从物体的上面看物体，从而得到的图形．
【解答】解：由立体图形可得其俯视图为：
．
故选：C．
【点评】此题主要考查了简单组合体的三视图，正确把握三视图的观察角度是解题关键．
5．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0的根的情况是（　　）
A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根
C．无实数根 D．不能确定
【分析】先计算判别式得到△＝（k+3）2﹣4×k＝（k+1）2+8，再利用非负数的性质得到△＞0，然后可判断方程根的情况．
【解答】解：△＝（k+3）2﹣4×k＝k2+2k+9＝（k+1）2+8，
∵（k+1）2≥0，
∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
6．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是（　　）

A．20° B．35° C．40° D．70°
【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）＝70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE＝∠ACB＝35°．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°，
∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）＝70°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝35°．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB＝70°是解题的关键．
7．某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，194．现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（　　）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大
【分析】分别计算出原数据和新数据的平均数和方差即可得．
【解答】解：原数据的平均数为＝188，
则原数据的方差为×[（180﹣188）2+（184﹣188）2+（188﹣188）2+（190﹣188）2+（192﹣188）2+（194﹣188）2]＝，
新数据的平均数为＝187，
则新数据的方差为×[（180﹣187）2+（184﹣187）2+（188﹣187）2+（190﹣187）2+（186﹣187）2+（194﹣187）2]＝，
所以平均数变小，方差变小，
故选：A．
【点评】本题主要考查方差和平均数，解题的关键是掌握方差的计算公式．
8．如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y＝的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC＝60°，则k的值是（　　）

A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2
【分析】根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点A（1，1），
∴OA＝，
∴BO＝，
∵直线AC的解析式为y＝x，
∴直线BD的解析式为y＝﹣x，
∵OB＝，
∴点B的坐标为（，），
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴，
解得，k＝﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
9．施工队要铺设1000米的管道，因在中考期间需停工2天，每天要比原计划多施工30米才能按时完成任务．设原计划每天施工x米，所列方程正确的是（　　）
A． ＝2 B． ＝2
C． ＝2 D． ＝2
【分析】设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，根据：原计划所用时间﹣实际所用时间＝2，列出方程即可．
【解答】解：设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+30）米，
根据题意，可列方程：﹣＝2，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．
10．如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x＝1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　）

A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b＝0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．
【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab＜0，故正确；

②∵对称轴x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0；故正确；

③∵2a+b＝0，
∴b＝﹣2a，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故错误；

④根据图示知，当m＝1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．
故正确．

⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．
故错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
二．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）
11．因式分解：a3﹣2a2b+ab2＝　a（a﹣b）2　．
【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（a2﹣2ab+b2）
＝a（a﹣b）2．
故答案为：a（a﹣b）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．如图，∠A＝60°，∠ACD＝110°，∠B＝　50　°．

【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算即可．
【解答】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＝∠A+∠B，
∴∠B＝∠ACD﹣∠A＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
13．分式与的和为4，则x的值为　3　．
【分析】首先根据分式与的和为4，可得： +＝4，然后根据解分式方程的方法，求出x的值为多少即可．
【解答】解：∵分式与的和为4，
∴+＝4，
去分母，可得：7﹣x＝4x﹣8
解得：x＝3
经检验x＝3是原方程的解，
∴x的值为3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了解分式方程问题，要熟练掌握，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
14．如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，将△BCE沿BE折叠为△BFE，点F落在边AD上，若AB＝8，BC＝10，则CE＝　5　．

【分析】由矩形的性质可得AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠A＝∠D＝90°，由折叠的性质可求BF＝BC＝10，EF＝CE，由勾股定理可求AF的长，CE的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠A＝∠D＝90°，
∵将△BCE沿BE折叠为△BFE，
∴BF＝BC＝10，EF＝CE，
在Rt△ABF中，AF＝＝6
∴DF＝AD﹣AF＝4
在Rt△DEF中，DF2+DE2＝EF2＝CE2，
∴16+（8﹣CE）2＝CE2，
∴CE＝5
故答案为：5
【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
三．解答题（共6小题，满分54分）
15．（1）计算：20180﹣||+（）﹣1+2cos45°
（2）解方程：3（x+2）2＝x2﹣4
【分析】（1）先计算零指数幂、绝对值和负整数指数幂、代入三角函数值，再计算乘法和加减运算可得；
（2）运用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）原式＝1﹣﹣3+2×
＝1﹣﹣3+
＝﹣2；

（2）∵3（x+2）2＝x2﹣4，
∴（x+2）[3（x+2）﹣（x﹣2）]＝0，
则2（x+2）（x+4）＝0，
∴x+2＝0或x+4＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝﹣4．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力与实数的运算，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
16．先化简÷，然后从﹣1，0，2中选一个合适的x的值，代入求值．
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再由分式有意义的条件选取合适的x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝
＝﹣，
当x＝2时，原式＝﹣．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．
17．由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛C位于它的北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达B处，测得小岛C位于它的北偏东37°方向．如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处，求还需航行的距离BD的长．
（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，sin37°≈0.6，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【分析】根据题意得：∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80海里，在直角三角形ACD中，由三角函数得出CD＝27.2海里，在直角三角形BCD中，得出BD，即可得出答案．
【解答】解：由题意得：∠ACD＝70°，∠BCD＝37°，AC＝80海里，
在直角三角形ACD中，CD＝AC•cos∠ACD＝27.2海里，
在直角三角形BCD中，BD＝CD•tan∠BCD＝20.4海里．
答：还需航行的距离BD的长为20.4海里．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，三角函数的应用；求出CD的长度是解决问题的关键．
18．抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的重点对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．

【分析】（1）用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；
（2）用总人数分别减去A、B、D等级的人数得到C等级的人数，然后补全条形图；
（3）用700乘以D等级的百分比可估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生数；
（4）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）10÷20%＝50，
所以本次抽样调查共抽取了50名学生；
（2）测试结果为C等级的学生数为50﹣10﹣20﹣4＝16（人）；
补全条形图如图所示：

（3）700×＝56，
所以估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名；
（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y1＝﹣2x的图象与反比例函数y2＝的图象交于A（﹣1，n），B两点．
（1）求出反比例函数的解析式及点B的坐标；
（2）观察图象，请直接写出满足y≤2的取值范围；
（3）点P是第四象限内反比例函数的图象上一点，若△POB的面积为1，请直接写出点P的横坐标．

【分析】（1）把A（﹣1，n）代入y＝﹣2x，可得A（﹣1，2），把A（﹣1，2）代入y＝，可得反比例函数的表达式为y＝﹣，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）设P（m，﹣），根据S梯形MBPN＝S△POB＝1，可得方程（2+）（m﹣1）＝1或（2+）（1﹣m）＝1，求得m的值，即可得到点P的横坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，n）代入y＝﹣2x，可得n＝2，
∴A（﹣1，2），
把A（﹣1，2）代入y＝，可得k＝﹣2，
∴反比例函数的表达式为y＝﹣，
∵点B与点A关于原点对称，
∴B（1，﹣2）．
（2）∵A（﹣1，2），
∴y≤2的取值范围是x＜﹣1或x＞0；
（3）作BM⊥x轴于M，PN⊥x轴于N，
∵S梯形MBPN＝S△POB＝1，
设P（m，﹣），则（2+）（m﹣1）＝1或（2+）（1﹣m）＝1
整理得，m2﹣m﹣1＝0或m2+m+1＝0，
解得m＝或m＝，
∴P点的横坐标为．

【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．
20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接OF交AD于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）设AB＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；
（3）若BE＝8，sinB＝，求DG的长，

【分析】（1）连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD与AC平行，得到OD与BC垂直，即可得证；
（2）连接DF，由（1）得到BC为圆O的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形ABD与三角形ADF相似，由相似得比例，即可表示出AD；
（3）连接EF，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行，得到sin∠AEF＝sinB，进而求出DG的长即可．
【解答】（1）证明：如图，连接OD，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC为圆O的切线；
（2）解：连接DF，由（1）知BC为圆O的切线，
∴∠FDC＝∠DAF，
∴∠CDA＝∠CFD，
∴∠AFD＝∠ADB，
∵∠BAD＝∠DAF，
∴△ABD∽△ADF，
∴＝，即AD2＝AB•AF＝xy，
则AD＝；
（3）解：连接EF，在Rt△BOD中，sinB＝＝，
设圆的半径为r，可得＝，
解得：r＝5，
∴AE＝10，AB＝18，
∵AE是直径，
∴∠AFE＝∠C＝90°，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B，
∴sin∠AEF＝＝，
∴AF＝AE•sin∠AEF＝10×＝，
∵AF∥OD，
∴＝＝＝，即DG＝AD，
∴AD＝＝＝，
则DG＝×＝．

【点评】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分）
21．已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为　3　．
【分析】将n2+2n﹣1＝0变形为﹣﹣1＝0，据此可得m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，由韦达定理可得m+＝2，代入＝m+1+可得．
【解答】解：由n2+2n﹣1＝0可知n≠0．
∴1+﹣＝0．
∴﹣﹣1＝0，
又m2﹣2m﹣1＝0，且mn≠1，即m≠．
∴m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根．
∴m+＝2．
∴＝m+1+＝2+1＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根及韦达定理．
22．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，以CD为直径作⊙O．将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为　8　．

【分析】连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′＝∠B′CD′＝90°、AB＝CD＝10，BC＝B′C＝8，从而得出四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形且OE＝OD＝OC＝5，继而求得CG＝B′E＝OH＝＝4，根据垂径定理可得CF的长．
【解答】解：连接OE，延长EO交CD于点G，作OH⊥B′C于点H，

则∠OEB′＝∠OHB′＝90°，
∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′C′D′，
∴∠B′＝∠B′CD′＝90°，AB＝CD＝10，BC＝B′C＝8，
∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE＝OD＝OC＝5，
∴B′H＝OE＝5，
∴CH＝B′C﹣B′H＝3，
∴CG＝B′E＝OH＝＝4，
∵四边形EB′CG是矩形，
∴∠OGC＝90°，即OG⊥CD′，
∴CF＝2CG＝8，
故答案为：8．
【点评】本题主要考查圆的切线的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识点．
23．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连接AD1，BC1．若∠ACB＝30°，AB＝1，CC1＝x，则下列结论：
①△A1AD1≌△CC1B；
②当x＝1时，四边形ABC1D1是菱形；
③当x＝2时，△BDD1为等边三角形．
其中正确的是　①②③　（填序号）．

【分析】①根据矩形的性质，得∠DAC＝∠ACB，再由平移的性质，可得出∠A1＝∠ACB，A1D1＝CB，从而证出结论；
②根据菱形的性质，四条边都相等，可推得当C1在AC中点时四边形ABC1D1是菱形．
③当x＝2时，点C1与点A重合，可求得BD＝DD1＝BD1＝2，从而可判断△BDD1为等边三角形．
【解答】解：①∵四边形ABCD为矩形，
∴BC＝AD，BC∥AD
∴∠DAC＝∠ACB
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，
∴∠A1＝∠DAC，A1D1＝AD，AA1＝CC1，
在△A1AD1与△CC1B中，
，
故①正确；
②∵∠ACB＝30°，
∴∠CAB＝60°，
∵AB＝1，
∴AC＝2，
∵x＝1，
∴AC1＝1，
∴△AC1B是等边三角形，
∴AB＝D1C1，
又AB∥D1C1，
∴四边形ABC1D1是菱形，
故②正确；
③如图所示：

则可得BD＝DD1＝BD1＝2，
∴△BDD1为等边三角形，故③正确．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等边三角形的判定及解直角三角形的知识，解答本题需要我们熟练掌握全等三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质，有一定难度．
24．如图，直线y＝x分别与双曲线y＝（m＞0，x＞0），双曲线y＝（n＞0，x＞0）交于点A和点B，且，将直线y＝x向左平移6个单位长度后，与双曲线y＝交于点C，若S△ABC＝4，则的值为　　，mn的值为　100　．

【分析】先求出直线y＝x向左平移6个单位长度后的解析式为y＝x+4，那么直线y＝x+4交y轴于E（0，4），作EF⊥OB于F．根据互相垂直的两直线斜率之积为﹣1得出直线EF的解析式为y＝﹣x+4，再求出F点的坐标，根据勾股定理求得EF，根据S△ABC＝4，求出AB，那么根据，求得OA，进而求出A、B两点坐标，求出m、n即可解决问题．
【解答】解：直线y＝x向左平移6个单位长度后的解析式为y＝（x+6），即y＝x+4，
∴直线y＝x+4交y轴于E（0，4），作EF⊥OB于F．
可得直线EF的解析式为y＝﹣x+4，
由，解得，即F（，）．
∴EF＝＝，
∵S△ABC＝4，
∴•AB•EF＝4，
∴AB＝，
∵＝，
∴OA＝AB＝，
∴A（3，2），B（5，），
∴m＝6，n＝，
∴＝，mn＝100．
故答案为，100．

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求直线的解析式，两点间的距离公式，三角形的面积，函数图象上点的坐标特征等知识，综合性较强．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
25．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC平分角∠BAD，点P是△ABC内一点，连接PA、PB、PC，若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则菱形ABCD的面积等于　50　．

【分析】将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM，连接PM，想办法证明∠APH＝30°，利用勾股定理求出AB的平方即可解决问题．
【解答】解：将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AM，连接PM，作AH⊥BP于H．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AM＝AP，∠MAP＝60°，
∴△AMP是等边三角形，
∵∠MAP＝∠BAC，
∴∠MAB＝∠PAC，
∴△MAB≌△PAC，
∴BM＝PC＝10，
∵PM2+PB2＝100，BM2＝100，
∴PM2+PB2＝BM2，
∴∠MPB＝90°，∵∠APM＝60°，
∴∠APB＝150°，∠APH＝30°，
∴AH＝PA＝3，PH＝3，BH＝8+3，
∴AB2＝AH2+BH2＝100+48，
∴菱形ABCD的面积＝2•△ABC的面积＝2××AB2＝50+72，
故答案为50+72．
【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
五．解答题（共3小题，满分30分）
26．某种蔬菜每千克售价y1（元）与销售月份x之间的关系如图1所示，每千克成本y2（元）与销售月份x之间的关系如图2所示，其中图1中的点在同一条线段上，图2中的点在同一条抛物线上，且抛物线的最低点的坐标为（6，1）．
（1）求出y1与x之间满足的函数表达式，并直接写出x的取值范围；
（2）求出y2与x之间满足的函数表达式；
（3）设这种蔬菜每千克收益为w元，试问在哪个月份出售这种蔬菜，w将取得最大值？并求出此最大值．（收益＝售价﹣成本）

【分析】（1）利用待定系数法求y1与x之间满足的函数表达式，并根据图1写出自变量x的取值范围；
（2）利用顶点式求y2与x之间满足的函数表达式；
（3）根据收益＝售价﹣成本，列出函数解析式，利用配方法求出最大值．
【解答】解：（1）设y1＝kx+b，
∵直线经过（3，5）、（6，3），
，解得：，
∴y1＝﹣x+7（3≤x≤6），

（2）设y2＝a（x﹣6）2+1，
把（3，4）代入得：4＝a（3﹣6）2+1，
解得a＝，
∴y2＝（x﹣6）2+1，

（3）由题意得：w＝y1﹣y2＝﹣x+7﹣[（x﹣6）2+1]，
＝﹣＝﹣+，
当x＝5时，y最大值＝．
故5月出售这种蔬菜，每千克收益最大．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式以及二次函数的最值问题，并注意实际问题中的x的取值范围．
27．有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD，MF，若BD＝16cm，∠ADB＝30°．
（1）试探究线段BD 与线段MF的数量关系和位置关系，并说明理由；
（2）把△BCD 与△MEF 剪去，将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，边AD1交FM 于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK 为等腰三角形时，求β的度数；
（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离．

【分析】（1）有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），得BD＝MF，△BAD≌△MAF，推出BD＝MF，∠ADB＝∠AFM＝30°，进而可得∠DNM的大小．
（2）分两种情形讨论①当AK＝FK时，②当AF＝FK时，根据旋转的性质得出结论．
（3）求平移的距离是A2A的长度．在矩形PNA2A中，A2A＝PN，只要求出PN的长度就行．用△DPN∽△DAB得出对应线段成比例，即可得到A2A的大小．
【解答】解：（1）结论：BD＝MF，BD⊥MF．理由：
如图1，延长FM交BD于点N，

由题意得：△BAD≌△MAF．
∴BD＝MF，∠ADB＝∠AFM．
又∵∠DMN＝∠AMF，
∴∠ADB+∠DMN＝∠AFM+∠AMF＝90°，
∴∠DNM＝90°，
∴BD⊥MF．

（2）如图2，

①当AK＝FK时，∠KAF＝∠F＝30°，
则∠BAB1＝180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
即β＝60°；
②当AF＝FK时，∠FAK＝（180°﹣∠F）＝75°，
∴∠BAB1＝90°﹣∠FAK＝15°，
即β＝15°；
综上所述，β的度数为60°或15°；

（3）如图3，

由题意得矩形PNA2A．设A2A＝x，则PN＝x，
在Rt△A2M2F2中，∵F2M2＝FM＝16，∠F＝∠ADB＝30°，
∴A2M2＝8，A2F2＝8，
∴AF2＝8﹣x．
∵∠PAF2＝90°，∠PF2A＝30°，
∴AP＝AF2•tan30°＝8﹣x，
∴PD＝AD﹣AP＝8﹣8+x．
∵NP∥AB，
∴∠DNP＝∠B．
∵∠D＝∠D，
∴△DPN∽△DAB，
∴＝，
∴＝，
解得x＝12﹣4，即A2A＝12﹣4，
∴平移的距离是（12﹣4）cm．
【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用运用．在利用相似三角形的性质时注意使用相等线段的代换以及注意分类思想的运用．
28．如图所示，已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．
（1）请直接写出a，k，b的值及关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；
（2）当点P在直线AB上方时，请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据待定系数法得出a，k，b的值，进而得出不等式的解集即可；
（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，连接PC．根据三角形的面积公式解答即可；
（3）根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可．
【解答】解：（1）把A（﹣1，﹣1），代入y＝ax2中，可得：a＝﹣1，
把A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）代入y＝kx+b中，可得：，
解得：，
所以a＝﹣1，k＝﹣1，b＝﹣2，
关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集是x＜﹣1或x＞2，
（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C．

∵A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
∴C（﹣1，﹣4），AC＝BC＝3，
设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为﹣m2．
过点P作PD⊥AC于D，作PE⊥BC于E．则D（﹣1，﹣m2），E（m，﹣4），
∴PD＝m+1，PE＝﹣m2+4．
∴S△APB＝S△APC+S△BPC﹣S△ABC
＝
＝
＝．
∵＜0，，﹣1＜m＜2，
∴当时，S△APB 的值最大．
∴当时，，S△APB＝，
即△PAB面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）
（3）存在三组符合条件的点，

当以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形时，
∵AP＝BQ，AQ＝BP，A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4），
可得坐标如下：
①P′的横坐标为﹣3，代入二次函数表达式，
解得：P'（﹣3，﹣9），Q'（0，﹣12）；
②P″的横坐标为3，代入二次函数表达式，
解得：P″（3，﹣9），Q″（0，﹣6）；
③P的横坐标为1，代入二次函数表达式，
解得：P（1，﹣1），Q（0，﹣4）．
故：P的坐标为（﹣3，﹣9）或（3，﹣9）或（1，﹣1），
Q的坐标为：Q（0，﹣12）或（0，﹣6）或（0，﹣4）．
【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．