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2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§5.2 与圆有关的位置关系
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这是一份2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§5.2 与圆有关的位置关系，共60页。
考点一 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
1.(2020广东广州,7,3分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,cs A= ,以点B为圆心,r为半径作☉B,当r=3时,☉B与AC的位置关系是 ( ) A.相离 B.相切C.相交 D.无法确定
答案 B ∵∠C=90°,AB=5,cs A= = ,∴AC=AB·cs A=5× =4,∴BC= = =3.∵r=3,∴☉B与AC的位置关系是相切.故选B.
2.(2019广东广州,5,3分)平面内,☉O的半径为1,点P到O的距离为2,过点P可作☉O的切线的条数为 ( )A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
答案 C ∵点P到点O的距离为2,☉O的半径为1,∴点P到圆心的距离大于半径,∴点P在☉O外.∵过圆 外一点可以作圆的两条切线,∴过点P可以作☉O的两条切线.故选C.
考点二 切线的判定与性质
答案 D ∵AB是☉O的切线,∴∠OAB=90°,又∵∠B=20°,∴∠AOB=90°-20°=70°,故选D.
2.(2019重庆A卷,4,4分)如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,A为切点,BC与☉O交于点D,连接OD.若∠ C=50°,则∠AOD的度数为 ( ) A.40° B.50° C.80° D.100°
答案 C ∵AC是☉O的切线,AB是☉O的直径,∴AB⊥AC,∴∠CAB=90°.∵∠C=50°,∴∠B=180°-90°-50°=40°.∴∠AOD=2∠B=2×40°=80°,故选C.
3.(2020山西,18,7分)如图,四边形OABC是平行四边形,以点O为圆心,OC为半径的☉O与AB相切于点B,与 AO相交于点D,AO的延长线交☉O于点E,连接EB交OC于点F.求∠C和∠E的度数.
解析 连接OB. (1分)∵AB与☉O相切于点B,∴OB⊥AB.∴∠OBA=90°. (2分)∵四边形OABC是平行四边形,∴AB∥OC.∴∠BOC=∠OBA=90°. (3分)∵OB=OC,∴∠C=∠OBC= (180°-∠BOC)= ×(180°-90°)=45°.(4分)∵四边形OABC是平行四边形,∴∠A=∠C=45°. (5分)∴∠AOB=180°-∠A-∠OBA=180°-45°-90°=45°. (6分)∴∠E= ∠DOB= ∠AOB= ×45°=22.5°. (7分)
思路分析 连接OB,由切线的性质可得OB⊥AB,再由四边形OABC是平行四边形可得∠BOC=∠OBA=9 0°,然后根据OB=OC可求∠C,根据圆周角定理可求∠E.
4.(2020陕西,23,8分)如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠BAC=75°,∠ABC=45°.连接AO并延长,交☉O于 点D,连接BD.过点C作☉O的切线,与BA的延长线相交于点E. (1)求证:AD∥EC;(2)若AB=12,求线段EC的长.
解析 (1)证明:如图,连接OC.∵CE与☉O相切于点C,∴∠OCE=90°. (1分)又∵∠ABC=45°,∴∠AOC=90°.∴AD∥EC. (3分) (2)如图,过点A作AF⊥EC,垂足为F.∵OA=OC,∴四边形AOCF为正方形.∵∠ABC=45°,∠BAC=75°,∴∠ACB=60°.∴∠D=60°.∵AD是直径,
∴∠ABD=90°,∴∠BAD=30°.在Rt△ABD中,AD= =8 . (6分)∴AF=CF=OA=4 .∵AD∥EC,∴∠E=∠BAD=30°.在Rt△AEF中,EF= =12.∴EC=EF+FC=12+4 . (8分)
5.(2020宁夏,23,8分)如图,在△ABC中,∠B=90°,点D为AC上一点,以CD为直径的☉O交AB于点E,连接CE, 且CE平分∠ACB.(1)求证:AE是☉O的切线;(2)连接DE,若∠A=30°,求 .
解析 (1)证明:连接OE.∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠BCE.又∵OE=OC,∴∠ACE=∠OEC,∴∠BCE=∠OEC,∴OE∥BC, (2分)∴∠AEO=∠B.又∵∠B=90°,∴∠AEO=90°,∴OE⊥AE,∵OE是☉O的半径,∴AE是☉O的切线. (4分) (2)解法一:∵CD是☉O的直径,∴∠DEC=90°.又∵∠DCE=∠ECB,∴△DCE∽△ECB.∴ = . (6分)
∵∠A=30°,∠B=90°,∴∠ACB=60°,∴∠DCE= ∠ACB= ×60°=30°.∴ =cs∠DCE=cs 30°= .∴ = . (8分)解法二:设OD=OC=r,在Rt△AOE中,∵∠A=30°,OE=r,∴AO=2r,即D为AO的中点,∴DE= AO=r. (6分)在Rt△ABC中,AC=3r,∠A=30°,∴BC= r.在Rt△BCE中,BC= r,∠BCE=30°,∴BE=BC·tan 30°= r× = r,
6.(2019新疆,22,10分)如图,AB是☉O的直径,CD与☉O相切于点C,与AB的延长线交于点D,CE⊥AB于点E.(1)求证:∠BCE=∠BCD;(2)若AD=10,CE=2BE,求☉O的半径.
解析 (1)证明:连接OC,AC, ∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACO+∠OCB=90°,又∵CD是☉O的切线,∴∠OCD=90°,∴∠OCB+∠BCD=90°.∴∠ACO=∠BCD. (2分)∵CE⊥AB,∴∠CEB=90°,
∴∠BCE+∠ABC=90°,∵∠A+∠ABC=90°,∴∠BCE=∠A.∵OA=OC,∴∠A=∠ACO=∠BCD.∴∠BCE=∠BCD. (5分)(2)作BF⊥CD于点F,得△BFD∽△CED,由(1)得BF=BE.∵CE=2BE,∴ = = = ,即CD=2BD. (7分)∵∠BCD=∠A,∠CDB=∠ADC,∴△CBD∽△ACD,∴ = .∵AD=10,∴BD= ,∴AB= ,∴OA= .∴☉O的半径为 . (10分)
7.(2019辽宁大连,23,10分)如图1,四边形ABCD内接于☉O,AC是☉O的直径,过点A的切线与CD的延长线 相交于点P,且∠APC=∠BCP.(1)求证:∠BAC=2∠ACD;(2)过图1中的点D作DE⊥AC,垂足为E(如图2).当BC=6,AE=2时,求☉O的半径.
解析 (1)证明:∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°,∵PA是☉O的切线,∴PA⊥AC,∴∠PAC=90°,∴∠APC=90°-∠ACD,∵∠BCD=∠APC,∴∠BCD=90°-∠ACD,∴∠ACB=∠BCD-∠ACD=90°-2∠ACD,∴∠BAC=90°-∠ACB=90°-(90°-2∠ACD)=2∠ACD.(2)连接DO并延长,与BC交于点F,如图.
∵∠AOD=2∠ACD,∠BAC=2∠ACD,∴∠AOD=∠BAC,∴DF∥AB,∴∠DFC=∠ABC=90°,∴DF⊥BC,∴BF=FC=3,∵DE⊥AC,∴∠DEO=∠DFC=90°,∵∠DOE=∠COF,OD=OC,∴△DOE≌△COF, ∴DE=FC=3,在Rt△DOE中,OD2=DE2+OE2,即OD2=32+(OD-2)2,解得OD= ,即☉O的半径为 .
8.(2018天津,21,10分)已知AB是☉O的直径,弦CD与AB相交,∠BAC=38°.(1)如图①,若D为 的中点,求∠ABC和∠ABD的大小;(2)如图②,过点D作☉O的切线,与AB的延长线交于点P,若DP∥AC,求∠OCD的大小.
解析 (1)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠BAC+∠ABC=90°.又∠BAC=38°,∴∠ABC=90°-38°=52°.由D为 的中点,得 = .∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB=45°.∴∠ABD=∠ACD=45°.(2)如图,连接OD.
∵DP切☉O于点D,∴OD⊥DP,即∠ODP=90°.∵DP∥AC,∠BAC=38°,∴∠P=∠BAC=38°.∵∠AOD是△ODP的外角,∴∠AOD=∠ODP+∠P=128°.∴∠ACD= ∠AOD=64°.又OA=OC,得∠ACO=∠BAC=38°.
∴∠OCD=∠ACD-∠ACO=64°-38°=26°.
考点三 三角形的内切圆
1.(2019云南,13,4分)如图,△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=5,BC=13, CA=12,则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是 ( ) A.4 C.7.5 D.9
答案 A ∵AB=5,BC=13,AC=12,∴AB2+AC2=52+122=132=BC2,∴△ABC为直角三角形,且∠A=90°.∵AB,AC分别与☉O相切于点F,E,∴OF⊥AB,OE⊥AC,∴∠A=∠AEO=∠AFO=90°,又∵OE=OF,∴四边形AEOF是正方形.设OE=r,则AE=AF=r,又∵△ABC的内切圆☉O与BC,AC,AB分别相切于点D,E,F,∴BD=BF=5-r,CD=CE=12-r,∵BD+CD=BC,∴5-r+12-r=13,解得r=2,∴S阴影=22=4.故选A.
2.(2019内蒙古呼和浩特,24,9分)如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径的☉O交斜边AC于点D,过点D作☉ O的切线与BC交于点E,弦DM与AB垂直,垂足为H.(1)求证:E为BC的中点;(2)若☉O的面积为12π,△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3,求△DEC的内切圆面积S1和四边形 OBED的外接圆面积S2的比.
解析 (1)证明:连接OE, ∵在△ODE和△OBE中, ∴△ODE≌△OBE,∴∠DOE=∠BOE= ∠DOB,
又∵∠DAB= ∠DOB,∴∠DAB=∠BOE,∴OE∥AC,又∵O是AB的中点,∴E为BC的中点.(2)∵△AHD与△MHB都是直角三角形,且∠DAH=∠HMB,∴△AHD∽△MHB,∴其外接圆面积的比= =3,∴ = ,易得△AHD∽△MHB,∴ = = ,又∵DH=HM,∴ = ,∴∠BMH=30°=∠DAH,∴∠C=60°,又易知☉O的半径为2 ,∴AB=4 ,在Rt△ABC中,可求得BC=4,AC=8,
连接BD,由题意知△BDC是直角三角形,由(1)知E是斜边BC的中点,而∠C=60°,∴△CDE是等边三角形,且边长为2,∴△CDE的内切圆的半径r1= ,又四边形ODEB的外接圆直径为OE,OE= AC=4,∴四边形ODEB的外接圆的半径r2=2,∴ = .
1.(2020广东,17,4分)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠, 等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图,∠ ABC=90°,点M,N分别在射线BA,BC上,MN的长度始终保持不变,MN=4,E为MN的中点,点D到BA,BC的距 离分别为4和2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为 .
解题关键 确定猫与老鼠的距离DE的最小值需判断点E的运动轨迹,利用直角三角形斜边的中线等于 斜边的一半确定点E在以点B为圆心, MN的长为半径的圆弧上是解题的关键.
2.(2019河北,25,10分)如图1和图2,▱ABCD中,AB=3,BC=15,tan∠DAB= .点P为AB延长线上一点,过点A作☉O切CP于点P,设BP=x.(1)如图1,x为何值时,圆心O落在AP上?若此时☉O交AD于点E,直接指出PE与BC的位置关系;(2)当x=4时,如图2,☉O与AC交于点Q,求∠CAP的度数,并通过计算比较弦AP与劣弧 长度的大小;(3)当☉O与线段AD只有一个公共点时,直接写出x的取值范围. 图1 图2
解析 (1)∵☉O切CP于点P,∴OP⊥PC,即∠CPB=90°.由四边形ABCD是平行四边形得AD∥BC,∴tan∠CBP=tan∠DAB= ,设PC=4k,BP=3k,则BC= =5k,∴5k=15,即k=3.∴PC=12,BP=9.∴x=9. (2分)PE与BC垂直. (3分)
(2)如图,连接OP,OQ,作CK⊥AB于点K,OH⊥AP于点H,同(1)得CK=12,BK=9.∵AK=AB+BK=12,∴CK=AK.
∴∠CAP=∠ACK=45°. (4分)∵BP=4,∴AP=7,∴HP= AP= .又∵PK=BK-BP=5,∴PC=13.∵∠HOP=90°-∠OPH=∠CPK,∴Rt△HOP∽Rt△KPC.∴ = ,即 = ,∴OP= . (6分)∵∠POQ=2∠PAQ=90°,∴l = . (8分)∵ <7,∴AP>l . (9分)(3)x≥18. (10分)详解:由(1)和(2)可知,满足(3)的点O在AP下方.如图,
当☉O与AD切于点A时,两者只有一个公共点A,则∠OAD=∠OPC=90°.由OA=OP得∠OAP=∠OPA,∴∠ DAP=∠CBP=∠CPA,∴BC=PC.作CK⊥AP于K,则BK=PK.由(1)知,BP=2BK=18,即x=18.当x>18时,趋势上点O越来越向右下,与线段AD只有一个公共点A,符合题意.∴x的取值范围是x≥18.
1.(2019福建,9,4分)如图,PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,点C在☉O上,且∠ACB=55°,则∠APB等于 ( ) A.55° B.70° C.110° D.125°
答案 B 连接OA,OB.∵PA,PB是☉O的两条切线,∴OA⊥AP,OB⊥PB.∴∠OAP=∠OBP=90°.∵∠AOB=2∠ACB=2×55°=110°,∴∠APB=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=360°-90°-90°-110°=70°.故选B.
2.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与☉O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则∠DOE= °.
3.(2020内蒙古呼和浩特,16,3分)已知AB为☉O的直径且长为2r,C为☉O上异于A,B的点,若AD与过点C的 ☉O的切线互相垂直,垂足为D.①若等腰三角形AOC的顶角为120度,则CD= r;②若△AOC为正三角形,则CD= r;③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D,则CD=r;④无论点C在何处,将△ADC沿AC折叠,点D一定落在直径AB上,其中正确结论的序号为 .
解析 ∵∠AOC=120°,AO=OC,∴∠OCA= ×(180°-120°)=30°,∵CD为☉O的切线,∴∠DCO=90°,∴∠DCA=∠DCO-∠OCA=60°,∴CA=2CD.在Rt△ACB中,∠CAB=30°,∠ACB=90°,∴CA= AB,∴CD= AB= r,故①错.∵△AOC为正三角形,∴∠ACO=60°,∴∠ACD=∠DCO-∠ACO=30°,
∴CD= CA= AO= r,故②对.当△AOC的对称轴经过点D时,AD=CD,∴四边形ADCO为正方形,∴CD=CO=r,故③对.∵∠ADC=∠DCO=90°,∴AD∥CO,∴∠DAC=∠ACO,∵∠CAO=∠ACO,∴∠DAC=∠CAO,∴将△ADC沿AC折叠,点D一定落在AB上,故④对.故答案为②③④.
方法指导 解决动态几何问题时,要学会化动为静,在有关圆的问题中,要精准把握圆的性质,寻找圆中的 等量关系,要注意利用数形结合的思想来解决问题.
4.(2020四川成都,20,10分)如图,在△ABC的边BC上取一点O,以O为圆心,OC为半径画☉O,☉O与边AB相 切于点D,AC=AD,连接OA交☉O于点E,连接CE,并延长交线段AB于点F.(1)求证:AC是☉O的切线;(2)若AB=10,tan B= ,求☉O的半径;(3)若F是AB的中点,试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由.
解析 (1)证明:连接OD,∵☉O与边AB相切于D,∴∠ADO=90°,∵OC=OD,AC=AD,AO=AO,∴△ACO≌△ADO(SSS),∴∠ACO=∠ADO=90°,∴OC⊥AC,又∵C为☉O上一点,∴AC是☉O的切线.(2)∵AB=10,tan B= ,∠BCA=90°,∴AC=8,BC=6,∴sin B= = ,设CO=r,则DO=r,∵∠ODB=90°,sin B= ,∴OB= = r,∴BC=OB+CO= r+r=6,∴r= .即☉O的半径为 .
(3)BD+CE=AF.证明:连接ED,由(1)得∠CAE=∠DAE,又∵AC=AD,AE=AE,∴△ACE≌△ADE,∴CE=DE.∵F为AB的中点,∠ACB=90°,∴AF=CF=BF.∴∠CAF=∠ACF,∴∠CFD=∠CAF+∠ACF=2∠ACF.∵∠ACB=90°,∴∠BCF=90°-∠ACF.∵OC=OE,∴∠BCF=∠OEC=90°-∠ACF.∵△ACE≌△ADE,∴∠AEC=∠AED,∴∠OEC=∠OED=90°-∠ACF,∴∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-(90°-∠ACF)-(90°-∠ACF)
=2∠ACF,∴∠CFD=∠DEF,∴DE=DF,∴BD+CE=BD+DF=BF,∴BD+CE=AF.
5.(2020新疆,22,11分)如图,在☉O中,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,P是 的中点,过点P作AC的垂线,交AC的延长线于点D.(1)求证:DP是☉O的切线;(2)若AC=5,sin∠APC= ,求AP的长.
解析 (1)证明:连接OP.∵P是 的中点,∴ = ,∴∠DAP=∠BAP,又∵OA=OP,∴∠BAP=∠APO,∴∠DAP=∠APO,∴OP∥AD,∴∠D+∠OPD=180°,又∵PD⊥AD,∴∠D=90°,∴∠OPD=90°,又OP为☉O的半径,∴DP是☉O的切线.
(2)连接PB,过点P作PH⊥AB,垂足为点H,过点C作CG⊥AP,垂足为点G.在△CGP中,sin∠APC= = ,∴设CG=5x,则CP=13x,∵∠DAP=∠PAB,PD⊥AD,PH⊥AB,∴PH=PD,∠D=∠PHB=90°,∵P是 的中点,∴CP=BP,
在Rt△PDC和Rt△PHB中, ∴Rt△PDC≌Rt△PHB(HL),∴∠DPC=∠HPB,∵AC=5,CG=5x,∴sin∠DAP= = =x,∵∠DAP=∠PAB,∴sin∠PAB= = =x,∴AB=13,∴OP= ,∵∠DPO=∠APB=90°,∴∠DPC+∠APC+∠APO=∠BPH+∠OPH+∠APO,又∵∠DPC=∠BPH,∴∠OPH=∠APC,∴sin∠OPH=sin∠APC= ,∴OH= ,PH=6,AH=9,
∴根据勾股定理得,AP= =3 .
6.(2020云南,20,8分)如图,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,AD⊥CE,垂足为D,AC平分∠DAB.(1)求证:CE是☉O的切线;(2)若AD=4,cs∠CAB= ,求AB的长.
解析 (1)证明:连接OC. (1分)∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB.∵OA、OC是☉O的半径,∴OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴AD∥CO. (2分)∴∠ADC=∠OCE.∵AD⊥CD,∴∠ADC=90°,∴∠OCE=90°. (3分)∴OC⊥CE,∵OC是☉O的半径,∴CE是☉O的切线. (4分)
(2)连接BC. (5分)∵∠DAC=∠CAB,cs∠CAB= ,∴cs∠DAC= . (6分)在Rt△ADC中,∠ADC=90°,AD=4,∴AC= = =5. (7分)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∴AB= = = . (8分)
7.(2020广西北部湾经济区,25,10分)如图,在△ACE中,以AC为直径的☉O交CE于点D,连接AD,且∠DAE= ∠ACE,连接OD并延长交AE的延长线于点P,PB与☉O相切于点B.(1)求证:AP是☉O的切线;(2)连接AB交OP于点F,求证:△FAD∽△DAE;(3)若tan∠OAF= ,求 的值.
解析 (1)证明:∵AC为直径,∴∠ADC=90°,∴∠ACE+∠CAD=90°,又∠DAE=∠ACE,∴∠DAE+∠DAC=90°,∴OA⊥AP,∴AP为圆O的切线.(2)证明:连接OB, ∵PA,PB为圆O的切线,∴PA=PB,又OB=OA,OP=OP,
∴△OBP≌△OAP(SSS),∴∠BOD=∠DOA,∴ = ,∴∠FAD=∠ACE,在△AOB中,∠AOF=∠BOF,OA=OB,∴OF⊥AB,∴∠AFD=∠ADE=90°,又∵∠ACE=∠DAE,∴∠FAD=∠DAE,∴△FAD∽△DAE.(3)在Rt△OFA中,tan∠OAF= ,设OF=x,则AF=2x,OA= x,DF=OD-OF=OA-OF=( -1)x,易知∠APO=∠OAF,∴AP=2OA=2 x,由(2)知∠FAD=∠ACE,∴tan∠ACE=tan∠FAD,
即 = = ,又AC=2OA=2 x,∴AE=(5- )x,∴ = = .
8.(2020湖北武汉,21,8分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的☉O交AC于点D,AE与过点D的 切线互相垂直,垂足为E.(1)求证:AD平分∠BAE;(2)若CD=DE,求sin∠BAC的值.
解析 (1)证明:如图1,连接OD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵DE是☉O的切线,∴OD⊥DE.∵AE⊥DE,∴∠AED+∠EDO=180°,∴AE∥OD,∴∠EAD=∠ODA,∴∠EAD=∠OAD,∴AD平分∠EAB.(2)解法一:如图1,连接BD.设CD=a,BC=b. 图1∵AB为☉O的直径,AE⊥DE,∴∠BDC=∠E=90°.
∵∠ABC=90°,AD平分∠EAB,∴∠CBD=∠BAD=∠DAE.又∵CD=DE,∴△CDB≌△DEA,∴AD=BC=b.∵∠CDB=∠CBA=90°,∠C=∠C,∴△CDB∽△CBA,∴CB2=CD·CA,即b2=a(a+b).∴ + -1=0,∴ = 或 (舍去负值).∴sin∠BAC=sin∠CBD= = .解法二:如图1,设CD=DE=a,AD=b.∵AB为☉O的直径,AE⊥DE,∴∠CDB=∠CBA=∠E=90°.∵∠ABC=90°,AD平分∠EAB,∴∠CBD=∠BAD=∠DAE.
∴△CDB∽△CBA∽△DEA.∴BC2=CD·CA=a2+ab.由△CBA∽△DEA,得 = ,∴ = ,即 = .解得 = 或 (舍去负值).∴sin∠BAC=sin∠EAD= = .(注:如图2,过点D作DF⊥AB于点F,连接BD,则DF=DE=DC.可以由△ADF∽△ACB,△CDB∽△CBA或△ CDB≌△DEA,其中,两个组合列方程求解.)
思路分析 (1)连接OD,由ED是☉O的切线和AE⊥ED可推AE∥OD,由OA=OD可证∠EAD=∠OAD,问题 解决;(2)思路一:连接BD,设CD=a,BC=b,由AB是直径可推∠ADB=∠BDC=90°,再由∠ABC=90°,AD平分 ∠EAB,CD=DE证明△CDB≌△DEA,进一步证明△CDB∽△CBA,由此列方程求出 = 的值,问题解决;思路二:设CD=DE=a,AD=b,由AB是直径可推出∠ADB=∠BDC=90°,再由∠ABC=90°,AD平分∠EAB, 可证△CDB∽△CBA∽△DEA,得到BC2=CD·CA和 = ,由此列方程求出 = 的值,问题解决.
9.(2020四川南充,22,10分)如图,点A,B,C是半径为2的☉O上三个点,AB为直径,∠BAC的平分线交圆于点 D,过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E,延长ED交AB的延长线于点F.(1)判断直线EF与☉O的位置关系,并证明;(2)若DF=4 ,求tan∠EAD的值.
解析 (1)直线EF与☉O相切. (1分)理由如下:连接OD. (2分)∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠OAD.∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD=∠EAD, (3分)∴OD∥AE. (4分)由AE⊥EF,得OD⊥EF.又∵点D在☉O上,∴EF是☉O的切线. (5分)
(2)在Rt△ODF中,∵OD=2,DF=4 ,∴由勾股定理得OF=6. (6分)∵OD∥AE,∴ = = , (7分)即 = = ,得AE= ,ED= . (9分)∴在Rt△AED中,tan∠EAD= = . (10分)
10.(2020云南昆明,20,8分)如图,点P是☉O的直径AB延长线上的一点(PB
∵EC=EP,∴∠ECP=∠P,∵点E是线段OP的中点,∴EO=EP,∴EO=EC,∴∠EOC=∠ECO, (3分)
在△OPC中,∠POC+∠PCO+∠P=180°,即∠EOC+∠ECO+∠ECP+∠P=180°,∴2∠ECO+2∠ECP=180°,∴∠ECO+∠ECP=90°,∴OC⊥PC, (4分)∵OC是☉O的半径,∴PC是☉O的切线. (5分)证法二:连接OC,
∴点O,C,P三点在以点E为圆心,EO为半径的圆上, (3分)∴OP是☉E的直径,∴∠OCP=90°,即OC⊥PC, (4分)∵OC是☉O的半径,∴PC是☉O的切线. (5分)(2)∵BP=4,EB=1,∴EO=EP=BP+EB=5,∴OP=2EO=10,OC=OB=EO+EB=6, 在Rt△OPC中,∠OCP=90°,由勾股定理得:PC= = =8. (8分)(其他解法参照此标准给分)
∵点E是线段OP的中点,∴OE=PE, ∵CE=PE,∴OE=CE=PE,
11.(2020贵州贵阳,23,10分)如图,AB为☉O的直径,四边形ABCD内接于☉O,对角线AC,BD交于点E,☉O的 切线AF交BD的延长线于点F,切点为A,且∠CAD=∠ABD.(1)求证:AD=CD;(2)若AB=4,BF=5,求sin∠BDC的值.
解析 (1)证明:在☉O中,∵∠ABD与∠ACD都是 所对的圆周角,∴∠ABD=∠ACD.∵∠CAD=∠ABD,∴∠ACD=∠CAD.∴AD=CD.(2)∵AF是☉O的切线,AB是☉O的直径,∴∠FAB=∠ACB=∠ADB=∠ADF=90°.∵∠FAD+∠BAD=90°,∠ABD+∠BAD=90°,∴∠FAD=∠ABD.又∵∠ABD=∠CAD,∴∠CAD=∠FAD.∵AD=AD,∴△ADE≌△ADF(ASA),∴AE=AF,ED=FD.在Rt△BAF中,∵AB=4,BF=5,∴AF=3,即AE=3.∵ AB·AF= BF·AD,∴AD= .在Rt△ADF中,FD= = ,
∴BE=5- ×2= .∵∠BEC=∠AED,且∠ECB=∠EDA,∴△BEC∽△AED,∴ = ,∴BC= .∵∠BDC与∠BAC都是 所对的圆周角,∴∠BDC=∠BAC.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∴sin∠BAC= = ,即sin∠BDC= .
思路分析 (1)由圆周角定理的推论得∠ABD=∠ACD,进而得∠ACD=∠CAD,所以AD=CD.(2)证明△ADE≌△ADF,得AE=AF,DE=DF,由AF的长和△ABF的面积求得AD的长,进而求得DF,BE的长, 继而证明△BEC∽△AED,得BC的长,求得sin∠BAC即可.
12.(2020内蒙古包头,24,10分)如图,AB是☉O的直径,半径OC⊥AB,垂足为O,直线l为☉O的切线,A是切点, D是OA上一点,CD的延长线交直线l于点E,F是OB上一点,CF的延长线交☉O于点G,连接AC,AG,已知☉O 的半径为3,CE= ,5BF-5AD=4.(1)求AE的长;(2)求cs∠CAG的值及CG的长.
解析 (1)过点C作CH⊥l于点H,∴∠AHC=90°. ∵直线l为☉O的切线,A是切点,OC⊥AB,∴∠AOC=∠OAH=90°,∴四边形AOCH是矩形.∵OA=OC,∴四边形AOCH是正方形,∴AH=CH=OC=3.在Rt△EHC中,∵EH2+HC2=CE2,CE= ,∴EH=5,∴AE=EH-AH=2. (3分)(2)∵OC⊥AB,∴∠AOC=∠BOC=90°,∴∠AGC=∠CAB=45°,
∵∠GCA=∠ACF,∴△GCA∽△ACF,∴∠CAG=∠CFA.在Rt△EAD和Rt△EHC中,∵tan∠AED=tan∠HEC,∴ = ,∴AD=2× = .∵5BF-5AD=4,∴BF=2,∵OB=3,∴FO=1.在Rt△COF中,CF= = ,∴cs∠CAG=cs∠CFA= . (8分)∵△GCA∽△ACF,∴ = .在Rt△AOC中,AC= =3 ,∴CG= . (10分)
思路分析 (1)过点C作直线l的垂线,垂足为H,通过∠AOC=∠OAH=∠CHA=90°,OA=OC,判断出四边形 OAHC是正方形,从而得到CH=AH=3.再根据勾股定理,在Rt△CEH中求出EH=5,最后得到AE的长.(2)通过同弧所对的圆周角是圆心角的一半,得到∠AGC=∠CAB=45°,再通过∠GCA=∠ACF,证得△GCA ∽△ACF,将∠CAG转化为∠CFA.通过(1)中线段的长度和tan∠AED=tan∠HEC,求出AD= ,再根据5BF-5AD=4,求出BF=2,OF=1.根据勾股定理,在Rt△COF中,得到CF= ,求出cs∠CAG= .由△GCA∽△ACF,根据相似比和AC=3 ,得到CG= .
13.(2020黑龙江齐齐哈尔,20,8分)如图,AB为☉O的直径,C、D为☉O上的两个点, = = ,连接AD,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证:DE是☉O的切线;(2)若直径AB=6,求AD的长.
解析 (1)证明:连接OD.∵ = = ,∠AOB=180°,∴∠BOD= ×180°=60°.∵ = ,∴∠EAD=∠DAB= ∠BOD=30°,∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAB=30°.∵DE⊥AC于E,∴∠E=90°,∴∠EAD+∠EDA=90°,∴∠EDA=60°,∴∠EDO=∠EDA+∠ADO=90°.∴OD⊥DE.∴DE是☉O的切线.(2)连接BD.
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵∠DAB=30°,AB=6,∴BD= AB=3.∴AD= =3 .
14.(2020天津,21,10分)在☉O中,弦CD与直径AB相交于点P,∠ABC=63°.(1)如图①,若∠APC=100°,求∠BAD和∠CDB的大小;(2)如图②,若CD⊥AB,过点D作☉O的切线,与AB的延长线相交于点E,求∠E的大小.
解析 (1)∵∠APC是△PBC的一个外角,∠ABC=63°,∠APC=100°,∴∠C=∠APC-∠PBC=37°.∵在☉O中,∠BAD=∠C,∴∠BAD=37°.∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵在☉O中,∠ADC=∠ABC=63°,∠CDB=∠ADB-∠ADC,∴∠CDB=27°.(2)如图,连接OD, ∵CD⊥AB,∴∠CPB=90°,
∴∠PCB=90°-∠PBC=27°.∵在☉O中,∠BOD=2∠BCD,∴∠BOD=54°.∵DE是☉O的切线,∴OD⊥DE,即∠ODE=90°.∴∠E=90°-∠EOD.∴∠E=36°.
解题关键 (1)应用同圆中同弧所对的圆周角相等,得出∠BAD=∠C,∠ADC=∠ABC是解题的关键;(2)应 用同圆中同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得出∠BOD=2∠BCD,根据切线垂直于过切点的半径作出辅 助线是解题的关键.
15.(2019贵州贵阳,23,10分)如图,已知AB是☉O的直径,点P是☉O上一点,连接OP,点A关于OP的对称点C 恰好落在☉O上.(1)求证:OP∥BC;(2)过点C作☉O的切线CD,交AP的延长线于点D,如果∠D=90°,DP=1,求☉O的直径.
解析 (1)证明:∵点A关于OP的对称点C恰好落在☉O上,∴ = ,∴∠AOP=∠POC,∴∠AOP= ∠AOC,又∵∠ABC= ∠AOC,∴∠AOP=∠ABC,∴OP∥BC.(2)连接PC,
∴∠OCD=90°,又∵∠D=90°,∴AD∥OC,∴∠POC=∠APO.由(1)知∠AOP=∠POC,∴∠APO=∠AOP, 又∵AO=OP,∴△AOP是等边三角形.∵点A,点C关于OP对称,∴△POC是等边三角形,∴∠OCP=60°,∴∠DCP=30°.∵DP=1,∠D=90°,∴PC=2PD=2,∴AB=2PC=4,即☉O的直径为4.
∵CD是☉O的切线,
16.(2019北京,22,6分)在平面内,给定不在同一条直线上的点A,B,C,如图所示.点O到点A,B,C的距离均等 于a(a为常数),到点O的距离等于a的所有点组成图形G,∠ABC的平分线交图形G于点D,连接AD,CD.(1)求证:AD=CD;(2)过点D作DE⊥BA,垂足为E,作DF⊥BC,垂足为F,延长DF交图形G于点M,连接CM.若AD=CM,求直线 DE与图形G的公共点个数.
解析 (1)证明:由题意,可知图形G是以O为圆心,a为半径的圆,点A,B,C,D在☉O上.
连接OA,OC,OD,如图.∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD.∵∠ABD= ∠AOD,∠CBD= ∠COD,∴∠AOD=∠COD.∴AD=CD.
(2)∵AD=CD,AD=CM,∴CD=CM.∴∠CDM=∠CMD.∵∠CMD=∠CBD,∴∠CDM=∠CBD.∵DM⊥BC,∴∠DCB+∠CDM=90°,∴∠DCB+∠CBD=90°.∴∠BDC=90°.∴BC为☉O的直径.∴点O在BC上.∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.∴∠ABD=∠ODB.
∴AB∥OD.∵DE⊥BE,∴OD⊥DE, ∴DE为☉O的切线.∴DE与☉O只有一个公共点,即直线DE与图形G的公共点个数为1.
17.(2019四川成都,20,10分)如图,AB为☉O的直径,C,D为圆上的两点,OC∥BD,弦AD,BC相交于点E.(1)求证: = ;(2)若CE=1,EB=3,求☉O的半径;(3)在(2)的条件下,过点C作☉O的切线,交BA的延长线于点P,过点P作PQ∥CB交☉O于F,Q两点(点F在线 段PQ上),求PQ的长.
解析 (1)证明:连接OD.∵OC∥BD,∴∠OCB=∠DBC,∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC,∴∠OBC=∠DBC,∴∠AOC=∠COD,∴ = .(2)连接AC.∵ = ,∴∠CBA=∠CAD.又∵∠BCA=∠ACE,∴△CBA∽△CAE.∴ = .∴CA2=CE·CB=CE·(CE+EB)=1×(1+3)=4.∴CA=2.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.在Rt△ACB中,由勾股定理,得AB= = =2 .
∴☉O的半径为 . (3)如图,设AD与CO相交于点N,
∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,∵OC∥BD,∴∠ANO=∠ADB=90°.∵PC为☉O的切线,∴∠PCO=90°.∴∠ANO=∠PCO.∴PC∥AE.
∴ = = .∴PA= AB= ×2 = .∴PO=PA+AO= + = .过点O作OH⊥PQ于点H,则∠OHP=90°=∠ACB.∵PQ∥CB,∴∠BPQ=∠ABC.∴△OHP∽△ACB.∴ = = .
∴PQ=PH+HQ= .
∴OH= = = ,PH= = = .连接OQ.在Rt△OHQ中,由勾股定理,得HQ= = = .
18.(2019天津,21,10分)已知PA,PB分别与☉O相切于点A,B,∠APB=80°,C为☉O上一点.(1)如图①,求∠ACB的大小;(2)如图②,AE为☉O的直径,AE与BC相交于点D,若AB=AD,求∠EAC的大小.
解析 (1)如图,连接OA,OB,∵PA,PB是☉O的切线,∴OA⊥PA,OB⊥PB,即∠OAP=∠OBP=90°,∵∠APB=80°,∴在四边形OAPB中,∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=100°,∵在☉O中,∠ACB= ∠AOB,∴∠ACB=50°. (2)如图,连接CE,
∵AE为☉O的直径,∴∠ACE=90°,由(1)知,∠ACB=50°,∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=40°,∴∠BAE=∠BCE=40°,∵在△ABD中,AB=AD,∴∠ADB=∠ABD= (180°-∠BAE)=70°,又∠ADB是△ADC的一个外角,有∠EAC=∠ADB-∠ACB,∴∠EAC=20°.
19.(2019湖北黄冈,23,8分)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的☉O交AB于点D.过点D作☉O的 切线交BC于点E,连接OE.(1)求证:△DBE是等腰三角形;(2)求证:△COE∽△CAB.
证明 (1)连接OD.∵DE是☉O的切线,∴∠ODE=90°,∴∠ADO+∠BDE=90°,又∵∠ACB=90°,∴∠OAD+∠B=90°,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ADO,∴∠BDE=∠B,∴EB=ED,∴△DBE是等腰三角形.(2)∵∠ACB=90°,AC是☉O的直径,∴CB是☉O的切线,又∵DE是☉O的切线,∴DE=EC.∵DE=EB,∴EC=EB.又∵OA=OC,∴OE∥AB.∴△COE∽△CAB.
20.(2018四川成都,20,10分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过 点A,D的☉O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G.(1)求证:BC是☉O的切线;(2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长;(3)若BE=8,sin B= ,求DG的长.
解析 (1)证明:如图,连接OD.∵AD为∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠CAD,∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD,∴∠ODA=∠CAD,∴OD∥AC.又∵∠C=90°,∴∠ODC=90°,∴OD⊥BC,∴BC是☉O的切线.(2)连接DF.由(1)可知,BC为☉O的切线.易得∠FDC=∠DAF,∴∠CDA=∠CFD,∴∠AFD=∠ADB,又∵∠BAD=∠DAF,∴△ABD∽△ADF,∴ = ,∴AD2=AB·AF,∴AD2=xy,∴AD= .
(3)连接EF.在Rt△BOD中,sin B= = ,设圆的半径为r,∴ = ,∴r=5,∴AE=10,AB=18.∵AE是直径,∴∠AFE=90°,又∠C=90°,∴EF∥BC,∴∠AEF=∠B,∴sin∠AEF= = ,
∴AF= AE= ,∵AF∥OD,∴ = = = ,∴DG= AD,∵AD= = = ,∴DG= × = .
21.(2018陕西,23,8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB上的中线CD为直径作☉O,分别与AC、 BC相交于点M,N.(1)过点N作☉O的切线NE与AB相交于点E,求证:NE⊥AB;(2)连接MD,求证:MD=NB. 证明 (1)连接ON,则OC=ON.∴∠DCB=∠ONC.∵在Rt△ABC中,D为斜边AB的中点,∴CD=DB,∴∠DCB=∠B,
∴∠ONC=∠B,∴ON∥AB. (2分)∵NE是☉O的切线,∴NE⊥ON,∴NE⊥AB. (4分) (2)连接ND,则∠CND=∠CMD=90°.∵∠ACB=90°,∴四边形CMDN是矩形, (6分)∴MD=CN.由(1)知,CD=BD,
∴CN=NB,∴MD=NB. (8分)
考点三 三角形的内切圆(2018黑龙江大庆,14,3分)在△ABC中,∠C=90°,AB=10,且AC=6,则这个三角形的内切圆半径为 .
A组 2018—2020年模拟·基础题组时间:45分钟 分值:55分一、选择题(每小题3分,共12分)
1.(2020湖北荆州松滋一模,8)如图,☉O与正五边形ABCDE的边AB,DE分别相切于点B,D,则劣弧BD所对 的圆心角∠BOD的大小为 ( ) A.108° B.118° C.144° D.120°
答案 C ∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠E=∠A=180°- =108°.∵AB、DE分别与☉O相切,∴∠OBA=∠ODE=90°,∴∠BOD=(5-2)×180°-90°-108°-108°-90°=144°,故选C.
2.(2019湖北仙桃模拟,8)如图,过☉O上一点C作☉O的切线,交直径AB的延长线于点D,若∠A=25°,则∠D 的度数为 ( ) A.25° B.30° C.40° D.50°
答案 C 连接OC. ∵OA=OC,∴∠A=∠OCA=25°.∴∠DOC=∠A+∠ACO=50°.∵CD是☉O的切线,OC为半径,∴∠OCD=90°.∴∠D=90°-∠DOC=40°.故选C.
3.(2019辽宁鞍山铁西三模,4)如图,直线AB是☉O的切线,C为切点,OD∥AB交☉O于点D,点E在☉O上,连 接OC,EC,ED,则∠CED的度数为 ( ) A.30° B.35° C.40° D.45°
答案 D ∵直线AB是☉O的切线,C为切点,∴∠OCB=90°,∵OD∥AB,∴∠COD=90°,∴∠CED= ∠COD=45°,故选D.
4.(2018四川内江资中一模,2)已知☉O的半径为4 cm,如果圆心O到直线l的距离为3.5 cm,那么直线l与☉ O的位置关系是( )A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
答案 A ∵☉O的半径为4 cm,圆心O到直线l的距离为3.5 cm,且3.5<4,∴直线l与☉O的位置关系是相交,故选A.
二、填空题(每小题3分,共12分)5.(2020海南琼海一模,14)如图,PA切☉O于点A,PC过点O且与☉O交于B,C两点,若PA=6 cm,PB=2 cm,则△PAC的面积是 cm2.
∴OP=4 cm,∴∠P=30°,∴AD= AP=3 cm,∴S△PAC= PC·AD= ×6 ×3=9 (cm2).即△PAC的面积为9 cm2.
6.(2020湖北荆州松滋一模,13)如图,△ABC的内切圆☉O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=5,AC=1 2,BC=13,则☉O的半径是 .
∵BD+DC=BC=13,∴5-r+12-r=13,解得r=2.∴☉O的半径是2.
7.(2019云南曲靖一模,10)如图,已知点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BOC=124°,则∠A= .
解析 ∵点O是△ABC的内心,∴∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB.∵∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC=56°,∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB)=112°,∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=68°.
8.(2018四川宜宾一模,14)如图,已知☉O是以坐标原点O为圆心,1为半径的圆,∠AOB=45°,点P在x轴上运 动,若过点P且与OA平行的直线与☉O有公共点,设OP=x,则x的取值范围是 .
三、解答题(共31分)
9.(2020甘肃兰州一诊,24)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的☉O与BC相交于点D,过点D作☉O的 切线,与AB相交于点E.(1)求证:DE⊥AB;(2)若BE=2,BC=6,求☉O的直径.
解析 (1)证明:连接AD,OD,∵AC是☉O的直径,∴AD⊥BC.∵AB=AC,∴BD=CD.又∵AO=CO,∴OD∥AB,又∵DE⊥OD,∴DE⊥AB.(2)∵DE⊥AB,AD⊥BC,∴∠BED=∠ADC=90°.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴△BED∽△CDA,∴ = .∵BC=6,BD=CD,∴BD=CD=3,∴ = ,∴AC= ,∴☉O的直径为 .
10.(2020江西南昌二模,19)如图,已知AB为半圆O的直径,过点B作PB⊥OB,连接AP交半圆O于点C,D为BP 上一点,CD是半圆O的切线.(1)求证:CD=DP;(2)已知半圆O的直径为 ,PC=1,求CD的长.
解析 (1)证明:如图,连接OC.∵CD是半圆O的切线,∴OC⊥CD,∴∠OCA+∠DCP=90°.∵PB⊥AB,∴∠ABP=90°,∴∠BAP+∠P=90°.∵OA=OC,∴∠BAP=∠OCA,∴∠DCP=∠P,∴CD=DP. (2)如图,连接BC.∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=90°,又AB⊥BP,∴∠ACB=∠ABP,
又∵∠BAP=∠BAP,∴△ABC∽△APB,∴ = ,∴AC·AP=AB2.∵AB= ,PC=1,AP=AC+PC,∴AC·(AC+1)=( )2,解得AC=-3(舍去)或AC=2,∴AP=3.在Rt△ABP中,BP= = = .由(1)得∠OCD=∠ABP=90°.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠DBC=∠DCB,∴BD=CD,又∵CD=PD,∴BD=CD=DP,∴CD= BP= .
11.(2019云南昆明西山一模,22)如图,以AB为直径作☉O,过点A作☉O的切线AC,连接BC,交☉O于点D,点 E是BC的中点,连接AE.(1)求证:∠AEB=2∠C;(2)若AB=6,cs B= ,求DE的长.
解析 (1)证明:∵AC是☉O的切线,AB为☉O的直径,∴∠BAC=90°.∵点E是BC的中点,∴AE=EC.∴∠C=∠EAC.∵∠AEB=∠C+∠EAC,∴∠AEB=2∠C.(2)连接AD.∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵AB=6,cs B= ,∴BD=AB·cs B= .在Rt△ABC中,AB=6,cs B= ,∴BC= =10.∵点E是BC边的中点,∴BE=5.∴DE=BE-BD= .
1.(2020江苏无锡锡北一模,8)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,若直线PA与☉O相切于点A,则∠PAB= ( ) A.30° B.35° C.45° D.60°
B组 2018—2020年模拟·提升题组时间:45分钟 分值:50分一、选择题(每小题3分,共9分)
答案 A 连接OB,AD,BD,∵多边形ABCDEF是正六边形,∴AD为外接圆的直径,∠AOB= =60°,∵OB=OD,∴∠ODB=∠OBD,又∵∠AOB=∠ODB+∠OBD,∴∠ADB= ∠AOB= ×60°=30°.∵直线PA与☉O相切于点A,∴∠PAB=∠ADB=30°,故选A.
2.(2018吉林长春德惠一模,7)AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,PO交☉O于点C,连接BC,若∠P=40°,则∠ B等于 ( ) A.20° B.25° C.30° D.40°
3.(2018湖北武汉武昌一模,9)若一直角三角形的斜边长为c,内切圆半径为r,则内切圆的面积与三角形面 积之比是 ( )A. B. C. D.
二、填空题(每小题3分,共9分)4.(2020辽宁鞍山铁东一模,15)如图,PA、PB切☉O于A、B两点,连接OP交弦AB于点C,交劣弧AB于点D, ∠APB=70°,点Q为优弧AMB上一点,OQ∥PB,则∠OQA的大小为 .
5.(2020广东广州一模,14)如图是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成的,点A为60°角的 顶点,点B为光盘与直尺的唯一交点,三角板的斜边与光盘相切,若AB=3,则光盘的直径是 .
6.(2019陕西宝鸡陈仓一模,14)如图,☉O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PB 切☉O于点B,则PB的最小值是 .
三、解答题(共32分)7.(2020陕西西安高新一中一模,23)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB的中点,以CD为直径作☉O, ☉O分别与AC,BC交于点E,F,过点F作☉O的切线FG,交AB于点G.(1)求证:FG⊥AB;(2)若AC=6,BC=8,求FG的长.
解析 (1)证明:连接OF,DF. ∵CD是☉O的直径,∴CF⊥DF.∵∠ACB=90°,D为AB的中点,∴CD=AD=BD,∴CF=BF.又∵OC=OD,∴OF∥AB,∴∠OFC=∠B.∵FG是☉O的切线,OF为☉O的半径,∴∠OFG=90°,∴∠OFC+∠BFG=90°,∴∠BFG+∠B=90°,
∴∠FGB=90°,∴FG⊥AB.(2)在Rt△ABC中,根据勾股定理得AB=10.∵点D是AB的中点,∴CD=BD= AB=5.由(1)知∠CFD=90°,BF=CF= BC=4,∴DF= =3.∵S△BDF= DF·BF= BD·FG,∴FG= = .
8.(2020湖北黄石模拟,24)如图,☉O是△ABC的外接圆,AB是直径,D是AC的中点,直线OD与☉O相交于E, F两点,P是☉O外一点,P在直线OD上,连接PA,PC,AF,且满足∠PCA=∠ABC.(1)求证:PA是☉O的切线;(2)证明:EF2=4OD·OP;(3)若BC=8,tan∠AFP= ,求DE的长.
解析 (1)证明:∵D是弦AC的中点,∴OD⊥AC,∴PD垂直平分AC,∴PA=PC,∴∠PAC=∠PCA.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°.又∵∠PCA=∠ABC,∴∠PCA+∠CAB=90°,∴∠CAB+∠PAC=90°,即∠PAB=90°,∴AB⊥PA,又AB是☉O的直径,∴PA是☉O的切线.(2)证明:由(1)知∠ODA=∠OAP=90°,又∵∠AOD=∠POA,∴Rt△AOD∽Rt△POA,∴ = ,∴OA2=OP·OD.又OA= EF,∴ EF2=OP·OD,即EF2=4OP·OD.(3)∵tan∠AFP= ,∴在Rt△ADF中,设AD=2a(a>0),则DF=3a.
易知OD= BC=4,则AO=OF=DF-OD=3a-4.∵OD2+AD2=AO2,∴42+4a2=(3a-4)2,解得a= 或a=0(舍去),∴DE=OE-OD=3a-8= .
9.(2019四川南充二诊,22)如图,AB是☉O的直径,CH⊥AB于H,AC与☉O交于D,BD与CH交于E.点F在CH 上,DF=CF.(1)求证:DF是☉O的切线;(2)若AB=10,sin A= ,AD=DE,求CD的长.
解析 (1)证明:连接OD,∵OD=OB,∴∠B=∠ODB.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵CH⊥AB,∴∠A+∠C=90°,又∠B+∠A=90°,∴∠B=∠C.∵DF=CF,∴∠C=∠CDF,∴∠ODB=∠CDF.∵∠CDF+∠BDF=90°,∴∠ODB+∠BDF=90°,∴∠ODF=90°,又OD为☉O的半径,∴DF是☉O的切线.
(2)∵AB=10,sin A= ,∴BD=AB·sin A=8.∵∠ADB=∠CDE=90°,∠B=∠C,AD=DE,∴△ABD≌△ECD(AAS),∴CD=BD=8.
10.(2019重庆模拟,24)如图,四边形ABCD的顶点在☉O上,BD是☉O的直径,延长CD、BA交于点E,连接 AC交BD于点F,作AH⊥CE,垂足为点H,已知∠ADE=∠ACB.(1)求证:AH是☉O的切线;(2)若OB=4,AC=6,求sin∠ACB的值;(3)若 = ,求证:CD=DH.
解析 (1)证明:连接OA,由圆周角定理的推论得,∠ACB=∠ADB.∵∠ADE=∠ACB,∴∠ADE=∠ADB.∵BD是直径,∴∠DAB=∠DAE=90°.在△DAB和△DAE中, ∴△DAB≌△DAE,∴AB=AE.又∵OB=OD,∴OA∥DE,∵AH⊥DE,∴OA⊥AH,∵OA为☉O的半径,∴AH是☉O的切线.
考点一 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
1.(2020广东广州,7,3分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,cs A= ,以点B为圆心,r为半径作☉B,当r=3时,☉B与AC的位置关系是 ( ) A.相离 B.相切C.相交 D.无法确定
答案 B ∵∠C=90°,AB=5,cs A= = ,∴AC=AB·cs A=5× =4,∴BC= = =3.∵r=3,∴☉B与AC的位置关系是相切.故选B.
2.(2019广东广州,5,3分)平面内,☉O的半径为1,点P到O的距离为2,过点P可作☉O的切线的条数为 ( )A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
答案 C ∵点P到点O的距离为2,☉O的半径为1,∴点P到圆心的距离大于半径,∴点P在☉O外.∵过圆 外一点可以作圆的两条切线,∴过点P可以作☉O的两条切线.故选C.
考点二 切线的判定与性质
答案 D ∵AB是☉O的切线,∴∠OAB=90°,又∵∠B=20°,∴∠AOB=90°-20°=70°,故选D.
2.(2019重庆A卷,4,4分)如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的切线,A为切点,BC与☉O交于点D,连接OD.若∠ C=50°,则∠AOD的度数为 ( ) A.40° B.50° C.80° D.100°
答案 C ∵AC是☉O的切线,AB是☉O的直径,∴AB⊥AC,∴∠CAB=90°.∵∠C=50°,∴∠B=180°-90°-50°=40°.∴∠AOD=2∠B=2×40°=80°,故选C.
3.(2020山西,18,7分)如图,四边形OABC是平行四边形,以点O为圆心,OC为半径的☉O与AB相切于点B,与 AO相交于点D,AO的延长线交☉O于点E,连接EB交OC于点F.求∠C和∠E的度数.
解析 连接OB. (1分)∵AB与☉O相切于点B,∴OB⊥AB.∴∠OBA=90°. (2分)∵四边形OABC是平行四边形,∴AB∥OC.∴∠BOC=∠OBA=90°. (3分)∵OB=OC,∴∠C=∠OBC= (180°-∠BOC)= ×(180°-90°)=45°.(4分)∵四边形OABC是平行四边形,∴∠A=∠C=45°. (5分)∴∠AOB=180°-∠A-∠OBA=180°-45°-90°=45°. (6分)∴∠E= ∠DOB= ∠AOB= ×45°=22.5°. (7分)
思路分析 连接OB,由切线的性质可得OB⊥AB,再由四边形OABC是平行四边形可得∠BOC=∠OBA=9 0°,然后根据OB=OC可求∠C,根据圆周角定理可求∠E.
4.(2020陕西,23,8分)如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠BAC=75°,∠ABC=45°.连接AO并延长,交☉O于 点D,连接BD.过点C作☉O的切线,与BA的延长线相交于点E. (1)求证:AD∥EC;(2)若AB=12,求线段EC的长.
解析 (1)证明:如图,连接OC.∵CE与☉O相切于点C,∴∠OCE=90°. (1分)又∵∠ABC=45°,∴∠AOC=90°.∴AD∥EC. (3分) (2)如图,过点A作AF⊥EC,垂足为F.∵OA=OC,∴四边形AOCF为正方形.∵∠ABC=45°,∠BAC=75°,∴∠ACB=60°.∴∠D=60°.∵AD是直径,
∴∠ABD=90°,∴∠BAD=30°.在Rt△ABD中,AD= =8 . (6分)∴AF=CF=OA=4 .∵AD∥EC,∴∠E=∠BAD=30°.在Rt△AEF中,EF= =12.∴EC=EF+FC=12+4 . (8分)
5.(2020宁夏,23,8分)如图,在△ABC中,∠B=90°,点D为AC上一点,以CD为直径的☉O交AB于点E,连接CE, 且CE平分∠ACB.(1)求证:AE是☉O的切线;(2)连接DE,若∠A=30°,求 .
解析 (1)证明:连接OE.∵CE平分∠ACB,∴∠ACE=∠BCE.又∵OE=OC,∴∠ACE=∠OEC,∴∠BCE=∠OEC,∴OE∥BC, (2分)∴∠AEO=∠B.又∵∠B=90°,∴∠AEO=90°,∴OE⊥AE,∵OE是☉O的半径,∴AE是☉O的切线. (4分) (2)解法一:∵CD是☉O的直径,∴∠DEC=90°.又∵∠DCE=∠ECB,∴△DCE∽△ECB.∴ = . (6分)
∵∠A=30°,∠B=90°,∴∠ACB=60°,∴∠DCE= ∠ACB= ×60°=30°.∴ =cs∠DCE=cs 30°= .∴ = . (8分)解法二:设OD=OC=r,在Rt△AOE中,∵∠A=30°,OE=r,∴AO=2r,即D为AO的中点,∴DE= AO=r. (6分)在Rt△ABC中,AC=3r,∠A=30°,∴BC= r.在Rt△BCE中,BC= r,∠BCE=30°,∴BE=BC·tan 30°= r× = r,
6.(2019新疆,22,10分)如图,AB是☉O的直径,CD与☉O相切于点C,与AB的延长线交于点D,CE⊥AB于点E.(1)求证:∠BCE=∠BCD;(2)若AD=10,CE=2BE,求☉O的半径.
解析 (1)证明:连接OC,AC, ∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACO+∠OCB=90°,又∵CD是☉O的切线,∴∠OCD=90°,∴∠OCB+∠BCD=90°.∴∠ACO=∠BCD. (2分)∵CE⊥AB,∴∠CEB=90°,
∴∠BCE+∠ABC=90°,∵∠A+∠ABC=90°,∴∠BCE=∠A.∵OA=OC,∴∠A=∠ACO=∠BCD.∴∠BCE=∠BCD. (5分)(2)作BF⊥CD于点F,得△BFD∽△CED,由(1)得BF=BE.∵CE=2BE,∴ = = = ,即CD=2BD. (7分)∵∠BCD=∠A,∠CDB=∠ADC,∴△CBD∽△ACD,∴ = .∵AD=10,∴BD= ,∴AB= ,∴OA= .∴☉O的半径为 . (10分)
7.(2019辽宁大连,23,10分)如图1,四边形ABCD内接于☉O,AC是☉O的直径,过点A的切线与CD的延长线 相交于点P,且∠APC=∠BCP.(1)求证:∠BAC=2∠ACD;(2)过图1中的点D作DE⊥AC,垂足为E(如图2).当BC=6,AE=2时,求☉O的半径.
解析 (1)证明:∵AC是☉O的直径,∴∠ABC=90°,∵PA是☉O的切线,∴PA⊥AC,∴∠PAC=90°,∴∠APC=90°-∠ACD,∵∠BCD=∠APC,∴∠BCD=90°-∠ACD,∴∠ACB=∠BCD-∠ACD=90°-2∠ACD,∴∠BAC=90°-∠ACB=90°-(90°-2∠ACD)=2∠ACD.(2)连接DO并延长,与BC交于点F,如图.
∵∠AOD=2∠ACD,∠BAC=2∠ACD,∴∠AOD=∠BAC,∴DF∥AB,∴∠DFC=∠ABC=90°,∴DF⊥BC,∴BF=FC=3,∵DE⊥AC,∴∠DEO=∠DFC=90°,∵∠DOE=∠COF,OD=OC,∴△DOE≌△COF, ∴DE=FC=3,在Rt△DOE中,OD2=DE2+OE2,即OD2=32+(OD-2)2,解得OD= ,即☉O的半径为 .
8.(2018天津,21,10分)已知AB是☉O的直径,弦CD与AB相交,∠BAC=38°.(1)如图①,若D为 的中点,求∠ABC和∠ABD的大小;(2)如图②,过点D作☉O的切线,与AB的延长线交于点P,若DP∥AC,求∠OCD的大小.
解析 (1)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∴∠BAC+∠ABC=90°.又∠BAC=38°,∴∠ABC=90°-38°=52°.由D为 的中点,得 = .∴∠ACD=∠BCD= ∠ACB=45°.∴∠ABD=∠ACD=45°.(2)如图,连接OD.
∵DP切☉O于点D,∴OD⊥DP,即∠ODP=90°.∵DP∥AC,∠BAC=38°,∴∠P=∠BAC=38°.∵∠AOD是△ODP的外角,∴∠AOD=∠ODP+∠P=128°.∴∠ACD= ∠AOD=64°.又OA=OC,得∠ACO=∠BAC=38°.
∴∠OCD=∠ACD-∠ACO=64°-38°=26°.
考点三 三角形的内切圆
1.(2019云南,13,4分)如图,△ABC的内切圆☉O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=5,BC=13, CA=12,则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是 ( ) A.4 C.7.5 D.9
答案 A ∵AB=5,BC=13,AC=12,∴AB2+AC2=52+122=132=BC2,∴△ABC为直角三角形,且∠A=90°.∵AB,AC分别与☉O相切于点F,E,∴OF⊥AB,OE⊥AC,∴∠A=∠AEO=∠AFO=90°,又∵OE=OF,∴四边形AEOF是正方形.设OE=r,则AE=AF=r,又∵△ABC的内切圆☉O与BC,AC,AB分别相切于点D,E,F,∴BD=BF=5-r,CD=CE=12-r,∵BD+CD=BC,∴5-r+12-r=13,解得r=2,∴S阴影=22=4.故选A.
2.(2019内蒙古呼和浩特,24,9分)如图,以Rt△ABC的直角边AB为直径的☉O交斜边AC于点D,过点D作☉ O的切线与BC交于点E,弦DM与AB垂直,垂足为H.(1)求证:E为BC的中点;(2)若☉O的面积为12π,△AHD和△BMH的外接圆面积之比为3,求△DEC的内切圆面积S1和四边形 OBED的外接圆面积S2的比.
解析 (1)证明:连接OE, ∵在△ODE和△OBE中, ∴△ODE≌△OBE,∴∠DOE=∠BOE= ∠DOB,
又∵∠DAB= ∠DOB,∴∠DAB=∠BOE,∴OE∥AC,又∵O是AB的中点,∴E为BC的中点.(2)∵△AHD与△MHB都是直角三角形,且∠DAH=∠HMB,∴△AHD∽△MHB,∴其外接圆面积的比= =3,∴ = ,易得△AHD∽△MHB,∴ = = ,又∵DH=HM,∴ = ,∴∠BMH=30°=∠DAH,∴∠C=60°,又易知☉O的半径为2 ,∴AB=4 ,在Rt△ABC中,可求得BC=4,AC=8,
连接BD,由题意知△BDC是直角三角形,由(1)知E是斜边BC的中点,而∠C=60°,∴△CDE是等边三角形,且边长为2,∴△CDE的内切圆的半径r1= ,又四边形ODEB的外接圆直径为OE,OE= AC=4,∴四边形ODEB的外接圆的半径r2=2,∴ = .
1.(2020广东,17,4分)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠, 等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图,∠ ABC=90°,点M,N分别在射线BA,BC上,MN的长度始终保持不变,MN=4,E为MN的中点,点D到BA,BC的距 离分别为4和2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为 .
解题关键 确定猫与老鼠的距离DE的最小值需判断点E的运动轨迹,利用直角三角形斜边的中线等于 斜边的一半确定点E在以点B为圆心, MN的长为半径的圆弧上是解题的关键.
2.(2019河北,25,10分)如图1和图2,▱ABCD中,AB=3,BC=15,tan∠DAB= .点P为AB延长线上一点,过点A作☉O切CP于点P,设BP=x.(1)如图1,x为何值时,圆心O落在AP上?若此时☉O交AD于点E,直接指出PE与BC的位置关系;(2)当x=4时,如图2,☉O与AC交于点Q,求∠CAP的度数,并通过计算比较弦AP与劣弧 长度的大小;(3)当☉O与线段AD只有一个公共点时,直接写出x的取值范围. 图1 图2
解析 (1)∵☉O切CP于点P,∴OP⊥PC,即∠CPB=90°.由四边形ABCD是平行四边形得AD∥BC,∴tan∠CBP=tan∠DAB= ,设PC=4k,BP=3k,则BC= =5k,∴5k=15,即k=3.∴PC=12,BP=9.∴x=9. (2分)PE与BC垂直. (3分)
(2)如图,连接OP,OQ,作CK⊥AB于点K,OH⊥AP于点H,同(1)得CK=12,BK=9.∵AK=AB+BK=12,∴CK=AK.
∴∠CAP=∠ACK=45°. (4分)∵BP=4,∴AP=7,∴HP= AP= .又∵PK=BK-BP=5,∴PC=13.∵∠HOP=90°-∠OPH=∠CPK,∴Rt△HOP∽Rt△KPC.∴ = ,即 = ,∴OP= . (6分)∵∠POQ=2∠PAQ=90°,∴l = . (8分)∵ <7,∴AP>l . (9分)(3)x≥18. (10分)详解:由(1)和(2)可知,满足(3)的点O在AP下方.如图,
当☉O与AD切于点A时,两者只有一个公共点A,则∠OAD=∠OPC=90°.由OA=OP得∠OAP=∠OPA,∴∠ DAP=∠CBP=∠CPA,∴BC=PC.作CK⊥AP于K,则BK=PK.由(1)知,BP=2BK=18,即x=18.当x>18时,趋势上点O越来越向右下,与线段AD只有一个公共点A,符合题意.∴x的取值范围是x≥18.
1.(2019福建,9,4分)如图,PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,点C在☉O上,且∠ACB=55°,则∠APB等于 ( ) A.55° B.70° C.110° D.125°
答案 B 连接OA,OB.∵PA,PB是☉O的两条切线,∴OA⊥AP,OB⊥PB.∴∠OAP=∠OBP=90°.∵∠AOB=2∠ACB=2×55°=110°,∴∠APB=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=360°-90°-90°-110°=70°.故选B.
2.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与☉O相切于点D,E.若点D是AB的中点,则∠DOE= °.
3.(2020内蒙古呼和浩特,16,3分)已知AB为☉O的直径且长为2r,C为☉O上异于A,B的点,若AD与过点C的 ☉O的切线互相垂直,垂足为D.①若等腰三角形AOC的顶角为120度,则CD= r;②若△AOC为正三角形,则CD= r;③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D,则CD=r;④无论点C在何处,将△ADC沿AC折叠,点D一定落在直径AB上,其中正确结论的序号为 .
解析 ∵∠AOC=120°,AO=OC,∴∠OCA= ×(180°-120°)=30°,∵CD为☉O的切线,∴∠DCO=90°,∴∠DCA=∠DCO-∠OCA=60°,∴CA=2CD.在Rt△ACB中,∠CAB=30°,∠ACB=90°,∴CA= AB,∴CD= AB= r,故①错.∵△AOC为正三角形,∴∠ACO=60°,∴∠ACD=∠DCO-∠ACO=30°,
∴CD= CA= AO= r,故②对.当△AOC的对称轴经过点D时,AD=CD,∴四边形ADCO为正方形,∴CD=CO=r,故③对.∵∠ADC=∠DCO=90°,∴AD∥CO,∴∠DAC=∠ACO,∵∠CAO=∠ACO,∴∠DAC=∠CAO,∴将△ADC沿AC折叠,点D一定落在AB上,故④对.故答案为②③④.
方法指导 解决动态几何问题时,要学会化动为静,在有关圆的问题中,要精准把握圆的性质,寻找圆中的 等量关系,要注意利用数形结合的思想来解决问题.
4.(2020四川成都,20,10分)如图,在△ABC的边BC上取一点O,以O为圆心,OC为半径画☉O,☉O与边AB相 切于点D,AC=AD,连接OA交☉O于点E,连接CE,并延长交线段AB于点F.(1)求证:AC是☉O的切线;(2)若AB=10,tan B= ,求☉O的半径;(3)若F是AB的中点,试探究BD+CE与AF的数量关系并说明理由.
解析 (1)证明:连接OD,∵☉O与边AB相切于D,∴∠ADO=90°,∵OC=OD,AC=AD,AO=AO,∴△ACO≌△ADO(SSS),∴∠ACO=∠ADO=90°,∴OC⊥AC,又∵C为☉O上一点,∴AC是☉O的切线.(2)∵AB=10,tan B= ,∠BCA=90°,∴AC=8,BC=6,∴sin B= = ,设CO=r,则DO=r,∵∠ODB=90°,sin B= ,∴OB= = r,∴BC=OB+CO= r+r=6,∴r= .即☉O的半径为 .
(3)BD+CE=AF.证明:连接ED,由(1)得∠CAE=∠DAE,又∵AC=AD,AE=AE,∴△ACE≌△ADE,∴CE=DE.∵F为AB的中点,∠ACB=90°,∴AF=CF=BF.∴∠CAF=∠ACF,∴∠CFD=∠CAF+∠ACF=2∠ACF.∵∠ACB=90°,∴∠BCF=90°-∠ACF.∵OC=OE,∴∠BCF=∠OEC=90°-∠ACF.∵△ACE≌△ADE,∴∠AEC=∠AED,∴∠OEC=∠OED=90°-∠ACF,∴∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-(90°-∠ACF)-(90°-∠ACF)
=2∠ACF,∴∠CFD=∠DEF,∴DE=DF,∴BD+CE=BD+DF=BF,∴BD+CE=AF.
5.(2020新疆,22,11分)如图,在☉O中,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,P是 的中点,过点P作AC的垂线,交AC的延长线于点D.(1)求证:DP是☉O的切线;(2)若AC=5,sin∠APC= ,求AP的长.
解析 (1)证明:连接OP.∵P是 的中点,∴ = ,∴∠DAP=∠BAP,又∵OA=OP,∴∠BAP=∠APO,∴∠DAP=∠APO,∴OP∥AD,∴∠D+∠OPD=180°,又∵PD⊥AD,∴∠D=90°,∴∠OPD=90°,又OP为☉O的半径,∴DP是☉O的切线.
(2)连接PB,过点P作PH⊥AB,垂足为点H,过点C作CG⊥AP,垂足为点G.在△CGP中,sin∠APC= = ,∴设CG=5x,则CP=13x,∵∠DAP=∠PAB,PD⊥AD,PH⊥AB,∴PH=PD,∠D=∠PHB=90°,∵P是 的中点,∴CP=BP,
在Rt△PDC和Rt△PHB中, ∴Rt△PDC≌Rt△PHB(HL),∴∠DPC=∠HPB,∵AC=5,CG=5x,∴sin∠DAP= = =x,∵∠DAP=∠PAB,∴sin∠PAB= = =x,∴AB=13,∴OP= ,∵∠DPO=∠APB=90°,∴∠DPC+∠APC+∠APO=∠BPH+∠OPH+∠APO,又∵∠DPC=∠BPH,∴∠OPH=∠APC,∴sin∠OPH=sin∠APC= ,∴OH= ,PH=6,AH=9,
∴根据勾股定理得,AP= =3 .
6.(2020云南,20,8分)如图,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,AD⊥CE,垂足为D,AC平分∠DAB.(1)求证:CE是☉O的切线;(2)若AD=4,cs∠CAB= ,求AB的长.
解析 (1)证明:连接OC. (1分)∵AC平分∠DAB,∴∠DAC=∠CAB.∵OA、OC是☉O的半径,∴OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴AD∥CO. (2分)∴∠ADC=∠OCE.∵AD⊥CD,∴∠ADC=90°,∴∠OCE=90°. (3分)∴OC⊥CE,∵OC是☉O的半径,∴CE是☉O的切线. (4分)
(2)连接BC. (5分)∵∠DAC=∠CAB,cs∠CAB= ,∴cs∠DAC= . (6分)在Rt△ADC中,∠ADC=90°,AD=4,∴AC= = =5. (7分)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∴AB= = = . (8分)
7.(2020广西北部湾经济区,25,10分)如图,在△ACE中,以AC为直径的☉O交CE于点D,连接AD,且∠DAE= ∠ACE,连接OD并延长交AE的延长线于点P,PB与☉O相切于点B.(1)求证:AP是☉O的切线;(2)连接AB交OP于点F,求证:△FAD∽△DAE;(3)若tan∠OAF= ,求 的值.
解析 (1)证明:∵AC为直径,∴∠ADC=90°,∴∠ACE+∠CAD=90°,又∠DAE=∠ACE,∴∠DAE+∠DAC=90°,∴OA⊥AP,∴AP为圆O的切线.(2)证明:连接OB, ∵PA,PB为圆O的切线,∴PA=PB,又OB=OA,OP=OP,
∴△OBP≌△OAP(SSS),∴∠BOD=∠DOA,∴ = ,∴∠FAD=∠ACE,在△AOB中,∠AOF=∠BOF,OA=OB,∴OF⊥AB,∴∠AFD=∠ADE=90°,又∵∠ACE=∠DAE,∴∠FAD=∠DAE,∴△FAD∽△DAE.(3)在Rt△OFA中,tan∠OAF= ,设OF=x,则AF=2x,OA= x,DF=OD-OF=OA-OF=( -1)x,易知∠APO=∠OAF,∴AP=2OA=2 x,由(2)知∠FAD=∠ACE,∴tan∠ACE=tan∠FAD,
即 = = ,又AC=2OA=2 x,∴AE=(5- )x,∴ = = .
8.(2020湖北武汉,21,8分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的☉O交AC于点D,AE与过点D的 切线互相垂直,垂足为E.(1)求证:AD平分∠BAE;(2)若CD=DE,求sin∠BAC的值.
解析 (1)证明:如图1,连接OD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵DE是☉O的切线,∴OD⊥DE.∵AE⊥DE,∴∠AED+∠EDO=180°,∴AE∥OD,∴∠EAD=∠ODA,∴∠EAD=∠OAD,∴AD平分∠EAB.(2)解法一:如图1,连接BD.设CD=a,BC=b. 图1∵AB为☉O的直径,AE⊥DE,∴∠BDC=∠E=90°.
∵∠ABC=90°,AD平分∠EAB,∴∠CBD=∠BAD=∠DAE.又∵CD=DE,∴△CDB≌△DEA,∴AD=BC=b.∵∠CDB=∠CBA=90°,∠C=∠C,∴△CDB∽△CBA,∴CB2=CD·CA,即b2=a(a+b).∴ + -1=0,∴ = 或 (舍去负值).∴sin∠BAC=sin∠CBD= = .解法二:如图1,设CD=DE=a,AD=b.∵AB为☉O的直径,AE⊥DE,∴∠CDB=∠CBA=∠E=90°.∵∠ABC=90°,AD平分∠EAB,∴∠CBD=∠BAD=∠DAE.
∴△CDB∽△CBA∽△DEA.∴BC2=CD·CA=a2+ab.由△CBA∽△DEA,得 = ,∴ = ,即 = .解得 = 或 (舍去负值).∴sin∠BAC=sin∠EAD= = .(注:如图2,过点D作DF⊥AB于点F,连接BD,则DF=DE=DC.可以由△ADF∽△ACB,△CDB∽△CBA或△ CDB≌△DEA,其中,两个组合列方程求解.)
思路分析 (1)连接OD,由ED是☉O的切线和AE⊥ED可推AE∥OD,由OA=OD可证∠EAD=∠OAD,问题 解决;(2)思路一:连接BD,设CD=a,BC=b,由AB是直径可推∠ADB=∠BDC=90°,再由∠ABC=90°,AD平分 ∠EAB,CD=DE证明△CDB≌△DEA,进一步证明△CDB∽△CBA,由此列方程求出 = 的值,问题解决;思路二:设CD=DE=a,AD=b,由AB是直径可推出∠ADB=∠BDC=90°,再由∠ABC=90°,AD平分∠EAB, 可证△CDB∽△CBA∽△DEA,得到BC2=CD·CA和 = ,由此列方程求出 = 的值,问题解决.
9.(2020四川南充,22,10分)如图,点A,B,C是半径为2的☉O上三个点,AB为直径,∠BAC的平分线交圆于点 D,过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E,延长ED交AB的延长线于点F.(1)判断直线EF与☉O的位置关系,并证明;(2)若DF=4 ,求tan∠EAD的值.
解析 (1)直线EF与☉O相切. (1分)理由如下:连接OD. (2分)∵AD平分∠BAC,∴∠EAD=∠OAD.∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD=∠EAD, (3分)∴OD∥AE. (4分)由AE⊥EF,得OD⊥EF.又∵点D在☉O上,∴EF是☉O的切线. (5分)
(2)在Rt△ODF中,∵OD=2,DF=4 ,∴由勾股定理得OF=6. (6分)∵OD∥AE,∴ = = , (7分)即 = = ,得AE= ,ED= . (9分)∴在Rt△AED中,tan∠EAD= = . (10分)
10.(2020云南昆明,20,8分)如图,点P是☉O的直径AB延长线上的一点(PB
∵EC=EP,∴∠ECP=∠P,∵点E是线段OP的中点,∴EO=EP,∴EO=EC,∴∠EOC=∠ECO, (3分)
在△OPC中,∠POC+∠PCO+∠P=180°,即∠EOC+∠ECO+∠ECP+∠P=180°,∴2∠ECO+2∠ECP=180°,∴∠ECO+∠ECP=90°,∴OC⊥PC, (4分)∵OC是☉O的半径,∴PC是☉O的切线. (5分)证法二:连接OC,
∴点O,C,P三点在以点E为圆心,EO为半径的圆上, (3分)∴OP是☉E的直径,∴∠OCP=90°,即OC⊥PC, (4分)∵OC是☉O的半径,∴PC是☉O的切线. (5分)(2)∵BP=4,EB=1,∴EO=EP=BP+EB=5,∴OP=2EO=10,OC=OB=EO+EB=6, 在Rt△OPC中,∠OCP=90°,由勾股定理得:PC= = =8. (8分)(其他解法参照此标准给分)
∵点E是线段OP的中点,∴OE=PE, ∵CE=PE,∴OE=CE=PE,
11.(2020贵州贵阳,23,10分)如图,AB为☉O的直径,四边形ABCD内接于☉O,对角线AC,BD交于点E,☉O的 切线AF交BD的延长线于点F,切点为A,且∠CAD=∠ABD.(1)求证:AD=CD;(2)若AB=4,BF=5,求sin∠BDC的值.
解析 (1)证明:在☉O中,∵∠ABD与∠ACD都是 所对的圆周角,∴∠ABD=∠ACD.∵∠CAD=∠ABD,∴∠ACD=∠CAD.∴AD=CD.(2)∵AF是☉O的切线,AB是☉O的直径,∴∠FAB=∠ACB=∠ADB=∠ADF=90°.∵∠FAD+∠BAD=90°,∠ABD+∠BAD=90°,∴∠FAD=∠ABD.又∵∠ABD=∠CAD,∴∠CAD=∠FAD.∵AD=AD,∴△ADE≌△ADF(ASA),∴AE=AF,ED=FD.在Rt△BAF中,∵AB=4,BF=5,∴AF=3,即AE=3.∵ AB·AF= BF·AD,∴AD= .在Rt△ADF中,FD= = ,
∴BE=5- ×2= .∵∠BEC=∠AED,且∠ECB=∠EDA,∴△BEC∽△AED,∴ = ,∴BC= .∵∠BDC与∠BAC都是 所对的圆周角,∴∠BDC=∠BAC.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∴sin∠BAC= = ,即sin∠BDC= .
思路分析 (1)由圆周角定理的推论得∠ABD=∠ACD,进而得∠ACD=∠CAD,所以AD=CD.(2)证明△ADE≌△ADF,得AE=AF,DE=DF,由AF的长和△ABF的面积求得AD的长,进而求得DF,BE的长, 继而证明△BEC∽△AED,得BC的长,求得sin∠BAC即可.
12.(2020内蒙古包头,24,10分)如图,AB是☉O的直径,半径OC⊥AB,垂足为O,直线l为☉O的切线,A是切点, D是OA上一点,CD的延长线交直线l于点E,F是OB上一点,CF的延长线交☉O于点G,连接AC,AG,已知☉O 的半径为3,CE= ,5BF-5AD=4.(1)求AE的长;(2)求cs∠CAG的值及CG的长.
解析 (1)过点C作CH⊥l于点H,∴∠AHC=90°. ∵直线l为☉O的切线,A是切点,OC⊥AB,∴∠AOC=∠OAH=90°,∴四边形AOCH是矩形.∵OA=OC,∴四边形AOCH是正方形,∴AH=CH=OC=3.在Rt△EHC中,∵EH2+HC2=CE2,CE= ,∴EH=5,∴AE=EH-AH=2. (3分)(2)∵OC⊥AB,∴∠AOC=∠BOC=90°,∴∠AGC=∠CAB=45°,
∵∠GCA=∠ACF,∴△GCA∽△ACF,∴∠CAG=∠CFA.在Rt△EAD和Rt△EHC中,∵tan∠AED=tan∠HEC,∴ = ,∴AD=2× = .∵5BF-5AD=4,∴BF=2,∵OB=3,∴FO=1.在Rt△COF中,CF= = ,∴cs∠CAG=cs∠CFA= . (8分)∵△GCA∽△ACF,∴ = .在Rt△AOC中,AC= =3 ,∴CG= . (10分)
思路分析 (1)过点C作直线l的垂线,垂足为H,通过∠AOC=∠OAH=∠CHA=90°,OA=OC,判断出四边形 OAHC是正方形,从而得到CH=AH=3.再根据勾股定理,在Rt△CEH中求出EH=5,最后得到AE的长.(2)通过同弧所对的圆周角是圆心角的一半,得到∠AGC=∠CAB=45°,再通过∠GCA=∠ACF,证得△GCA ∽△ACF,将∠CAG转化为∠CFA.通过(1)中线段的长度和tan∠AED=tan∠HEC,求出AD= ,再根据5BF-5AD=4,求出BF=2,OF=1.根据勾股定理,在Rt△COF中,得到CF= ,求出cs∠CAG= .由△GCA∽△ACF,根据相似比和AC=3 ,得到CG= .
13.(2020黑龙江齐齐哈尔,20,8分)如图,AB为☉O的直径,C、D为☉O上的两个点, = = ,连接AD,过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证:DE是☉O的切线;(2)若直径AB=6,求AD的长.
解析 (1)证明:连接OD.∵ = = ,∠AOB=180°,∴∠BOD= ×180°=60°.∵ = ,∴∠EAD=∠DAB= ∠BOD=30°,∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAB=30°.∵DE⊥AC于E,∴∠E=90°,∴∠EAD+∠EDA=90°,∴∠EDA=60°,∴∠EDO=∠EDA+∠ADO=90°.∴OD⊥DE.∴DE是☉O的切线.(2)连接BD.
∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵∠DAB=30°,AB=6,∴BD= AB=3.∴AD= =3 .
14.(2020天津,21,10分)在☉O中,弦CD与直径AB相交于点P,∠ABC=63°.(1)如图①,若∠APC=100°,求∠BAD和∠CDB的大小;(2)如图②,若CD⊥AB,过点D作☉O的切线,与AB的延长线相交于点E,求∠E的大小.
解析 (1)∵∠APC是△PBC的一个外角,∠ABC=63°,∠APC=100°,∴∠C=∠APC-∠PBC=37°.∵在☉O中,∠BAD=∠C,∴∠BAD=37°.∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵在☉O中,∠ADC=∠ABC=63°,∠CDB=∠ADB-∠ADC,∴∠CDB=27°.(2)如图,连接OD, ∵CD⊥AB,∴∠CPB=90°,
∴∠PCB=90°-∠PBC=27°.∵在☉O中,∠BOD=2∠BCD,∴∠BOD=54°.∵DE是☉O的切线,∴OD⊥DE,即∠ODE=90°.∴∠E=90°-∠EOD.∴∠E=36°.
解题关键 (1)应用同圆中同弧所对的圆周角相等,得出∠BAD=∠C,∠ADC=∠ABC是解题的关键;(2)应 用同圆中同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得出∠BOD=2∠BCD,根据切线垂直于过切点的半径作出辅 助线是解题的关键.
15.(2019贵州贵阳,23,10分)如图,已知AB是☉O的直径,点P是☉O上一点,连接OP,点A关于OP的对称点C 恰好落在☉O上.(1)求证:OP∥BC;(2)过点C作☉O的切线CD,交AP的延长线于点D,如果∠D=90°,DP=1,求☉O的直径.
解析 (1)证明:∵点A关于OP的对称点C恰好落在☉O上,∴ = ,∴∠AOP=∠POC,∴∠AOP= ∠AOC,又∵∠ABC= ∠AOC,∴∠AOP=∠ABC,∴OP∥BC.(2)连接PC,
∴∠OCD=90°,又∵∠D=90°,∴AD∥OC,∴∠POC=∠APO.由(1)知∠AOP=∠POC,∴∠APO=∠AOP, 又∵AO=OP,∴△AOP是等边三角形.∵点A,点C关于OP对称,∴△POC是等边三角形,∴∠OCP=60°,∴∠DCP=30°.∵DP=1,∠D=90°,∴PC=2PD=2,∴AB=2PC=4,即☉O的直径为4.
∵CD是☉O的切线,
16.(2019北京,22,6分)在平面内,给定不在同一条直线上的点A,B,C,如图所示.点O到点A,B,C的距离均等 于a(a为常数),到点O的距离等于a的所有点组成图形G,∠ABC的平分线交图形G于点D,连接AD,CD.(1)求证:AD=CD;(2)过点D作DE⊥BA,垂足为E,作DF⊥BC,垂足为F,延长DF交图形G于点M,连接CM.若AD=CM,求直线 DE与图形G的公共点个数.
解析 (1)证明:由题意,可知图形G是以O为圆心,a为半径的圆,点A,B,C,D在☉O上.
连接OA,OC,OD,如图.∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠CBD.∵∠ABD= ∠AOD,∠CBD= ∠COD,∴∠AOD=∠COD.∴AD=CD.
(2)∵AD=CD,AD=CM,∴CD=CM.∴∠CDM=∠CMD.∵∠CMD=∠CBD,∴∠CDM=∠CBD.∵DM⊥BC,∴∠DCB+∠CDM=90°,∴∠DCB+∠CBD=90°.∴∠BDC=90°.∴BC为☉O的直径.∴点O在BC上.∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.∴∠ABD=∠ODB.
∴AB∥OD.∵DE⊥BE,∴OD⊥DE, ∴DE为☉O的切线.∴DE与☉O只有一个公共点,即直线DE与图形G的公共点个数为1.
17.(2019四川成都,20,10分)如图,AB为☉O的直径,C,D为圆上的两点,OC∥BD,弦AD,BC相交于点E.(1)求证: = ;(2)若CE=1,EB=3,求☉O的半径;(3)在(2)的条件下,过点C作☉O的切线,交BA的延长线于点P,过点P作PQ∥CB交☉O于F,Q两点(点F在线 段PQ上),求PQ的长.
解析 (1)证明:连接OD.∵OC∥BD,∴∠OCB=∠DBC,∵OB=OC,∴∠OCB=∠OBC,∴∠OBC=∠DBC,∴∠AOC=∠COD,∴ = .(2)连接AC.∵ = ,∴∠CBA=∠CAD.又∵∠BCA=∠ACE,∴△CBA∽△CAE.∴ = .∴CA2=CE·CB=CE·(CE+EB)=1×(1+3)=4.∴CA=2.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.在Rt△ACB中,由勾股定理,得AB= = =2 .
∴☉O的半径为 . (3)如图,设AD与CO相交于点N,
∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,∵OC∥BD,∴∠ANO=∠ADB=90°.∵PC为☉O的切线,∴∠PCO=90°.∴∠ANO=∠PCO.∴PC∥AE.
∴ = = .∴PA= AB= ×2 = .∴PO=PA+AO= + = .过点O作OH⊥PQ于点H,则∠OHP=90°=∠ACB.∵PQ∥CB,∴∠BPQ=∠ABC.∴△OHP∽△ACB.∴ = = .
∴PQ=PH+HQ= .
∴OH= = = ,PH= = = .连接OQ.在Rt△OHQ中,由勾股定理,得HQ= = = .
18.(2019天津,21,10分)已知PA,PB分别与☉O相切于点A,B,∠APB=80°,C为☉O上一点.(1)如图①,求∠ACB的大小;(2)如图②,AE为☉O的直径,AE与BC相交于点D,若AB=AD,求∠EAC的大小.
解析 (1)如图,连接OA,OB,∵PA,PB是☉O的切线,∴OA⊥PA,OB⊥PB,即∠OAP=∠OBP=90°,∵∠APB=80°,∴在四边形OAPB中,∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠APB=100°,∵在☉O中,∠ACB= ∠AOB,∴∠ACB=50°. (2)如图,连接CE,
∵AE为☉O的直径,∴∠ACE=90°,由(1)知,∠ACB=50°,∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=40°,∴∠BAE=∠BCE=40°,∵在△ABD中,AB=AD,∴∠ADB=∠ABD= (180°-∠BAE)=70°,又∠ADB是△ADC的一个外角,有∠EAC=∠ADB-∠ACB,∴∠EAC=20°.
19.(2019湖北黄冈,23,8分)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的☉O交AB于点D.过点D作☉O的 切线交BC于点E,连接OE.(1)求证:△DBE是等腰三角形;(2)求证:△COE∽△CAB.
证明 (1)连接OD.∵DE是☉O的切线,∴∠ODE=90°,∴∠ADO+∠BDE=90°,又∵∠ACB=90°,∴∠OAD+∠B=90°,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ADO,∴∠BDE=∠B,∴EB=ED,∴△DBE是等腰三角形.(2)∵∠ACB=90°,AC是☉O的直径,∴CB是☉O的切线,又∵DE是☉O的切线,∴DE=EC.∵DE=EB,∴EC=EB.又∵OA=OC,∴OE∥AB.∴△COE∽△CAB.
20.(2018四川成都,20,10分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过 点A,D的☉O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G.(1)求证:BC是☉O的切线;(2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长;(3)若BE=8,sin B= ,求DG的长.
解析 (1)证明:如图,连接OD.∵AD为∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠CAD,∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD,∴∠ODA=∠CAD,∴OD∥AC.又∵∠C=90°,∴∠ODC=90°,∴OD⊥BC,∴BC是☉O的切线.(2)连接DF.由(1)可知,BC为☉O的切线.易得∠FDC=∠DAF,∴∠CDA=∠CFD,∴∠AFD=∠ADB,又∵∠BAD=∠DAF,∴△ABD∽△ADF,∴ = ,∴AD2=AB·AF,∴AD2=xy,∴AD= .
(3)连接EF.在Rt△BOD中,sin B= = ,设圆的半径为r,∴ = ,∴r=5,∴AE=10,AB=18.∵AE是直径,∴∠AFE=90°,又∠C=90°,∴EF∥BC,∴∠AEF=∠B,∴sin∠AEF= = ,
∴AF= AE= ,∵AF∥OD,∴ = = = ,∴DG= AD,∵AD= = = ,∴DG= × = .
21.(2018陕西,23,8分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB上的中线CD为直径作☉O,分别与AC、 BC相交于点M,N.(1)过点N作☉O的切线NE与AB相交于点E,求证:NE⊥AB;(2)连接MD,求证:MD=NB. 证明 (1)连接ON,则OC=ON.∴∠DCB=∠ONC.∵在Rt△ABC中,D为斜边AB的中点,∴CD=DB,∴∠DCB=∠B,
∴∠ONC=∠B,∴ON∥AB. (2分)∵NE是☉O的切线,∴NE⊥ON,∴NE⊥AB. (4分) (2)连接ND,则∠CND=∠CMD=90°.∵∠ACB=90°,∴四边形CMDN是矩形, (6分)∴MD=CN.由(1)知,CD=BD,
∴CN=NB,∴MD=NB. (8分)
考点三 三角形的内切圆(2018黑龙江大庆,14,3分)在△ABC中,∠C=90°,AB=10,且AC=6,则这个三角形的内切圆半径为 .
A组 2018—2020年模拟·基础题组时间:45分钟 分值:55分一、选择题(每小题3分,共12分)
1.(2020湖北荆州松滋一模,8)如图,☉O与正五边形ABCDE的边AB,DE分别相切于点B,D,则劣弧BD所对 的圆心角∠BOD的大小为 ( ) A.108° B.118° C.144° D.120°
答案 C ∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠E=∠A=180°- =108°.∵AB、DE分别与☉O相切,∴∠OBA=∠ODE=90°,∴∠BOD=(5-2)×180°-90°-108°-108°-90°=144°,故选C.
2.(2019湖北仙桃模拟,8)如图,过☉O上一点C作☉O的切线,交直径AB的延长线于点D,若∠A=25°,则∠D 的度数为 ( ) A.25° B.30° C.40° D.50°
答案 C 连接OC. ∵OA=OC,∴∠A=∠OCA=25°.∴∠DOC=∠A+∠ACO=50°.∵CD是☉O的切线,OC为半径,∴∠OCD=90°.∴∠D=90°-∠DOC=40°.故选C.
3.(2019辽宁鞍山铁西三模,4)如图,直线AB是☉O的切线,C为切点,OD∥AB交☉O于点D,点E在☉O上,连 接OC,EC,ED,则∠CED的度数为 ( ) A.30° B.35° C.40° D.45°
答案 D ∵直线AB是☉O的切线,C为切点,∴∠OCB=90°,∵OD∥AB,∴∠COD=90°,∴∠CED= ∠COD=45°,故选D.
4.(2018四川内江资中一模,2)已知☉O的半径为4 cm,如果圆心O到直线l的距离为3.5 cm,那么直线l与☉ O的位置关系是( )A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
答案 A ∵☉O的半径为4 cm,圆心O到直线l的距离为3.5 cm,且3.5<4,∴直线l与☉O的位置关系是相交,故选A.
二、填空题(每小题3分,共12分)5.(2020海南琼海一模,14)如图,PA切☉O于点A,PC过点O且与☉O交于B,C两点,若PA=6 cm,PB=2 cm,则△PAC的面积是 cm2.
∴OP=4 cm,∴∠P=30°,∴AD= AP=3 cm,∴S△PAC= PC·AD= ×6 ×3=9 (cm2).即△PAC的面积为9 cm2.
6.(2020湖北荆州松滋一模,13)如图,△ABC的内切圆☉O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=5,AC=1 2,BC=13,则☉O的半径是 .
∵BD+DC=BC=13,∴5-r+12-r=13,解得r=2.∴☉O的半径是2.
7.(2019云南曲靖一模,10)如图,已知点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BOC=124°,则∠A= .
解析 ∵点O是△ABC的内心,∴∠ABC=2∠OBC,∠ACB=2∠OCB.∵∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC=56°,∴∠ABC+∠ACB=2(∠OBC+∠OCB)=112°,∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=68°.
8.(2018四川宜宾一模,14)如图,已知☉O是以坐标原点O为圆心,1为半径的圆,∠AOB=45°,点P在x轴上运 动,若过点P且与OA平行的直线与☉O有公共点,设OP=x,则x的取值范围是 .
三、解答题(共31分)
9.(2020甘肃兰州一诊,24)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的☉O与BC相交于点D,过点D作☉O的 切线,与AB相交于点E.(1)求证:DE⊥AB;(2)若BE=2,BC=6,求☉O的直径.
解析 (1)证明:连接AD,OD,∵AC是☉O的直径,∴AD⊥BC.∵AB=AC,∴BD=CD.又∵AO=CO,∴OD∥AB,又∵DE⊥OD,∴DE⊥AB.(2)∵DE⊥AB,AD⊥BC,∴∠BED=∠ADC=90°.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴△BED∽△CDA,∴ = .∵BC=6,BD=CD,∴BD=CD=3,∴ = ,∴AC= ,∴☉O的直径为 .
10.(2020江西南昌二模,19)如图,已知AB为半圆O的直径,过点B作PB⊥OB,连接AP交半圆O于点C,D为BP 上一点,CD是半圆O的切线.(1)求证:CD=DP;(2)已知半圆O的直径为 ,PC=1,求CD的长.
解析 (1)证明:如图,连接OC.∵CD是半圆O的切线,∴OC⊥CD,∴∠OCA+∠DCP=90°.∵PB⊥AB,∴∠ABP=90°,∴∠BAP+∠P=90°.∵OA=OC,∴∠BAP=∠OCA,∴∠DCP=∠P,∴CD=DP. (2)如图,连接BC.∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=90°,又AB⊥BP,∴∠ACB=∠ABP,
又∵∠BAP=∠BAP,∴△ABC∽△APB,∴ = ,∴AC·AP=AB2.∵AB= ,PC=1,AP=AC+PC,∴AC·(AC+1)=( )2,解得AC=-3(舍去)或AC=2,∴AP=3.在Rt△ABP中,BP= = = .由(1)得∠OCD=∠ABP=90°.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠DBC=∠DCB,∴BD=CD,又∵CD=PD,∴BD=CD=DP,∴CD= BP= .
11.(2019云南昆明西山一模,22)如图,以AB为直径作☉O,过点A作☉O的切线AC,连接BC,交☉O于点D,点 E是BC的中点,连接AE.(1)求证:∠AEB=2∠C;(2)若AB=6,cs B= ,求DE的长.
解析 (1)证明:∵AC是☉O的切线,AB为☉O的直径,∴∠BAC=90°.∵点E是BC的中点,∴AE=EC.∴∠C=∠EAC.∵∠AEB=∠C+∠EAC,∴∠AEB=2∠C.(2)连接AD.∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵AB=6,cs B= ,∴BD=AB·cs B= .在Rt△ABC中,AB=6,cs B= ,∴BC= =10.∵点E是BC边的中点,∴BE=5.∴DE=BE-BD= .
1.(2020江苏无锡锡北一模,8)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,若直线PA与☉O相切于点A,则∠PAB= ( ) A.30° B.35° C.45° D.60°
B组 2018—2020年模拟·提升题组时间:45分钟 分值:50分一、选择题(每小题3分,共9分)
答案 A 连接OB,AD,BD,∵多边形ABCDEF是正六边形,∴AD为外接圆的直径,∠AOB= =60°,∵OB=OD,∴∠ODB=∠OBD,又∵∠AOB=∠ODB+∠OBD,∴∠ADB= ∠AOB= ×60°=30°.∵直线PA与☉O相切于点A,∴∠PAB=∠ADB=30°,故选A.
2.(2018吉林长春德惠一模,7)AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,PO交☉O于点C,连接BC,若∠P=40°,则∠ B等于 ( ) A.20° B.25° C.30° D.40°
3.(2018湖北武汉武昌一模,9)若一直角三角形的斜边长为c,内切圆半径为r,则内切圆的面积与三角形面 积之比是 ( )A. B. C. D.
二、填空题(每小题3分,共9分)4.(2020辽宁鞍山铁东一模,15)如图,PA、PB切☉O于A、B两点,连接OP交弦AB于点C,交劣弧AB于点D, ∠APB=70°,点Q为优弧AMB上一点,OQ∥PB,则∠OQA的大小为 .
5.(2020广东广州一模,14)如图是用一把直尺、含60°角的直角三角板和光盘摆放而成的,点A为60°角的 顶点,点B为光盘与直尺的唯一交点,三角板的斜边与光盘相切,若AB=3,则光盘的直径是 .
6.(2019陕西宝鸡陈仓一模,14)如图,☉O的半径为2,点O到直线l的距离为3,点P是直线l上的一个动点,PB 切☉O于点B,则PB的最小值是 .
三、解答题(共32分)7.(2020陕西西安高新一中一模,23)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB的中点,以CD为直径作☉O, ☉O分别与AC,BC交于点E,F,过点F作☉O的切线FG,交AB于点G.(1)求证:FG⊥AB;(2)若AC=6,BC=8,求FG的长.
解析 (1)证明:连接OF,DF. ∵CD是☉O的直径,∴CF⊥DF.∵∠ACB=90°,D为AB的中点,∴CD=AD=BD,∴CF=BF.又∵OC=OD,∴OF∥AB,∴∠OFC=∠B.∵FG是☉O的切线,OF为☉O的半径,∴∠OFG=90°,∴∠OFC+∠BFG=90°,∴∠BFG+∠B=90°,
∴∠FGB=90°,∴FG⊥AB.(2)在Rt△ABC中,根据勾股定理得AB=10.∵点D是AB的中点,∴CD=BD= AB=5.由(1)知∠CFD=90°,BF=CF= BC=4,∴DF= =3.∵S△BDF= DF·BF= BD·FG,∴FG= = .
8.(2020湖北黄石模拟,24)如图,☉O是△ABC的外接圆,AB是直径,D是AC的中点,直线OD与☉O相交于E, F两点,P是☉O外一点,P在直线OD上,连接PA,PC,AF,且满足∠PCA=∠ABC.(1)求证:PA是☉O的切线;(2)证明:EF2=4OD·OP;(3)若BC=8,tan∠AFP= ,求DE的长.
解析 (1)证明:∵D是弦AC的中点,∴OD⊥AC,∴PD垂直平分AC,∴PA=PC,∴∠PAC=∠PCA.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠CAB+∠CBA=90°.又∵∠PCA=∠ABC,∴∠PCA+∠CAB=90°,∴∠CAB+∠PAC=90°,即∠PAB=90°,∴AB⊥PA,又AB是☉O的直径,∴PA是☉O的切线.(2)证明:由(1)知∠ODA=∠OAP=90°,又∵∠AOD=∠POA,∴Rt△AOD∽Rt△POA,∴ = ,∴OA2=OP·OD.又OA= EF,∴ EF2=OP·OD,即EF2=4OP·OD.(3)∵tan∠AFP= ,∴在Rt△ADF中,设AD=2a(a>0),则DF=3a.
易知OD= BC=4,则AO=OF=DF-OD=3a-4.∵OD2+AD2=AO2,∴42+4a2=(3a-4)2,解得a= 或a=0(舍去),∴DE=OE-OD=3a-8= .
9.(2019四川南充二诊,22)如图,AB是☉O的直径,CH⊥AB于H,AC与☉O交于D,BD与CH交于E.点F在CH 上,DF=CF.(1)求证:DF是☉O的切线;(2)若AB=10,sin A= ,AD=DE,求CD的长.
解析 (1)证明:连接OD,∵OD=OB,∴∠B=∠ODB.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵CH⊥AB,∴∠A+∠C=90°,又∠B+∠A=90°,∴∠B=∠C.∵DF=CF,∴∠C=∠CDF,∴∠ODB=∠CDF.∵∠CDF+∠BDF=90°,∴∠ODB+∠BDF=90°,∴∠ODF=90°,又OD为☉O的半径,∴DF是☉O的切线.
(2)∵AB=10,sin A= ,∴BD=AB·sin A=8.∵∠ADB=∠CDE=90°,∠B=∠C,AD=DE,∴△ABD≌△ECD(AAS),∴CD=BD=8.
10.(2019重庆模拟,24)如图,四边形ABCD的顶点在☉O上,BD是☉O的直径,延长CD、BA交于点E,连接 AC交BD于点F,作AH⊥CE,垂足为点H,已知∠ADE=∠ACB.(1)求证:AH是☉O的切线;(2)若OB=4,AC=6,求sin∠ACB的值;(3)若 = ,求证:CD=DH.
解析 (1)证明:连接OA,由圆周角定理的推论得,∠ACB=∠ADB.∵∠ADE=∠ACB,∴∠ADE=∠ADB.∵BD是直径,∴∠DAB=∠DAE=90°.在△DAB和△DAE中, ∴△DAB≌△DAE,∴AB=AE.又∵OB=OD,∴OA∥DE,∵AH⊥DE,∴OA⊥AH,∵OA为☉O的半径,∴AH是☉O的切线.
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