初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程精品课堂检测

小专题(十九)　分式方程应用题的常见类型

类型1　工程问题

1．某城市进行道路改造，若甲、乙两工程队合作施工20天可完成；若甲、乙两工程队合作施工5天后，乙工程队再单独施工45天可完成．求乙工程队单独完成此工程需要多少天？设乙工程队单独完成此工程需要x天，可列方程为＋＝1．

2．(十堰中考)甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1 000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字，问：甲、乙两人每分钟各打多少个字？

解：设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打(x＋5)个字，由题意，得

＝，解得x＝45.

经检验，x＝45是原方程的解．

答：甲每分钟打50个字，乙每分钟打45个字．

3．(广东中考)某工程队修建一条1 200 m的道路，采用新的施工方式，工效提高了50%，结果提前4天完成任务．

(1)求这个工程队原计划每天修建道路多少米？

(2)在这项工程中，如果要求工程队提前两天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？

解：(1)设这个工程队原计划每天修建道路x米，得

＝＋4，解得x＝100.

经检验，x＝100是原方程的解．

答：这个工程队原计划每天修建100 m.

(2)设实际平均每天修建道路的工效比原计划增加y%，可得

＝，解得y＝20.

经检验，y＝20是原方程的解．

答：实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之二十．

4．一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102 000元；如果甲、乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用的时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1 500元．

(1)甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？

(2)若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？

解：(1)设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天．根据题意，得

＋＝，解得x＝20，

经检验，x＝20是方程的解且符合题意．

1．5x＝30.

答：甲公司单独完成此项工程需20天，乙公司需30天．

(2)设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为(y－1 500)元，根据题意，得

12(y＋y－1 500)＝102 000，解得y＝5 000.

甲公司单独完成此项工程所需的施工费为

20×5 000＝100 000(元)；

乙公司单独完成此项工程所需的施工费为

30×(5 000－1 500)＝105 000(元)．

∴甲公司的施工费较少．

类型2　行程问题

5．(娄底中考)甲、乙两同学与学校的距离均为3 000米，甲同学先步行600米然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的，公交车速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．

(1)求乙骑自行车的速度．

(2)当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？

解：(1)设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，根据题意，得

＋＝－2，

解得x＝300.

经检验，x＝300是方程的解．

答：乙骑自行车的速度为300米/分钟．

(2)300×2＝600(米)．

答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．

6．从贵阳到广州，乘特快列车的行程约为1 800 km，高铁开通后，高铁列车的行程约为860 km，运行时间比特快列车所用的时间减少了16 h．若高铁列车的平均速度是特快列车平均速度的2.5倍，求特快列车的平均速度．

解：设特快列车的平均速度为x km/h，根据题意可列出方程为

＝＋16，解得x＝91.

检验：当x＝91时，2.5x≠0.

所以x＝91是方程的解．

答：特快列车的平均速度为91 km/h.

类型3　销售问题

7．某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用的文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠．若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1 936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1 936元．请问该学校九年级学生有多少人？

解：设九年级学生有x人，根据题意，得

×0.8＝，

整理得0.8(x＋88)＝x，解得x＝352.

经检验，x＝352是方程的解．

答：这个学校九年级学生有352人．

8．华昌中学开学初在金利源商场购进A、B两种品牌足球，购买A品牌足球花费了2 500元，购买B品牌足球花费了2 000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．

(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；

(2)华昌中学为响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个．恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3 260元，那么华昌中学此次最多可购买多少个B品牌足球？

解：(1)设购买一个A品牌足球需x元，则购买一个B品牌足球需(x＋30)元，根据题意，得

＝×2，解得x＝50.

经检验，x＝50是原方程的解．

则x＋30＝80.

答：购买一个A品牌足球需50元，购买一个B品牌足球需80元．

(2)设本次购买a个B品牌足球，则购进A品牌足球(50－a)个，根据题意，得

50×(1＋8%)(50－a)＋80×0.9a≤3 260，

解得a≤31.

∵a取正整数，∴a最大值为31.

答：此次华昌中学最多可购买31个B品牌足球．

9．(常德中考)某服装店用4 500元购进一批衬衫，很快售完．服装店老板又用2 100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．

(1)这两次各购进这种衬衫多少件？

(2)若第一批衬衫的售价是200元/件，老板想让这两批衬衫售完后的总利润不低于1 985元，则第二批衬衫每件至少要售多少元？

解：(1)设第二次购进衬衫x件，则第一次购进衬衫2x件，根据题意，得

－＝10，解得x＝15.

经检验，x＝15是此方程的解，则2x＝30.

答：第一次购进衬衫30件，第二次购进衬衫15件．

(2)设第二批衬衫每件售价为y元，根据题意，得

30×(200－)＋15(y－)≥1 985，

解得y≥172.

答：第二批衬衫每件至少要售172元．