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2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§4.2 三角形及其全等
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这是一份2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§4.2 三角形及其全等，共21页。
考点一 三角形的相关概念
1.(2018福建,3,4分)下列各组数中,能作为一个三角形三边边长的是 ( )A.1,1,2 B.1,2,4 C.2,3,4 D.2,3,5
答案 C 三角形的三边边长要满足“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,选项A、 B、D均不符合,故选C.
2.(2020吉林,5,2分)将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α的大小为 ( ) A.85° B.75° C.65° D.60°
3.(2020江西,11,3分)如图,CA平分∠DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若∠EAC=49°,则∠BAE的度 数为 .
解析 ∵∠EAC=49°,∴∠DAC=180°-∠EAC=131°.∵CA平分∠DCB,∴∠DCA=∠BCA,又CB=CD,CA= CA,∴△DCA≌△BCA,∴∠DAC=∠BAC=131°,∴∠BAE=131°-∠EAC=82°.
4.(2020云南昆明,3,3分)如图,点C位于点A正北方向,点B位于点A北偏东50°方向,点C位于点B北偏西35° 方向,则∠ABC的度数为 °.
5.(2019浙江杭州,19,8分)如图,在△ABC中,AC
考点二 全等三角形的判定与性质
1.(2020黑龙江齐齐哈尔,13,3分)如图,已知在△ABD和△ABC中,∠DAB=∠CAB,点A、B、E在同一条直 线上,若使△ABD≌△ABC,则还需添加的一个条件是 .(只填一个即可)
解析 在△ABD和△ABC中,已知∠DAB=∠CAB,AB为公共边,因此可以有以下几种方法:①添加“AD=AC”,利用SAS判定全等;②添加“∠ABD=∠ABC”,利用ASA判定全等;③添加“∠D=∠C”,利用AAS判定全等;④添加“∠DBE=∠CBE”,从而证得∠ABD=∠ABC或∠D=∠C,再利用ASA或AAS判定全等.
答案 AD=AC(∠D=∠C或∠ABD=∠ABC或∠DBE=∠CBE)
2.(2020云南,16,6分)如图,已知AD=BC,BD=AC.求证:∠ADB=∠BCA.
3.(2020吉林,18,5分)如图,在△ABC中,AB>AC,点D在边AB上,且BD=CA,过点D作DE∥AC,并截取DE=AB, 且点C,E在AB同侧,连接BE.求证:△DEB≌△ABC. 证明 ∵DE∥AC,∴∠EDB=∠BAC. (2分)又∵BD=CA,DE=AB, (4分)∴△DEB≌△ABC. (5分)
4.(2019云南,16,6分)如图,AB=AD,CB=CD.求证:∠B=∠D. 证明 在△ABC和△ADC中,∵ ∴△ABC≌△ADC. (4分)∴∠B=∠D. (6分)
5.(2019山西,17,7分)已知:如图,点B,D在线段AE上,AD=BE,AC∥EF,∠C=∠F.求证:BC=DF.
证明 ∵AD=BE,∴AD-BD=BE-BD.∴AB=DE. (2分)∵AC∥EF,∴∠A=∠E. (4分)在△ABC和△EDF中,(5分)∴△ABC≌△EDF. (6分)∴BC=DF. (7分)
1.(2018河北,1,3分)下列图形具有稳定性的是 ( )
答案 A 三角形具有稳定性.故选A.
2.(2019浙江杭州,7,3分)在△ABC中,若一个内角等于另两个内角的差,则 ( )A.必有一个内角等于30° B.必有一个内角等于45°C.必有一个内角等于60° D.必有一个内角等于90°
答案 D 不妨设∠A=∠B-∠C(∠B>∠C).∵△ABC的内角和为180°,∴∠A+∠B+∠C=180°,∴∠B-∠C+∠B+∠C=180°,∴∠B=90°.故选D.
思路分析 解题时根据三角形内角和为180°及一个内角等于另两个内角的差列出方程,解方程可得一 个角为90°.
3.(2019河北,10,3分)根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是 ( )
答案 C 由作图痕迹可以判断选项A作了一个角的平分线和一条边的垂直平分线,选项B作了两个角 的角平分线,选项C作了两条边的垂直平分线,选项D作了一边的高线和一边的垂直平分线,而三角形的 外心是三边垂直平分线的交点,所以在选项C中可以用直尺成功找到三角形的外心,故选C.
4.(2020吉林,13,3分)如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点.若△ADE的面积为 ,则四边形DBCE的面积为 .
5.(2020北京,15,2分)如图所示的网格是正方形网格,A,B,C,D是网格线交点,则△ABC的面积与△ABD的 面积的大小关系为:S△ABC S△ABD(填“>”“=”或“<”).
解析 根据题中图形可以求得△ABC的面积为4,△ABD的面积由割补法可求,为4,所以两个三角形的面 积相等.
一题多解 连接CD,可知CD∥AB,即点C,D到直线AB的距离相等,两个三角形同底等高,故面积相等.
6.(2019北京,10,2分)如图,已知△ABC,通过测量、计算得△ABC的面积约为 cm2.(结果保留一位 小数)
答案 2.6(答案不唯一)
解析 过点C作CD垂直AB于D,经过测量可知AB≈2.6 cm,CD≈2 cm,所以可求得△ABC的面积约为2.6 cm2.
7.(2018湖北黄冈,12,3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21=0的根,则三角形 的周长为 .
解析 由x2-10x+21=0得(x-3)(x-7)=0,∴x1=3,x2=7.∵3+3=6,∴3不能作为该三角形的第三边长,∴三角形的第三边长为7,∴三角形的周长为3+6+7=16.
8.(2018湖北武汉,16,3分)如图,在△ABC中,∠ACB=60°,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一点.若DE平 分△ABC的周长,则DE的长是 .
9.(2019四川成都,25,4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”. 已知点A的坐标为(5,0),点B在x轴的上方,△OAB的面积为 ,则△OAB内部(不含边界)的整点的个数为 .
10.(2019河北,23,9分)如图,△ABC和△ADE中,AB=AD=6,BC=DE,∠B=∠D=30°.边AD与边BC交于点P(不 与点B,C重合),点B,E在AD异侧.I为△APC的内心.(1)求证:∠BAD=∠CAE;(2)设AP=x,请用含x的式子表示PD,并求PD的最大值;(3)当AB⊥AC时,∠AIC的取值范围为m°<∠AIC
∵∠B=30°,AB=6,∴x= AB= ×6=3.∴PD的最大值为3. (7分)(3)m=105,n=150. (9分)提示:根据I为△APC的内心可得∠IAC= ∠PAC,∠ACI= ∠ACP,所以∠AIC=180°- ∠PAC- ∠ACP=90°+ ∠APC,所以∠AIC的大小取决于∠APC的大小.假设点P与点B重合,此时∠AIC=90°+ ∠B=105°,随着点P接近点C,∠APC的最大值接近于120°,假设∠APC=120°,此时∠AIC=90°+ ×120°=150°,即105°<∠AIC<150°,所以m=105,n=150.
1.(2020北京,14,2分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上(不与点B,C重合).只需添加一个条件即可证明 △ABD≌△ACD,这个条件可以是 (写出一个即可).
答案 答案不唯一,如:D是BC的中点
解析 根据题意可知AB=AC,∠B=∠C,若根据“边角边”判定△ABD≌△ACD,可以添加BD=CD(D是 BC的中点);若根据“角边角”判定△ABD≌△ACD,可以添加∠BAD=∠CAD(AD平分∠BAC);若根据 “角角边”判定△ABD≌△ACD,可以添加∠BDA=∠CDA(AD⊥BC或∠ADC=90°),答案不唯一.
2.(2019内蒙古呼和浩特,12,3分)下面三个命题:①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等;②两边及 其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全 等.其中正确的命题的序号为 .
解析 等腰三角形的顶角相等,则它们的底角也相等,又因为底边对应相等,所以由AAS或ASA判定两等 腰三角形全等,命题①正确;先由SSS证明两三角形中线同侧的三角形全等,得两边的夹角对应相等,再由 SAS证得原两三角形全等,命题②正确;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,所以仅有斜边相等不 能证得两个直角三角形全等,命题③错误.故正确的命题是①②.
3.(2020四川南充,18,8分)如图,点C在线段BD上,且AB⊥BD,DE⊥BD,AC⊥CE,BC=DE.求证:AB=CD. 证明 ∵AB⊥BD,DE⊥BD,AC⊥CE,∴∠ABC=∠CDE=∠ACE=90°. (2分)∴∠ACB+∠ECD=90°, (3分)∠ECD+∠CED=90°. (4分)
∴∠ACB=∠CED. (5分)在△ABC和△CDE中, ∴△ABC≌△CDE. (7分)∴AB=CD. (8分)
4.(2020云南昆明,16,6分)如图,AC是∠BAE的平分线,点D是线段AC上的一点,∠C=∠E,AB=AD.求证:BC= DE.
5.(2019辽宁大连,19,9分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证:AF=DE.
6.(2019甘肃兰州,20,6分)如图,AB=DE,BF=EC,∠B=∠E.求证:AC∥DF.
7.(2019浙江温州,18,8分)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AB边上一点,过点C作CF∥AB交ED 的延长线于点F.(1)求证:△BDE≌△CDF;(2)当AD⊥BC,AE=1,CF=2时,求AC的长.
解析 (1)证明:∵CF∥AB,∴∠B=∠FCD,∠BED=∠F.∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,∴△BDE≌△CDF.(2)∵△BDE≌△CDF,∴BE=CF=2,∴AB=AE+BE=1+2=3.∵AD⊥BC,BD=CD,∴AC=AB=3.
8.(2019江苏苏州,24,8分)如图,△ABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕点A旋转到AF的位置,使得∠ CAF=∠BAE.连接EF,EF与AC交于点G.(1)求证:EF=BC;(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.
解析 (1)证明:∵线段AC绕点A旋转到AF的位置,∴AC=AF.∵∠CAF=∠BAE,∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE,即∠EAF=∠BAC.在△ABC和△AEF中, ∴△ABC≌△AEF(SAS),∴EF=BC.(2)∵AE=AB,∴∠AEB=∠ABC=65°.∵△ABC≌△AEF,∴∠AEF=∠ABC=65°,∴∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF=180°-65°-65°=50°.∵∠FGC是△EGC的外角,∠GCE=28°,∴∠FGC=∠GEC+∠GCE=50°+28°=78°.
9.(2019北京,27,7分)已知∠AOB=30°,H为射线OA上一定点,OH= +1,P为射线OB上一点,M为线段OH上一动点,连接PM,满足∠OMP为钝角,以点P为中心,将线段PM顺时针旋转150°,得到线段PN,连接ON.(1)依题意补全图1;(2)求证:∠OMP=∠OPN;(3)点M关于点H的对称点为Q,连接QP.写出一个OP的值,使得对于任意的点M总有ON=QP,并证明.
解析 (1)补全图形,如图. (2)证明:∵∠MPN=150°,∴∠OPN=150°-∠OPM.∵∠AOB=30°,∴∠OMP=180°-(∠AOB+∠OPM)=150°-∠OPM.∴∠OMP=∠OPN.(3)OP的值为2.
证明:任取满足条件的点M,过点P作PS⊥OA于点S,在OA上取一点T,使得ST=SM,连接TP,如图. ∴PT=PM.∴∠PTM=∠PMT,PT=PN.∴∠PTQ=∠PMO.∴∠PTQ=∠NPO.∵点M关于点H的对称点为Q,∴MH=HQ.
当点T在点H的左侧时,QT=HQ+HT=HM+HT=2ST+HT+HT=2(ST+HT)=2HS.在Rt△OPS中,OS=OP·cs 30°= .∵OH= +1,∴HS=OH-OS= +1- =1.∴QT=2.当点T在点H的右侧或与点H重合时,同理可求QT=2.∴QT=OP.∴△OPN≌△QTP.∴ON=QP.
A组 2018—2020年模拟·基础题组时间:45分钟 分值:55分一、选择题(每小题3分,共9分)
1.(2020江西南昌一模,5)如图,在3×4的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,能画出与“格点△ ABC”面积相等的“格点正方形”有 ( ) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
答案 C ∵S△ABC= ×2×4=4,∴与“格点△ABC”面积相等的“格点正方形”有6个,故选C.
2.(2019辽宁辽阳模拟,9)如图,BD平分∠ABC,DE⊥BC于点E,AB=7,DE=4,则S△ABD= ( ) A.28 B.21 C.14 D.7
答案 C 如图,作DH⊥BA于H. ∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,DH⊥BA,∴DH=DE=4,∴S△ABD= AB·DH= ×7×4=14,故选C.
3.(2018贵州黔南州一模,5)如图,△ABC中,∠C=80°,若沿图中虚线截去∠C,则∠1+∠2= ( ) A.360° B.260° C.180° D.140°
答案 B 如图,∵∠1、∠2是△CDE的外角,且∠1=∠4+∠C,∠2=∠3+∠C,∴∠1+∠2=(∠4+∠C)+(∠ 3+∠C)=∠C+(∠C+∠3+∠4)=80°+180°=260°.故选B.
二、填空题(每小题3分,共12分)4.(2019云南昆明模拟,3)如图,点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,连接DE、EF、FD,得 △DEF,如果△ABC的周长是48 cm,那么△DEF的周长是 .
5.(2018贵州铜仁沿河4月模拟,15)如图,EF为△ABC的中位线,△AEF的周长为6 cm,则△ABC的周长为 cm.
解析 由已知得,BC=2EF,AB=2AE,AC=2AF.∵△AEF的周长为6 cm,∴EF+AE+AF=6 cm,∴BC+AB+AC= 2(EF+AE+AF)=12 cm.
6.(2019黑龙江哈尔滨松北一模,20)如图,AD和BE分别为三角形ABC的中线和角平分线,AD⊥BE,若AD= BE=4,则AC的长为 .
7.(2020天津河北3月模拟,17)如图,在Rt△ABC和Rt△BCD中,∠BAC=∠BDC=90°,BC=4,AB=AC,∠CBD= 30°,M,N分别在BD,CD上,∠MAN=45°,则△DMN的周长为 .
解析 将△ACN绕点A逆时针旋转90°,使AC与AB重合,得到△ABE,如图: 由旋转得∠NAE=90°,AN=AE,∠ABE=∠ACD,∠EAB=∠CAN,∵∠BAC=∠D=90°,∴∠ABD+∠ACD=360°-90°-90°=180°,∴∠ABD+∠ABE=180°,∴E,B,M三点共线.∵∠MAN=45°,∠BAC=90°,∴∠EAM=∠EAB+∠BAM=∠CAN+∠BAM=∠BAC-∠MAN=90°-45°=45°,∴∠EAM=∠MAN.
在△AEM和△ANM中, ∴△AEM≌△ANM(SAS),∴ME=MN,又ME=EB+BM=CN+BM,∴MN=CN+BM.∵在Rt△BCD中,∠BDC=90°,∠CBD=30°,BC=4,∴CD= BC=2,BD= = =2 ,∴△DMN的周长为DM+DN+MN=DM+DN+BM+CN=BD+DC=2 +2.
解题思路 本题是半角模型,将△ACN绕点A逆时针旋转90°,得到△ABE,可证△AEM≌△ANM,所以MN= ME,所以MN=CN+BM,即可求解.
三、解答题(共34分)8.(2020云南红河州开远模拟,16)如图,已知点B、F、C、E在一条直线上,∠A=∠D,AC=DF且AC∥DF.求 证:△ABC≌△DEF.
9.(2020辽宁大连金州一模,19)如图,AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,CE=BF.求证:AE=DF. 证明 ∵AE⊥BC,DF⊥BC,∴∠DFC=∠AEB=90°,又∵CE=BF,∴CE-EF=BF-EF,即CF=BE.又∵CD=AB,∴Rt△DFC≌Rt△AEB(HL),∴DF=AE.
10.(2019云南昆明官渡一模,16)如图,EF∥BC,EF=BC,DA=EB,求证:∠F=∠C.
11.(2019江西宜春高安一模,16)如图,△ABC与△ABD中,AD与BC相交于O点,∠1=∠2,请你添加一个条件 (不再添加其他线段,不再标注或使用其他字母),使AC=BD,并给出证明.你添加的条件是: .证明: .
解析 添加的条件不唯一,可以为AD=BC或OC=OD或∠C=∠D或∠CAO=∠DBO.(1)添加的条件是AD=BC时,证明如下:在△ABC与△BAD中, ∴△ABC≌△BAD,∴AC=BD.(2)添加的条件是OC=OD时,证明如下:∵∠1=∠2,∴OA=OB.∵OC=OD,∴OA+OD=OB+OC,∴AD=BC.在△ABC与△BAD中, ∴△ABC≌△BAD,∴AC=BD.(3)添加的条件是∠C=∠D时,证明如下:
在△ABC与△BAD中, ∴△ABC≌△BAD,∴AC=BD.(4)添加的条件是∠CAO=∠DBO时,证明如下:∵∠1=∠2,∠CAO=∠DBO,∴∠CAO+∠1=∠DBO+∠2,∴∠CAB=∠DBA.在△ABC与△BAD中, ∴△ABC≌△BAD,∴AC=BD.
B组 2018—2020年模拟·提升题组时间:40分钟 分值:45分一、选择题(每小题3分,共9分)1.(2020宁夏中卫中宁一模,7)如图,两条直线l1∥l2,Rt△ACB中,∠C=90°,AC=BC,顶点A、B分别在l1和l2上, ∠1=20°,则∠2的度数是 ( ) A.45° B.55° C.65° D.75°
答案 C ∵l1∥l2,∴∠1+∠CAB=∠2,∵Rt△ACB中,∠C=90°,AC=BC,∴∠CAB=45°,∴∠2=∠1+∠CAB=65°,故选C.
2.(2020内蒙古包头4月模拟,11)如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,若AB=4,CF=3,则BD 的长是 ( ) A.0.5 B.1 C.1.5 D.2
3.(2019辽宁沈阳沈河一模,9)如图,在△ABC中,∠C=90°,E,F分别是AC,BC上的点,AE=16,BF=12,点P,Q,D 分别是AF,BE,AB的中点,则PQ的长为 ( ) A.10 B.8 C.2 D.20
答案 A ∵∠C=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°.∵点P,D分别是AF,AB的中点,BF=12,∴PD= BF=6,PD∥BC,∴∠PDA=∠CBA.同理,QD= AE=8,∠QDB=∠CAB,∴∠PDA+∠QDB=90°,∴∠PDQ=90°,∴PQ= =10,故选A.
二、填空题(每小题3分,共12分)4.(2020天津河西3月模拟,18)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,D为线段AC上一动点,连接BD,过点 C作CH⊥BD于H,连接AH,则AH的最小值为 .
5.(2019甘肃定西一诊,17)如图,AB∥CD,E,F分别为AC,BD的中点,若AB=5,CD=3,则EF的长是 .
6.(2019辽宁营口一模,15)如图所示,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=5,BC=8,则 EF的长为 .
7.(2018湖北襄阳南漳二模,15)如图,AB=AC,点D,E分别在AB,AC上,CD,BE交于点F,若只添加一个条件便 可使△ABE≌△ACD,则添加的条件是 .
答案 ∠B=∠C(答案不唯一)
三、解答题(共24分)8.(2020江西南昌一模,13)如图,在四边形ABCD中,AB⊥BC,E,F,M分别是AD,DC,AC的中点,连接EF,BM,求 证:EF=BM. 证明 ∵E,F分别是AD,DC的中点,∴EF是△ADC的中位线,∴EF= AC.∵AB⊥BC,M是AC的中点,∴BM= AC,∴EF=BM.
9.(2018四川南充模拟,19)如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,点P是BD上任意一点,求证:PA=PC. 证明 ∵在△ABD和△CBD中, ∴△ABD≌△CBD(ASA),∴AD=CD.在△PAD和△PCD中,
∴△PAD≌△PCD(SAS),∴PA=PC.
10.(2019吉林长春汽开一模,22)已知AC=DC,AC⊥DC,直线MN经过点A,作DB⊥MN,垂足为B,连接CB. 【感知】如图①,点A、B在CD同侧,且点B在AC右侧,在射线AM上截取AE=BD,连接CE,可证△BCD≌△ ECA,从而得出EC=BC,∠ECB=90°,进而得出∠ABC= 度;【探究】如图②,当点A、B在CD异侧时,得出的∠ABC的大小是否改变?若不改变,给出证明;若改变,请 求出∠ABC的大小;【应用】在直线MN绕点A旋转的过程中,当∠BCD=30°,BD= 时,直接写出BC的长.
解析 【感知】∵AC⊥DC,DB⊥MN,∴∠ACD=∠DBA=90°.又∠ACD+∠BDC+∠DBA+∠BAC=360°,∴∠CDB+∠CAB=180°.∵∠CAB+∠CAE=180°,∴∠BDC=∠CAE.又∵CD=AC,BD=AE,∴△BCD≌△ECA(SAS),∴BC=EC,∠BCD=∠ECA.∵∠ACB+∠BCD=90°,∴∠ECA+∠ACB=90°,即∠ECB=90°,又CE=CB,∴∠ABC=45°.故答案为45.【探究】∠ABC的大小不改变.理由如下:如图,在射线AN上截取AE=BD,连接CE,设MN与CD交于点O.
∵AC⊥DC,DB⊥MN,∴∠ACD=∠DBA=90°.∵∠AOC=∠DOB,∴∠D=∠EAC.又BD=AE,CD=AC,∴△BCD≌△ECA(SAS),∴BC=EC,∠BCD=∠ECA.∵∠ACE+∠ECD=90°,∴∠ECD+∠DCB=90°,即∠ECB=90°,又BC=EC,∴∠ABC=45°.【应用】BC= +1或 -1.详解:如图,当点A,B在CD同侧时,在射线AM上截取AE=BD,连接EC,AD.
由上述过程知∠DAC=∠BEC=45°,又∠BAC=∠ACE+∠AEC=∠BAD+∠DAC,∴∠BAD=∠ACE=∠BCD=30°.又DB⊥AB,∴AB= BD= ,∴EB=AE+AB= + .∵△ECB是等腰直角三角形,
考点一 三角形的相关概念
1.(2018福建,3,4分)下列各组数中,能作为一个三角形三边边长的是 ( )A.1,1,2 B.1,2,4 C.2,3,4 D.2,3,5
答案 C 三角形的三边边长要满足“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,选项A、 B、D均不符合,故选C.
2.(2020吉林,5,2分)将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α的大小为 ( ) A.85° B.75° C.65° D.60°
3.(2020江西,11,3分)如图,CA平分∠DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若∠EAC=49°,则∠BAE的度 数为 .
解析 ∵∠EAC=49°,∴∠DAC=180°-∠EAC=131°.∵CA平分∠DCB,∴∠DCA=∠BCA,又CB=CD,CA= CA,∴△DCA≌△BCA,∴∠DAC=∠BAC=131°,∴∠BAE=131°-∠EAC=82°.
4.(2020云南昆明,3,3分)如图,点C位于点A正北方向,点B位于点A北偏东50°方向,点C位于点B北偏西35° 方向,则∠ABC的度数为 °.
5.(2019浙江杭州,19,8分)如图,在△ABC中,AC
考点二 全等三角形的判定与性质
1.(2020黑龙江齐齐哈尔,13,3分)如图,已知在△ABD和△ABC中,∠DAB=∠CAB,点A、B、E在同一条直 线上,若使△ABD≌△ABC,则还需添加的一个条件是 .(只填一个即可)
解析 在△ABD和△ABC中,已知∠DAB=∠CAB,AB为公共边,因此可以有以下几种方法:①添加“AD=AC”,利用SAS判定全等;②添加“∠ABD=∠ABC”,利用ASA判定全等;③添加“∠D=∠C”,利用AAS判定全等;④添加“∠DBE=∠CBE”,从而证得∠ABD=∠ABC或∠D=∠C,再利用ASA或AAS判定全等.
答案 AD=AC(∠D=∠C或∠ABD=∠ABC或∠DBE=∠CBE)
2.(2020云南,16,6分)如图,已知AD=BC,BD=AC.求证:∠ADB=∠BCA.
3.(2020吉林,18,5分)如图,在△ABC中,AB>AC,点D在边AB上,且BD=CA,过点D作DE∥AC,并截取DE=AB, 且点C,E在AB同侧,连接BE.求证:△DEB≌△ABC. 证明 ∵DE∥AC,∴∠EDB=∠BAC. (2分)又∵BD=CA,DE=AB, (4分)∴△DEB≌△ABC. (5分)
4.(2019云南,16,6分)如图,AB=AD,CB=CD.求证:∠B=∠D. 证明 在△ABC和△ADC中,∵ ∴△ABC≌△ADC. (4分)∴∠B=∠D. (6分)
5.(2019山西,17,7分)已知:如图,点B,D在线段AE上,AD=BE,AC∥EF,∠C=∠F.求证:BC=DF.
证明 ∵AD=BE,∴AD-BD=BE-BD.∴AB=DE. (2分)∵AC∥EF,∴∠A=∠E. (4分)在△ABC和△EDF中,(5分)∴△ABC≌△EDF. (6分)∴BC=DF. (7分)
1.(2018河北,1,3分)下列图形具有稳定性的是 ( )
答案 A 三角形具有稳定性.故选A.
2.(2019浙江杭州,7,3分)在△ABC中,若一个内角等于另两个内角的差,则 ( )A.必有一个内角等于30° B.必有一个内角等于45°C.必有一个内角等于60° D.必有一个内角等于90°
答案 D 不妨设∠A=∠B-∠C(∠B>∠C).∵△ABC的内角和为180°,∴∠A+∠B+∠C=180°,∴∠B-∠C+∠B+∠C=180°,∴∠B=90°.故选D.
思路分析 解题时根据三角形内角和为180°及一个内角等于另两个内角的差列出方程,解方程可得一 个角为90°.
3.(2019河北,10,3分)根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是 ( )
答案 C 由作图痕迹可以判断选项A作了一个角的平分线和一条边的垂直平分线,选项B作了两个角 的角平分线,选项C作了两条边的垂直平分线,选项D作了一边的高线和一边的垂直平分线,而三角形的 外心是三边垂直平分线的交点,所以在选项C中可以用直尺成功找到三角形的外心,故选C.
4.(2020吉林,13,3分)如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点.若△ADE的面积为 ,则四边形DBCE的面积为 .
5.(2020北京,15,2分)如图所示的网格是正方形网格,A,B,C,D是网格线交点,则△ABC的面积与△ABD的 面积的大小关系为:S△ABC S△ABD(填“>”“=”或“<”).
解析 根据题中图形可以求得△ABC的面积为4,△ABD的面积由割补法可求,为4,所以两个三角形的面 积相等.
一题多解 连接CD,可知CD∥AB,即点C,D到直线AB的距离相等,两个三角形同底等高,故面积相等.
6.(2019北京,10,2分)如图,已知△ABC,通过测量、计算得△ABC的面积约为 cm2.(结果保留一位 小数)
答案 2.6(答案不唯一)
解析 过点C作CD垂直AB于D,经过测量可知AB≈2.6 cm,CD≈2 cm,所以可求得△ABC的面积约为2.6 cm2.
7.(2018湖北黄冈,12,3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21=0的根,则三角形 的周长为 .
解析 由x2-10x+21=0得(x-3)(x-7)=0,∴x1=3,x2=7.∵3+3=6,∴3不能作为该三角形的第三边长,∴三角形的第三边长为7,∴三角形的周长为3+6+7=16.
8.(2018湖北武汉,16,3分)如图,在△ABC中,∠ACB=60°,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一点.若DE平 分△ABC的周长,则DE的长是 .
9.(2019四川成都,25,4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”. 已知点A的坐标为(5,0),点B在x轴的上方,△OAB的面积为 ,则△OAB内部(不含边界)的整点的个数为 .
10.(2019河北,23,9分)如图,△ABC和△ADE中,AB=AD=6,BC=DE,∠B=∠D=30°.边AD与边BC交于点P(不 与点B,C重合),点B,E在AD异侧.I为△APC的内心.(1)求证:∠BAD=∠CAE;(2)设AP=x,请用含x的式子表示PD,并求PD的最大值;(3)当AB⊥AC时,∠AIC的取值范围为m°<∠AIC
∵∠B=30°,AB=6,∴x= AB= ×6=3.∴PD的最大值为3. (7分)(3)m=105,n=150. (9分)提示:根据I为△APC的内心可得∠IAC= ∠PAC,∠ACI= ∠ACP,所以∠AIC=180°- ∠PAC- ∠ACP=90°+ ∠APC,所以∠AIC的大小取决于∠APC的大小.假设点P与点B重合,此时∠AIC=90°+ ∠B=105°,随着点P接近点C,∠APC的最大值接近于120°,假设∠APC=120°,此时∠AIC=90°+ ×120°=150°,即105°<∠AIC<150°,所以m=105,n=150.
1.(2020北京,14,2分)如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上(不与点B,C重合).只需添加一个条件即可证明 △ABD≌△ACD,这个条件可以是 (写出一个即可).
答案 答案不唯一,如:D是BC的中点
解析 根据题意可知AB=AC,∠B=∠C,若根据“边角边”判定△ABD≌△ACD,可以添加BD=CD(D是 BC的中点);若根据“角边角”判定△ABD≌△ACD,可以添加∠BAD=∠CAD(AD平分∠BAC);若根据 “角角边”判定△ABD≌△ACD,可以添加∠BDA=∠CDA(AD⊥BC或∠ADC=90°),答案不唯一.
2.(2019内蒙古呼和浩特,12,3分)下面三个命题:①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等;②两边及 其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全 等.其中正确的命题的序号为 .
解析 等腰三角形的顶角相等,则它们的底角也相等,又因为底边对应相等,所以由AAS或ASA判定两等 腰三角形全等,命题①正确;先由SSS证明两三角形中线同侧的三角形全等,得两边的夹角对应相等,再由 SAS证得原两三角形全等,命题②正确;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,所以仅有斜边相等不 能证得两个直角三角形全等,命题③错误.故正确的命题是①②.
3.(2020四川南充,18,8分)如图,点C在线段BD上,且AB⊥BD,DE⊥BD,AC⊥CE,BC=DE.求证:AB=CD. 证明 ∵AB⊥BD,DE⊥BD,AC⊥CE,∴∠ABC=∠CDE=∠ACE=90°. (2分)∴∠ACB+∠ECD=90°, (3分)∠ECD+∠CED=90°. (4分)
∴∠ACB=∠CED. (5分)在△ABC和△CDE中, ∴△ABC≌△CDE. (7分)∴AB=CD. (8分)
4.(2020云南昆明,16,6分)如图,AC是∠BAE的平分线,点D是线段AC上的一点,∠C=∠E,AB=AD.求证:BC= DE.
5.(2019辽宁大连,19,9分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C.求证:AF=DE.
6.(2019甘肃兰州,20,6分)如图,AB=DE,BF=EC,∠B=∠E.求证:AC∥DF.
7.(2019浙江温州,18,8分)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AB边上一点,过点C作CF∥AB交ED 的延长线于点F.(1)求证:△BDE≌△CDF;(2)当AD⊥BC,AE=1,CF=2时,求AC的长.
解析 (1)证明:∵CF∥AB,∴∠B=∠FCD,∠BED=∠F.∵AD是BC边上的中线,∴BD=CD,∴△BDE≌△CDF.(2)∵△BDE≌△CDF,∴BE=CF=2,∴AB=AE+BE=1+2=3.∵AD⊥BC,BD=CD,∴AC=AB=3.
8.(2019江苏苏州,24,8分)如图,△ABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕点A旋转到AF的位置,使得∠ CAF=∠BAE.连接EF,EF与AC交于点G.(1)求证:EF=BC;(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.
解析 (1)证明:∵线段AC绕点A旋转到AF的位置,∴AC=AF.∵∠CAF=∠BAE,∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE,即∠EAF=∠BAC.在△ABC和△AEF中, ∴△ABC≌△AEF(SAS),∴EF=BC.(2)∵AE=AB,∴∠AEB=∠ABC=65°.∵△ABC≌△AEF,∴∠AEF=∠ABC=65°,∴∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF=180°-65°-65°=50°.∵∠FGC是△EGC的外角,∠GCE=28°,∴∠FGC=∠GEC+∠GCE=50°+28°=78°.
9.(2019北京,27,7分)已知∠AOB=30°,H为射线OA上一定点,OH= +1,P为射线OB上一点,M为线段OH上一动点,连接PM,满足∠OMP为钝角,以点P为中心,将线段PM顺时针旋转150°,得到线段PN,连接ON.(1)依题意补全图1;(2)求证:∠OMP=∠OPN;(3)点M关于点H的对称点为Q,连接QP.写出一个OP的值,使得对于任意的点M总有ON=QP,并证明.
解析 (1)补全图形,如图. (2)证明:∵∠MPN=150°,∴∠OPN=150°-∠OPM.∵∠AOB=30°,∴∠OMP=180°-(∠AOB+∠OPM)=150°-∠OPM.∴∠OMP=∠OPN.(3)OP的值为2.
证明:任取满足条件的点M,过点P作PS⊥OA于点S,在OA上取一点T,使得ST=SM,连接TP,如图. ∴PT=PM.∴∠PTM=∠PMT,PT=PN.∴∠PTQ=∠PMO.∴∠PTQ=∠NPO.∵点M关于点H的对称点为Q,∴MH=HQ.
当点T在点H的左侧时,QT=HQ+HT=HM+HT=2ST+HT+HT=2(ST+HT)=2HS.在Rt△OPS中,OS=OP·cs 30°= .∵OH= +1,∴HS=OH-OS= +1- =1.∴QT=2.当点T在点H的右侧或与点H重合时,同理可求QT=2.∴QT=OP.∴△OPN≌△QTP.∴ON=QP.
A组 2018—2020年模拟·基础题组时间:45分钟 分值:55分一、选择题(每小题3分,共9分)
1.(2020江西南昌一模,5)如图,在3×4的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,能画出与“格点△ ABC”面积相等的“格点正方形”有 ( ) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个
答案 C ∵S△ABC= ×2×4=4,∴与“格点△ABC”面积相等的“格点正方形”有6个,故选C.
2.(2019辽宁辽阳模拟,9)如图,BD平分∠ABC,DE⊥BC于点E,AB=7,DE=4,则S△ABD= ( ) A.28 B.21 C.14 D.7
答案 C 如图,作DH⊥BA于H. ∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,DH⊥BA,∴DH=DE=4,∴S△ABD= AB·DH= ×7×4=14,故选C.
3.(2018贵州黔南州一模,5)如图,△ABC中,∠C=80°,若沿图中虚线截去∠C,则∠1+∠2= ( ) A.360° B.260° C.180° D.140°
答案 B 如图,∵∠1、∠2是△CDE的外角,且∠1=∠4+∠C,∠2=∠3+∠C,∴∠1+∠2=(∠4+∠C)+(∠ 3+∠C)=∠C+(∠C+∠3+∠4)=80°+180°=260°.故选B.
二、填空题(每小题3分,共12分)4.(2019云南昆明模拟,3)如图,点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,连接DE、EF、FD,得 △DEF,如果△ABC的周长是48 cm,那么△DEF的周长是 .
5.(2018贵州铜仁沿河4月模拟,15)如图,EF为△ABC的中位线,△AEF的周长为6 cm,则△ABC的周长为 cm.
解析 由已知得,BC=2EF,AB=2AE,AC=2AF.∵△AEF的周长为6 cm,∴EF+AE+AF=6 cm,∴BC+AB+AC= 2(EF+AE+AF)=12 cm.
6.(2019黑龙江哈尔滨松北一模,20)如图,AD和BE分别为三角形ABC的中线和角平分线,AD⊥BE,若AD= BE=4,则AC的长为 .
7.(2020天津河北3月模拟,17)如图,在Rt△ABC和Rt△BCD中,∠BAC=∠BDC=90°,BC=4,AB=AC,∠CBD= 30°,M,N分别在BD,CD上,∠MAN=45°,则△DMN的周长为 .
解析 将△ACN绕点A逆时针旋转90°,使AC与AB重合,得到△ABE,如图: 由旋转得∠NAE=90°,AN=AE,∠ABE=∠ACD,∠EAB=∠CAN,∵∠BAC=∠D=90°,∴∠ABD+∠ACD=360°-90°-90°=180°,∴∠ABD+∠ABE=180°,∴E,B,M三点共线.∵∠MAN=45°,∠BAC=90°,∴∠EAM=∠EAB+∠BAM=∠CAN+∠BAM=∠BAC-∠MAN=90°-45°=45°,∴∠EAM=∠MAN.
在△AEM和△ANM中, ∴△AEM≌△ANM(SAS),∴ME=MN,又ME=EB+BM=CN+BM,∴MN=CN+BM.∵在Rt△BCD中,∠BDC=90°,∠CBD=30°,BC=4,∴CD= BC=2,BD= = =2 ,∴△DMN的周长为DM+DN+MN=DM+DN+BM+CN=BD+DC=2 +2.
解题思路 本题是半角模型,将△ACN绕点A逆时针旋转90°,得到△ABE,可证△AEM≌△ANM,所以MN= ME,所以MN=CN+BM,即可求解.
三、解答题(共34分)8.(2020云南红河州开远模拟,16)如图,已知点B、F、C、E在一条直线上,∠A=∠D,AC=DF且AC∥DF.求 证:△ABC≌△DEF.
9.(2020辽宁大连金州一模,19)如图,AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,CE=BF.求证:AE=DF. 证明 ∵AE⊥BC,DF⊥BC,∴∠DFC=∠AEB=90°,又∵CE=BF,∴CE-EF=BF-EF,即CF=BE.又∵CD=AB,∴Rt△DFC≌Rt△AEB(HL),∴DF=AE.
10.(2019云南昆明官渡一模,16)如图,EF∥BC,EF=BC,DA=EB,求证:∠F=∠C.
11.(2019江西宜春高安一模,16)如图,△ABC与△ABD中,AD与BC相交于O点,∠1=∠2,请你添加一个条件 (不再添加其他线段,不再标注或使用其他字母),使AC=BD,并给出证明.你添加的条件是: .证明: .
解析 添加的条件不唯一,可以为AD=BC或OC=OD或∠C=∠D或∠CAO=∠DBO.(1)添加的条件是AD=BC时,证明如下:在△ABC与△BAD中, ∴△ABC≌△BAD,∴AC=BD.(2)添加的条件是OC=OD时,证明如下:∵∠1=∠2,∴OA=OB.∵OC=OD,∴OA+OD=OB+OC,∴AD=BC.在△ABC与△BAD中, ∴△ABC≌△BAD,∴AC=BD.(3)添加的条件是∠C=∠D时,证明如下:
在△ABC与△BAD中, ∴△ABC≌△BAD,∴AC=BD.(4)添加的条件是∠CAO=∠DBO时,证明如下:∵∠1=∠2,∠CAO=∠DBO,∴∠CAO+∠1=∠DBO+∠2,∴∠CAB=∠DBA.在△ABC与△BAD中, ∴△ABC≌△BAD,∴AC=BD.
B组 2018—2020年模拟·提升题组时间:40分钟 分值:45分一、选择题(每小题3分,共9分)1.(2020宁夏中卫中宁一模,7)如图,两条直线l1∥l2,Rt△ACB中,∠C=90°,AC=BC,顶点A、B分别在l1和l2上, ∠1=20°,则∠2的度数是 ( ) A.45° B.55° C.65° D.75°
答案 C ∵l1∥l2,∴∠1+∠CAB=∠2,∵Rt△ACB中,∠C=90°,AC=BC,∴∠CAB=45°,∴∠2=∠1+∠CAB=65°,故选C.
2.(2020内蒙古包头4月模拟,11)如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB,若AB=4,CF=3,则BD 的长是 ( ) A.0.5 B.1 C.1.5 D.2
3.(2019辽宁沈阳沈河一模,9)如图,在△ABC中,∠C=90°,E,F分别是AC,BC上的点,AE=16,BF=12,点P,Q,D 分别是AF,BE,AB的中点,则PQ的长为 ( ) A.10 B.8 C.2 D.20
答案 A ∵∠C=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°.∵点P,D分别是AF,AB的中点,BF=12,∴PD= BF=6,PD∥BC,∴∠PDA=∠CBA.同理,QD= AE=8,∠QDB=∠CAB,∴∠PDA+∠QDB=90°,∴∠PDQ=90°,∴PQ= =10,故选A.
二、填空题(每小题3分,共12分)4.(2020天津河西3月模拟,18)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,D为线段AC上一动点,连接BD,过点 C作CH⊥BD于H,连接AH,则AH的最小值为 .
5.(2019甘肃定西一诊,17)如图,AB∥CD,E,F分别为AC,BD的中点,若AB=5,CD=3,则EF的长是 .
6.(2019辽宁营口一模,15)如图所示,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=5,BC=8,则 EF的长为 .
7.(2018湖北襄阳南漳二模,15)如图,AB=AC,点D,E分别在AB,AC上,CD,BE交于点F,若只添加一个条件便 可使△ABE≌△ACD,则添加的条件是 .
答案 ∠B=∠C(答案不唯一)
三、解答题(共24分)8.(2020江西南昌一模,13)如图,在四边形ABCD中,AB⊥BC,E,F,M分别是AD,DC,AC的中点,连接EF,BM,求 证:EF=BM. 证明 ∵E,F分别是AD,DC的中点,∴EF是△ADC的中位线,∴EF= AC.∵AB⊥BC,M是AC的中点,∴BM= AC,∴EF=BM.
9.(2018四川南充模拟,19)如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,点P是BD上任意一点,求证:PA=PC. 证明 ∵在△ABD和△CBD中, ∴△ABD≌△CBD(ASA),∴AD=CD.在△PAD和△PCD中,
∴△PAD≌△PCD(SAS),∴PA=PC.
10.(2019吉林长春汽开一模,22)已知AC=DC,AC⊥DC,直线MN经过点A,作DB⊥MN,垂足为B,连接CB. 【感知】如图①,点A、B在CD同侧,且点B在AC右侧,在射线AM上截取AE=BD,连接CE,可证△BCD≌△ ECA,从而得出EC=BC,∠ECB=90°,进而得出∠ABC= 度;【探究】如图②,当点A、B在CD异侧时,得出的∠ABC的大小是否改变?若不改变,给出证明;若改变,请 求出∠ABC的大小;【应用】在直线MN绕点A旋转的过程中,当∠BCD=30°,BD= 时,直接写出BC的长.
解析 【感知】∵AC⊥DC,DB⊥MN,∴∠ACD=∠DBA=90°.又∠ACD+∠BDC+∠DBA+∠BAC=360°,∴∠CDB+∠CAB=180°.∵∠CAB+∠CAE=180°,∴∠BDC=∠CAE.又∵CD=AC,BD=AE,∴△BCD≌△ECA(SAS),∴BC=EC,∠BCD=∠ECA.∵∠ACB+∠BCD=90°,∴∠ECA+∠ACB=90°,即∠ECB=90°,又CE=CB,∴∠ABC=45°.故答案为45.【探究】∠ABC的大小不改变.理由如下:如图,在射线AN上截取AE=BD,连接CE,设MN与CD交于点O.
∵AC⊥DC,DB⊥MN,∴∠ACD=∠DBA=90°.∵∠AOC=∠DOB,∴∠D=∠EAC.又BD=AE,CD=AC,∴△BCD≌△ECA(SAS),∴BC=EC,∠BCD=∠ECA.∵∠ACE+∠ECD=90°,∴∠ECD+∠DCB=90°,即∠ECB=90°,又BC=EC,∴∠ABC=45°.【应用】BC= +1或 -1.详解:如图,当点A,B在CD同侧时,在射线AM上截取AE=BD,连接EC,AD.
由上述过程知∠DAC=∠BEC=45°,又∠BAC=∠ACE+∠AEC=∠BAD+∠DAC,∴∠BAD=∠ACE=∠BCD=30°.又DB⊥AB,∴AB= BD= ,∴EB=AE+AB= + .∵△ECB是等腰直角三角形,
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