高中物理人教版 (新课标)选修33 简谐运动的回复力和能量导学案

这是一份高中物理人教版 (新课标)选修33 简谐运动的回复力和能量导学案，共6页。学案主要包含了正确理解回复力，简谐运动中机械能的转化与守恒，简谐运动的运动特点等内容，欢迎下载使用。




1．理解回复力的概念。


2．会用动力学的知识，分析简谐运动中位移、速度、回复力和加速度的变化规律。


3．会用能量守恒的观点，分析水平弹簧振子中动能、势能、总能量的变化规律。





日常生活中经常会遇到机械振动的情况：机器的振动、桥梁的振动、树枝的摇动、乐器的发声等，它们的振动比较复杂，但这些复杂的振动都是由简单的振动组成的，那么最基本、最简单的机械振动是什么呢？这种最简单、最基本的机械振动的振子受到的力有什么特点呢？





提示：如图所示，最基本、最简单的机械振动是简谐运动，简谐运动的物体受到的力是周期性变化的。








1．简谐运动的回复力


(1)简谐运动的动力学定义：如果______所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成______，并且总是指向________，质点的运动就是简谐运动。


(2)回复力的方向跟振子偏离平衡位置的位移方向______，总是指向__________，它的作用是使振子能够______平衡位置。


(3)表达式：__________，即回复力与物体的位移大小成正比，负号表明____________，k是常数。对于弹簧振子，k为弹簧的__________。


2．简谐运动的能量


(1)振子的速度与动能：______不断变化，______也在不断变化。


(2)弹簧形变量与势能：弹簧形变量在______，因而势能也在______。


(3)简谐运动过程是一个动能和势能不断变化的过程，在任意时刻振动物体的总机械能不变。在平衡位置处，动能_______，势能________；在最大位移处，势能________，动能______。振动的机械能与______有关，振幅______，机械能就________。


(4)实际的运动都有一定的能量损耗，所以简谐运动是一种理想化的模型。


思考：弹簧振子在振动过程中动能与势能相互转化，振子的位移x、回复力F、加速度a、速度v四个物理量中有哪几个与动能的变化步调一致？





答案：1．(1)质点 正比 平衡位置


(2)相反 平衡位置 回到


(3)F＝－kx 回复力与位移方向始终相反 劲度系数


2．(1)速度 动能


(2)变化 变化


(3)最大 最小 最大 最小 振幅 越大 越大


思考


提示：只有速度v。





一、正确理解回复力


1．回复力是根据力的效果命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分力提供。例如：如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹力充当回复力；如图乙所示，竖直方向的弹簧振子弹力和重力的合力充当回复力；如图丙所示，m1随m2一起振动，m1的回复力是静摩擦力。





2．“负号”表示回复力的方向与位移方向始终相反。


3．表达式反映出了回复力F与位移量之间的正比关系，位移越大，回复力越大；位移增大为原来的几倍，回复力也增大为原来的几倍。


4．因x＝Asin(ωt＋φ)，故回复力F＝－kx＝－kAsin(ωt＋φ)，可见回复力随时间按正弦规律变化。


5．式中“k”虽然是系数，但有单位，其单位是由F和x的单位决定的，即为N/m。


6．简谐运动中，x变化，回复力F随之改变，可见a＝eq \f(F,m)也是随x在改变，所以简谐运动是一个变加速运动。其位移跟加速度的关系：a＝－eq \f(k,m)x，加速度大小跟位移大小成正比，方向相反。


二、简谐运动中机械能的转化与守恒


1．简谐运动过程中动能和势能不断地发生转化。在平衡位置时，动能最大，势能最小；在位移最大时，势能最大，动能为零。在任意时刻动能和势能的总和，就是振动系统的总机械能。


2．弹簧振子是在弹力或重力的作用下发生振动的，如果不计摩擦力和空气阻力，只有弹力或重力做功，振动过程中动能和势能相互转化，总量保持不变，系统的机械能守恒。


3．机械系统的机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能越大。





简谐运动的势能可以是重力势能(例如单摆)，可以是弹性势能(例如水平方向上的弹簧振子)，也可以是重力势能与弹性势能之和(例如竖直方向上的弹簧振子)。


三、判断振动是否为简谐运动的方法有哪些？


1．运动学方法：找出质点的位移与时间的关系，若遵从正弦函数的规律，即它的振动图象(x-t图象)是一条正弦曲线，就可判定此振动为简谐运动，通常的问题判定中很少应用这个方法。


2．动力学方法：找出回复力和位移的关系，若满足规律，就可以判定此振动为简谐运动，此方法是既简单又常用的方法。操作步骤如下：


(1)物体静止时的位置即为平衡位置，并且规定正方向。


(2)在振动过程中任选一位置(平衡位置除外)，对物体进行受力分析。


(3)对力沿振动方向进行分解，求出振动方向上的合外力。


(4)判定振动方向上的合外力与位移的关系是否符合F＝－kx即可。


3．判断竖直方向上的弹簧振子做简谐运动


如图所示，劲度系数为k的弹簧上端固定在天花板的P点，下端挂一质量为m的物块，物块静止后，再向下拉长弹簧，然后放手，弹簧上下振动，试说明物块的运动是简谐运动。





设振子的平衡位置为O点，向下为正方向，静止时弹簧的形变量为x0，则有kx0=mg，


当弹簧向下发生位移x时，弹簧弹力F=k(x+x0)，


而回复力F回=mg－F=mg－k(x+x0)=－kx，


即回复力满足F=－kx的条件，故物块做简谐运动。


四、简谐运动的运动特点





通过上表不难看出：位移、回复力、加速度三者同步变化，与速度的变化相反。通过上表可看出两个转折点：平衡位置O点是位移方向、加速度方向和回复力方向变化的转折点，最大位移处是速度方向变化的转折点。还可以比较出两个过程，即向平衡位置O靠近的过程及远离平衡位置O的过程的不同特点：靠近O点时速度变大，远离O点时位移、加速度和回复力变大。





由上表可看出：在简谐运动中，位移、回复力、加速度和势能四个物理量同时增大或减小，与速度和动能的变化步调相反。





类型一 简谐运动的回复力


【例1】 如图所示，质量为m1的物体A放置在质量为m2的物体B上，B与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上做简谐运动，振动过程中A、B之间无相对运动，设弹簧劲度系数为k，当物体离开平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于( )。





A．0 B．kx


C.eq \f(m1,m2)kx D.eq \f(m1,m2＋m1)kx


解析：A、B相对静止，一起在弹簧作用下做简谐运动，当位移是x时，其回复力为kx，但kx并不是A物体的回复力，也不是B物体的回复力，是系统的。


A物体随B一起做简谐运动的回复力就是B对A的摩擦力，从这里可以看出，静摩擦力也可以提供回复力。A物体的加速度就是B物体的加速度，也是整体的加速度。


当物体离开平衡位置的位移为x时，回复力(即弹簧弹力)的大小为kx，以整体为研究对象，此时m1与m2具有相同的加速度，根据牛顿第二定律kx＝(m1＋m2)a，得a＝eq \f(kx,m2＋m1)。


以A为研究对象，使其产生加速度的力即为B对A的静摩擦力F，由牛顿第二定律可得F＝ma＝eq \f(m1,m2＋m1)kx。


答案：D


题后反思：分析物体做简谐运动的回复力，首先是要明确回复力是效果力，是由物体受到的其他力来充当的，千万不要认为回复力是物体又受到的一种新力。


类型二 简谐运动中的能量问题


【例2】 如图所示，一弹簧振子在光滑水平面的A、B点间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为m。





(1)简谐运动的能量取决于______，本题中物体振动时______和______相互转化，总______守恒。


(2)关于振子的振动过程，以下说法中正确的是( )。


A．振子在平衡位置，动能最大，势能最小


B．振子在最大位移处，势能最大，动能最小


C．振子在向平衡位置振动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小


D．在任意时刻，动能与势能之和保持不变


(3)若振子运动到B处时将一质量为m0的物体放于其上，且两者无相对运动而一起运动，下列说法中正确的是( )。


A．振幅不变 B．振幅减小


C．最大动能不变 D．最大动能减少


解析：(1)简谐运动的能量取决于振幅，本题中物体振动时只有动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。


(2)振子在平衡位置两侧往复振动，在最大位移处速度为零，动能为零，此时弹簧的形变最大，势能最大，所以选项B正确；在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，选项D正确；到平衡位置处速度达到最大，动能最大，势能为零，所以选项A正确；振幅的大小与振子的位置无关，所以选项C错误。


(3)振子运动到B点时速度恰为0，此时放上质量为m0的物体，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变。因此选项A正确，B错误。由于机械能守恒，最大动能不变，所以选项C正确，D错误。


答案：(1)振幅 动能 势能 机械能 (2)ABD (3)AC


题后反思：简谐运动是一种无能量损失的振动，它只是动能与势能间的转化，总机械能守恒。其能量只由振幅决定，即振幅不变，振动系统的能量不变。当在最大位移处将物体轻放在振子上，说明物体刚放上时动能为0，物体放上前后振幅没改变，振动系统机械能总量不变。





1关于简谐运动的回复力，下列说法中正确的是( )。


A．可以是恒力


B．可以是方向不变而大小改变的力


C．可以是大小不变而方向改变的力


D．一定是变力


2物体做简谐运动的过程中，有两点A、A′关于平衡位置对称，则物体( )。


A．在A点和A′点的位移相同


B．在两点处的速度可能相同


C．在两点处的加速度可能相同


D．在两点处的回复力可能相同


3弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中( )。


A．振子所受的回复力逐渐增大


B．振子的位移逐渐增大


C．振子的速度逐渐减小


D．振子的加速度逐渐减小


4光滑平面上，弹簧振子从平衡位置向最大位移处运动，下列说法中正确的是( )。


A．弹簧的弹力越来越大，弹簧的弹性势能也越来越大


B．弹簧振子的机械能逐渐减少


C．弹簧的弹力做负功


D．弹簧振子做加速度越来越大的加速运动


5如图所示，A、B两木块的质量分别为m、m′，中间弹簧的劲度系数为k，弹簧下端与B连接，A与弹簧不连接，现将A下压一段距离释放，A就做上下方向的简谐运动，振动过程中，A始终没有离开弹簧，试求：





(1)A振动的振幅的最大值。


(2)A以最大振幅振动时，B对地面的最大压力。





答案：1．D 回复力特指使振动物体回到平衡位置的力，对简谐运动而言，其大小必与位移大小成正比，故为变力。


2．B 由于A、A′关于平衡位置对称，所以物体在A、A′点时的位移大小相等、方向相反，故A项错误。而A、A′点的速率一定相同但速度方向可能相同也可能相反，因每个点处速度都有两个可能方向，故B项正确。回复力一定指向平衡位置，所以A、A′点的回复力方向相反，但因其与位移大小成正比，所以回复力大小相等，D项错误。加速度情况与回复力相同，因此可知C项错误。


3．D 该题考查的是回复力、加速度、速度与位移变化的关系，应根据牛顿第二定律进行分析。当振子向平衡位置运动时，位移逐渐减小，而回复力与位移成正比，故回复力也减小。由牛顿第二定律得加速度也减小。物体向平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，故物体的速度逐渐增大，正确选项为D。


4．AC 弹簧振子从平衡位置向最大位移处运动的过程中，弹簧的弹力为阻力，弹簧的动能逐渐减少而势能逐渐增多，但系统机械能守恒。


5．解析：(1)F＝－kx，当F最大时，x最大，为振幅。而Fmax＝mg，求出x＝，而A＝|x|＝。


(2)当弹簧压缩到最大时，B对地面的压力最大。


对A：F弹－mg＝kA F弹＝2mg


对B：N＝F弹＋m′g＝m′g＋2mg


由牛顿第三定律知


N＝N′＝m′g＋2mg


答案：(1) (2)m′g＋2mg








物体


位置
位移x
回复力F
加速度a
速度v
势能Ep
动能Ek
方向
大小
方向
大小
方向
大小
方向
大小
平衡


位置


O
零
零
零
vm
零
Ekm
最大


位移


处M
指向


M
A
指向


O
kA
指向


O
eq \f(kA,m)
零
Epm
零
O→


M
指向


M
零→


A
指向


O
零→


kA
指向


O
零→


eq \f(kA,m)
指向


M
vm→


零
零→


Epm
Ekm


→零
M→


O
指向


M
A→


零
指向


O
kA→


零
指向


O
eq \f(kA,m)→


零
指向


O
零→


vm
Epm


→零
零→


Ekm