物理选修34 单摆学案

4　单　摆

1．单摆

(1)定义：一根细线悬挂一小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略；球的直径与线的长度相比可以忽略，这样的装置叫做单摆。

(2)实际摆可视为单摆的条件：

①摆线的形变量比摆线的长度小得多，可把摆线看成不可伸长的线。

②摆线的质量比摆球的质量小得多，这时可以认为摆线是没有质量的。

③摆球的大小比摆线的长度小得多，这时可把摆球看成质点。

【例1】 下列关于单摆的说法，正确的是(　　)

A．单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处时的位移为A(A为振幅)，从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为－A

B．单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力

C．单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力

D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零

解析：

答案：C

2．单摆的回复力

(1)回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。

(2)回复力的特点：在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F＝－x。

(3)运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律。

谈重点：回复力的推证

如图所示，G1＝mgsin θ是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力，也可以说成是摆球沿运动方向的合力提供了摆球摆动的回复力：F＝G1＝mg sin θ，当偏角很小时，sin θ≈，所以单摆的回复力为F＝－x。

【例2】 下列有关单摆运动过程中的受力，说法正确的是(　　)

A．单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力

B．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力

C．单摆经过平衡位置时合力为零

D．单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力

解析：单摆运动是在一段圆弧上运动，因此单摆运动过程不仅有回复力，而且有向心力，即单摆的合外力不仅要提供回复力，而且要提供向心力，故选项A错误；

单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力，而不是摆线拉力的分力，故选项B正确，D错误；

单摆经过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合外力不为零，所以选项C错误。

答案：B

3．单摆的周期

(1)荷兰物理学家惠更斯研究了单摆的摆动，得出单摆做简谐运动的周期T跟摆长l的二次方根成正比，跟重力加速度g的二次方根成反比，跟振幅、摆球的质量无关的结论。

(2)周期公式：T＝2π。

说明：①单摆的周期T＝2π为单摆的固有周期，相应地f＝为单摆的固有频率，即周期与振幅及摆球的质量无关，只与摆长l及单摆所在地的重力加速度有关。

②单摆的周期公式在最大偏角很小时成立。

③单摆周期公式中的g应为单摆所在处的重力加速度，l应为单摆的摆长。因为实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长是指从悬点到摆球重心的长度，而从悬点到摆线与摆球连接点的长度通常叫摆线长。

【例3】 有一单摆，其摆长l＝1.02 m，摆球的质量m＝0.10 kg，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次用的时间t＝60.8 s，试求：当地的重力加速度是多大？

答案：9.79 m/s2

4.用单摆测定重力加速度

(1)实验步骤

①做单摆

A．让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的结。

B．把线的上端用铁夹固定在铁架台上并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处作上标记。

②测摆长：用毫米刻度尺量出悬线长l′，精确到毫米；用游标卡尺测量出摆球的直径D，精确到毫米，则l＝l′＋，即为单摆的摆长。

③测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度，且满足摆角小于10°，然后释放摆球，当单摆摆动稳定后，过平衡位置时用秒表开始计时，测量30～50次全振动的时间。计算出平均摆动一次的时间，即为单摆的振动周期T。

④变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测出相应的摆长l和周期T。

(2)数据处理

①平均值法：每改变一次摆长，将相应的l和T，代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值。

设计如下所示实验表格

②图象法：由T＝2π得T2＝l作出T2l图象，即以T2为纵轴，以l为横轴。其斜率k＝，由图象的斜率即可求出重力加速度g。

点技巧：图象法中为什么做lT2图象

用图象法处理数据既直观又方便，同时也能最大限度地减小偶然误差对实验结果造成的影响。由于lT的图象不是直线，不便于进行数据处理，所以采用lT2的图象，目的是为了将曲线转换为直线，便于利用直线的斜率计算重力加速度。

【例4】 在“用单摆测重力加速度”的实验中，

(1)某同学的操作步骤为：

a．取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上

b．用米尺量得细线长度l

c．在细线偏离竖直方向5°位置释放小球

d．用停表记录小球完成n次全振动所用的总时间t，得到周期T＝t/n

e．用公式g＝计算重力加速度

按上述方法得出的重力加速度值与实际值相比______(选填“偏大”“相同”或“偏小”)。

(2)已知单摆在任意偏角θ时的周期公式可近似为T′＝T0(1＋asin2)，式中T0为偏角θ趋近于0°时的周期，a为常数。为了用图象法验证该关系式，需要测量的物理量有______________________；若某同学在实验中得到了如图所示的图线，则图象中的横轴表示_______________________。

解析：(1)g计算式中l应为线长与小球半径之和，因此，算得的重力加速度值偏小。

(2)通过测量不同摆角时摆角θ和对应的周期值T′，才能给出sin2()T′的图象，验证T′＝T0[1＋asin2()]关系式，即sin2()＝T′－，进而利用图象可以确定a、T0的值。

答案：(1)偏小　(2)T′、θ　T′

5．对单摆周期公式T＝2π的理解

由公式T＝2π知，某单摆做简谐运动(摆角小于10°)的周期只与其摆长l和当地的重力加速度g有关，而与振幅和摆球质量无关，故又叫做单摆的固有周期。

(1)摆长l

①实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球重心的长度：一般即l＝l′＋，l′为摆线长，D为摆球直径。

②等效摆长：图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l·sin α，这就是等效摆长。其周期T＝2π。图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。

(2)重力加速度g

①若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g由单摆所处的空间位置决定。

②等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值。

辨误区：斜面摆的等效加速度

此场景中的等效重力加速度g′＝gsin θ。球静止在O时，FT＝mgsin θ，等效加速度g′＝＝gsin θ。

6．“用单摆测定重力加速度”的“八要”与“八不要”

(1)摆线要选1 m左右，不要过长或过短，太长测量不方便，太短摆动太快，不易计数。

(2)摆长要悬挂好球后再测，不要先测再系小球，因为悬挂摆球后细绳难免有形变。

(3)计算摆长时要将摆线长加上摆球半径，不要把摆线长当做摆长。

(4)摆球要选体积小、密度大的，不要选体积大、密度小的，这样可以减小空气阻力的影响。

(5)摆角要小于等于10°，不要过大，因为摆角过大，单摆的振动不再是简谐运动，公式T＝2π就不再适用。

(6)单摆要在竖直平面内摆动，不要使之成为圆锥摆。

(7)要从平衡位置计时，不要从摆球达到最高点时开始计时。

(8)要准确记好摆动次数，不要多记或少记。

【例5－1】 如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一小球B放在MN上离最低点C很近的B处，今使两球同时自由释放，则在不计空气阻力时有(　　)

A．A球先到达C点

B．B球先到达C点

C．两球同时到达C点

D．无法确定哪一个球先到达C点

解析：A做自由落体运动，到C所需时间tA＝，R为圆弧轨道的半径。

因为圆弧轨道的半径R很大，B球离最低点C又很近，所以B球在轨道给它的支持力和重力的作用下沿圆弧做简谐运动(等同于摆长为R的单摆)，则运动到最低点C所用的时间是单摆振动周期的，即tB＝＝＞tA，所以A球先到达C点。

答案：A

点技巧：巧用等效法

对小球在圆弧轨道上运动问题的分析，如果题目中明确给出“圆弧半径远大于弧长”或说明“释放位置离最低点很近”，即可等效为单摆，用单摆做简谐运动的周期公式求解，计算时注意确定等效摆长。

【例5－2】 某同学利用单摆测定当地重力加速度，发现单摆静止时摆球重心在球心的正下方，他仍将从悬点到球心的距离当做摆长l，通过改变摆线的长度，测得6组l和对应的周期T，画出lT2图象，然后在图象上选取A、B两个点，坐标如图所示。他采用恰当的数据处理方法，则计算重力加速度的表达式应为g＝________。请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比，将________。(选填“偏大”“偏小”或“相同”)

解析：设摆球重心在球心的正下方x处，则第一次测量时摆长l1′＝l1＋x，对应周期T1＝2π，第二次测量时摆长l2′＝l2＋x，对应周期T2＝2π，联立解得g＝。用图象法处理实验数据，则计算重力加速度的表达式应为g＝，实验结果与摆球重心就在球心处的情况相同。

答案：　相同

【例6】 某同学做实验时，下列操作错误或不合理的是(　　)

A．摆球摆动到最高点开始计时

B．防止摆球在水平面内做圆周运动

C．测出的摆线长就是摆长

D．在平衡位置启动停表，并开始计数，当摆球第30次经过平衡位置时制动停表

解析：回答此题应明确用单摆测定重力加速度实验的注意事项及全振动的含义。应在通过最低点时开始计时，误差较小，选项A错误；摆长应为摆线长加摆球半径，选项C错误；如此计数，则T＝，应在摆球经过平衡位置时开始计时，在摆球下一次以相同方向通过平衡位置时，计数为1，这样T＝，计算简便．

答案：ACD

7．摆钟快慢问题的分析方法

摆钟是单摆做简谐运动的一个典型应用，其快慢不同是由摆的周期变化引起的，分析时应注意：

(1)快慢由摆钟的机械构造所决定，钟摆每完成一次全振动，摆钟所显示的时间为一定值，也就是走时准确的摆钟的周期T为一定值。

(2)在摆钟机械构造不变的前提下，走时快的摆钟，在给定时间内全振动的次数多，周期小，钟面上显示的时间快；走时慢的摆钟，给定时间内全振动的次数少，周期大，钟面上显示的时间慢。因钟面显示的时间总等于摆动次数乘以准确摆钟的周期Ts，即t显＝N·Ts，所以在同一时间t内，钟面指示时间之比等于摆动次数之比。

(3)无论摆钟走时是否准确，钟面上显示的时间t显＝N·Ts，其中Ts为走时准确摆钟的周期，N为全振动的次数，对于走时不准确的摆钟，要计算其全振动的次数，不能用钟面上显示的时间除以其周期，而应以准确时间除以其周期，即N准＝。

【例7－1】 将在地球上校准的摆钟拿到月球上去，若此钟在月球上记录的时间是1 h，那么实际的时间应是________h(月球表面的重力加速度是地球表面的1/6)。若要把此摆钟调准，应将摆长l0调节为________。

解析：设在地球上校准的摆钟周期为T0，指示时间为t0；月球上周期为T，指示时间为t。由于指示时间t与振动次数N成正比，即t∝N；一定时间内振动次数N与振动周期T成反比，即N∝；由单摆周期公式可知T∝，由以上推知：t∝，则有＝，所求实际时间为t0＝t＝ h。要把它调准，需将摆长调为l0/6。

答案：　l0/6

【例7－2】 甲、乙两只相同的摆钟同时计时，当甲钟指示45 min时，乙钟已指示1 h，则甲、乙两钟的摆长之比l甲∶l乙＝________。

解析：设甲、乙两钟经过的时间为t，周期分别为T甲、T乙，标准钟的周期为Ts。则两钟在t时间内完成全振动的次数为N甲＝，N乙＝。

两钟显示的时间为：t甲＝·Ts，t乙＝·Ts。

所以＝。由T＝2π，得l甲∶l乙＝t∶t＝16∶9。

答案：16∶9