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2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§5.3 与圆有关的计算
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这是一份2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§5.3 与圆有关的计算，共21页。
考点一 弧长、扇形面积的计算
1.(2020宁夏,6,3分)如图,等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC= ,以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D,交AC于点E,交BC于点F,则图中阴影部分的面积是( ) A.1- B. C.2- D.1+
2.(2019山西,10,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2 ,BC=2,以AB的中点O为圆心,OA的长为半径作半圆交AC于点D,则图中阴影部分的面积为 ( ) A. - B. + C.2 -π D.4 -
答案 A 作DE⊥AB于点E,连接OD.在Rt△ABC中,tan∠CAB= = = ,∴∠CAB=30°,∴∠BOD=2∠CAB=60°,在Rt△ODE中,OE= OD= ,DE= OE= ,S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD= ·AB·BC- ·OA·DE- = ×2 ×2- × × - = - .故选A.
3.(2020四川南充,3,4分)如图,四个三角形拼成一个风车图形,若AB=2,当风车转动90°时,点B运动路径的 长度为 ( ) A.π B.2π C.3π D.4π
4.(2018辽宁沈阳,10,2分)如图,正方形ABCD内接于☉O,AB=2 ,则 的长是 ( ) A.π B. π C.2π D. π
5.(2020内蒙古呼和浩特,11,3分)如图,△ABC中,D为BC的中点,以D为圆心,BD长为半径画一条弧,交AC于 点E,若∠A=60°,∠ABC=100°,BC=4,则扇形BDE的面积为 .
6.(2019贵州贵阳,14,4分)如图,用等分圆的方法,在半径为OA的圆中,画出了如图所示的四叶幸运草,若 OA=2,则四叶幸运草的周长是 .
7.(2020江西,21,9分)已知∠MPN的两边分别与☉O相切于点A,B,☉O的半径为r.(1)如图1,点C在点A,B之间的优弧上,∠MPN=80°,求∠ACB的度数;(2)如图2,点C在圆上运动,当PC最大时,要使四边形APBC为菱形,∠APB的度数应为多少?请说明理由;(3)若PC交☉O于点D,求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含r的式子表示).
解析 (1)如图1,连接OA,OB.∵PA,PB为☉O的切线,∴∠PAO=∠PBO=90°.∴∠AOB+∠APB=180°.∵∠APB=80°,∴∠AOB=100°.∴∠ACB=50°.
(2)如图2,当∠APB=60°时,四边形APBC为菱形.连接OA,OB.由(1)可知∠AOB+∠APB=180°.∵∠APB=60°,∴∠AOB=120°.
∴∠ACB=60°=∠APB.当PC经过圆心时,PC最大.∵PA,PB为☉O的切线,∴四边形APBC为轴对称图形.∴PA=PB,CA=CB,PC平分∠APB和∠ACB.∵∠APB=∠ACB=60°,∴∠APO=∠BPO=∠ACP=∠BCP=30°.∴PA=PB=CA=CB.∴四边形APBC为菱形.(3)∵☉O的半径为r,∴OA=r,OP=2r.∴AP= r,PD=r.∵∠AOP=60°,∴l = = r.
∴C阴=PA+PD+l = r.
8.(2019湖北武汉,21,8分)已知AB是☉O的直径,AM和BN是☉O的两条切线,DC与☉O相切于点E,分别交 AM,BN于D,C两点.(1)如图1,求证:AB2=4AD·BC;(2)如图2,连接OE并延长交AM于点F,连接CF.若∠ADE=2∠OFC,AD=1,求图中阴影部分的面积. 图1 图2
解析 解法一:(1)证明:如图,连接OD,OC,OE. ∵AD,BC,CD是☉O的切线,∴OA⊥AD,OB⊥BC,OE⊥CD,AD=ED,BC=EC,∠ODE= ∠ADC,∠OCE= ∠BCD.又AD∥BC,∴∠ODE+∠OCE= (∠ADC+∠BCD)=90°,又∵∠ODE+∠DOE=90°,∴∠DOE=∠OCE,又∵∠OED=∠CEO=90°,
∴△ODE∽△COE,∴ = ,即OE2=ED·EC,∴4OE2=4AD·BC,∴AB2=4AD·BC.(2)如图,连接OD,OC,∵∠ADE=2∠OFC, ∴∠ODE=∠OFC,又∠DEO=∠FEC,∴△ODE∽△CFE,∴ = ,即OE·EF=DE·EC,
由(1)有OE2=DE·EC,∴OE=EF,∴CD垂直平分OF.∴∠AOD=∠DOE=∠OFD=30°,∴∠BOE=120°.易得☉O的半径r=OA= = ,BC=OB·tan 60°=3.∴S阴影=2S△OBC-S扇形OBE=3 -π.解法二:(1)证明:如图,过点D作DH⊥BC,H为垂足, ∵AD,BC,CD是☉O的切线,
∴OA⊥AD,OB⊥BC,AD=ED,BC=EC,∴四边形ABHD是矩形,∴AB=DH,AD=BH.在Rt△CDH中,DH2=CD2-CH2,∴AB2=(AD+BC)2-(BC-AD)2,∴AB2=4AD·BC.(2)如图,连接OD,OC,易得∠ADE=∠BOE,∵∠ADE=2∠OFC,∠BOE=2∠COF,∴∠COF=∠OFC,∴△COF是等腰三角形.又∵OE⊥CD,∴CD垂直平分OF.下同解法一.
考点二 圆柱、圆锥的侧面展开图
1.(2019云南,11,4分)一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆,则该圆锥的全面积是 ( )A.48π B.45π C.36π D.32π
2.(2020云南,13,4分)如图,正方形ABCD的边长为4,以点A为圆心,AD为半径画圆弧DE得到扇形DAE(阴影 部分,点E在对角线AC上).若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面圆的半径是 ( ) A. B.1 C. D.
3.(2019湖北黄冈,14,3分)用一个圆心角为120°,半径为6的扇形作一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆 的面积为 .
1.(2019浙江温州,7,4分)若扇形的圆心角为90°,半径为6,则该扇形的弧长为 ( )A. π B.2π C.3π D.6π
2.(2020内蒙古包头,9,3分)如图,AB是☉O的直径,CD是弦,点C,D在直径AB的两侧.若∠AOC∶∠AOD∶ ∠DOB=2∶7∶11,CD=4,则 的长为 ( ) A.2π B.4π C. D. π
答案 D ∵AB是直径,∴∠AOD+∠DOB=180°,又∵∠AOC∶∠AOD∶∠DOB=2∶7∶11,∴∠AOC=20°,∠AOD=70°,∴∠COD=∠AOC+∠AOD=90°,∴Rt△COD中,CO=DO= CD= ×4=2 ,∴ 的长为 = π.故选D.
3.(2019湖北武汉,9,3分)如图,AB是☉O的直径,M,N是 (异于A,B)上两点,C是 上一动点,∠ACB的平分线交☉O于点D,∠BAC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时,C,E两点的运动路径长的比是 ( ) A. B. C. D.
答案 A 如图,由题意可知∠1=∠2,∠3=∠4.连接AD,可得∠2=∠6=∠1.∵∠5=∠1+∠3,∠EAD=∠4+ ∠6=∠3+∠1,∴DE=DA,即点E在以点D为圆心,AD为半径的圆上运动,∵∠6=∠2=45°,∴AD= AO,设☉O的半径为r,劣弧MN所对的圆心角为n°,则C,E两点的运动路径长的比是 = .故选A.
4.(2020山西,8,3分)中国美食讲究色香味美,优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花.图①中的摆盘,其形状 是扇形的一部分,图②是其几何示意图(阴影部分为摆盘),通过测量得到AC=BD=12 cm,C,D两点之间的 距离为4 cm,圆心角为60°,则图中摆盘的面积是 ( ) A.80π cm2 B.40π cm2C.24π cm2 D.2π cm2
答案 B 连接AB,CD,∵OA=OB,AC=BD,∴OC=OD,∴CD∥AB,又∵∠O=60°,∴△OCD是等边三角形, ∴OC=CD=4 cm,∴OA=16 cm,∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD= - =40π cm2,故选B.
解题关键 判断△OCD是等边三角形是解答本题的关键.
5.(2018云南昆明,6,3分)如图,正六边形ABCDEF的边长为1,以点A为圆心,AB的长为半径,作扇形ABF,则 图中阴影部分的面积为 (结果保留根号和π).
6.(2020云南昆明,5,3分)如图,边长为2 cm的正六边形螺帽,中心为点O,OA垂直平分边CD,垂足为B,AB=17 cm,用扳手拧动螺帽旋转90°,则点A在该过程中所经过的路径长为 cm.
7.(2020新疆,14,5分)如图,☉O的半径是2,扇形BAC的圆心角为60°,若将扇形BAC剪下围成一个圆锥,则此 圆锥的底面圆的半径为 .
解析 连接OA,作OD⊥AC于点D. 在直角△OAD中,OA=2,∠OAD= ∠BAC=30°,则AD=OA·cs 30°= ,则AC=2AD=2 ,则扇形的弧长是 = π.设此圆锥的底面圆的半径是r,则2πr= π,解得r= .
故此圆锥的底面圆的半径为 .
8.(2018新疆,12,5分)如图,△ABC是☉O的内接正三角形,☉O的半径为2,则图中阴影部分的面积是 .
9.(2019河南,14,3分)如图,在扇形AOB中,∠AOB=120°,半径OC交弦AB于点D,且OC⊥OA.若OA=2 ,则阴影部分的面积为 .
思路分析 根据扇形AOB中,∠AOB=120°,AO⊥OC,求得∠OAD=∠BOC=∠ABO=30°,再分别求得OD、 BD的长,计算S△AOD,S△BOD,S扇形BOC,进而求阴影部分的面积.
10.(2019吉林长春,18,7分)如图,四边形ABCD是正方形,以边AB为直径作☉O,点E在BC边上,连接AE交☉ O于点F,连接BF并延长交CD于点G.(1)求证:△ABE≌△BCG;(2)若∠AEB=55°,OA=3,求 的长.(结果保留π)
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,AB为直径,F为☉O上的一点,∴∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°,∴∠BAF+∠ABF=90°,∠ABF+∠EBF=90°,∴∠EBF=∠BAF.在△ABE和△BCG中, ∴△ABE≌△BCG(ASA).(2)连接OF.∵∠ABE=∠AFB=90°,∠AEB=55°,∴∠BAE=90°-55°=35°,∴∠BOF=2∠BAE=70°.∵OA=3,∴ 的长= = π.
思路分析 (1)要证△ABE≌△BCG,根据正方形的性质,已经有一组边和一组直角对应相等,再根据直径 所对的圆周角是直角,同角的余角相等得到∠BAF=∠EBF,最后利用ASA证明即可;(2)要求弧长,必须求出弧所在圆的半径和弧所对的圆心角度数,本题半径已知,通过连接OF,构造出圆心 角,把它转移到同弧所对的圆周角来计算即可.
11.(2019广东,22,7分)在如图所示的网格中,每个小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点叫格点,△ ABC的三个顶点均在格点上,以点A为圆心的 与BC相切于点D,分别交AB、AC于点E、F.(1)求△ABC三边的长;(2)求图中由线段EB、BC、CF及 所围成的阴影部分的面积.
解析 (1)由题图可知AB2=22+62=40,∴AB=2 . (1分)AC2=22+62=40,∴AC=2 . (2分)BC2=42+82=80,∴BC=4 . (3分)(2)连接AD,由(1)知AB2+AC2=BC2,AB=AC,
∴△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°. (4分)∵以点A为圆心的 与BC相切于点D,∴AD⊥BC,∴AD= BC=2 , (5分)∴S△ABC= BC·AD= ×4 ×2 =20,又S扇形EAF= π(2 )2=5π,∴S阴影=20-5π. (7分)
思路分析 (1)在网格中,求点在格点上的线段的长度,常用的方法是构造直角三角形,利用勾股定理求出 线段的长度;(2)求不规则图形的面积常用的方法是割补法,本题需用△ABC的面积减去扇形EAF的面积, 利用勾股定理的逆定理求得圆心角,由过切点的半径垂直切线,可知AD⊥BC,由△ABC是等腰直角三角 形,可知半径AD等于BC长的一半.进而求得扇形EAF的面积.
12.(2018黑龙江齐齐哈尔,20,8分)如图,以△ABC的边AB为直径画☉O,交AC于点D,半径OE∥BD,连接BE, DE,BD,设BE交AC于点F,若∠DEB=∠DBC.(1)求证:BC是☉O的切线;(2)若BF=BC=2,求图中阴影部分的面积.
解析 (1)证明:∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠A+∠ABD=90°, (1分)又∵∠A=∠DEB,∠DEB=∠DBC,∴∠A=∠DBC, (2分)∴∠DBC+∠ABD=90°,∴∠OBC=90°,即OB⊥BC.又OB为☉O的半径,∴BC是☉O的切线. (3分)(2)∵BF=BC=2且∠ADB=90°,∴∠CBD=∠FBD, (4分)又∵OE∥BD,∴∠FBD=∠OEB.∵OE=OB,∴∠OEB=∠OBE, (5分)∴∠CBD=∠FBD=∠OBE= ∠ABC= ×90°=30°. (6分)
∴∠C=60°,∴AB= BC=2 ,∴☉O的半径为 . (7分)如图,连接OD, ∴阴影部分面积为S扇形OBD-S△OBD= π×( )2- × ×( )2= - . (8分)
1.(2020辽宁营口,15,3分)一个圆锥的底面半径为3,高为4,则此圆锥的侧面积为 .
解析 由圆锥的底面半径为3,高为4,可得母线长为5,所以S圆锥侧=3×5×π=15π.
2.(2019黑龙江齐齐哈尔,13,3分)将圆心角为216°,半径为5 cm的扇形围成一个圆锥的侧面,那么围成的这 个圆锥的高为 cm.
3.(2019江苏南京,12,2分)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子 内,木筷露在杯子外面的部分至少有 cm.
4.(2018湖北黄冈,13,3分)如图,圆柱形玻璃杯高为14 cm,底面周长为32 cm,在杯内壁离杯底5 cm的点B处 有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短距离为 cm(杯壁厚度不计).
A组 2018—2020年模拟·基础题组时间:45分钟 分值:50分一、选择题(每小题3分,共12分)
1.(2019黑龙江哈尔滨松北一模,8)一个扇形的圆心角是120°,面积为3π cm2,那么这个扇形的半径是 ( )A.1 cm B.3 cm C.6 cm D.9 cm
2.(2020四川成都一诊,9)如图,△ABC内接于☉O,∠A=60°,OM⊥BC于点M,若OM=2,则劣弧BC的长为 ( )A.4π B. πC. π D. π
答案 C 连接OB、OC,由圆周角定理得,∠BOC=2∠A=120°,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠OBC= ×(180°-120°)=30°,又∵OM⊥BC,∴OB=2OM=4,∴劣弧BC的长= = π,故选C.
3.(2020云南红河州开远模拟,11)如图,☉O的直径AB=6,若∠BAC=50°,则劣弧AC的长为 ( )A.2π B. C. D.
答案 D 如图,连接CO,∵AO=CO,∴∠ACO=∠BAC=50°,∴∠AOC=80°,∴劣弧AC的长为 = π,故选D.
4.(2019四川成都双流一模,10)如图,▱ABCD中,∠B=70°,BC=6,以AD为直径的☉O交CD于点E,则 的长为 ( ) A. π B. π C. π D. π
答案 B 连接OE,如图所示.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠D=∠B=70°,AD=BC=6,∴OA=OD=3.∵OD=OE,∴∠OED=∠D=70°, ∴∠DOE=180°-2×70°=40°,∴ 的长= = π.故选B.
二、填空题(每小题3分,共9分)5.(2020辽宁鞍山铁东一模,9)一圆锥的底面半径为2 cm,母线长为3 cm,则侧面积为 .
6.(2020甘肃兰州一诊,15)如图,四边形ABCD内接于半径为6的☉O,∠ABC=100°,则劣弧AC的长为 .
7.(2019甘肃定西一诊,15)一个扇形的弧长是20π cm,面积是240π cm2,则这个扇形的圆心角是 度.
三、解答题(共29分)8.(2020吉林长春一模,18)如图,E是Rt△ABC的斜边AB上一点,以AE为直径的☉O与边BC相切于点D,交 边AC于点F,连接AD.(1)求证:AD平分∠BAC;(2)若AE=2,∠CAD=25°,求劣弧EF的长.
解析 (1)证明:如图,连接OD,∵☉O与BC相切于点D,∴OD⊥BC,∴∠ODB=90°.∵∠C=90°,∴∠C=∠ODB=90°,∴OD∥AC.∴∠CAD=∠ODA.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠OAD=∠CAD,∴AD平分∠BAC.
(2)如图,连接OF,∵AD平分∠BAC,且∠CAD=25°,∴∠BAC=2∠DAC=50°,∴∠EOF=2∠EAC=100°,∴劣弧EF的长为 = π.
9.(2019云南昆明模拟,22)如图,点A是直线AM与☉O的交点,点B在☉O上,BD⊥AM,垂足为D,BD与☉O交 于点C,OC平分∠AOB,∠B=60°.(1)求证:AM是☉O的切线;(2)若☉O的半径为4,求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号).
解析 (1)证明:如图,∵∠B=60°,OB=OC,∴△BOC是等边三角形,∴∠1=∠3=60°.∵OC平分∠AOB,∴∠ 1=∠2,∴∠2=∠3,∴OA∥BD.∵∠BDM=90°,∴∠OAM=90°,又OA为☉O的半径,∴AM是☉O的切线. (2)连接AC.∵∠2=60°,OA=OC,∴△AOC是等边三角形,∴∠OAC=60°,∴∠CAD=30°.∵OC=AC=4,∴CD=2,∴AD=2 ,∴S阴影=S梯形OADC-S扇形OAC= ×(4+2)×2 - =6 - π.
10.(2019黑龙江齐齐哈尔一模,21)Rt△ABC中,∠C=90°,点E在AB上,BE= AE=2,以AE为直径作☉O交AC于点F,交BC于点D,且点D为切点,连接AD,EF.(1)求证:AD平分∠BAC;(2)求阴影部分面积.(结果保留π)
解析 (1)证明:连接OD交EF于M.∵BC切☉O于D,∴OD⊥BC,∴∠ODB=90°.∵∠C=90°,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC,∴∠DAC=∠ODA.∵OD=OA,∴∠OAD=∠ODA,∴∠OAD=∠DAC,∴AD平分∠BAC.
(2)连接OF.∵AE是直径,∴∠AFE=90°,又∠C=90°,∴EF∥BC,∴ = = .∵∠C=∠AFE=∠ODC=90°,∴四边形DMFC是矩形,∴DM=CF= AF.易知OM= AF,∴OM=DM= OD= OE,∴∠OEM=30°,∴∠EOF=120°.∵BE= AE=2,AE=2OE,∴OE=2,∴OM=1,EM= ,则EF=2 ,∴S阴影=S扇形OEF-S△OEF= - ×2 ×1= - .
B组 2018—2020年模拟·提升题组时间:45分钟 分值:50分一、选择题(每小题3分,共12分)
1.(2019内蒙古鄂尔多斯3月模拟,8)若圆锥的底面半径r为6 cm,高h为8 cm,则圆锥的侧面积为 ( )A.30π cm2 B.60π cm2C.48π cm2 D.80π cm2
2.(2020广西崇左江州一模,9)如图,在边长为8的菱形ABCD中,∠DAB=60°,以点D为圆心,菱形的高DF为 半径画弧,交AD于点E,交CD于点G,则图中阴影部分的面积是 ( ) A.18-3π B.18- πC.32 -16π D.18 -9π
答案 C ∵四边形ABCD是边长为8的菱形,∠DAB=60°,∴AD=AB=8,∠ADC=180°-∠DAB=120°.∵DF是菱形的高,∴DF⊥AB,∴DF=AD·sin 60°=8× =4 ,∴S阴影=S菱形ABCD-S扇形DEG=8×4 - =32 -16π.故选C.
3.(2020云南曲靖马龙一模,8)如图,在△ABC中,AB=4,若将△ABC绕点B顺时针旋转60°,点A的对应点为点 A',点C的对应点为点C',连接A'B,点D为A'B的中点,连接AD,则点A的运动路径与线段AD、A'D围成的图 形(阴影部分)的面积是 ( ) A. -2 B. -4 C. -2 D.4 -
答案 A 如图,连接AA'.由旋转得BA=BA',∠ABA'=60°,∴△ABA'是等边三角形,∴BA'=BA=AA'=4.∵DB=DA',∴AD⊥BA',∴AD= =2 ,∴S阴影=S扇形BAA'-S△ADB= - ×2×2 = -2 ,故选A.
4.(2018湖北孝感孝南一模,8)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BC=2 ,以BC的中点O为圆心的☉O分别与AB,AC相切于D,E,则劣弧DE的长为 ( ) A. B. C.π D.2π
答案 B 连接OE、OD,设☉O的半径为r.
∴OD是△ABC的中位线,∴OD= AC,∴AC=2r,同理,AB=2r,∴AB=AC,∴∠B=45°.∵BC=2 ,∴由勾股定理可知AB=2,∴r=1,又易知∠DOE=90°,∴劣弧DE的长为 = ,故选B.
∵☉O分别与AB,AC相切于D,E,∴OE⊥AC,OD⊥AB. ∵∠A=90°,即AB⊥AC,∴OD∥AC.∵O是BC的中点,
二、填空题(每小题3分,共9分)5.(2020黑龙江绥化一模,14)如图,正方形ABCD中,AB=2,将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE,将 线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF,连接EF,则图中阴影部分的面积是 .
= ×2×2+ ×4×2+ - =6-π.
6.(2020湖北黄石模拟,15)如图,一个半径为r的圆形纸片在边长为a(a≥2 r)的等边三角形内任意运动,则在该等边三角形内,这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是 .
答案 (3 -π)r2
7.(2018湖北襄阳保康4月模拟,15)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=1,将△ABC绕AB所在直线旋转一 周,得到的几何体的侧面积为 .
三、解答题(共29分)8.(2020云南红河州开远模拟,21)如图,点B、C、D都在☉O上,过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A,连 接CD,且∠CDB=∠OBD=30°,BD=6 cm.(1)求证:AC是☉O的切线;(2)求☉O的半径长;(3)求图中阴影部分的面积(结果保留π).
解析 (1)证明:连接OC,∵∠CDB=30°,∴∠BOC=60°.∵AC∥BD,∴∠A=∠OBD=30°,∴∠BOC+∠A=90°.∴∠ACO=90°.又∵OC为☉O的半径,∴AC为☉O的切线.(2)设OC交BD于E,由(1)得,OC⊥AC,∵AC∥BD,∴OC⊥BD,∴E为BD的中点.∵BD=6 cm,∴BE=3 cm,在Rt△OBE中,sin∠BOE=sin 60°= ,
∴ = ,解得OB=6 cm,即☉O的半径长为6 cm.(3)∵∠CDB=∠OBD,∴OA∥CD,又∵AC∥BD,∴四边形ABDC是平行四边形,∴AC=BD=6 cm,∴S阴影=SRt△OAC-S扇形OBC= ·AC·OC- = ×6 ×6- =(18 -6π)cm2.答:阴影部分的面积为(18 -6π)cm2.
9.(2020湖北武汉青山备考,21)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,点E在AC上, 以AE为直径的☉O经过点D,交AB于点F.(1)求证:①BC是☉O的切线;②CD2=CE·CA;(2)若点F是劣弧AD的中点,且CE=3,试求阴影部分的面积.
解析 (1)证明:①连接OD.∵AD平分∠BAC,∴∠DAB=∠DAC.∵OD=OA,∴∠DAO=∠ODA,∴∠DAB=∠ODA,∴DO∥AB,而∠B=90°,∴∠ODC=90°,又∵OD是☉O的半径,∴BC是☉O的切线.②连接DE,∵BC是☉O的切线,∴∠CDE=∠DAC,又∵∠C=∠C,∴△CDE∽△CAD,∴ = ,∴CD2=CE·CA.
(2)连接DF、OF,设圆O的半径为R.∵点F是劣弧AD的中点,∴OF垂直平分DA,且DF=AF,∴∠FDA=∠FAD.由①知∠ODA=∠DAF,∴∠ADO=∠DAO=∠FDA=∠FAD,∴AF=DF=OA=OD,∴四边形OAFD是菱形,故S阴影=S扇形DFO,
又OF=OA=OD,∴△OFD、△OFA均是等边三角形,∴∠FAO=60°,又在△ABC中,∠B=90°,∴∠C=30°,又OD⊥BC,∴OD= OC= (OE+EC),而OE=OD,∴CE=OE=R=3,∴S阴影=S扇形DFO= = .
10.(2019四川宜宾翠屏一诊,23)如图,AB是☉O的直径,∠BAC=90°,四边形EBOC是平行四边形,EB交☉O 于点D,连接CD并延长交AB的延长线于点F.(1)求证:CF是☉O的切线;(2)若∠F=30°,EB=8,求图中阴影部分的面积.(结果保留根号和π)
解析 (1)证明:连接OD,如图. ∵四边形EBOC是平行四边形,∴OC∥BE,∴∠1=∠3,∠2=∠4.∵OB=OD,∴∠3=∠4,∴∠1=∠2.在△ODC和△OAC中, ∴△ODC≌△OAC,∴∠ODC=∠OAC=90°,∴OD⊥CD,
又OD为☉O的半径,∴CF是☉O的切线.(2)∵∠F=30°,OD⊥CF,∴∠FOD=60°,∴∠1=∠2=60°.∵四边形EBOC是平行四边形,∴OC=BE=8.在Rt△AOC中,∠AOC=60°,∴OA= OC=4,AC= OA=4 .∴S阴影=S四边形AODC-S扇形AOD=2× ×4×4 - =16 - π.
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2019辽宁葫芦岛,9)如图,在☉O中,∠BAC=15°,∠ADC=20°,则∠ABO的度数为 ( ) A.70° B.55° C.45° D.35°
答案 B 连接OA、OC.∵∠BAC=15°,∠ADC=20°,∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=2(∠ADC+∠BAC)=70°.∵OA=OB,∴∠ABO=∠OAB= (180°-∠AOB)=55°.故选B.
2.(2020浙江温州,7)如图,菱形OABC的顶点A,B,C在☉O上,过点B作☉O的切线交OA的延长线于点D.若 ☉O的半径为1,则BD的长为 ( ) A.1 B.2 C. D.
答案 D 如图,连接OB. ∵四边形OABC是菱形,∴OA=AB,又∵OA=OB,∴OA=OB=AB,∴∠AOB=60°.∵BD是☉O的切线,∴∠DBO=90°,∵OB=1,∴BD= OB= .故选D.
思路分析 连接OB,利用菱形的性质和圆的性质可得∠AOB=60°,解直角三角形求出BD的长即可.
解题关键 解决本题的关键是熟练运用菱形的性质和圆的有关性质.
3.(2019湖北十堰,8)如图,四边形ABCD内接于☉O,AE⊥CB交CB的延长线于点E,若BA平分∠DBE,AD=5, CE= ,则AE= ( ) A.3 B.3 C.4 D.2
答案 D 连接AC,如图. ∵BA平分∠DBE,∴∠1=∠2.∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠ABC+∠CDA=180°.又∠1+∠ABC=180°,∴∠1=∠CDA.∵∠2=∠3,∴∠3=∠CDA,∴AC=AD=5.∵AE⊥CB,∴∠AEC=90°,∴AE= = =2 .故选D.
4.(2019湖南娄底,8)如图,边长为2 的等边△ABC的内切圆的半径为 ( ) A.1 B. C.2 D.2
答案 A 连接AO、CO,延长CO交AB于H,如图. ∵O为△ABC的内心,∴CH平分∠BCA,AO平分∠BAC.∵△ABC为等边三角形,∴∠CAB=60°,CH⊥AB,∴∠OAH=30°,AH=BH= AB= .在Rt△AOH中,∵tan∠OAH= ,∴OH=AHtan∠OAH= × =1,
∴△ABC内切圆的半径为1.故选A.
5.(2020山东潍坊,10)如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,以点O为圆心,2为半径的圆与OB交于 点C,过点C作CD⊥OB交AB于点D,点P是边OA上的动点.当PC+PD最小时,OP的长为 ( ) A. B. C.1 D.
答案 B 延长CO交☉O于点E, 连接DE交OA于点P,此时PC+PD最小.∵CD⊥OB,∠AOB=90°,∴CD∥AO,∴ = ,∴ = ,∴CD= .∵CD∥AO,∴ = ,即 = ,解得PO= .
方法技巧 本题是“一动两定”的最值问题,作出一个定点关于动点所在直线的对称点,利用“两点之 间,线段最短”解决问题.
二、填空题(每小题5分,共20分)6.(2019黑龙江鸡西,7)若一个圆锥的底面圆的周长是5π cm,母线长是6 cm,则该圆锥的侧面展开图的圆 心角度数是 .
7.(2019内蒙古鄂尔多斯,13)如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作 DF⊥AC于点F.若AB=6,∠CDF=15°,则阴影部分的面积是 .
解析 连接OE.∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°,又∵∠CDF=15°,∴∠C=75°.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=75°,∴∠OAE=180°-∠B-∠C=30°.∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA,∴∠AOE=180°-2∠OAE=120°.作OG⊥AE,交AE于点G.∵AB=6,∴OA=OB=OE=3.在Rt△OEG中,OG=OEsin∠OEG=3sin 30°= ,GE=OEcs 30°=3× = .∴AE=2GE=3 .∴S△OAE= AE·OG= ×3 × = .∴S阴影=S扇形OAE-S△OAE= ×π×32- =3π- .
8.(2019湖北黄石,15)如图,Rt△ABC中,∠A=90°,CD平分∠ACB交AB于点D,O是BC上一点,经过C、D两点 的☉O分别交AC、BC于点E、F,AD= ,∠ADC=60°,则劣弧CD的长为 .
9.(2019湖南湘潭,16)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章计算弧田面积所 用的经验公式是:弧田面积= (弦×矢+矢2),弧田是由圆弧和其所对的弦围成的(如图中的阴影部分),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,运用垂径定理(当半径OC⊥弦AB 时,OC平分AB)可以求解.现已知弦AB=8米,半径等于5米的弧田,按照上述公式计算出弧田的面积为 平方米.
解析 由垂径定理可得AD=BD=4米,在直角三角形OAD中,由勾股定理可得OD=3米,则CD=2米,则弧田 的面积= ×(8×2+22)=10(平方米).
三、解答题(共4小题,共55分)10.(10分)(2019辽宁锦州,22)如图,M,N是以AB为直径的☉O上的点,且 = ,弦MN交AB于点C,BM平分∠ABD,MF⊥BD于点F.(1)求证:MF是☉O的切线;(2)若CN=3,BN=4,求CM的长.
解析 (1)证明:连接OM.∵OM=OB,∴∠OMB=∠OBM.∵BM平分∠ABD,∴∠OBM=∠MBF,∴∠OMB=∠MBF,∴OM∥BF.∵MF⊥BD,∴OM⊥MF,即∠OMF=90°,又∵OM是☉O的半径,∴MF是☉O的切线. (2)如图,连接AN,ON.∵ = ,∴AN=BN=4.
∵AB是☉O的直径, = ,∴∠ANB=90°,ON⊥AB,∴AB= =4 ,∴AO=BO=ON=2 ,∴OC= = =1,∴AC=2 +1,BC=2 -1.∵∠A=∠NMB,∠ANC=∠MBC,∴△ACN∽△MCB,∴ = ,∴CM= = = .
11.(15分)(2019内蒙古通辽,23)如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,AC=CE,连接AE交BC于点D,延 长DC至F点,使CF=CD,连接AF.(1)判断直线AF与☉O的位置关系,并说明理由;(2)若AC=10,tan∠CAE= ,求AE的长.
解析 (1)直线AF与☉O相切,理由如下:∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,即AC⊥BC.∵CF=CD,∴AC垂直平分线段DF,∴AD=AF.∴∠CAF=∠EAC.∵AC=CE,∴∠E=∠EAC.∵∠B=∠E,∴∠B=∠FAC.∵∠B+∠BAC=90°,∴∠FAC+∠BAC=90°,∴BA⊥AF.又∵BA是☉O的直径,∴直线AF是☉O的切线,即直线AF与☉O相切.(2)如图,过点C作CM⊥AE,垂足为M,
∵tan∠CAE= ,∴ = ,∴设CM=3x(x>0),则AM=4x.在Rt△ACM中,根据勾股定理,可得CM2+AM2=AC2,即(3x)2+(4x)2=102,解得x=2(舍负),∴AM=8.∵AC=CE,CM⊥AE,∴AE=2AM=2×8=16.
12.(15分)(2019广西河池,25)如图,五边形ABCDE内接于☉O,CF与☉O相切于点C,交AB的延长线于点F.(1)若AE=DC,∠E=∠BCD,求证:DE=BC;(2)若OB=2,AB=BD=DA,∠F=45°,求CF的长.
解析 (1)证明:在☉O中,AE=DC,∴ = .∴∠ADE=∠DBC.在△ADE和△DBC中, ∴△ADE≌△DBC(AAS),∴DE=BC.(2)连接CO并延长交AB于G,过点O作OH⊥AB于H,则∠OHG=∠OHB=90°.
∵CF与☉O相切于点C,∴∠FCG=90°.又∵∠F=45°,∴∠OGH=45°,∴△CFG、△OGH均为等腰直角三角形,∴CF=CG,OG= OH.∵AB=BD=DA,∴△ABD是等边三角形,∴∠ABD=60°,∴∠OBH=30°.在Rt△OBH中,OH= OB=1,∴OG= ,∴CF=CG=OC+OG=2+ .
13.(15分)(2020福建,21)如图,AB与☉O相切于点B,AO交☉O于点C,AO的延长线交☉O于点D,E是 上不与B,D重合的点,sin A= .(1)求∠BED的大小;(2)若☉O的半径为3,点F在AB的延长线上,且BF=3 ,求证:DF与☉O相切.
解析 本小题考查圆的有关性质、直线与圆的位置关系、特殊角的三角函数值、解直角三角形、全等 三角形的判定和性质,考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观,考查化归与转化思想.(1)连接OB,∵AB与☉O相切于点B,∴OB⊥AB.∵sin A= ,∴∠A=30°,∴∠AOB=60°,则∠BOD=120°.∵点E在 上,∴∠BED= ∠BOD=60°.
考点一 弧长、扇形面积的计算
1.(2020宁夏,6,3分)如图,等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC= ,以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D,交AC于点E,交BC于点F,则图中阴影部分的面积是( ) A.1- B. C.2- D.1+
2.(2019山西,10,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2 ,BC=2,以AB的中点O为圆心,OA的长为半径作半圆交AC于点D,则图中阴影部分的面积为 ( ) A. - B. + C.2 -π D.4 -
答案 A 作DE⊥AB于点E,连接OD.在Rt△ABC中,tan∠CAB= = = ,∴∠CAB=30°,∴∠BOD=2∠CAB=60°,在Rt△ODE中,OE= OD= ,DE= OE= ,S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD= ·AB·BC- ·OA·DE- = ×2 ×2- × × - = - .故选A.
3.(2020四川南充,3,4分)如图,四个三角形拼成一个风车图形,若AB=2,当风车转动90°时,点B运动路径的 长度为 ( ) A.π B.2π C.3π D.4π
4.(2018辽宁沈阳,10,2分)如图,正方形ABCD内接于☉O,AB=2 ,则 的长是 ( ) A.π B. π C.2π D. π
5.(2020内蒙古呼和浩特,11,3分)如图,△ABC中,D为BC的中点,以D为圆心,BD长为半径画一条弧,交AC于 点E,若∠A=60°,∠ABC=100°,BC=4,则扇形BDE的面积为 .
6.(2019贵州贵阳,14,4分)如图,用等分圆的方法,在半径为OA的圆中,画出了如图所示的四叶幸运草,若 OA=2,则四叶幸运草的周长是 .
7.(2020江西,21,9分)已知∠MPN的两边分别与☉O相切于点A,B,☉O的半径为r.(1)如图1,点C在点A,B之间的优弧上,∠MPN=80°,求∠ACB的度数;(2)如图2,点C在圆上运动,当PC最大时,要使四边形APBC为菱形,∠APB的度数应为多少?请说明理由;(3)若PC交☉O于点D,求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含r的式子表示).
解析 (1)如图1,连接OA,OB.∵PA,PB为☉O的切线,∴∠PAO=∠PBO=90°.∴∠AOB+∠APB=180°.∵∠APB=80°,∴∠AOB=100°.∴∠ACB=50°.
(2)如图2,当∠APB=60°时,四边形APBC为菱形.连接OA,OB.由(1)可知∠AOB+∠APB=180°.∵∠APB=60°,∴∠AOB=120°.
∴∠ACB=60°=∠APB.当PC经过圆心时,PC最大.∵PA,PB为☉O的切线,∴四边形APBC为轴对称图形.∴PA=PB,CA=CB,PC平分∠APB和∠ACB.∵∠APB=∠ACB=60°,∴∠APO=∠BPO=∠ACP=∠BCP=30°.∴PA=PB=CA=CB.∴四边形APBC为菱形.(3)∵☉O的半径为r,∴OA=r,OP=2r.∴AP= r,PD=r.∵∠AOP=60°,∴l = = r.
∴C阴=PA+PD+l = r.
8.(2019湖北武汉,21,8分)已知AB是☉O的直径,AM和BN是☉O的两条切线,DC与☉O相切于点E,分别交 AM,BN于D,C两点.(1)如图1,求证:AB2=4AD·BC;(2)如图2,连接OE并延长交AM于点F,连接CF.若∠ADE=2∠OFC,AD=1,求图中阴影部分的面积. 图1 图2
解析 解法一:(1)证明:如图,连接OD,OC,OE. ∵AD,BC,CD是☉O的切线,∴OA⊥AD,OB⊥BC,OE⊥CD,AD=ED,BC=EC,∠ODE= ∠ADC,∠OCE= ∠BCD.又AD∥BC,∴∠ODE+∠OCE= (∠ADC+∠BCD)=90°,又∵∠ODE+∠DOE=90°,∴∠DOE=∠OCE,又∵∠OED=∠CEO=90°,
∴△ODE∽△COE,∴ = ,即OE2=ED·EC,∴4OE2=4AD·BC,∴AB2=4AD·BC.(2)如图,连接OD,OC,∵∠ADE=2∠OFC, ∴∠ODE=∠OFC,又∠DEO=∠FEC,∴△ODE∽△CFE,∴ = ,即OE·EF=DE·EC,
由(1)有OE2=DE·EC,∴OE=EF,∴CD垂直平分OF.∴∠AOD=∠DOE=∠OFD=30°,∴∠BOE=120°.易得☉O的半径r=OA= = ,BC=OB·tan 60°=3.∴S阴影=2S△OBC-S扇形OBE=3 -π.解法二:(1)证明:如图,过点D作DH⊥BC,H为垂足, ∵AD,BC,CD是☉O的切线,
∴OA⊥AD,OB⊥BC,AD=ED,BC=EC,∴四边形ABHD是矩形,∴AB=DH,AD=BH.在Rt△CDH中,DH2=CD2-CH2,∴AB2=(AD+BC)2-(BC-AD)2,∴AB2=4AD·BC.(2)如图,连接OD,OC,易得∠ADE=∠BOE,∵∠ADE=2∠OFC,∠BOE=2∠COF,∴∠COF=∠OFC,∴△COF是等腰三角形.又∵OE⊥CD,∴CD垂直平分OF.下同解法一.
考点二 圆柱、圆锥的侧面展开图
1.(2019云南,11,4分)一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆,则该圆锥的全面积是 ( )A.48π B.45π C.36π D.32π
2.(2020云南,13,4分)如图,正方形ABCD的边长为4,以点A为圆心,AD为半径画圆弧DE得到扇形DAE(阴影 部分,点E在对角线AC上).若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面圆的半径是 ( ) A. B.1 C. D.
3.(2019湖北黄冈,14,3分)用一个圆心角为120°,半径为6的扇形作一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆 的面积为 .
1.(2019浙江温州,7,4分)若扇形的圆心角为90°,半径为6,则该扇形的弧长为 ( )A. π B.2π C.3π D.6π
2.(2020内蒙古包头,9,3分)如图,AB是☉O的直径,CD是弦,点C,D在直径AB的两侧.若∠AOC∶∠AOD∶ ∠DOB=2∶7∶11,CD=4,则 的长为 ( ) A.2π B.4π C. D. π
答案 D ∵AB是直径,∴∠AOD+∠DOB=180°,又∵∠AOC∶∠AOD∶∠DOB=2∶7∶11,∴∠AOC=20°,∠AOD=70°,∴∠COD=∠AOC+∠AOD=90°,∴Rt△COD中,CO=DO= CD= ×4=2 ,∴ 的长为 = π.故选D.
3.(2019湖北武汉,9,3分)如图,AB是☉O的直径,M,N是 (异于A,B)上两点,C是 上一动点,∠ACB的平分线交☉O于点D,∠BAC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时,C,E两点的运动路径长的比是 ( ) A. B. C. D.
答案 A 如图,由题意可知∠1=∠2,∠3=∠4.连接AD,可得∠2=∠6=∠1.∵∠5=∠1+∠3,∠EAD=∠4+ ∠6=∠3+∠1,∴DE=DA,即点E在以点D为圆心,AD为半径的圆上运动,∵∠6=∠2=45°,∴AD= AO,设☉O的半径为r,劣弧MN所对的圆心角为n°,则C,E两点的运动路径长的比是 = .故选A.
4.(2020山西,8,3分)中国美食讲究色香味美,优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花.图①中的摆盘,其形状 是扇形的一部分,图②是其几何示意图(阴影部分为摆盘),通过测量得到AC=BD=12 cm,C,D两点之间的 距离为4 cm,圆心角为60°,则图中摆盘的面积是 ( ) A.80π cm2 B.40π cm2C.24π cm2 D.2π cm2
答案 B 连接AB,CD,∵OA=OB,AC=BD,∴OC=OD,∴CD∥AB,又∵∠O=60°,∴△OCD是等边三角形, ∴OC=CD=4 cm,∴OA=16 cm,∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COD= - =40π cm2,故选B.
解题关键 判断△OCD是等边三角形是解答本题的关键.
5.(2018云南昆明,6,3分)如图,正六边形ABCDEF的边长为1,以点A为圆心,AB的长为半径,作扇形ABF,则 图中阴影部分的面积为 (结果保留根号和π).
6.(2020云南昆明,5,3分)如图,边长为2 cm的正六边形螺帽,中心为点O,OA垂直平分边CD,垂足为B,AB=17 cm,用扳手拧动螺帽旋转90°,则点A在该过程中所经过的路径长为 cm.
7.(2020新疆,14,5分)如图,☉O的半径是2,扇形BAC的圆心角为60°,若将扇形BAC剪下围成一个圆锥,则此 圆锥的底面圆的半径为 .
解析 连接OA,作OD⊥AC于点D. 在直角△OAD中,OA=2,∠OAD= ∠BAC=30°,则AD=OA·cs 30°= ,则AC=2AD=2 ,则扇形的弧长是 = π.设此圆锥的底面圆的半径是r,则2πr= π,解得r= .
故此圆锥的底面圆的半径为 .
8.(2018新疆,12,5分)如图,△ABC是☉O的内接正三角形,☉O的半径为2,则图中阴影部分的面积是 .
9.(2019河南,14,3分)如图,在扇形AOB中,∠AOB=120°,半径OC交弦AB于点D,且OC⊥OA.若OA=2 ,则阴影部分的面积为 .
思路分析 根据扇形AOB中,∠AOB=120°,AO⊥OC,求得∠OAD=∠BOC=∠ABO=30°,再分别求得OD、 BD的长,计算S△AOD,S△BOD,S扇形BOC,进而求阴影部分的面积.
10.(2019吉林长春,18,7分)如图,四边形ABCD是正方形,以边AB为直径作☉O,点E在BC边上,连接AE交☉ O于点F,连接BF并延长交CD于点G.(1)求证:△ABE≌△BCG;(2)若∠AEB=55°,OA=3,求 的长.(结果保留π)
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,AB为直径,F为☉O上的一点,∴∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°,∴∠BAF+∠ABF=90°,∠ABF+∠EBF=90°,∴∠EBF=∠BAF.在△ABE和△BCG中, ∴△ABE≌△BCG(ASA).(2)连接OF.∵∠ABE=∠AFB=90°,∠AEB=55°,∴∠BAE=90°-55°=35°,∴∠BOF=2∠BAE=70°.∵OA=3,∴ 的长= = π.
思路分析 (1)要证△ABE≌△BCG,根据正方形的性质,已经有一组边和一组直角对应相等,再根据直径 所对的圆周角是直角,同角的余角相等得到∠BAF=∠EBF,最后利用ASA证明即可;(2)要求弧长,必须求出弧所在圆的半径和弧所对的圆心角度数,本题半径已知,通过连接OF,构造出圆心 角,把它转移到同弧所对的圆周角来计算即可.
11.(2019广东,22,7分)在如图所示的网格中,每个小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点叫格点,△ ABC的三个顶点均在格点上,以点A为圆心的 与BC相切于点D,分别交AB、AC于点E、F.(1)求△ABC三边的长;(2)求图中由线段EB、BC、CF及 所围成的阴影部分的面积.
解析 (1)由题图可知AB2=22+62=40,∴AB=2 . (1分)AC2=22+62=40,∴AC=2 . (2分)BC2=42+82=80,∴BC=4 . (3分)(2)连接AD,由(1)知AB2+AC2=BC2,AB=AC,
∴△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°. (4分)∵以点A为圆心的 与BC相切于点D,∴AD⊥BC,∴AD= BC=2 , (5分)∴S△ABC= BC·AD= ×4 ×2 =20,又S扇形EAF= π(2 )2=5π,∴S阴影=20-5π. (7分)
思路分析 (1)在网格中,求点在格点上的线段的长度,常用的方法是构造直角三角形,利用勾股定理求出 线段的长度;(2)求不规则图形的面积常用的方法是割补法,本题需用△ABC的面积减去扇形EAF的面积, 利用勾股定理的逆定理求得圆心角,由过切点的半径垂直切线,可知AD⊥BC,由△ABC是等腰直角三角 形,可知半径AD等于BC长的一半.进而求得扇形EAF的面积.
12.(2018黑龙江齐齐哈尔,20,8分)如图,以△ABC的边AB为直径画☉O,交AC于点D,半径OE∥BD,连接BE, DE,BD,设BE交AC于点F,若∠DEB=∠DBC.(1)求证:BC是☉O的切线;(2)若BF=BC=2,求图中阴影部分的面积.
解析 (1)证明:∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠A+∠ABD=90°, (1分)又∵∠A=∠DEB,∠DEB=∠DBC,∴∠A=∠DBC, (2分)∴∠DBC+∠ABD=90°,∴∠OBC=90°,即OB⊥BC.又OB为☉O的半径,∴BC是☉O的切线. (3分)(2)∵BF=BC=2且∠ADB=90°,∴∠CBD=∠FBD, (4分)又∵OE∥BD,∴∠FBD=∠OEB.∵OE=OB,∴∠OEB=∠OBE, (5分)∴∠CBD=∠FBD=∠OBE= ∠ABC= ×90°=30°. (6分)
∴∠C=60°,∴AB= BC=2 ,∴☉O的半径为 . (7分)如图,连接OD, ∴阴影部分面积为S扇形OBD-S△OBD= π×( )2- × ×( )2= - . (8分)
1.(2020辽宁营口,15,3分)一个圆锥的底面半径为3,高为4,则此圆锥的侧面积为 .
解析 由圆锥的底面半径为3,高为4,可得母线长为5,所以S圆锥侧=3×5×π=15π.
2.(2019黑龙江齐齐哈尔,13,3分)将圆心角为216°,半径为5 cm的扇形围成一个圆锥的侧面,那么围成的这 个圆锥的高为 cm.
3.(2019江苏南京,12,2分)无盖圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子 内,木筷露在杯子外面的部分至少有 cm.
4.(2018湖北黄冈,13,3分)如图,圆柱形玻璃杯高为14 cm,底面周长为32 cm,在杯内壁离杯底5 cm的点B处 有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁从外壁A处到内壁B 处的最短距离为 cm(杯壁厚度不计).
A组 2018—2020年模拟·基础题组时间:45分钟 分值:50分一、选择题(每小题3分,共12分)
1.(2019黑龙江哈尔滨松北一模,8)一个扇形的圆心角是120°,面积为3π cm2,那么这个扇形的半径是 ( )A.1 cm B.3 cm C.6 cm D.9 cm
2.(2020四川成都一诊,9)如图,△ABC内接于☉O,∠A=60°,OM⊥BC于点M,若OM=2,则劣弧BC的长为 ( )A.4π B. πC. π D. π
答案 C 连接OB、OC,由圆周角定理得,∠BOC=2∠A=120°,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠OBC= ×(180°-120°)=30°,又∵OM⊥BC,∴OB=2OM=4,∴劣弧BC的长= = π,故选C.
3.(2020云南红河州开远模拟,11)如图,☉O的直径AB=6,若∠BAC=50°,则劣弧AC的长为 ( )A.2π B. C. D.
答案 D 如图,连接CO,∵AO=CO,∴∠ACO=∠BAC=50°,∴∠AOC=80°,∴劣弧AC的长为 = π,故选D.
4.(2019四川成都双流一模,10)如图,▱ABCD中,∠B=70°,BC=6,以AD为直径的☉O交CD于点E,则 的长为 ( ) A. π B. π C. π D. π
答案 B 连接OE,如图所示.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠D=∠B=70°,AD=BC=6,∴OA=OD=3.∵OD=OE,∴∠OED=∠D=70°, ∴∠DOE=180°-2×70°=40°,∴ 的长= = π.故选B.
二、填空题(每小题3分,共9分)5.(2020辽宁鞍山铁东一模,9)一圆锥的底面半径为2 cm,母线长为3 cm,则侧面积为 .
6.(2020甘肃兰州一诊,15)如图,四边形ABCD内接于半径为6的☉O,∠ABC=100°,则劣弧AC的长为 .
7.(2019甘肃定西一诊,15)一个扇形的弧长是20π cm,面积是240π cm2,则这个扇形的圆心角是 度.
三、解答题(共29分)8.(2020吉林长春一模,18)如图,E是Rt△ABC的斜边AB上一点,以AE为直径的☉O与边BC相切于点D,交 边AC于点F,连接AD.(1)求证:AD平分∠BAC;(2)若AE=2,∠CAD=25°,求劣弧EF的长.
解析 (1)证明:如图,连接OD,∵☉O与BC相切于点D,∴OD⊥BC,∴∠ODB=90°.∵∠C=90°,∴∠C=∠ODB=90°,∴OD∥AC.∴∠CAD=∠ODA.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠OAD=∠CAD,∴AD平分∠BAC.
(2)如图,连接OF,∵AD平分∠BAC,且∠CAD=25°,∴∠BAC=2∠DAC=50°,∴∠EOF=2∠EAC=100°,∴劣弧EF的长为 = π.
9.(2019云南昆明模拟,22)如图,点A是直线AM与☉O的交点,点B在☉O上,BD⊥AM,垂足为D,BD与☉O交 于点C,OC平分∠AOB,∠B=60°.(1)求证:AM是☉O的切线;(2)若☉O的半径为4,求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号).
解析 (1)证明:如图,∵∠B=60°,OB=OC,∴△BOC是等边三角形,∴∠1=∠3=60°.∵OC平分∠AOB,∴∠ 1=∠2,∴∠2=∠3,∴OA∥BD.∵∠BDM=90°,∴∠OAM=90°,又OA为☉O的半径,∴AM是☉O的切线. (2)连接AC.∵∠2=60°,OA=OC,∴△AOC是等边三角形,∴∠OAC=60°,∴∠CAD=30°.∵OC=AC=4,∴CD=2,∴AD=2 ,∴S阴影=S梯形OADC-S扇形OAC= ×(4+2)×2 - =6 - π.
10.(2019黑龙江齐齐哈尔一模,21)Rt△ABC中,∠C=90°,点E在AB上,BE= AE=2,以AE为直径作☉O交AC于点F,交BC于点D,且点D为切点,连接AD,EF.(1)求证:AD平分∠BAC;(2)求阴影部分面积.(结果保留π)
解析 (1)证明:连接OD交EF于M.∵BC切☉O于D,∴OD⊥BC,∴∠ODB=90°.∵∠C=90°,∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC,∴∠DAC=∠ODA.∵OD=OA,∴∠OAD=∠ODA,∴∠OAD=∠DAC,∴AD平分∠BAC.
(2)连接OF.∵AE是直径,∴∠AFE=90°,又∠C=90°,∴EF∥BC,∴ = = .∵∠C=∠AFE=∠ODC=90°,∴四边形DMFC是矩形,∴DM=CF= AF.易知OM= AF,∴OM=DM= OD= OE,∴∠OEM=30°,∴∠EOF=120°.∵BE= AE=2,AE=2OE,∴OE=2,∴OM=1,EM= ,则EF=2 ,∴S阴影=S扇形OEF-S△OEF= - ×2 ×1= - .
B组 2018—2020年模拟·提升题组时间:45分钟 分值:50分一、选择题(每小题3分,共12分)
1.(2019内蒙古鄂尔多斯3月模拟,8)若圆锥的底面半径r为6 cm,高h为8 cm,则圆锥的侧面积为 ( )A.30π cm2 B.60π cm2C.48π cm2 D.80π cm2
2.(2020广西崇左江州一模,9)如图,在边长为8的菱形ABCD中,∠DAB=60°,以点D为圆心,菱形的高DF为 半径画弧,交AD于点E,交CD于点G,则图中阴影部分的面积是 ( ) A.18-3π B.18- πC.32 -16π D.18 -9π
答案 C ∵四边形ABCD是边长为8的菱形,∠DAB=60°,∴AD=AB=8,∠ADC=180°-∠DAB=120°.∵DF是菱形的高,∴DF⊥AB,∴DF=AD·sin 60°=8× =4 ,∴S阴影=S菱形ABCD-S扇形DEG=8×4 - =32 -16π.故选C.
3.(2020云南曲靖马龙一模,8)如图,在△ABC中,AB=4,若将△ABC绕点B顺时针旋转60°,点A的对应点为点 A',点C的对应点为点C',连接A'B,点D为A'B的中点,连接AD,则点A的运动路径与线段AD、A'D围成的图 形(阴影部分)的面积是 ( ) A. -2 B. -4 C. -2 D.4 -
答案 A 如图,连接AA'.由旋转得BA=BA',∠ABA'=60°,∴△ABA'是等边三角形,∴BA'=BA=AA'=4.∵DB=DA',∴AD⊥BA',∴AD= =2 ,∴S阴影=S扇形BAA'-S△ADB= - ×2×2 = -2 ,故选A.
4.(2018湖北孝感孝南一模,8)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BC=2 ,以BC的中点O为圆心的☉O分别与AB,AC相切于D,E,则劣弧DE的长为 ( ) A. B. C.π D.2π
答案 B 连接OE、OD,设☉O的半径为r.
∴OD是△ABC的中位线,∴OD= AC,∴AC=2r,同理,AB=2r,∴AB=AC,∴∠B=45°.∵BC=2 ,∴由勾股定理可知AB=2,∴r=1,又易知∠DOE=90°,∴劣弧DE的长为 = ,故选B.
∵☉O分别与AB,AC相切于D,E,∴OE⊥AC,OD⊥AB. ∵∠A=90°,即AB⊥AC,∴OD∥AC.∵O是BC的中点,
二、填空题(每小题3分,共9分)5.(2020黑龙江绥化一模,14)如图,正方形ABCD中,AB=2,将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE,将 线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF,连接EF,则图中阴影部分的面积是 .
= ×2×2+ ×4×2+ - =6-π.
6.(2020湖北黄石模拟,15)如图,一个半径为r的圆形纸片在边长为a(a≥2 r)的等边三角形内任意运动,则在该等边三角形内,这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是 .
答案 (3 -π)r2
7.(2018湖北襄阳保康4月模拟,15)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=1,将△ABC绕AB所在直线旋转一 周,得到的几何体的侧面积为 .
三、解答题(共29分)8.(2020云南红河州开远模拟,21)如图,点B、C、D都在☉O上,过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A,连 接CD,且∠CDB=∠OBD=30°,BD=6 cm.(1)求证:AC是☉O的切线;(2)求☉O的半径长;(3)求图中阴影部分的面积(结果保留π).
解析 (1)证明:连接OC,∵∠CDB=30°,∴∠BOC=60°.∵AC∥BD,∴∠A=∠OBD=30°,∴∠BOC+∠A=90°.∴∠ACO=90°.又∵OC为☉O的半径,∴AC为☉O的切线.(2)设OC交BD于E,由(1)得,OC⊥AC,∵AC∥BD,∴OC⊥BD,∴E为BD的中点.∵BD=6 cm,∴BE=3 cm,在Rt△OBE中,sin∠BOE=sin 60°= ,
∴ = ,解得OB=6 cm,即☉O的半径长为6 cm.(3)∵∠CDB=∠OBD,∴OA∥CD,又∵AC∥BD,∴四边形ABDC是平行四边形,∴AC=BD=6 cm,∴S阴影=SRt△OAC-S扇形OBC= ·AC·OC- = ×6 ×6- =(18 -6π)cm2.答:阴影部分的面积为(18 -6π)cm2.
9.(2020湖北武汉青山备考,21)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,点E在AC上, 以AE为直径的☉O经过点D,交AB于点F.(1)求证:①BC是☉O的切线;②CD2=CE·CA;(2)若点F是劣弧AD的中点,且CE=3,试求阴影部分的面积.
解析 (1)证明:①连接OD.∵AD平分∠BAC,∴∠DAB=∠DAC.∵OD=OA,∴∠DAO=∠ODA,∴∠DAB=∠ODA,∴DO∥AB,而∠B=90°,∴∠ODC=90°,又∵OD是☉O的半径,∴BC是☉O的切线.②连接DE,∵BC是☉O的切线,∴∠CDE=∠DAC,又∵∠C=∠C,∴△CDE∽△CAD,∴ = ,∴CD2=CE·CA.
(2)连接DF、OF,设圆O的半径为R.∵点F是劣弧AD的中点,∴OF垂直平分DA,且DF=AF,∴∠FDA=∠FAD.由①知∠ODA=∠DAF,∴∠ADO=∠DAO=∠FDA=∠FAD,∴AF=DF=OA=OD,∴四边形OAFD是菱形,故S阴影=S扇形DFO,
又OF=OA=OD,∴△OFD、△OFA均是等边三角形,∴∠FAO=60°,又在△ABC中,∠B=90°,∴∠C=30°,又OD⊥BC,∴OD= OC= (OE+EC),而OE=OD,∴CE=OE=R=3,∴S阴影=S扇形DFO= = .
10.(2019四川宜宾翠屏一诊,23)如图,AB是☉O的直径,∠BAC=90°,四边形EBOC是平行四边形,EB交☉O 于点D,连接CD并延长交AB的延长线于点F.(1)求证:CF是☉O的切线;(2)若∠F=30°,EB=8,求图中阴影部分的面积.(结果保留根号和π)
解析 (1)证明:连接OD,如图. ∵四边形EBOC是平行四边形,∴OC∥BE,∴∠1=∠3,∠2=∠4.∵OB=OD,∴∠3=∠4,∴∠1=∠2.在△ODC和△OAC中, ∴△ODC≌△OAC,∴∠ODC=∠OAC=90°,∴OD⊥CD,
又OD为☉O的半径,∴CF是☉O的切线.(2)∵∠F=30°,OD⊥CF,∴∠FOD=60°,∴∠1=∠2=60°.∵四边形EBOC是平行四边形,∴OC=BE=8.在Rt△AOC中,∠AOC=60°,∴OA= OC=4,AC= OA=4 .∴S阴影=S四边形AODC-S扇形AOD=2× ×4×4 - =16 - π.
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2019辽宁葫芦岛,9)如图,在☉O中,∠BAC=15°,∠ADC=20°,则∠ABO的度数为 ( ) A.70° B.55° C.45° D.35°
答案 B 连接OA、OC.∵∠BAC=15°,∠ADC=20°,∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=2(∠ADC+∠BAC)=70°.∵OA=OB,∴∠ABO=∠OAB= (180°-∠AOB)=55°.故选B.
2.(2020浙江温州,7)如图,菱形OABC的顶点A,B,C在☉O上,过点B作☉O的切线交OA的延长线于点D.若 ☉O的半径为1,则BD的长为 ( ) A.1 B.2 C. D.
答案 D 如图,连接OB. ∵四边形OABC是菱形,∴OA=AB,又∵OA=OB,∴OA=OB=AB,∴∠AOB=60°.∵BD是☉O的切线,∴∠DBO=90°,∵OB=1,∴BD= OB= .故选D.
思路分析 连接OB,利用菱形的性质和圆的性质可得∠AOB=60°,解直角三角形求出BD的长即可.
解题关键 解决本题的关键是熟练运用菱形的性质和圆的有关性质.
3.(2019湖北十堰,8)如图,四边形ABCD内接于☉O,AE⊥CB交CB的延长线于点E,若BA平分∠DBE,AD=5, CE= ,则AE= ( ) A.3 B.3 C.4 D.2
答案 D 连接AC,如图. ∵BA平分∠DBE,∴∠1=∠2.∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠ABC+∠CDA=180°.又∠1+∠ABC=180°,∴∠1=∠CDA.∵∠2=∠3,∴∠3=∠CDA,∴AC=AD=5.∵AE⊥CB,∴∠AEC=90°,∴AE= = =2 .故选D.
4.(2019湖南娄底,8)如图,边长为2 的等边△ABC的内切圆的半径为 ( ) A.1 B. C.2 D.2
答案 A 连接AO、CO,延长CO交AB于H,如图. ∵O为△ABC的内心,∴CH平分∠BCA,AO平分∠BAC.∵△ABC为等边三角形,∴∠CAB=60°,CH⊥AB,∴∠OAH=30°,AH=BH= AB= .在Rt△AOH中,∵tan∠OAH= ,∴OH=AHtan∠OAH= × =1,
∴△ABC内切圆的半径为1.故选A.
5.(2020山东潍坊,10)如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=4,以点O为圆心,2为半径的圆与OB交于 点C,过点C作CD⊥OB交AB于点D,点P是边OA上的动点.当PC+PD最小时,OP的长为 ( ) A. B. C.1 D.
答案 B 延长CO交☉O于点E, 连接DE交OA于点P,此时PC+PD最小.∵CD⊥OB,∠AOB=90°,∴CD∥AO,∴ = ,∴ = ,∴CD= .∵CD∥AO,∴ = ,即 = ,解得PO= .
方法技巧 本题是“一动两定”的最值问题,作出一个定点关于动点所在直线的对称点,利用“两点之 间,线段最短”解决问题.
二、填空题(每小题5分,共20分)6.(2019黑龙江鸡西,7)若一个圆锥的底面圆的周长是5π cm,母线长是6 cm,则该圆锥的侧面展开图的圆 心角度数是 .
7.(2019内蒙古鄂尔多斯,13)如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作 DF⊥AC于点F.若AB=6,∠CDF=15°,则阴影部分的面积是 .
解析 连接OE.∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°,又∵∠CDF=15°,∴∠C=75°.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=75°,∴∠OAE=180°-∠B-∠C=30°.∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA,∴∠AOE=180°-2∠OAE=120°.作OG⊥AE,交AE于点G.∵AB=6,∴OA=OB=OE=3.在Rt△OEG中,OG=OEsin∠OEG=3sin 30°= ,GE=OEcs 30°=3× = .∴AE=2GE=3 .∴S△OAE= AE·OG= ×3 × = .∴S阴影=S扇形OAE-S△OAE= ×π×32- =3π- .
8.(2019湖北黄石,15)如图,Rt△ABC中,∠A=90°,CD平分∠ACB交AB于点D,O是BC上一点,经过C、D两点 的☉O分别交AC、BC于点E、F,AD= ,∠ADC=60°,则劣弧CD的长为 .
9.(2019湖南湘潭,16)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章计算弧田面积所 用的经验公式是:弧田面积= (弦×矢+矢2),弧田是由圆弧和其所对的弦围成的(如图中的阴影部分),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,运用垂径定理(当半径OC⊥弦AB 时,OC平分AB)可以求解.现已知弦AB=8米,半径等于5米的弧田,按照上述公式计算出弧田的面积为 平方米.
解析 由垂径定理可得AD=BD=4米,在直角三角形OAD中,由勾股定理可得OD=3米,则CD=2米,则弧田 的面积= ×(8×2+22)=10(平方米).
三、解答题(共4小题,共55分)10.(10分)(2019辽宁锦州,22)如图,M,N是以AB为直径的☉O上的点,且 = ,弦MN交AB于点C,BM平分∠ABD,MF⊥BD于点F.(1)求证:MF是☉O的切线;(2)若CN=3,BN=4,求CM的长.
解析 (1)证明:连接OM.∵OM=OB,∴∠OMB=∠OBM.∵BM平分∠ABD,∴∠OBM=∠MBF,∴∠OMB=∠MBF,∴OM∥BF.∵MF⊥BD,∴OM⊥MF,即∠OMF=90°,又∵OM是☉O的半径,∴MF是☉O的切线. (2)如图,连接AN,ON.∵ = ,∴AN=BN=4.
∵AB是☉O的直径, = ,∴∠ANB=90°,ON⊥AB,∴AB= =4 ,∴AO=BO=ON=2 ,∴OC= = =1,∴AC=2 +1,BC=2 -1.∵∠A=∠NMB,∠ANC=∠MBC,∴△ACN∽△MCB,∴ = ,∴CM= = = .
11.(15分)(2019内蒙古通辽,23)如图,△ABC内接于☉O,AB是☉O的直径,AC=CE,连接AE交BC于点D,延 长DC至F点,使CF=CD,连接AF.(1)判断直线AF与☉O的位置关系,并说明理由;(2)若AC=10,tan∠CAE= ,求AE的长.
解析 (1)直线AF与☉O相切,理由如下:∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,即AC⊥BC.∵CF=CD,∴AC垂直平分线段DF,∴AD=AF.∴∠CAF=∠EAC.∵AC=CE,∴∠E=∠EAC.∵∠B=∠E,∴∠B=∠FAC.∵∠B+∠BAC=90°,∴∠FAC+∠BAC=90°,∴BA⊥AF.又∵BA是☉O的直径,∴直线AF是☉O的切线,即直线AF与☉O相切.(2)如图,过点C作CM⊥AE,垂足为M,
∵tan∠CAE= ,∴ = ,∴设CM=3x(x>0),则AM=4x.在Rt△ACM中,根据勾股定理,可得CM2+AM2=AC2,即(3x)2+(4x)2=102,解得x=2(舍负),∴AM=8.∵AC=CE,CM⊥AE,∴AE=2AM=2×8=16.
12.(15分)(2019广西河池,25)如图,五边形ABCDE内接于☉O,CF与☉O相切于点C,交AB的延长线于点F.(1)若AE=DC,∠E=∠BCD,求证:DE=BC;(2)若OB=2,AB=BD=DA,∠F=45°,求CF的长.
解析 (1)证明:在☉O中,AE=DC,∴ = .∴∠ADE=∠DBC.在△ADE和△DBC中, ∴△ADE≌△DBC(AAS),∴DE=BC.(2)连接CO并延长交AB于G,过点O作OH⊥AB于H,则∠OHG=∠OHB=90°.
∵CF与☉O相切于点C,∴∠FCG=90°.又∵∠F=45°,∴∠OGH=45°,∴△CFG、△OGH均为等腰直角三角形,∴CF=CG,OG= OH.∵AB=BD=DA,∴△ABD是等边三角形,∴∠ABD=60°,∴∠OBH=30°.在Rt△OBH中,OH= OB=1,∴OG= ,∴CF=CG=OC+OG=2+ .
13.(15分)(2020福建,21)如图,AB与☉O相切于点B,AO交☉O于点C,AO的延长线交☉O于点D,E是 上不与B,D重合的点,sin A= .(1)求∠BED的大小;(2)若☉O的半径为3,点F在AB的延长线上,且BF=3 ,求证:DF与☉O相切.
解析 本小题考查圆的有关性质、直线与圆的位置关系、特殊角的三角函数值、解直角三角形、全等 三角形的判定和性质,考查运算能力、推理能力、空间观念与几何直观,考查化归与转化思想.(1)连接OB,∵AB与☉O相切于点B,∴OB⊥AB.∵sin A= ,∴∠A=30°,∴∠AOB=60°,则∠BOD=120°.∵点E在 上,∴∠BED= ∠BOD=60°.
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