2021版《5年中考3年模拟》全国版中考数学：§3.5　二次函数的综合应用

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中考数学
§3.5　二次函数的综合应用
考点一　抛物线与线段长、面积、角度
1.(2020新疆,23,13分)如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(1,3),将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB,点B恰好在抛物线上,OB与抛物线的对称轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)P是线段AC上一动点,且不与点A,C重合,过点P作平行于x轴的直线,与△OAB的边分别交于M,N两点,将△AMN以直线MN为对称轴翻折,得到△A'MN.设点P的纵坐标为m.①当△A'MN在△OAB内部时,求m的取值范围;②是否存在点P,使S△A'MN= S△OA'B?若存在,求出满足条件的m的值;若不存在,请说明理由. 
解析　(1)过点A作AD⊥y轴,垂足为点D,过点B作BE⊥x轴,垂足为点E.则∠ODA=∠OEB=90°,由旋转的性质可得OA=OB,∠AOB=90°,∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°,∴∠AOD=∠BOE, 在△AOD和△BOE中, ∴△AOD≌△BOE(AAS),∴OD=OE,AD=BE,
∵A(1,3),∴BE=AD=1,OD=OE=3,∴点B的坐标为(3,-1),∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(1,3),∴y=a(x-1)2+3,把B(3,-1)代入,解得a=-1,∴y=-(x-1)2+3,∴y=-x2+2x+2.(2)①抛物线的对称轴为x=1,A(1,3),P(1,m),根据翻折可知AP=A'P,则A'(1,2m-3),由B(3,-1)可求得直线OB的解析式为y=- x,则C ,∴- <2m-3<3,解得  M ,N ,∴MN= - = = .∴S△A'MN=S△AMN= ·MN·AP= · ·(3-m)= .∵C ,∴A'C=2m- ,∴S△OA'B=S△OA'C+S△BA'C= ·A'C·xC+ ·A'C·(xB-xC)= ×A'C×3= × ×3=3m-4.∵S△A'MN= S△OA'B,∴ = ,
∴m1=6+ (舍去),m2=6- ,∴m=6- .情况二:当0≤m< 时,如图所示. 由情况一得S△A'MN= .∵C ,∴A'C= -2m,∴S△OA'B=S△OA'C+S△BA'C= A'C×3= × ×3=4-3m.
∵S△A'MN= S△OA'B,∴ = ,∴m2+1=0,无解.情况三:当- ∵S△A'MN= S△OA'B,∴ = ,∴m1= (舍去),m2= ,∴m= .综上所述,m的值是6- 或 .
解后反思　本题考查了二次函数、旋转与翻折变换,综合性较强,计算能力要求较高.在分析、解决问题时,要注意挖掘已知条件,充分利用图形变换的性质解题.(2)的②中涉及分类讨论,在处理用含m的代数式表示点坐标、线段长度和三角形面积时要细心.
2.(2020山西,23,13分)如图,抛物线y= x2-x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.直线l与抛物线交于A,D两点,与y轴交于点E,点D的坐标为(4,-3).(1)请直接写出A,B两点的坐标及直线l的函数表达式;(2)若点P是抛物线上的点,点P的横坐标为m(m≥0),过点P作PM⊥x轴,垂足为M,PM与直线l交于点N,当点N是线段PM的三等分点时,求点P的坐标;(3)若点Q是y轴上的点,且∠ADQ=45°,求点Q的坐标. 
解析　(1)A(-2,0),B(6,0),直线l的函数表达式为y=- x-1. (3分)详解:令 x2-x-3=0,得x2-4x-12=0, ∴(x-6)(x+2)=0,∴x1=-2,x2=6.∴A(-2,0),B(6,0).设直线l的函数表达式为y=kx+b(k≠0),把A(-2,0),D(4,-3)代入得  解得 ∴直线l的函数表达式为y=- x-1.(2)如图,根据题意可知,点P与点N的坐标分别为P ,N .
 PM= =- m2+m+3,MN= = m+1.NP= - =- m2+ m+2.分两种情况:①当PM=3MN时,得- m2+m+3=3 . (4分)解得m1=0,m2=-2(舍去).当m=0时, m2-m-3=-3.∴点P的坐标为(0,-3). (5分)
②当PM=3NP时,得- m2+m+3=3 . (6分)解得m1=3,m2=-2(舍去).当m=3时, m2-m-3=- .∴点P的坐标为 .∴当点N是线段PM的三等分点时,点P的坐标为(0,-3)或 . (7分)(3)∵直线y=- x-1与y轴交于点E,∴点E的坐标为(0,-1).分两种情况:①如图,当点Q在y轴正半轴上时,记为点Q1.过点Q1作Q1H⊥直线l,垂足为H,则∠Q1HE=∠AOE=90°,∵∠Q1EH=∠AEO,∴△Q1HE∽△AOE.∴ = .即 = .∴Q1H=2HE. (8分)
又∵∠Q1DH=45°,∠Q1HD=90°,∴∠HQ1D=∠Q1DH=45°.∴DH=Q1H=2HE.∴HE=ED. (9分)连接CD,∵点C的坐标为(0,-3),点D的坐标为(4,-3),∴CD⊥y轴.∴ED= = =2 .∴HE=2 ,Q1H=4 .∴Q1E= = =10.∴OQ1=Q1E-OE=10-1=9,∴点Q1的坐标为(0,9). (10分)②如图,当点Q在y轴负半轴上时,记为点Q2.过点Q2作Q2G⊥直线l,垂足为G.则∠Q2GE=∠AOE=90°, 
∵∠Q2EG=∠AEO,∴△Q2GE∽△AOE.∴ = .即 = .∴Q2G=2EG. (11分)又∵∠Q2DG=45°,∠Q2GD=90°,∴∠DQ2G=∠Q2DG=45°.∴DG=Q2G=2EG.∴ED=EG+DG=3EG. (12分)由①可知,ED=2 .∴3EG=2 .∴EG= .∴Q2G= .∴EQ2= = = .∴OQ2=OE+EQ2=1+ = .
∴点Q2的坐标为 .∴点Q的坐标为(0,9)或 . (13分)
方法总结　与二次函数有关的解答题中涉及线段长度或最值问题时一般采用坐标法,就是以坐标系为桥梁,通过坐标把线段转化成代数问题,通过代数运算解决问题,同时注意分类讨论思想的应用.
难点突破　本题第(3)问注意分类讨论.当点Q在y轴正半轴上时,记作Q1,作Q1H⊥直线l于H,构造△Q1HE∽△AOE;当点Q在y轴负半轴上时,记作Q2,作Q2G⊥直线l于G,构造△Q2GE∽△AOE.然后根据相似比和勾股定理进行解答.
3.(2020海南,22,15分)抛物线y=x2+bx+c经过点A(-3,0)和点B(2,0),与y轴交于点C.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)点P是该抛物线上的动点,且位于y轴的左侧.①如图1,过点P作PD⊥x轴于点D,作PE⊥y轴于点E,当PD=2PE时,求PE的长;②如图2,该抛物线上是否存在点P,使得∠ACP=∠OCB?若存在,请求出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解析　(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(-3,0)、B(2,0),∴  (2分)解得  (4分)∴抛物线的函数表达式为y=x2+x-6. (5分)(2)①设PE=t(t>0),则PD=2t,因为点P是抛物线上的动点且位于y轴左侧,当点P在x轴上时,点P与A重合,不合题意,故舍去,因此分为以下两种情况讨论:i.如图1,当点P在第三象限时,点P的坐标为(-t,-2t),则t2-t-6=-2t,即t2+t-6=0, (6分)解得t1=2,t2=-3(舍去),∴PE=2. (7分)
 ii.如图2,当点P在第二象限时,点P的坐标为(-t,2t),则t2-t-6=2t,即t2-3t-6=0, (8分)解得t1= ,t2= (舍去),∴PE= . (9分)
综上所述,PE的长为2或 . (10分)②存在点P,使得∠ACP=∠OCB.当x=0时,y=-6,∴C(0,-6),∴OC=6.在Rt△AOC中,AC= = =3 ,过点A作AH⊥AC,交直线CP于点H,则∠CAH=∠COB,又∠ACP=∠OCB,∴△CAH∽△COB,∴ = = = , (11分)过点H作HM⊥x轴于点M,则∠HMA=∠AOC,∵∠MAH+∠OAC=90°,∠OAC+∠OCA=90°,∴∠MAH=∠OCA,∴△HMA∽△AOC,
∴ = = ,即 = = ,∴MH=1,MA=2. (12分)i.如图3,当点P在第三象限时,点H的坐标为(-5,-1), 图3由H(-5,-1)和C(0,-6)得直线CP的解析式为y=-x-6,于是有x2+x-6=-x-6,即x2+2x=0,解得x1=-2,x2=0(舍去),
∴点P的坐标为(-2,-4). (13分)ii.如图4,当点P在第二象限时,点H的坐标为(-1,1), 图4由H(-1,1)和C(0,-6)得直线CP的解析式为y=-7x-6,于是有x2+x-6=-7x-6,即x2+8x=0,解得x1=-8,x2=0(舍去),∴点P的坐标为(-8,50). (14分)综上所述,点P的坐标为(-2,-4)或(-8,50). (15分)
解后反思　对于(2)中的②,由点A,B,C的坐标易得OB∶OC=1∶3及AC的长.过点A作AH⊥AC,过点H作HM⊥x轴于点M,分点P在第二象限和第三象限两种情况,易得△HMA∽△AOC,进而求出点H的坐标,这样便可得到直线CP的解析式,联立直线的解析式和抛物线的解析式求出点P的坐标即可.
4.(2019湖北武汉,24,12分)已知抛物线C1:y=(x-1)2-4和C2:y=x2.(1)如何将抛物线C1平移得到抛物线C2?(2)如图1,抛物线C1与x轴正半轴交于点A,直线y=- x+b经过点A,交抛物线C1于另一点B,请你在线段AB上取点P,过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q,连接AQ.①若AP=AQ,求点P的横坐标;②若PA=PQ,直接写出点P的横坐标;(3)如图2,△MNE的顶点M,N在抛物线C2上,点M在点N右边,两条直线ME,NE与抛物线C2均有唯一公共点,ME,NE均与y轴不平行.若△MNE的面积为2,设M,N两点的横坐标分别为m,n,求m与n的数量关系.
解析　(1)将C1先向左平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度得到C2.或将C1先向上平移4个单位长度,再向左平移1个单位长度得到C2.(2)①如图,设直线AB与y轴交于点D,延长AQ交y轴于点D',∵C1:y=(x-1)2-4,∴A(3,0),∵直线y=- x+b经过A(3,0),∴b=4,∴D(0,4),则易知D'(0,-4),∴直线AD'的解析式为y= x-4,由 得x1=3,x2= ,∴xQ= ,∴xP=xQ= ,∴点P的横坐标为 .
 ②点P的横坐标为- .详解:由 得x1=- ,x2=3,故B .设点P的横坐标为a ,
∵点P在线段AB上,∴点P的坐标为 ,∵点Q在抛物线C1上,∴点Q的坐标为(a,a2-2a-3).∴PQ2= ,又∵PA=PQ,∴PA2=(a-3)2+ = ,∴(a-3)2=(a-3)(a+1)(a-3) ,又∵a≠3,∴(a+1) =1,∴ (a+4)=0,∴a1=- ,a2=-4(舍),∴点P的横坐标为- .
(3)∵C2:y=x2,∴M(m,m2),N(n,n2),设直线ME的解析式为y=kx+t,∵M(m,m2),∴t=m2-km,由 得x2-kx+km-m2=0,依题意有Δ=k2-4(km-m2)=0,∴k=2m,∴直线ME的解析式为y=2mx-m2,同理,直线NE的解析式为y=2nx-n2,由 得E ,∵M(m,m2),N(n,n2),∴直线MN的解析式为y=(m+n)x-mn,过E作EF∥y轴交MN于点F,则F ,
∴EF= -mn= (m-n)2,∴S△MNE= (m-n)· (m-n)2= (m-n)3=2,∴m-n=2.∴m与n的数量关系为m-n=2. 
5.(2019吉林,26,10分)如图,抛物线y=(x-1)2+k与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C(0,-3),P为抛物线上一点,横坐标为m,且m>0.(1)求此抛物线的解析式;(2)当点P位于x轴下方时,求△ABP面积的最大值;(3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h.①求h关于m的函数解析式,并写出自变量m的取值范围;②当h=9时,直接写出△BCP的面积. 
解析　(1)把(0,-3)代入y=(x-1)2+k,得-3=(0-1)2+k,解得k=-4.所以此抛物线的解析式为y=(x-1)2-4,即y=x2-2x-3.(2)令y=0,得(x-1)2-4=0,解得x1=-1,x2=3.所以A(-1,0),B(3,0),所以AB=4.解法一:由(1)知,抛物线顶点坐标为(1,-4).由题意知,当点P位于抛物线顶点时,△ABP的面积取得最大值,最大值为 ×4×4=8.解法二:由题意,得P(m,m2-2m-3),
所以S△ABP= ×4×(-m2+2m+3)=-2m2+4m+6=-2(m-1)2+8.所以当m=1时,S△ABP有最大值8.(3)①当02时,h=m2-2m-3-(-4)=m2-2m+1.②△BCP的面积为6.提示:当h=9时,即m2-2m+1=9,解得m1=4,m2=-2(舍).所以点P的坐标为(4,5),可求得△BCP的面积为6.
6.(2019贵州贵阳,24,12分)如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且关于直线x=1对称,点A的坐标为(-1,0).(1)求二次函数的表达式;(2)连接BC,若点P在y轴上时,BP和BC的夹角为15°,求线段CP的长度;(3)当a≤x≤a+1时,二次函数y=x2+bx+c的最小值为2a,求a的值. 
　　　　　　　　　　　　　　(备用图)
解析　(1)∵二次函数图象的对称轴是直线x=1,∴- =1,∴b=-2,将(-1,0)代入y=x2-2x+c中,解得c=-3.∴二次函数的表达式为y=x2-2x-3.(2)∵A(-1,0),抛物线的对称轴是直线x=1,∴B(3,0),又∵当x=0时,y=-3,∴C(0,-3),∴OB=OC,∴∠OBC=45°.①当点P在点C上方P1的位置时,如图,∵∠P1BC=15°,∴∠P1BO=30°,在Rt△P1BO中,OP1=OBtan 30°= ,∴CP1=3- .②当点P在点C下方P2的位置时,如图,
∵∠P2BC=15°,∴∠P2BO=60°,在Rt△P2BO中,OP2=OBtan 60°=3 ,∴CP2=3 -3.综上所述,CP的长为3- 或3 -3. (3)①当a+1<1,即a<0时,y随x增大而减小,当x=a+1时,y=x2-2x-3取最小值2a,∴2a=(a+1)2-2(a+1)-3,
解得a1=1+ ,a2=1- ,∵a<0,∴a=1- .②当a≤1≤a+1,即0≤a≤1时,当x=1时,y=x2-2x-3取最小值-4,即2a=-4,a=-2,∵0≤a≤1,∴a=-2不合题意,舍去.③当a>1时,y随x增大而增大,当x=a时,y=x2-2x-3取最小值2a,∴2a=a2-2a-3,解得a1=2+ ,a2=2- ,∵a>1,∴a=2+ .综上,a=1- 或a=2+ .
思路分析　(1)先根据对称轴方程得出b的值,然后代入点A的坐标,求出c的值,即得二次函数解析式;(2)分点P在点C上方和下方两种情况,先求出∠OBP的度数,再利用三角函数求出OP的长,从而得出CP的长度;(3)分a+1<1,a≤1≤a+1,a>1三种情况讨论,结合二次函数的性质求解可得.
解题关键　本题是二次函数的综合问题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三角函数的运用、二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用.
考点二　抛物线与特殊三角形、特殊四边形
1.(2020湖北武汉,24,12分)将抛物线C:y=(x-2)2向下平移6个单位长度得到抛物线C1,再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2.(1)直接写出抛物线C1,C2的解析式;(2)如图1,点A在抛物线C1(对称轴l右侧)上,点B在对称轴l上,△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形,求点A的坐标;(3)如图2,直线y=kx(k≠0,k为常数)与抛物线C2交于E,F两点,M为线段EF的中点;直线y=- x与抛物线C2交于G,H两点,N为线段GH的中点.求证:直线MN经过一个定点.
解析　(1)抛物线C1:y=(x-2)2-6,抛物线C2:y=x2-6.(2)如图1,设点A(m,n),则n=m2-4m-2.当点A在x轴上方时,过点A作AP⊥x轴,过点B作BQ⊥AP,垂足分别为P,Q.∵△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形,∴△ABQ≌△OAP.∴BQ=AP=n,AQ=OP=m,∴m=n+2.联立 解得 或 (不合题意,舍去).∴A(5,3).如图,当点A在x轴下方时,同理求得A(4,-2).综上,点A的坐标是(5,3)或(4,-2).
 (3)证明:由 消去y,得x2-kx-6=0,∴xE+xF=k.∵M为线段EF的中点,∴将EM沿EF方向平移与MF重合,∴xM-xE=xF-xM,∴xM= (xE+xF)= .∴点M的坐标是 .
同理得点N的坐标是 .设MN的解析式为y=ax+b,则 解得 ∴MN的解析式为y= x+2.∴当x=0,k为任意不等于0的实数时,总有y=2,即直线MN过定点(0,2).
思路分析　(1)根据平移的规律可求C1,C2的解析式.(2)先设A(m,n),再分两种情况:①点A在x轴上方时,过点A作AP⊥x轴,过点B作BQ⊥AP,垂足分别为P,Q,先利用△OAB是等腰直角三角形证明△ABQ≌△OAP,由此推出m=n+2,与n=m2-4m-2联立,解出m,n,即得A点坐标;②点A在x轴下方时,同①可求出另一个A点坐标.(3)根据直线y=kx(k≠0,k为常数)与抛物线C2交于E,F两点,联立两个解析式,得到关于x的一元二次方程,根据根与系数的关系求出点M的横坐标,进而求出纵坐标,同理求出点N的坐标,再用待定系数法求出直线MN的解析式,从而证明直线MN过定点即可.
解题关键　抓住△OAB是等腰直角三角形证明△ABQ≌△OAP,并由此推出m、n之间的关系是求出点A 的关键.
易错警示　只考虑点A在x轴的上方而忽略点A在x轴的下方这种情况是解答本题易犯的错误.
2.(2020黑龙江齐齐哈尔,24,14分)在平面直角坐标系中,抛物线y= x2+bx+c经过点A(-4,0),点M为抛物线的顶点,点B在y轴上,且OA=OB,直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6),如图①.(1)求抛物线的解析式;(2)直线AB的函数解析式为　　　    ,点M的坐标为　　　    ,cos∠ABO=　　　    ;连接OC,若过点O的直线交线段AC于点P,将△AOC的面积分成1∶2的两部分,则点P的坐标为　　　    ;(3)在y轴上找一点Q,使得△AMQ的周长最小.具体作法如图②,作点A关于y轴的对称点A',连接MA'交y轴于点Q,连接AM、AQ,此时△AMQ的周长最小.请求出点Q的坐标;(4)在坐标平面内是否存在点N,使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
解析　(1)由已知,得 ∴b=2,c=0.∴y= x2+2x.(2)∵OA=OB,∴OB=4,则B(0,4),设直线AB的解析式为y=kx+m(k≠0),把A(-4,0),B(0,4)代入可得 解得 ∴直线AB的解析式为y=x+4.
由(1)可知y= x2+2x,则y= (x+2)2-2,∴M的坐标为(-2,-2),∵OA=OB=4,∠AOB=90°,∴∠ABO=45°,∴cos∠ABO=cos 45°= .∵OP将△AOC的面积分成1∶2两部分,∴S△APO∶S△ACO=1∶3或S△APO∶S△ACO=2∶3,∵△APO与△ACO有公共底边AO,且点C的坐标为(2,6),∴ = 或 = .∴yP=2或yP=4.∵点P在直线AB上,∴x=-2或x=0.
∴点P的坐标为(-2,2)或(0,4).(3)设直线MA'的解析式为y=k1x+b1(k1≠0),将A'(4,0)和M(-2,-2)代入,得 ∴k1= ,b1=- .∴y= x- .把x=0代入,得y=- .∴Q .(4)存在,N1(-2,6),N2(6,6),N3(-6,-6).详解:由平行四边形的对边平行且相等的性质,可通过平移已知顶点来找到点N.①A到C的平移变换与O到N的平移变换是一致的,即先向上平移6个单位,再向右平移6个单位,因此点O平移后得到N(6,6);②C到A的平移变换与O到N的平移变换是一致的,即先向下平移6个单位,再向左平移6个单位,因此点O平移后得到N(-6,-6);③O到A的平移变换与C到N的平移变换是一致的,即向左平移4个单位,因此C(2,6)平移后得到N(-2,6).
3.(2020重庆A卷,25,10分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c与直线AB相交于A,B两点,其中A(-3,-4),B(0,-1).(1)求该抛物线的函数表达式;(2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点,连接PA,PB,求△PAB面积的最大值;(3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1(a1≠0),平移后的抛物线与原抛物线相交于点C,点D为原抛物线对称轴上的一点,在平面直角坐标系中是否存在点E,使以点B,C,D,E为顶点的四边形为菱形?若存在,请直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.       备用图
解析　(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(-3,-4),点B(0,-1),∴ 解这个方程组,得 ∴该抛物线的函数表达式为y=x2+4x-1. (3分)(2)设直线AB的函数表达式为y=kx+m(k≠0).将点A(-3,-4),点B(0,-1)代入函数表达式,得 解这个方程组,得 ∴直线AB的函数表达式为y=x-1.如图1所示,过点P作PQ⊥x轴交AB于点Q.设P(t,t2+4t-1)(-3∵- =- ,-3<- <0,∴当t=- 时,S△PAB有最大值,最大值为S△PAB= = .∴△PAB面积的最大值为 . (6分) 
图1 图2
(3)如图2所示,满足条件的点E的坐标为(1,-3),(-3,-4+ ),(-3,-4- ),(-1,2). (10分)详解:由(1)可知原抛物线解析式为y=x2+4x-1=(x+2)2-5.∴将抛物线向右平移2个单位长度后的抛物线的解析式为y=x2-5.联立 解得 ∴点C(-1,-4).
联立①③可得s=-1,t=2或-4(舍去).∴点E(-1,2).当点D在点E上方时,则BD=BC,即(-2)2+(m+1)2=12+32.④联立②④得s=-3,t=-4± .∴点E(-3,-4+ )或E(-3,-4- ).当BC是菱形的对角线时,则 ⑤∵BD=BE,∴22+(m+1)2=s2+(t+1)2.⑥联立⑤⑥得s=1,t=-3.∴点E(1,-3).综上,点E的坐标为(-1,2)或(-3,-4+ )或(-3,-4- )或(1,-3).
解题关键　此题第(2)问关键在于利用P点坐标中的参量t表示出三角形PAB的面积,再用二次函数求最值的方法求最大值即可.
4.(2019甘肃兰州,28,12分)二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于A(-1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C,动点M从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动,过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N,交抛物线于点D,连接AC.设运动的时间为t秒.(1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式;(2)连接BD,当t= 时,求△DNB的面积;(3)在直线MN上存在一点P,当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时,求此时点D的坐标;(4)当t= 时,在直线MN上存在一点Q,使得∠AQC+∠OAC=90°,求点Q的坐标.
解析　(1)将A(-1,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+2中,得 解得 ∴二次函数的表达式为y=- x2+ x+2.(2)∵t= ,∴AM=3,又∵OA=1,∴OM=2,设直线BC的解析式为y=kx+n(k≠0),将C,B点的坐标代入,得 解得 ∴直线BC的解析式为y=- x+2.
将x=2分别代入y=- x2+ x+2和y=- x+2中,得D(2,3),N(2,1),∴DN=2.∴S△DNB= ×2×2=2. (3)由题意得BM=5-2t,M(2t-1,0),设P(2t-1,m),
则PC2=(2t-1)2+(m-2)2,PB2=(2t-5)2+m2,∵PB=PC,∴(2t-5)2+m2=(2t-1)2+(m-2)2,∴m=4t-5,∴P(2t-1,4t-5),∵PC⊥PB,∴ · =-1,∴t=1或t=2,经检验t=1或t=2为上述方程的解.∴M(1,0)或M(3,0),∴D(1,3)或D(3,2).(4)当t= 时,AM= ×2= ,∴M ,由(1)知抛物线的对称轴方程是x= ,如图所示,在Rt△OAC中,AC= = ,在Rt△OBC中,BC= = ,又AB=5,∴AC2+BC2=AB2,∴∠ACB=90°,又∠AOC=90°,∴∠ACO=∠ABC,要使∠AQC+∠OAC=90°,只需∠AQC=∠ABC,则点Q在以AB为直径的圆上,且在直线MN上,又点M为圆心,∴MQ= ,∴Q 或Q .
5.(2019山西,23,13分)如图,抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C.点D是抛物线上一个动点,设点D的横坐标为m(1解析　(1)∵抛物线y=ax2+bx+6经过点A(-2,0),B(4,0),∴  (1分)解得  (2分)∴抛物线的函数表达式为y=- x2+ x+6. (3分)(2)作直线DE⊥x轴于点E,交BC于点G.作CF⊥DE,垂足为点F.
 ∵点A的坐标为(-2,0),∴OA=2.由x=0,得y=6.∴点C的坐标为(0,6),∴OC=6.∴S△AOC= OA·OC= ×2×6=6. (4分)∵S△BCD= S△AOC,∴S△BCD= ×6= .设直线BC的函数表达式为y=kx+n(k≠0).
由B,C两点的坐标得 解得 ∴直线BC的函数表达式为y=- x+6. (5分)∴点G的坐标为 .∴DG=- m2+ m+6- =- m2+3m. (6分)∵点B的坐标为(4,0),∴OB=4.∴S△BCD=S△CDG+S△BDG= DG·CF+ DG·BE= DG·(CF+BE)= DG·BO=  ×4=- m2+6m.(7分)∴- m2+6m= . (8分)
解得m1=1(舍去),m2=3,∴m的值是3. (9分)(3)存在,M1(8,0),M2(0,0),M3( ,0),M4(- ,0).(13分)提示:以BD为边时,有3种情况,由点D的坐标可得N点的纵坐标为± ,令二次函数的值等于 或- ,分别求出N2,N3,N4的坐标,进而求出M2,M3,M4的坐标,以BD为对角线时,有1种情况,采用中点坐标公式求得M1的坐标.
考点三　抛物线与全等三角形、相似三角形
1.(2020陕西,24,10分)如图,抛物线y=x2+bx+c经过点(3,12)和(-2,-3),与两坐标轴的交点分别为A,B,C,它的对称轴为直线l.(1)求该抛物线的表达式;(2)P是该抛物线上的点,过点P作l的垂线,垂足为D,E是l上的点.要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等,求满足条件的点P,点E的坐标. 
解析　(1)由题意,得 解之,得 ∴y=x2+2x-3. (3分)(2)由(1)可得,对称轴l为直线x=-1.令y=0,则x2+2x-3=0.解之,得x1=-3,x2=1.∴A(-3,0),B(1,0).令x=0,则y=-3.∴C(0,-3).∴OA=OC=3. (6分)∵∠PDE=∠AOC=90°,∴当PD=DE=3时,△PDE与△AOC全等.设P(m,n),当点P在l右侧时,m-(-1)=3.∴m=2.∴n=22+2×2-3=5.∴P(2,5).∴E(-1,2)或E(-1,8). (9分)当点P在l左侧时,由抛物线的对称性可知,P(-4,5)也满足条件.相应的点E的坐标同上.
∴满足条件的点P,点E的坐标为P(2,5)或P(-4,5),E(-1,2)或E(-1,8). (10分)
疑难突破　(1)求抛物线的表达式,可利用待定系数法列方程组解答.(2)由题意及图象可知△AOC为直角三角形,通过计算得知OA=OC=3,因此△AOC为等腰直角三角形,所以以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等,即PD=DE=3时满足条件,所以对P点位置进行分类讨论(点P在l右侧和左侧),可以结合抛物线的对称性进行说明.
2.(2020四川成都,28,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C(0,-2).(1)求抛物线的函数表达式;(2)如图1,点D为第四象限抛物线上一点,连接AD,BC交于点E,连接BD,记△BDE的面积为S1,△ABE的面积为S2,求 的最大值;(3)如图2,连接AC,BC,过点O作直线l∥BC,点P,Q分别为直线l和抛物线上的点.试探究:在第一象限是否存在这样的点P,Q,使△PQB∽△CAB.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.      
图1　　　　　　　　　　图2
解析　(1)解法一:将(4,0),(0,-2),(-1,0)分别代入y=ax2+bx+c,得 解得 ∴抛物线的函数表达式为y= x2- x-2.解法二:∵A(-1,0),B(4,0)在抛物线上,∴- = = .∴b=-3a.∵C(0,-2)在抛物线上,∴c=-2,∴y=ax2-3ax-2,将(-1,0)代入y=ax2-3ax-2,得a= ,∴抛物线的函数表达式为y= x2- x-2.
(2)过点B作AD边上的高BH,过点D作DG⊥x轴于点G,交BC于点F,过点A作AK⊥x轴,交BC的延长线于点K, ∴ = = = .∵B(4,0),C(0,-2),∴直线BC的表达式为y= x-2,
当x=-1时,y=- ,∴AK= .设D (00).
①当点P在直线BQ右侧时,如图,过P作PN⊥x轴,过Q作QM⊥NP交NP的延长线于M, 则∠QMP=∠PNB=90°,易知∠QPB=∠ACB=90°,∴∠QPM+∠MQP=90°,∠QPM+∠BPN=90°,∴∠MQP=∠NPB,∴△QPM∽△PBN,∴ = = .
∵△PQB∽△CAB,∴ = = = ,∴MP= BN= m-2,MQ= NP= ,∴Q .将Q的坐标代入y= x2- x-2中,得m= (m=0舍去),∴P .②当点P在直线BQ左侧时,由①的方法同理可得Q ,此时P .综上,在第一象限存在符合条件的点P,Q,所有符合条件的点P的坐标为 , .
3.(2019陕西,24,10分)在平面直角坐标系中,已知抛物线L:y=ax2+(c-a)x+c经过点A(-3,0)和点B(0,-6),L关于原点O对称的抛物线为L'.(1)求抛物线L的表达式;(2)点P在抛物线L'上,且位于第一象限,过点P作PD⊥y轴,垂足为D.若△POD与△AOB相似,求符合条件的点P的坐标.
解析　(1)由题意,得 解之,得 ∴L:y=-x2-5x-6. (2分)(2)∵点A、B在L'上的对应点分别为A'(3,0)、B'(0,6),∴设抛物线L'的表达式为y=x2+bx+6.将A'(3,0)代入y=x2+bx+6,得b=-5.∴抛物线L'的表达式为y=x2-5x+6. (4分)∵A(-3,0),B(0,-6),∴AO=3,OB=6.设P(m,m2-5m+6)(m>0).∵PD⊥y轴,∴点D的坐标为(0,m2-5m+6).∴PD=m,OD=m2-5m+6.∵Rt△POD与Rt△AOB相似,∴ = 或 = . (6分)
①当 = ,即 = 时,解之,得m1=1,m2=6.∴P1(1,2),P2(6,12).②当 = ,即 = 时,解之,得m3= ,m4=4.∴P3 ,P4(4,2).∵P1、P2、P3、P4均在第一象限,∴符合条件的点P的坐标为(1,2)或(6,12)或 或(4,2). (10分)
思路分析　(1)把点A和点B的坐标代入抛物线解析式,求出a,c的值即可求得抛物线的解析式;(2)首先求出抛物线L'的解析式,设点P的坐标为(m,m2-5m+6)(m>0),得点D的坐标为(0,m2-5m+6),根据Rt△POD与Rt△AOB相似,分两种情况列出比例式,求出m的值,进而得出点P的坐标.
4.(2019新疆,23,13分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(4,0),C(0,4)三点.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;(2)将(1)中的抛物线向下平移 个单位长度,再向左平移h(h>0)个单位长度,得到新抛物线.若新抛物线的顶点D'在△ABC内,求h的取值范围;(3)点P为线段BC上一动点(点P不与点B,C重合),过点P作x轴的垂线交(1)中的抛物线于点Q,当△PQC与△ABC相似时,求△PQC的面积.
解析　(1)把A(-1,0),B(4,0),C(0,4)代入y=ax2+bx+c中,得 解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4. (3分)∵y=- +4=- + ,∴顶点D的坐标是 . (4分)(2)将抛物线y=- + 向下平移 个单位长度,再向左平移h(h>0)个单位长度得抛物线y'= + .∴新抛物线的顶点D'的坐标是 . (6分)
由题意得,直线BC的解析式为y=-x+4,直线AC的解析式为y=4x+4,当顶点 在直线BC上时, =- +4,解得h=0.当顶点 在直线AC上时, =4 +4,解得h= .∵新抛物线的顶点D'在△ABC内,∴h的取值范围是0 ∵B(4,0),C(0,4),∴OB=OC=4.∵∠BOC=90°,∴∠OBC=∠OCB=45°,∵PQ⊥x轴,∴∠PMB=90°,∴∠CPQ=∠BPM=∠OBC=45°.
∵A(-1,0),B(4,0),C(0,4),∴AB=5,BC=4 .设P(m,-m+4),则Q(m,-m2+3m+4),∴PQ=-m2+4m,CP= m. (9分)由题易得,∠BAC>45°,∠ACB>45°,∴点P与点B是对应点.①当△ABC∽△CPQ时, = ,∴ = .∴m=0(舍)或m= .∴PQ= ,∴S△PQC= × × = . (11分)②当△ABC∽△QPC时, = ,∴ = ,
∴m=0(舍)或m= .∴PQ= ,∴S△PQC= × × = .综上所述,△PQC的面积为 或 . (13分)
考点四　二次函数在实际生活(生产)中的应用
1.(2020山西,9,3分)竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度,v0(m/s)是物体抛出时的速度.某人将一个小球从距地面1.5 m的高处以20 m/s的速度竖直向上抛出,小球达到的离地面的最大高度为 (　　)A.23.5 m　　B.22.5 m　　C.21.5 m　　D.20.5 m
2.(2020辽宁营口,24,12分)某超市销售一款“免洗洗手液”,这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元,当销售单价定为20元时,每天可售出80瓶.根据市场行情,现决定降价销售.市场调查反映:销售单价每降低0.5元,则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价),若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x(元),每天的销售量为y(瓶).(1)求每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)当销售单价为多少元时,销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大,最大利润为多少元?
解析　(1)y=80+20× , (3分)∴y=-40x+880(x≥16). (4分)(2)设每天的销售利润为w元, (5分)w=(-40x+880)(x-16) (7分)=-40(x-19)2+360. (8分)∵a=-40<0,∴二次函数图象开口向下,∴w有最大值. (10分)∴x=19时,w最大,此时w最大值=360. (11分)答:当销售单价为19元时,每天的销售利润最大,最大利润为360元. (12分)
易错警示　在解决第(2)问时,要检验x的取值是否在取值范围内,如果不在,要结合函数的增减性进行判断.
3.(2020内蒙古呼和浩特,24,12分)已知某厂以t小时/千克的速度匀速生产某种产品(生产条件要求0.1解析　(1)依据一次函数和反比例函数的性质得出结论.由已知得y=60 ,当t=1时,y=180,∵当0.1解得t= 或t=-5(舍),经检验,t= 是原方程的解且符合题意.故该厂以 小时/千克的速度匀速生产产品,则1天(按8小时计算)可生产该产品8÷ =24千克.(3)由题意知生产680千克该产品,需要680t小时,设生产680千克该产品获得的利润为w元,则w=680t·60 ,整理得w=40 800(-3t2+t+5),当t= 时,w取最大值,为207 400.故该厂应该选取 小时/千克的生产速度,最大利润为207 400元.
4.(2019湖北武汉,22,10分)某商店销售一种商品,经市场调查发现,该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数.其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表:
注:周销售利润=周销售量×(售价-进价)(1)①求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围);②该商品进价是　　    元/件;当售价是　　    元/件时,周销售利润最大,最大利润是　　    元;(2)由于某种原因,该商品进价提高了m元/件(m>0),物价部门规定该商品售价不得超过65元/件.该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.若周销售最大利润是1 400元,求m的值.
解析　(1)①设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),依题意有 解得 ∴y与x的函数关系式是y=-2x+200.②40;70;1 800.进价是50-(1 000÷100)=40元/件.w=(-2x+200)(x-40)=-2(x-70)2+1 800,∴当售价为70元/件时,周销售利润最大,最大利润是1 800元.(2)依题意有w=(-2x+200)(x-40-m)=-2x2+(2m+280)x-8 000-200m=-2 + m2-60m+1 800,∵m>0,∴ >70,∵-2<0,∴抛物线开口向下,∵x≤65,∴w随x的增大而增大,
∴当x=65时,w有最大值,为(-2×65+200)(65-40-m),∴(-2×65+200)(65-40-m)=1 400,∴m=5.∴若周销售最大利润是1 400元,则m的值为5.
5.(2019四川成都,26,8分)随着5G技术的发展,人们对各类5G产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售一款5G产品,根据市场分析,该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x(x为正整数)个销售周期每台的销售价格为y元,y与x之间满足如图所示的一次函数关系.(1)求y与x之间的关系式;(2)设该产品在第x个销售周期的销售数量为p(万台),p与x的关系可以用p= x+ 来描述.根据以上信息,试问:哪个销售周期的销售收入最大?此时该产品每台的销售价格是多少元? 
解析　(1)设y=kx+b(k≠0),把(1,7 000)和(5,5 000)代入,得 解得 ∴y与x之间的关系式为y=-500x+7 500.(2)设第x个销售周期的销售收入为w万元,则w=p·y= (-500x+7 500)=-250(x-7)2+16 000.∵-250<0,∴当x=7时,w有最大值,此时y=-500×7+7 500=4 000.答:第7个销售周期的销售收入最大,此时该产品每台的销售价格是4 000元.
方法总结　用待定系数法可以求得函数解析式,用配方法可以求得二次函数的最值.
考点一　抛物线与线段长、面积、角度
教师专用题组
1.(2020云南,23,12分)抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,-3).点P为抛物线y=x2+bx+c上的一个动点.过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E.(1)求b、c的值;(2)设点F在抛物线y=x2+bx+c的对称轴上,当△ACF的周长最小时,直接写出点F的坐标;(3)在第一象限,是否存在点P,使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍?若存在,求出点P所有的坐标;若不存在,请说明理由.
解析　(1)将A(-1,0),C(0,-3)分别代入y=x2+bx+c,得  (1分)解得 ∴b=-2,c=-3. (3分)(2)点F的坐标为(1,-2). (7分)提示:设抛物线的对称轴与x轴交于点G,因为AC的长为定值,所以当AF+CF的长最小时,△ACF的周长最小,由(1)易得G(1,0),B(3,0),点A关于直线FG的对称点为点B,当点B、C、F在一条直线上时,AF+CF的长最小.∵OC∥GF,∴△BGF∽△BOC,∴ = ,∴GF=2,∴F(1,-2).(3)存在满足要求的点P,且点P的坐标为(5,12).由(1)知b=-2,c=-3,∴y=x2-2x-3.
令y=0,得0=x2-2x-3,解得x1=-1,x2=3,∵A(-1,0),∴B(3,0).设直线BC的解析式为y=kx+m(k≠0),把B(3,0),C(0,-3)代入y=kx+m,得 解得 ∴直线BC的解析式为y=x-3. 
设P(n,n2-2n-3),根据题意得n>3,E(n,n-3),D(n,0),PE=n2-3n,DE=n-3. (9分)∵点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍,∴以BE为底的△BEP的面积是以BE为底的△BED面积的5倍,即S△BEP=5S△BED.∵S△BEP= PE·BD,S△BED= DE·BD,∴ PE·BD=5× DE·BD,∴PE=5DE. (11分)∴n2-3n=5(n-3),即(n-3)(n-5)=0,解得n=3或n=5.∵n>3,∴n=5,∴y=52-2×5-3=12,∴点P的坐标为(5,12). (12分)
思路分析　(1)用待定系数法可求出b、c的值;(2)运用轴对称及三角形相似可求得点F的坐标;(3)求出直线BC的解析式,设出点P,点E的坐标,再分别表示线段PE,DE的长,将题中的距离关系转化为三角形的面积关系,可得S△BEP=5S△BED,进而得出PE=5DE,解方程求出点P的坐标.
2.(2020云南昆明,22,8分)如图,两条抛物线y1=-x2+4,y2=- x2+bx+c相交于A,B两点,点A在x轴负半轴上,且为抛物线y2的最高点.(1)求抛物线y2的解析式和点B的坐标;(2)点C是抛物线y1上A,B之间的一点,过点C作x轴的垂线交抛物线y2于点D,当线段CD取最大值时,求S△BCD. 
解析　(1)解法一:当y1=0时,即-x2+4=0,解得x=±2,∵点A在x轴负半轴上,∴A(-2,0), (1分)∵y2=- x2+bx+c的最高点为A(-2,0),∴ 解得  (2分)∴抛物线y2的解析式为y2=- x2- x- . (3分)当y1=y2时,即-x2+4=- x2- x- ,解得x1=3,x2=-2(舍去). (4分)∴当x=3时,y=-32+4=-5,∴B(3,-5). (5分)
解法二:当y1=0时,即-x2+4=0,解得x=±2,∵点A在x轴负半轴上,∴A(-2,0), (1分)∵y2=- x2+bx+c的最高点为A(-2,0),∴抛物线y2的解析式为y2=- (x+2)2,即y2=- x2- x- . (3分)当y1=y2时,即-x2+4=- x2- x- ,解得x1=3,x2=-2(舍去). (4分)∴当x=3时,y=-32+4=-5,∴B(3,-5). (5分)
(2)如图,设点C(m,-m2+4),则点D ,∵点C是抛物线y1上A,B之间的一点,∴-2∴BE=3- = ,∴S△BCD= CD·BE= ×5× = . (8分)(其他解法参照此标准给分)
3.(2020天津,25,10分)已知点A(1,0)是抛物线y=ax2+bx+m(a,b,m为常数,a≠0,m<0)与x轴的一个交点.(1)当a=1,m=-3时,求该抛物线的顶点坐标;(2)若抛物线与x轴的另一个交点为M(m,0),与y轴的交点为C,过点C作直线l平行于x轴,E是直线l上的动点,F是y轴上的动点,EF=2 .①当点E落在抛物线上(不与点C重合),且AE=EF时,求点F的坐标;②取EF的中点N,当m为何值时,MN的最小值是 ?
解析　(1)当a=1,m=-3时,抛物线的解析式为y=x2+bx-3.∵抛物线经过点A(1,0),∴0=1+b-3,解得b=2.∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3.∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4,∴抛物线的顶点坐标为(-1,-4).(2)①∵抛物线y=ax2+bx+m经过点A(1,0)和M(m,0),m<0,∴0=a+b+m,0=am2+bm+m,即am+b+1=0.∴a=1,b=-m-1.∴抛物线的解析式为y=x2-(m+1)x+m.根据题意,得点C(0,m),点E(m+1,m),过点A作AH⊥l于点H.由点A(1,0),得点H(1,m).在Rt△EAH中,EH=1-(m+1)=-m,HA=0-m=-m,
∴AE= =- m.∵AE=EF=2 ,∴- m=2 ,解得m=-2.此时,点E(-1,-2),点C(0,-2),EC=1.∵点F在y轴上,∴在Rt△EFC中,CF= = .∴点F的坐标为(0,-2- )或(0,-2+ ).②由N是EF的中点,得CN= EF= .根据题意,点N在以点C为圆心、 为半径的圆上.由点M(m,0),点C(0,m),得MO=-m,CO=-m.∴在Rt△MCO中,MC= =- m.当MC≥ ,即m≤-1时,满足条件的点N落在线段MC上,MN的最小值为MC-NC=- m- = ,解得m=- ;
当MC< ,即-14.(2019内蒙古呼和浩特,25,12分)已知二次函数y=ax2-bx+c且a=b,若一次函数y=kx+4与二次函数的图象交于点A(2,0).(1)写出一次函数的解析式,并求出二次函数图象与x轴交点坐标;(2)当a>c时,求证:直线y=kx+4与抛物线y=ax2-bx+c一定还有另一个异于点A的交点;(3)当c解析　(1)由已知可得2k+4=0,∴k=-2,∴一次函数解析式为y=-2x+4,又∵ ∴c=-2a,∴y=ax2-ax-2a=a(x-2)(x+1),∴抛物线y=ax2-ax-2a与x轴的交点坐标为(-1,0)和(2,0).(2)证明:联立 得ax2+(2-a)x-(2a+4)=0,∴Δ=(2-a)2+4a(2a+4)=(3a+2)2,∵a>c,即a>-2a,∴a>0,∴(3a+2)2>0,
∴方程ax2+(2-a)x-(2a+4)=0有两个相异的实数根,∴y=-2x+4与y=ax2-ax-2a的图象有两个不同的交点,又∵其中一个交点为A(2,0),∴一定还有另一个异于A的交点.(3)设点B的横坐标为x2,ax2+(2-a)x-(2a+4)=(x-2)(ax+a+2)=0,∴x2=-1- ,∴另外一个交点B的坐标为 .又∵M ,N ,∴MN=3+ ,
∴ S△AMN= × · · = · ,S△BMN=   =   ,∴S=  =3a- + ,由c思路分析　(1)把(2,0)代入两函数解析式,再由a=b,可得结论;(2)联立直线方程与抛物线解析式,转化为以x为未知数的一元二次方程,根据Δ恒大于0可知两函数图象有两个不同的交点,结论成立;(3)由一元二次方程得B点横坐标,进而得B ,根据题意得M ,N ,进而表示出 S△AMN,S△BMN,得S=3a- + ,当05.(2019天津,25,10分)已知抛物线y=x2-bx+c(b,c为常数,b>0)经过点A(-1,0),点M(m,0)是x轴正半轴上的动点.(1)当b=2时,求抛物线的顶点坐标;(2)点D(b,yD)在抛物线上,当AM=AD,m=5时,求b的值;(3)点Q 在抛物线上,当 AM+2QM的最小值为 时,求b的值.
解析　(1)∵抛物线y=x2-bx+c经过点A(-1,0),∴1+b+c=0,即c=-b-1,当b=2时,y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴抛物线的顶点坐标为(1,-4).(2)由(1)知,抛物线的解析式为y=x2-bx-b-1,∵点D(b,yD)在抛物线y=x2-bx-b-1上,∴yD=b2-b·b-b-1=-b-1.由b>0,得b> >0,-b-1<0,
∴点D(b,-b-1)在第四象限,且在抛物线对称轴x= 的右侧.如图,过点D作DE⊥x轴,垂足为E,则点E(b,0),∴AE=b+1,DE=b+1,∴AE=DE,∴在Rt△ADE中,∠ADE=∠DAE=45°,∴AD= AE,又已知AM=AD,m=5,∴5-(-1)= (b+1),∴b=3 -1.(3)∵点Q 在抛物线y=x2-bx-b-1上,∴yQ= -b -b-1=- - ,可知点Q 在第四象限,且在直线x=b的右侧,
考虑到 AM+2QM=2 ,可取点N(0,1),如图,过点Q作直线AN的垂线,垂足为G,QG与x轴相交于点M,
有∠GAM=45°,得 AM=GM,则此时点M满足题意.过点Q作QH⊥x轴于点H,则点H ,在Rt△MQH中,可知∠QMH=∠MQH=45°,∴QH=MH,QM= MH,∵点M(m,0),∴0- = -m,解得m= - .∵ AM+2QM= ,∴  +2   -  = .∴b=4.
解题关键　在第(3)问中确定点M的位置及求得m= - 是解题的关键.
6.(2018四川成都,28,12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,以直线x= 为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c 与直线l:y=kx+m(k>0)交于A(1,1),B两点,与y轴交于点C(0,5),直线l与y轴交于点D.(1)求抛物线的函数表达式;(2)设直线l与抛物线的对称轴的交点为F,G是抛物线上位于对称轴右侧的一点,若 = ,且△BCG与△BCD的面积相等,求点G的坐标;(3)若在x轴上有且只有一点P,使∠APB=90°,求k的值.
解析　(1)由题意可得 解得 ∴抛物线的函数表达式为y=x2-5x+5.(2)作AM⊥x轴,BN⊥x轴,垂足分别为M,N, 设对称轴与x轴交于Q点,则 = = .
∵MQ= ,∴QN=2,∴B ,∴ 解得 ∴直线l的解析式为y= x+ ,则D .易知直线BC的解析式为y=- x+5.∵S△BCD=S△BCG,∴①DG1∥BC(G1在BC下方),直线DG1的解析式为y=- x+ ,∴- x+ =x2-5x+5,即2x2-9x+9=0,∴x1= ,x2=3,∵x> ,∴x=3,∴G1(3,-1).
②G在BC上方时,直线G2G3与DG1关于直线BC对称.∴直线G2G3的解析式为y=- x+ ,∴- x+ =x2-5x+5,∴2x2-9x-9=0.∴x1= ,x2= ,∵x> ,∴x= ,∴G2 .综上所述,点G的坐标为(3,-1)或 .(3)由题意可知,k+m=1.∴m=1-k,∴y=kx+1-k,∴kx+1-k=x2-5x+5,即x2-(k+5)x+k+4=0,∴x1=1,x2=k+4,∴B(k+4,k2+3k+1).
取AB的中点O', ∵P点有且只有一个,∴以AB为直径的圆与x轴只有一个交点,即该圆与x轴相切,且P为切点,作AM⊥x轴,BN⊥x轴,垂足分别为M,N,连接O'P,AP,BP.∴O'P⊥x轴,∴P为MN的中点,∴P .
易知△AMP∽△PNB,∴ = ,∴AM·BN=PN·PM,∴1×(k2+3k+1)=  ,即3k2+6k-5=0,Δ=96>0,∵k>0,∴k= =-1+ .
7.(2017内蒙古呼和浩特,25,10分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C,其顶点记为M,自变量x=-1和x=5对应的函数值相等.若点M在直线l:y=-12x+16上,点(3,-4)在抛物线上.(1)求该抛物线的解析式;(2)设y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P,在x轴上有一点A ,试比较锐角∠PCO与∠ACO的大小(不必证明),并写出相应的P点横坐标x的取值范围;(3)直线l与抛物线另一交点记为B,Q为线段BM上一动点(点Q不与M重合).设Q点坐标为(t,n),过Q作QH⊥x轴于点H,将以点Q,H,O,C为顶点的四边形的面积S表示为t的函数,标出自变量t的取值范围,并求出S可能取得的最大值.
解析　(1)∵x=-1和x=5对应的函数值相等,∴抛物线的对称轴为直线x=2.设顶点M的坐标为(2,p),则p=-12×2+16=-8,∴M(2,-8).由题意得 解得 ∴抛物线的解析式为y=4x2-16x+8.(2)由(1)知M(2,-8),易知C(0,8).当x= 时,∠PCO=∠ACO;当2+ 当 ∠ACO.(3)由 解得 或 ∴B点的坐标为(-1,28).∵Q为线段BM上一动点,且不与M重合,∴Q(t,-12t+16)(-1≤t<2).①当-1≤t<0时,S= (-t)(-12t+16-8)+8(-t)=6t2-12t=6(t-1)2-6,∵-1≤t<0,∴当t=-1时,S最大,且Smax=18.②当0③当 8.(2017天津,25,10分)已知抛物线y=x2+bx-3(b是常数)经过点A(-1,0).(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标;(2)P(m,t)为抛物线上的一个动点,P关于原点的对称点为P'.①当点P'落在该抛物线上时,求m的值;②当点P'落在第二象限内,P'A2取得最小值时,求m的值.
解析　(1)∵抛物线y=x2+bx-3经过点A(-1,0),∴0=1-b-3,解得b=-2,∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4,∴抛物线的顶点坐标为(1,-4).(2)①由点P(m,t)在抛物线y=x2-2x-3上,有t=m2-2m-3,又点P'和P关于原点对称,∴P'(-m,-t),∵点P'落在抛物线y=x2-2x-3上,∴-t=(-m)2-2(-m)-3,即t=-m2-2m+3,∴m2-2m-3=-m2-2m+3,解得m1= ,m2=- .故m的值为 或- .②由题意知,P'(-m,-t)在第二象限,
∴-m<0,-t>0,即m>0,t<0,又抛物线y=x2-2x-3的顶点坐标是(1,-4),且开口向上,∴-4≤t<0.过点P'作P'H⊥x轴,H为垂足,则有H(-m,0),又A(-1,0),t=m2-2m-3,则P'H2=t2,AH2=(-m+1)2=m2-2m+1=t+4,当点A和H不重合时,在Rt△P'AH中,P'A2=P'H2+AH2;当点A和H重合时,AH=0,P'A2=P'H2,符合上式.∴P'A2=P'H2+AH2,即P'A2=t2+t+4(-4≤t<0).记y'=t2+t+4,则y'= + (-4≤t<0),∴当t=- 时,y'取得最小值,把t=- 代入t=m2-2m-3,得- =m2-2m-3,
解得m1= ,m2= ,由m>0,可知m= 不符合题意,∴m= .
考点二　抛物线与特殊三角形、特殊四边形
1.(2020吉林,26,10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=- x2+bx+ 与x轴正半轴交于点A,且点A的坐标为(3,0),过点A作垂直于x轴的直线l.P是该抛物线上的任意一点,其横坐标为m,过点P作PQ⊥l于点Q;M是直线l上的一点,其纵坐标为-m+ .以PQ,QM为边作矩形PQMN.(1)求b的值;(2)当点Q与点M重合时,求m的值;(3)当矩形PQMN是正方形,且抛物线的顶点在该正方形内部时,求m的值;(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时,直接写出m的取值范围.
解析　(1)根据题意,得- ×32+3b+ =0.解得b=1. (2分)(2)根据题意,得点P的坐标为 .∵PQ⊥l,∴点Q的坐标为 .∵点Q与点M重合,且点M的坐标为 ,∴- m2+m+ =-m+ . (3分)解得m1=0,m2=4. (4分)(3)将y=- x2+x+ 配方,得y=- (x-1)2+2,∴抛物线顶点的坐标为(1,2). (5分)
根据题意,得点N的坐标为 .如图①. 图①∵顶点(1,2)在正方形PQMN的内部,∴-m+ >2,∴m<- .
∴PN=-m+ - = m2-2m,PQ=3-m.∵四边形PQMN是正方形,∴PN=PQ,∴ m2-2m=3-m, (6分)∴m1=1+ (舍去),m2=1- .∴m的值为1- . (7分)(4)当04时,抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小. (10分)提示:如图②、图③. 
图②  图③
思路分析　(1)将A点坐标代入函数解析式即可求得b的值;(2)分别表示出点Q、M的坐标,根据点Q、M的纵坐标相同列出方程求解即可;(3)根据抛物线顶点在正方形内部,得M点的纵坐标大于抛物线顶点的纵坐标,即-m+ >2,得m的取值范围,分别表示出PQ和PN的长度,根据矩形PQMN是正方形时PN=PQ,即可求得m的值;(4)根据函数图象对点P的位置进行分类讨论,结合点Q在点M的上方或在点M的下方分析即可.
解后反思　针对二次函数与几何综合的题目,首先要考虑的是代数与几何知识之间的相互关联,找出其中的内在联系.尤其对于线段间的数量关系问题,常用解决方法为:①利用函数解析式,用同一参数分别表示出两端点的坐标;②根据所求线段的特点进行计算(平行于x轴的,其长度等于右端点的横坐标减去左端点的横坐标;平行于y轴的,其长度等于上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标).
2.(2020四川南充,25,12分)已知二次函数图象过点A(-2,0),B(4,0),C(0,4).(1)求二次函数的解析式;(2)如图,当点P为AC的中点时,在线段PB上是否存在点M,使得∠BMC=90°?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;(3)点K在抛物线上,点D为AB的中点,直线KD与直线BC的夹角为锐角θ,且tan θ= ,求点K的坐标. 
解析　(1)二次函数的图象过点A(-2,0),B(4,0),设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-4)(a≠0). (2分)又二次函数的图象过点C(0,4),∴-8a=4,∴a=- .故二次函数的解析式为y=- x2+x+4. (3分)(2)线段上存在M ,使得∠BMC=90°.理由如下:设BC中点为Q,连接MQ,由题意,易知Q的坐标为(2,2),BC=4 .若∠BMC=90°,则MQ= BC=2 . (4分)∵A(-2,0),C(0,4),∴AC的中点P的坐标为(-1,2).设PB所在的直线为y=kx+b(k≠0),则 解得 ∴PB所在的直线为y=- x+ . (5分)
M在线段PB上,设M的坐标为 ,其中-1≤n≤4.如图1,分别过M,Q作y轴与x轴的垂线l1,l2,设l1,l2相交于点T, 图1∴QT= = ,MT=|n-2|. (6分)∵MQ2=QT2+MT2,∴ +(n-2)2=8.
整理得29n2-92n-96=0,解得n=- 或n=4.当n=4时,B,M重合,不合题意(舍去),∴n=- ,则M的坐标为 ,此时∠BMC=90°. (7分)(3)如图2,过点D作DE⊥BC于点E,设直线DK与BC交于点N. 图2∵D(1,0),B(4,0),∠EBD=45°,
∴DB=3,DE= ,E . (8分)∵C(0,4),∴直线BC的解析式为y=-x+4.在Rt△DNE中,NE= = = . (9分)①若DK与射线EC交于点N(m,4-m),则NE=  = ,∴m= ,∴N . (10分)∴直线DK的解析式为y=4x-4.联立 解得 或  (11分)
②若DK与射线EB交于点N(m,4-m),则NE=  = ,∴m= ,∴N .∴直线DK的解析式为y= x- .联立 解得 或 
综上所述,抛物线上符合条件的点K的坐标为(2,4)或(-8,-36)或 或 . (12分)
3.(2019黑龙江齐齐哈尔,24,14分)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,OA=2,OC=6,连接AC和BC.(1)求抛物线的解析式;(2)点D在抛物线的对称轴上,当△ACD的周长最小时,点D的坐标为　　　    ;(3)点E是第四象限内抛物线上的动点,连接CE和BE.求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标;(4)若点M是y轴上的动点,在坐标平面内是否存在点N,使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
解析　(1)∵OA=2,OC=6,∴A(-2,0),C(0,-6), (1分)∴ ∴  (2分)∴y=x2-x-6. (3分)(2)D . (5分)详解:如图,点A关于对称轴对称的点为点B,直线BC与对称轴的交点即为点D,此时AD+CD最短,所以△ACD周长最短.
 由y=x2-x-6可得B(3,0),C(0,-6),对称轴为直线x= .设直线BC:y=kx+m,则 解得 ∴直线BC的解析式为y=2x-6,∵D点在对称轴x= 上,∴xD= ,∵D点在直线BC上,∴yD=2× -6=-5.∴D .
(3)过点E作直线EG⊥x轴于点G,交直线BC于点F,设点E坐标为(x,x2-x-6)(0(4)存在,N的坐标为(-2,2 ),(-2,-2 ),(2,0), .(14分)详解:∵A(-2,0),C(0,-6),∴AC= =2 ,易求得直线AC的解析式为y=-3x-6.如图1,若AC为边,则存在3个N点.①当AN∥MC时,∵以A,C,M,N为顶点的四边形是菱形,∴AN=AC=2 ,AN⊥x轴,∴可得N1(-2,2 ),N2(-2,-2 ).②当AN⊥MC时,易求得N3(2,0).如图2,若AC不为边,则存在1个N点.∵四边形AN4CM4为菱形,∴AC⊥M4N4,E为AC,M4N4中点,∵直线AC解析式为y=-3x-6,
∴可设直线M4N4解析式为y= x+n.∵E为AC中点,A(-2,0),C(0,-6),∴E(-1,-3),∵E在直线M4N4上,∴ ×(-1)+n=-3,得n=- ,∴直线M4N4解析式为y= x- .∴M4 ,∵E为M4N4中点,∴由中点坐标公式可得N4 .综上所述,符合条件的N点坐标为(-2,2 ),(-2,-2 ),(2,0), .
4.(2019福建,25,14分)已知抛物线y=ax2+bx+c(b<0)与x轴只有一个公共点.(1)若抛物线与x轴的公共点坐标为(2,0),求a,c满足的关系式;(2)设A为抛物线上的一个定点,直线l:y=kx+1-k与抛物线交于点B,C,直线BD垂直于直线y=-1,垂足为D.当k=0时,直线l与抛物线的一个交点在y轴上,且△ABC是等腰直角三角形.①求点A的坐标和抛物线的解析式;②证明:对于每个给定的实数k,都有A,C,D三点共线.
解析　(1)依题意, Δ=b2-4ac=0,- =2,所以(-4a)2-4ac=0,因为a≠0,所以c=4a,即a,c满足的关系式为c=4a.(2)①当k=0时,直线l为y=1,它与y轴的交点为(0,1).因为直线y=1与x轴平行,所以等腰直角△ABC的直角顶点只能是A,且A是抛物线的顶点.过A作AM⊥BC,垂足为M,则AM=1,所以BM=MC=AM=1,故点A的坐标为(1,0).所以抛物线的解析式可改写为y=a(x-1)2.因为抛物线过点(0,1),所以1=a(0-1)2,解得a=1.所以抛物线的解析式为y=(x-1)2,即y=x2-2x+1.②证明:设B(x1,y1),C(x2,y2),则D(x1,-1).由 得x2-(k+2)x+k=0.Δ=(k+2)2-4k=k2+4>0,
由抛物线的对称性,不妨设x1所以直线AD的解析式为y=- x+ .因为y2- =(x2-1)2+ = = =0,即y2=- x2+ ,所以点C(x2,y2)在直线AD上.故对于每个给定的实数k,都有A,C,D三点共线.
5.(2019河南,23,11分)如图,抛物线y=ax2+ x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C,直线y=- x-2经过点A,C.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线,交直线AC于点M,设点P的横坐标为m.①当△PCM是直角三角形时,求点P的坐标;②作点B关于点C的对称点B',则平面内存在直线l,使点M,B,B'到该直线的距离都相等.当点P在y轴右侧的抛物线上,且与点B不重合时,请直接写出直线l:y=kx+b的解析式.(k,b可用含m的式子表示)
解析　(1)∵直线y=- x-2交x轴于点A,交y轴于点C,∴A(-4,0),C(0,-2).∵抛物线y=ax2+ x+c经过点A,C,∴ ∴ ∴抛物线的解析式为y= x2+ x-2. (3分)(2)∵点P的横坐标为m,∴点P的坐标为 .①当△PCM是直角三角形时,有以下两种情况:当∠CPM=90°时,PC∥x轴, m2+ m-2=-2.解得m1=0(舍去),m2=-2.
∴点P的坐标为(-2,-2). (5分)当∠PCM=90°时,过点P作PN⊥y轴于点N,∴∠CNP=∠AOC=90°.∵∠NCP+∠ACO=∠OAC+∠ACO=90°,∴∠NCP=∠OAC.∴△CNP∽△AOC.∴ = .∵C(0,-2),N ,∴CN= m2+ m,PN=m.即 = ,解得m3=0(舍去),m4=6.∵当m=6时, m2+ m-2=10,∴点P的坐标为(6,10).综上所述,点P的坐标为(-2,-2)或(6,10). (8分)
②y=x- m-2或y= x-2或y= x-2. (11分)提示:满足条件的直线l即△MBB'的三条中位线所在的直线.当y=0时, x2+ x-2=0,解得x1=-4,x2=2,∴点B的坐标为(2,0).∵点C的坐标为(0,-2),点B,B'关于点C对称,∴点B'的坐标为(-2,-4).∵点P的横坐标为m(m>0),∴点M的坐标为 .利用待定系数法可求出直线BB'的解析式为y=x-2;直线BM的解析式为y=- x+ ;直线B'M的解析式为y= x- .
分三种情况考虑:当直线l∥BB'且过线段CM的中点N 时,直线l的解析式为y=x- m-2;当直线l∥BM且过点C时,直线l的解析式为y=- x-2;当直线l∥B'M且过点C时,直线l的解析式为y= x-2.综上所述,直线l的解析式为y=x- m-2或y=- x-2或y= x-2.
6.(2018辽宁沈阳,25,12分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx-1经过点A(-2,1)和点B(-1,-1),抛物线C2:y=2x2+x+1,动直线x=t与抛物线C1交于点N,与抛物线C2交于点M.(1)求抛物线C1的表达式;(2)直接用含t的代数式表示线段MN的长;(3)当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时,求t的值;(4)在(3)的条件下,设抛物线C1与y轴交于点P,点M在y轴右侧的抛物线C2上,连接AM交y轴于点K,连接KN,在平面内有一点Q,连接KQ和QN.当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时,请直接写出点Q的坐标.
　　　　　　　　　　　　备用图1　　　　　备用图2
解析　(1)∵抛物线C1:y=ax2+bx-1经过点A(-2,1)和B(-1,-1),∴ 解得 ∴抛物线C1的表达式为y=x2+x-1.(2)MN=t2+2.(3)共分两种情况:①当∠ANM=90°,AN=MN时,依题意得N(t,t2+t-1),A(-2,1),∴AN=t-(-2)=t+2,由(2)得MN=t2+2,∴t+2=t2+2,解得t1=0,t2=1,∵t=0时,∠AMN=90°,不符合题意,舍去,∴t=1.②当∠AMN=90°,AM=MN时,依题意得M(t,2t2+t+1),A(-2,1),∴AM=t-(-2)=t+2,由(2)得MN=t2+2,
∴t+2=t2+2,∴t3=0,t4=1,∵t=1时,∠ANM=90°,不符合题意,舍去,∴t=0,综上所述,t的值为0或1.(4)(0,2),(-1,3), , .详解:如图1,在(3)的条件下,由点M在y轴右侧的抛物线C2上,可得t=1,∴M(1,4),N(1,1),P(0,-1).易知直线AM的解析式为y=x+3,则K(0,3).∴PB=KQ=1,PN=KN= . 
图1
①如图2,分别过点P、K作PF⊥MN于F,KE⊥MN于E,可得E(1,3),F(1,-1),进一步得到KE=PF,NE=NF,于是△KEN≌△PFN,∴∠KNE=∠PNF,由坐标可知B、P、F三点共线.若Q1在EK的延长线上且∠Q1NE=∠BNF,则△Q1NE≌△BNF,此时Q1E=BF,即Q1K=1,且∠Q1NK=∠BNP,∴Q1(-1,3). 图2②由①得Q1E=2=EN,∠Q1EN=90°,∴∠EQ1N=45°,若Q2为Q1N与y轴的交点,则Q2K=Q1K=1,且∠Q2NK=∠BNP,∴Q2(0,2).③如图3,作点Q1、Q2关于直线KN的对称点Q3、Q4,则Q3K=Q4K=1,且∠Q3NK=∠BNP、∠Q4NK=∠BNP,连
接Q1Q3,设Q3(a,b),则Q1Q3的中点H 在直线KN:y=-2x+3上,∴2a+b=5.又Q1Q3⊥KN,∴∠KQ1Q3与∠KNA互余,∴tan∠KQ1Q3= = ,即 = ,∴a-2b=-7.解方程组 得 ∴Q3 .④同③可得Q4点坐标为 .
 图3
7.(2018福建,25,14分)已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(0,2).(1)若点(- ,0)也在该抛物线上,求a,b满足的关系式;(2)若该抛物线上任意不同两点M(x1,y1),N(x2,y2)都满足:当x10;当0解析　(1)因为抛物线过点A(0,2),所以c=2.又因为点(- ,0)也在抛物线上,所以a(- )2+b(- )+c=0.即2a- b+2=0(a≠0).(2)①x10,得y1-y2<0,即当x<0时,y随x的增大而增大;同理可得,当x>0时,y随x的增大而减小.所以抛物线的对称轴为y轴且开口向下,则b=0.因为以O为圆心,OA为半径的圆与抛物线交于另两点B,C,所以△ABC是等腰三角形,又因为△ABC有一个内角为60°,故△ABC为等边三角形.设线段BC与y轴的交点为D,则BD=CD,且∠OCD=30°,又因为OC=OA=2,所以CD=OC·cos 30°= ,OD=OC·sin 30°=1.
不妨设C在y轴右侧,则点C坐标为( ,-1).因为点C在抛物线上,且c=2,b=0,所以3a+2=-1,解得a=-1.所以所求抛物线的解析式为y=-x2+2. ②证明:设点M的坐标为(x1,- +2),点N的坐标为(x2,- +2).直线OM的解析式为y=k1x,因为O,M,N三点共线,所以x1≠0,x2≠0,且 = ,
即-x1+ =-x2+ ,化为x1-x2=- ,由x1≠x2,得x1x2=-2,即x2=- ,所以点N的坐标为 ,设点N关于y轴的对称点为点N',则点N'的坐标为 .因为点P与点O关于点A对称,所以OP=2OA=4,即点P坐标为(0,4).设直线PM的解析式为y=k2x+4,因为点M的坐标为(x1,- +2),所以- +2=k2x1+4,则k2=- ,
即直线PM的解析式为y=- x+4.因为- · +4= =- +2,即点N'在直线PM上,所以PA平分∠MPN. 
8.(2018河南,23,11分)如图,抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线y=x-5经过点B,C.(1)求抛物线的解析式;(2)过点A的直线交直线BC于点M.①当AM⊥BC时,过抛物线上一动点P(不与点B,C重合),作直线AM的平行线交直线BC于点Q,若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,求点P的横坐标;②连接AC,当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时,请直接写出点M的坐标.
解析　(1)∵直线y=x-5交x轴于点B,交y轴于点C,∴B(5,0),C(0,-5),∵抛物线y=ax2+6x+c过点B,C,∴ ∴ ∴抛物线的解析式为y=-x2+6x-5. (3分)(2)①∵OB=OC=5,∠BOC=90°,∴∠ABC=45°.∵抛物线y=-x2+6x-5交x轴于A,B两点,∴A(1,0).∴AB=4.∵AM⊥BC,∴AM=2 .∵PQ∥AM,∴PQ⊥BC.若以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,则PQ=AM=2 .过点P作PD⊥x轴交直线BC于点D,则∠PDQ=45°.∴PD= PQ=4. (5分)设P(m,-m2+6m-5),则D(m,m-5).
分两种情况讨论如下:(i)当点P在直线BC上方时,PD=-m2+6m-5-(m-5)=-m2+5m=4.∴m1=1(舍去),m2=4. (7分)(ii)当点P在直线BC下方时,PD=m-5-(-m2+6m-5)=m2-5m=4.∴m3= ,m4= .综上,点P的横坐标为4或 或 . (9分)②M 或 . (11分)提示:作AC的垂直平分线,交BC于点M1,连接AM1,过点A作AN⊥BC于点N,将△ANM1沿AN翻折,得到△ANM2,点M1,M2的坐标即为所求.
考点三　抛物线与全等三角形、相似三角形
1.(2020山东潍坊,25,13分)如图,抛物线y=ax2+bx+8(a≠0)与x轴交于点A(-2,0)和点B(8,0),与y轴交于点C,顶点为D,连接AC,BC,BC与抛物线的对称轴l交于点E.(1)求抛物线的表达式;(2)点P是第一象限内抛物线上的动点,连接PB,PC,当S△PBC= S△ABC时,求点P的坐标;(3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点,在射线ED上是否存在点M,使得以点M,N,E为顶点的三角形与△OBC相似?若存在,求点M的坐标;若不存在,请说明理由. 
解析　(1)将点A(-2,0)和点B(8,0)分别代入抛物线y=ax2+bx+8(a≠0),得 解得 ∴抛物线的表达式为y=- x2+3x+8.(2)令x=0,则y=8,∴C(0,8),∴直线BC的表达式为y=-x+8.∵S△ABC= AB·OC= ×10×8=40,∴S△PBC= S△ABC=24.过点P作PG⊥x轴,交x轴于点G,交BC于点F.设P ,则F(t,-t+8),∴PF=- t2+4t.∵S△PBC= PF·OB=24,
∴ × ×8=24,解得t1=2,t2=6.分别代入二次函数的表达式,得P1(2,12),P2(6,8). (3)存在.∵C(0,8),B(8,0),∠COB=90°,∴△OBC为等腰直角三角形.抛物线y=- x2+3x+8的对称轴为直线x=- =- =3,∴点E的横坐标为3.又∵点E在直线BC上,把x=3代入y=-x+8得y=5,∴E(3,5).
设M(3,m),N .①当MN=EM,∠EMN=90°,△NME∽△COB时, 解得 或 (舍去),∴此时点M的坐标为(3,8). ②当ME=EN,∠MEN=90°,△MEN∽△COB时,
 解得 或 (舍去),∴此时点M的坐标为(3,5+ ). ③当MN=EN,∠MNE=90°,△MNE∽△COB时,过点N作NH⊥l于点H,则HN=HE= ME.
 解得 或 (舍去),∴此时点M的坐标为(3,11). 综上所述,在射线ED上存在点M,使得以点M,N,E为顶点的三角形与△OBC相似,点M的坐标为(3,8),(3,5+ ),(3,11).
2.(2019广东,25,9分)如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y= x2+ x- 与x轴交于点A、B(点A在点B右侧),点D为抛物线的顶点,点C在y轴的正半轴上,CD交x轴于点F,△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE,点A恰好旋转到点F,连接BE.(1)求点A、B、D的坐标;(2)求证:四边形BFCE是平行四边形;(3)如图2,过顶点D作DD1⊥x轴于点D1,点P是抛物线上一动点,过点P作PM⊥x轴,点M为垂足,使得△PAM与△DD1A相似(不含全等).①求出一个满足以上条件的点P的横坐标;②直接回答这样的点P共有几个?
图1 图2
解析　(1)由y= x2+ x- ,得y= (x+3)2-2 ,∴点D的坐标为(-3,-2 ). (1分)由y= x2+ x- =0,得x1=1,x2=-7,∴点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(-7,0). (3分)(2)证明:∵点A恰好旋转到点F,∴AC=CF.又∵CO⊥AF,∴AO=OF=1,∴点F的坐标为(-1,0),AF=2.
设直线CD的表达式是y=kx+b(k≠0),∵直线CD过点D,F,∴ ∴ ∴y= x+ .∴C(0, ). (4分)∴AC= = =2,∴AC=AF=FC=2,∴△ACF是等边三角形,∴∠CFA=∠ACF=∠CAF=60°,∴∠ECF=∠ACF=60°,∴∠CFA=∠ECF=60°,
∴EC∥AB. (5分)过点D作DG⊥y轴于点G,则DG=3,而∠DCG=30°, ∴CD=6,∴CE=CD=6,而点F的坐标为(-1,0),点B的坐标为(-7,0),∴FB=6,∴FB=CE,
∴四边形BFCE是平行四边形. (6分)(3)①(以下给出了三个点P横坐标的求解过程 ,考生只需写出其中一个P点的横坐标的求解过程即可)设点P的坐标为 ,易知点P与A、B重合时均不符合要求,∴m≠1,m≠-7.Ⅰ)如图,点P在点A右侧时,m>1,若△PAM与△DD1A相似,∵两个三角形都是直角三角形,∴必有一锐角相等.i)若∠PAM=∠DAD1,则点P、A、D共线,而直线AD与抛物线只有两个交点A、D,所以这种情况不存在点P,使得△PAM与△DD1A相似.ii)若∠PAM=∠ADD1,则 = ,
 ∴ = ,∴m=1或m=- ,均不满足m>1.∴当点P在点A右侧时,不存在点P,使得△PAM与△DD1A相似.(如果考生只写了这种情况,酌情给分)Ⅱ)如图,当点P在点A和点B之间时,-7i)若∠PAM=∠DAD1,则AD与AP重合,此时不存在点P,使得△PAM与△DD1A相似(不含全等). ii)若∠PAM=∠ADD1,则 = ,∴ = ,
∴m=1或m=- ,又∵-7∴ = ,∴m=1或m=-11,又∵m<-7,∴m=-11.∴当m=-11时,△PAM与△DD1A相似. (8分)ii)若∠PAM=∠ADD1,则 = ,∴ = ,∴m=1或m=- ,又∵m<-7,∴m=- .
∴当m=- 时,△PAM与△DD1A相似. (8分)②一共存在三个点P,使得△PAM与△DD1A相似. (9分)
3.(2018湖北武汉,24,12分)抛物线L:y=-x2+bx+c经过点A(0,1),与它的对称轴直线x=1交于点B.(1)直接写出抛物线L的解析式;(2)如图1,过定点的直线y=kx-k+4(k<0)与抛物线L交于点M、N.若△BMN的面积等于1,求k的值;(3)如图2,将抛物线L向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L1,抛物线L1与y轴交于点C,过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D.F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点,P为线段OC上一点.若△PCD与△POF相似,并且符合条件的点P恰有2个,求m的值及相应点P的坐标.
解析　(1)y=-x2+2x+1. 详解:由题意知 解得b=2,c=1,∴抛物线L的解析式为y=-x2+2x+1 (2)解法一:直线y=kx-k+4经过定点G(1,4),易知B点坐标为(1,2),∴BG=2.∵S△BMN=1,S△BMN=S△GBN-S△GBM= BG·(xN-xM)=xN-xM.∴xN-xM=1.由 得x2+(k-2)x-k+3=0,∴xN= ,xM= .∴xN-xM= =1,∴k=±3,∵k<0,∴k=-3.
解法二:过点B作BR∥MN,交x轴于点R,连接MR,NR.设MN交x轴于点Q,则Q .直线BR的解析式为y=kx-k+2,则R的坐标为 .∴S△BMN=S△RMN= RQ·(yM-yN)=1.∴ · ·k(xM-xN)=1,即xN-xM=1.(以下同解法一) (3)依题意得,抛物线L1的解析式为y=-x2+2x+1+m.
∴C(0,1+m),D(2,1+m),F(1,0).设P(0,t),当△PCD∽△FOP时, = ,∴ = ,∴t2-(1+m)t+2=0①;当△PCD∽△POF时, = ,∴ = ,∴t= (m+1)②. 
(i)当方程①有两个相等的实数根时,Δ=(1+m)2-8=0,∴m=2 -1(舍负),方程①有两个相等的实数根t1=t2= ,此时,方程②有一个实数根t= .∴m=2 -1,此时,点P的坐标是(0, )和 .(ii)当方程①有两个不相等的实数根时,把②代入①得, (m+1)2- (m+1)2+2=0,解得m=2(舍负),此时,方程①有两个不相等的实数根t1=1,t2=2,方程②有一个实数根t=1,∴m=2,此时,点P的坐标是(0,1)和(0,2).
综上,当m=2 -1时,点P的坐标是(0, )和 ;当m=2时,点P的坐标是(0,1)和(0,2).
4.(2018新疆乌鲁木齐,24,12分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=- x2+bx+c经过点A(-2,0),B(8,0).(1)求抛物线的解析式;(2)点C是抛物线与y轴的交点,连接BC,设点P是抛物线上在第一象限内的点,PD⊥BC,垂足为点D.①是否存在点P,使线段PD的长度最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;②当△PDC与△COA相似时,求点P的坐标. 
解析　(1)将A(-2,0),B(8,0)代入y=- x2+bx+c,得 解得 ∴抛物线的解析式为y=- x2+ x+4. (3分)(2)由(1)知 C(0,4),又B(8,0),∴易知直线BC的解析式为y=- x+4.①如图a,过点P作PG⊥x轴于点G,PG交CB于点E,易知∠PED=∠OCB,在Rt△PDE中,PD=PE·sin∠PED=PE·sin∠OCB= PE,∴当线段PE最长时,PD的长度最大.设P (0则E ,即PG=- t2+ t+4,EG=- t+4.∴PE=PG-EG=- t2+2t=- (t-4)2+4,0②由A(-2,0),B(8,0),C(0,4),易知∠ACB=90°,∴Rt△COA∽Rt△BOC,故当Rt△PDC与Rt△COA相似时,就有Rt△PDC与Rt△BOC相似.∵相似三角形的对应角相等,∴∠PCD=∠CBO或∠PCD=∠BCO.(i)当∠PCD=∠CBO(Rt△PDC∽Rt△COB)时,如图b, 图b有CP∥OB,∵C(0,4),∴yP=4,由- x2+ x+4=4,
解得x=6或x=0(舍).即Rt△PDC∽Rt△COB时,P(6,4);(ii)当∠PCD=∠BCO(Rt△PDC∽Rt△BOC)时,如图c,过点P作PG⊥x轴于G,与直线BC交于F,∴PF∥OC,∴∠PFC=∠BCO,∴∠PCD=∠PFC,∴PF=PC.设P ,依题意,易知n≠0,PF=- n2+2n.过点P作y轴的垂线,垂足为N,
 图c在Rt△PNC中,PC2=PN2+NC2=n2+ = n4- n3+ n2.∵PF=PC,∴PF2=PC2,即 = n4- n3+ n2,解得n=3或n=0(舍).即Rt△PDC∽Rt△BOC时,P .
∴当Rt△PDC与Rt△COA相似时,有P(6,4)或P . (12分)
5.(2017内蒙古包头,26,12分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(2,0)两点,与y轴交于点C.(1)求该抛物线的解析式;(2)直线y=-x+n与该抛物线在第四象限内交于点D,与线段BC交于点E,与x轴交于点F,且BE=4EC.①求n的值;②连接AC,CD,线段AC与线段DF交于点G,△AGF与△CGD是否全等?请说明理由;(3)直线y=m(m>0)与该抛物线的交点为M,N(点M在点N的左侧),点M关于y轴的对称点为点M',点H的坐标为(1,0).若四边形OM'NH的面积为 ,求点H到OM'的距离d的值. 
解析　(1)∵抛物线y= x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(2,0)两点,∴ 解得 ∴该抛物线的解析式为y= x2- x-3. (3分)(2)①过点E作EE'⊥x轴于点E',则E'E∥OC.∴ = .∵BE=4EC,∴BE'=4OE'.设点E的坐标为(x,y),则OE'=x,BE'=4x.∵点B的坐标为(2,0),∴OB=2.∴x+4x=2,∴x= .
∵抛物线y= x2- x-3与y轴交于点C,∴当x=0时,y=-3,∴C(0,-3).设直线BC的解析式为y=kx+b1(k≠0),则 解得 ∴直线BC的解析式为y= x-3.∵当x= 时,y=- ,∴E .∵点E在直线y=-x+n上,∴- +n=- ,∴n=-2. (6分)②全等.由①知直线EF的解析式为y=-x-2,
当y=0时,x=-2,∴F(-2,0),∴OF=2.∵A(-1,0),∴OA=1.∴AF=1.由 解得  ∵点D在第四象限,∴点D的坐标为(1,-3).∵点C的坐标为(0,-3),∴CD∥x轴,CD=1.∴∠AFG=∠CDG,∠FAG=∠DCG.又∵CD=AF=1,∴△AGF≌△CGD. (8分)
 (3)易知抛物线的对称轴是直线x= .∵直线y=m与该抛物线交于M、N两点,∴点M、N关于直线x= 对称,设N(t,m),则M(1-t,m).∵点M与点M'关于y轴对称,∴M'(t-1,m).∴点M'在直线y=m上,∴M'N∥x轴,M'N=t-(t-1)=1.
∵H(1,0),∴OH=1.∴OH=M'N.∴四边形OM'NH是平行四边形.设直线y=m与y轴交于点P,∵S四边形OM'NH= ,∴OH·OP=OH·m= ,∴m= .令 x2- x-3= ,解得x1=- ,x2= .∴点M的坐标为 .∴M' .∴OP= ,PM'= .
在Rt△OPM'中,∵∠OPM'=90°,∴OM'= = .∵S四边形OM'NH= ,∴OM'·d= ,∴d= . (12分)
考点四　二次函数在实际生活(生产)中的应用
1.(2018北京,7,2分)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分,运动员起跳后的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a≠0).如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据,根据上述函数模型和数据,可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时,水平距离为 (　　) A.10 m　　B.15 m　　C.20 m　　D.22.5 m
答案    B　由题图中给出的点可知,抛物线的最高点的横坐标在0到20之间.若最高点的横坐标为10,由对称性可知,(0,54.0)关于对称轴的对称点为(20,54.0),而54.0<57.9,所以最高点的横坐标大于10.故选B.
2.(2018湖北武汉,15,3分)飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)关于滑行时间t(单位:s)的函数解析式是y=60t- t2.在飞机着陆滑行中,最后4 s滑行的距离是　　　    m.
答案　24
3.(2020四川成都,26,8分)在“新冠”疫情期间,全国人民“众志成城,同心抗疫”,某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫.已知商家购进一批产品,成本为10元/件,拟采取线上和线下两种方式进行销售.调查发现,线下的月销量y(单位:件)与线下售价x(单位:元/件,12≤x<24)满足一次函数的关系,部分数据如下表:
(1)求y与x的函数关系式;(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元,且线上的月销量固定为400件.试问:当x为多少时,线上和线下月利润总和达到最大?并求出此时的最大利润.
解析　(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),将(12,1 200)和(13,1 100)代入y=kx+b,得 解得 ∴y与x的函数关系式为y=-100x+2 400.(2)设线上和线下月利润总和为w元,则w=y(x-10)+400(x-2-10)=(-100x+2 400)(x-10)+400x-4 800=-100(x-19)2+7 300.∵12≤x<24,∴当x=19时,wmax=7 300.答:当x为19时,线上和线下月利润总和最大,为7 300元.
4.(2020湖北武汉,22,10分)某公司分别在A,B两城生产同一种产品,共100件.A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y=ax2+bx,当x=10时,y=400;当x=20时,y=1 000.B城生产产品的每件成本为70万元.(1)求a,b的值;(2)当A,B两城生产这批产品的总成本的和最少时,求A,B两城各生产多少件;(3)从A城把该产品运往C,D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件;从B城把该产品运往C,D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件.C地需要90件,D地需要10件,在(2)的条件下,直接写出A,B两城总费用的和的最小值(用含有m的式子表示).
解析　(1)依题意,得 ∴ (2)A,B两城生产这批产品的总成本的和为x2+30x+70(100-x)=x2-40x+7 000=(x-20)2+6 600.∴当x=20时,A,B两城生产这批产品的总成本的和最少.100-x=80.答:A城生产20件,B城生产80件.(3)当m>2时,最小值为10m+110;当m=2时,最小值为130;当m<2时,最小值为20m+90.
5.(2020贵州贵阳,24,12分)2020年体育中考增设了考生进入考点需进行体温检测的要求.防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况,调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(人)与时间x(分钟)的变化情况,数据如下表:(表中9~15表示9(1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律,利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式;(2)如果考生一进考点就开始测量体温,体温检测点有2个,每个检测点每分钟检测20人,考生排队测量体温,求排队人数最多时有多少人,全部考生都完成体温检测需要多少时间;(3)在(2)的条件下,如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测,从一开始就应该至少增加几个检测点?
解析　(1)根据表中数据的变化趋势可知:①当0≤x≤9时,y是x的二次函数.∵当x=0时,y=0,∴二次函数的关系式可设为y=ax2+bx(a≠0).当x=1时,y=170;当x=3时,y=450,将它们分别代入关系式得 解得 ∴二次函数的关系式为y=-10x2+180x.将表格内的其他各组对应值代入此关系式,均满足.②当9W=y-40x= ①当0≤x≤9时,W=-10x2+140x=-10(x-7)2+490.∴当x=7时,W最大=490.②当96.(2020山东青岛,22,10分)某公司生产A型活动板房成本是每个425元.图①表示A型活动板房的一面墙,它由长方形和抛物线构成,长方形的长AD=4 m,宽AB=3 m,抛物线的最高点E到BC的距离为4 m.(1)按如图①所示的直角坐标系,抛物线可以用y=kx2+m(k≠0)表示,求该抛物线的函数表达式;(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房,如图②,在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN,点G,M在AD上,点N,F在抛物线上,窗户的成本为50元/m2.已知GM=2 m,求每个B型活动板房的成本是多少;(每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户 FGMN的成本)(3)根据市场调查,以单价650元销售(2)中的B型活动板房,每月能售出100个,而单价每降低10元,每月能多售出20个.公司每月最多能生产160个B型活动板房.不考虑其他因素,公司将销售单价n(元)定为多少时,每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大?最大利润是多少?
解析　(1)由题意知AD=4,AB=3,EH=4,∴OA=OD= AD= ×4=2,OE=EH-OH=EH-AB=4-3=1,∴A(-2,0),E(0,1).将A,E两点的坐标代入y=kx2+m,得 解得 ∴该抛物线的函数表达式为y=- x2+1.(2)由题意得OM= GM= ×2=1.当x=1时,y=- ×12+1= ,∴MN= .∴每个B型活动板房的成本是425+50×2× =500(元).
(3)由题意得w=(n-500) =-2n2+2 400n-700 000,由 得620≤n≤650.∵w=-2n2+2 400n-700 000的图象的对称轴为直线n=- =600,不在620≤n≤650之内,且a=-2<0,∴620≤n≤650时,w随n的增大而减小,∴当n=620时,w有最大值,为19 200.∴当公司将销售单价定为620元时,每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大,最大利润是19 200元.
思路分析　(1)根据对称性求出点A或点D的坐标,利用边长求出抛物线顶点坐标,代入表达式求解;(2)由GM的长及对称性求出点N的横坐标,代入解析式求出纵坐标,即可求出每个B型活动板房的成本;(3)由“所获利润=每个的利润×个数”列函数关系式,根据条件求出自变量的取值范围,即可求出最值,求最值时,一定要看顶点的横坐标是否在自变量的取值范围之内.方法技巧 对于此类问题,一定要数形结合,借助图象理解线段的长度与哪一个点的横纵坐标有关系.
7.(2019山东潍坊,23,10分)扶贫工作小组对果农进行精准扶贫,帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场.与去年相比,今年这种水果的产量增加了1 000千克,每千克的平均批发价比去年降低了1元,批发销售总额比去年增加了20%.(1)已知去年这种水果批发销售总额为10万元,求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元;(2)某水果店从果农处直接批发,专营这种水果.调查发现,若每千克的平均销售价为41元,则每天可售出300千克;若每千克的平均销售价每降低3元,每天可多卖出180千克,设水果店一天的利润为w元,当每千克的平均销售价为多少元时,该水果店一天的利润最大?最大利润是多少?(利润计算时,其他费用忽略不计)
解析　(1)设这种水果今年每千克的平均批发价为x元,由题意,得 - =1 000, (3分)解之,得x1=24,x2=-5(舍去).经检验:x=24是原方程的解且符合题意.答:这种水果今年每千克的平均批发价为24元. (5分)(2)设每千克的平均销售价为m元,由题意得w=(m-24) =-60(m-35)2+7 260. (9分)∵-60<0,∴当m=35时,w取得最大值7 260.答:当每千克的平均销售价为35元时,该水果店一天的利润最大,最大利润是7 260元. (10分)
8.(2019湖北黄冈,24,10分)某县积极响应市政府加大产业扶贫力度的号召,决定成立草莓产销合作社,负责扶贫对象户种植草莓的技术指导和统一销售,所获利润年底分红.经市场调研发现,草莓销售单价y(万元)与产量x(吨)之间的关系如图所示(0≤x≤100).已知草莓的产销投入总成本p(万元)与产量x(吨)之间满足p=x+1.(1)直接写出草莓销售单价y(万元)与产量x(吨)之间的函数关系式;(2)求该合作社所获利润w(万元)与产量x(吨)之间的函数关系式;(3)为提高农民种植草莓的积极性,合作社决定按0.3万元/吨的标准奖励扶贫对象种植户.为确保合作社所获利润w'不低于55万元,产量至少要达到多少吨?
解析　(1)y= (2)w=y·x-p,当0≤x≤30时,w=2.4x-(x+1)=1.4x-1,当30当3055.由题意得0.7x-1≥55,解得x≥80.故产量至少要达到80吨.
解后反思　求这类折线图形的表达式往往是运用分类讨论的方法得出分段函数,解题时常用到待定系数法、一次函数的性质、二次函数的性质等,同时对数学运算能力的要求比较高,考查学生的分类讨论思想及数学运算能力.
9.(2018贵州贵阳,22,10分)六盘水市梅花山国际滑雪场自建成以来,吸引了大批滑雪爱好者.一滑雪者从山坡滑下,测得滑行距离y(单位:m)与滑行时间x(单位:s)之间的关系可以近似地用二次函数来表示.现测得一组数据,如下表所示.
(1)根据表中数据求出二次函数的表达式.现测量出滑雪者的出发点与终点的距离大约为840米,他需要多少时间才能到达终点?(2)将得到的二次函数图象补充完整后,向左平移2个单位,再向下平移5个单位,求平移后所得图象对应的函数的表达式.
解析　(1)设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0),将(0,0)代入函数表达式,得c=0,所以y=ax2+bx.把(1,4),(2,12)代入上式,得 解这个方程组,得 所以,所求二次函数表达式为y=2x2+2x(x≥0).当y=840时,840=2x2+2x,解得x1=20,x2=-21(不符合题意,舍去),所以,他需要20 s才能到达终点.(2)由y=2x2+2x,得y=2 - ,则该二次函数图象的顶点坐标为 ,
所以,将y=2 - 的图象向左平移2个单位,再向下平移5个单位后所得图象的顶点坐标为 ,所以平移后所得图象对应的函数的表达式为y=2 - 或y=2x2+10x+7.
10.(2019山东青岛,22,10分)某商店购进一批成本为每件30元的商品,经调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.(1)求该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式;(2)若商店按单价不低于成本价,且不高于50元销售,则销售单价定为多少,才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于800元,则每天的销售量最少应为多少件? 
解析　(1)设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),将点(30,100)、(45,70)代入一次函数表达式得 解得 故函数表达式为y=-2x+160.(2)由题意得w=(x-30)(-2x+160)=-2(x-55)2+1 250,∵-2<0,故当x<55时,w随x的增大而增大,又30≤x≤50,∴当x=50时,w取得最大值,此时,w=1 200.故销售单价定为50元时,该商店每天获得的利润最大,最大利润为1 200元.(3)由题意得(x-30)(-2x+160)≥800,解得40≤x≤70.又y=-2x+160,k=-2<0,∴当x=70时,每天的销售量最少,此时y=-2×70+160=20(件).答:要使销售该商品每天获得的利润不低于800元,则每天的销售量最少为20件.
思路分析　(1)设出y与x的函数表达式,将(30,100)、(45,70)代入,构造方程组即可求解;(2)由题意得w=(x-30)(-2x+160)=-2(x-55)2+1 250,即可求解;(3)由题意得(x-30)(-2x+160)≥800,结合y=-2x+160即可得到结论.
A组　2018—2020年模拟·基础题组时间:60分钟　分值:80分解答题(共80分)
1.(2020江西南昌二模,22)如图,抛物线y=x2-(a+1)x+a与x轴交于A,B两点(点A位于点B的左侧),与y轴的负半轴交于点C.(1)求点B的坐标;(2)若△ABC的面积为6.①求这条抛物线对应的函数解析式;②在拋物线上是否存在一点P,使得∠POB=∠CBO?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 
解析　(1)当y=0时,x2-(a+1)x+a=0,解得x1=1,x2=a.∵点A位于点B的左侧,且点A在x轴负半轴上,∴a<0,∴点B坐标为(1,0).(2)①由(1)可得,a<0,点A的坐标为(a,0),易知点C的坐标为(0,a),∴AB=1-a,OC=-a.∵△ABC的面积为6,∴ (1-a)·(-a)=6,∴a1=-3,a2=4.∵a<0,∴a=-3,∴抛物线对应的函数解析式为y=x2+2x-3.②存在.设直线BC的解析式为y=kx-3(k≠0),∵点B(1,0)在直线BC上,∴0=k-3,∴k=3.∴直线BC的解析式为y=3x-3.当点P在x轴上方时,∵∠POB=∠CBO,
∴直线OP∥直线BC,∴直线OP的解析式为y=3x.由 得 (舍去), ∴点P的坐标为 .当点P在x轴下方时,不妨记为P',则直线OP'与直线OP关于x轴对称,直线OP'的解析式为y=-3x,由 得 (舍去),
 ∴点P'的坐标为 .综上所述,存在点P,使得∠POB=∠CBO,点P的坐标为  ,  或 .
2.(2020广西崇左江州一模,26)如图,y=ax2+bx-2的图象过A(1,0),B(-2,0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标;(2)若N为线段BM上一点,过N作x轴的垂线,垂足为Q,当N在线段BM上运动(N不与点B、点M重合)时,设NQ的长为t,四边形NQAC的面积为S,求S与t的关系式并求S的最大值;(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PAC为直角三角形?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标. 
解析　(1)∵二次函数y=ax2+bx-2的图象经过点A(1,0),B(-2,0)两点,∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y=x2+x-2= - ,∴顶点M的坐标是 .(2)设线段BM所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0),将点B(-2,0)和点M 的坐标代入得 解得 ∴线段BM所在直线的解析式为y=- x-3.∵点N在线段BM上(N不与点B、点M重合),且QN=t,QN⊥x轴,∴-t=- x-3 ,∴x= t-2 ,∴点N的坐标为  .
∴S=S△AOC+S梯形OCNQ= ×1×2+ (2+t)· =- t2+ t+3,∴S与t间的函数关系式为S=- t2+ t+3=-  +  ,∴当t= 时,S取最大值 .(3)存在符合条件的点P.设点P的坐标为 ,如图,连接PA、PC,作CE⊥MP于E. 
由题意可得AC2=12+22=5,PA2= +m2,PC2= +(m+2)2.①若∠APC=90°,则PA2+PC2=AC2,即 +m2+ +(m+2)2=5,解得m1=- ,m2=- .②若∠ACP=90°,则PC2+AC2=PA2,即 +(m+2)2+5= +m2,解得m=- .③若∠PAC=90°,则PA2+AC2=PC2,即 +m2+5= +(m+2)2,
解得m= .综上所述,存在满足条件的点P,其坐标分别是:P1 ,P2 ,P3 ,P4 .
3.(2020内蒙古包头4月模拟,25)已知抛物线y=x2,直线y=kx+b经过点A(0,2),B(-4,0).(1)求直线的解析式;(2)将抛物线y=x2沿着x轴向右平移,平移后的抛物线在对称轴左侧部分与y轴交于点C,对称轴右侧部分与直线y=kx+b交于点D,连接CD,当CD∥x轴时,求平移后得到的抛物线的解析式;(3)在(2)的条件下,设平移后得到的抛物线的对称轴与x轴交于点E,P为该抛物线上一动点,过点P作抛物线对称轴的垂线,垂足为Q,是否存在这样的点P,使以点E,P,Q为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 
解析　(1)将(0,2),(-4,0)分别代入y=kx+b,得 解得 ∴直线AB的解析式为y= x+2.(2)如图,设平移后得到的抛物线的解析式为y=(x-m)2(m>0),则该抛物线的对称轴为直线x=m,点C的坐标为(0,m2). ∵CD∥x轴,∴点C,D关于直线x=m对称,
∴点D的坐标为(2m,m2).∵点D在直线y= x+2上,∴m2= ×2m+2,解得m1=-1(舍去),m2=2,∴平移后得到的抛物线的解析式为y=(x-2)2,即y=x2-4x+4.(3)存在点P,使以点E,P,Q为顶点的三角形与△AOB相似.设点P的坐标为(a,a2-4a+4),则PQ=|a-2|,EQ=a2-4a+4.∵∠PQE=90°,∴分两种情况考虑,如图所示. 
①当△EQP∽△AOB时, = ,即 = ,化简,得|a-2|= ,解得a1= ,a2= ,∴点P的坐标为 或 .②当△PQE∽△AOB时, = ,即 = ,化简,得|a-2|=2,解得a1=0,a2=4,∴点P的坐标为(0,4)或(4,4).综上所述,存在点P,使以点E,P,Q为顶点的三角形与△AOB相似,点P的坐标为 或 或(0,4)或(4,4).
4.(2020湖北武汉青山备考,22)辰星旅游度假村有甲种风格客房15间,乙种风格客房20间.按现有定价,若全部入住,则一天营业额为8 500元;若甲、乙两种风格客房均有10间入住,则一天营业额为5 000元.(1)求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元;(2)度假村以乙种风格客房为例,经调研发现:若每个房间每天按现有定价,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加20元时,就会有两个房间空闲.如果游客居住房间,度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用.当每个房间定价为多少元时,乙种风格客房每天的利润m最大?最大利润是多少元?
解析　(1)设甲、乙两种客房每间现有定价分别是x元、y元,根据题意,得 解得 答:甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元.(2)设乙种风格客房每个房间每天的定价增加20a(a>0)元,则有2a个房间空闲,根据题意有m=(20-2a)·(200+20a-80)=-40a2+160a+2 400=-40(a-2)2+2 560.∵-40<0,∴当a=2时,m取得最大值,最大值为2 560,此时乙种风格客房每个房间的定价为200+2×20=240元.答:当每个房间定价为240元时,乙种风格客房每天的利润m最大,最大利润是2 560元.
5.(2019云南曲靖一模,22)如图,抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A(0,2),对称轴为直线x=-2,平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点,点B在对称轴左侧,BC=6.(1)求此抛物线的解析式;(2)点P在x轴上,直线CP将△ABC的面积分成2∶3两部分,请直接写出P点坐标.
解析　(1)由题意得x=- =- =-2,c=2,∴b=4,c=2,则此抛物线的解析式为y=x2+4x+2.(2)点P的坐标为(-6,0)或(-13,0).详解:∵抛物线对称轴为直线x=-2,BC=6,点B在对称轴左侧,∴点B的横坐标为-5,点C的横坐标为1,把x=1代入抛物线解析式得y=7,∴B(-5,7),C(1,7).设直线AB的解析式为y=kx+2(k≠0),把B点坐标代入得k=-1,故直线AB的解析式为y=-x+2,如图,作出直线CP,与AB交于点Q,过Q作QH⊥y轴,与y轴交于点H,设BC与y轴交于点M,
 可得△AQH∽△ABM,∴ = .∵点P在x轴上,直线CP将△ABC的面积分成2∶3两部分,∴AQ∶QB=2∶3或AQ∶QB=3∶2,即AQ∶AB=2∶5或AQ∶AB=3∶5,∵BM=5,∴QH=2或QH=3.当QH=2时,把x=-2代入直线AB的解析式得y=4,此时Q(-2,4),则易求直线CQ的解析式为y=x+6,令y=0,得x=-6,即P(-6,0).当QH=3时,把x=-3代入直线AB的解析式得y=5,此时Q(-3,5),则易求直线CQ的解析式为y= x+ ,
令y=0,得x=-13,此时P(-13,0).综上,点P的坐标为(-6,0)或(-13,0).
6.(2019天津红桥一模,25)如图,抛物线y= x2+bx+c与y轴交于点C(0,-4),与x轴交于点A,B,且B点的坐标为(2,0).(1)求该抛物线的解析式;(2)若点P是线段AB上的动点(不与点A,B重合),连接AC,BC,过点P作PE∥AC,交BC于E,连接CP,求△PCE面积的最大值;(3)若点D为OA的中点,点M是线段AC上一点,且△OMD为等腰三角形,求M点的坐标.
解析　(1)把(0,-4),(2,0)分别代入y= x2+bx+c中,得 解得 ∴抛物线的解析式为y= x2+x-4.(2)在y= x2+x-4中,令y=0,得 x2+x-4=0,解得x1=-4,x2=2,∵B(2,0),∴A(-4,0),∴AB=6,又OC=4,∴S△ABC= AB·OC=12.设P点坐标为(x,0)(-4化简得S△PBE= (2-x)2.又∵S△PCE=S△PCB-S△PBE= PB·OC-S△PBE= ×(2-x)×4- (2-x)2=- x2- x+ =- (x+1)2+3,∵-4(iii)当OD=OM时,∵△OAC为等腰直角三角形,∴点O到直线AC的距离为 ×4=2 ,即直线AC上的点与点O之间的距离最小为2 .∵2 >2,∴OD=OM的情况不存在.综上所述,点M的坐标为(-2,-2)或(-1,-3). 
7.(2019四川眉山东坡一模,26)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+3x-4交x轴于A,B两点,交y轴于点C,抛物线上一点D的横坐标为-5.(1)求直线BD的解析式;(2)若点E是线段BD上的动点(不与点B,D重合),过点E作x轴的垂线交抛物线于点F,交x轴于点G.连接BF、DF,当点E运动到什么位置时,△BDF的面积最大?求出此时点E的坐标,并求出△BDF的最大面积;(3)若点E是直线BD上的动点,(2)中的其他条件不变,在抛物线上是否存在一点F,使△DEF为直角三角形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由. 
解析　(1)在y=x2+3x-4中,当y=0时,解得x1=-4,x2=1,∴A(-4,0),B(1,0),∵点D在抛物线上,点D的横坐标为-5,∴将x=-5代入抛物线解析式得y=6,∴D(-5,6).设直线BD的解析式为y=kx+b(k≠0),由 解得 ∴直线BD的解析式为y=-x+1.(2)设点E的坐标为(m,-m+1)(-51.可证△BGE,△DEF都为等腰直角三角形,∴DF=EF,∴5+m=m2+4m-5,解得m1=-5(舍),m2=2,∴F(2,6).
当∠EDF=90°时,由图象知点E在点B右侧,则m>1.可证△BGE、△DEF都为等腰直角三角形,∴DE=DF,∴2(5+m)=m2+4m-5,解得m3=-5(舍),m4=3,∴F(3,14).综上,抛物线上存在点F满足题意,当点F的坐标为(2,6)或(3,14)时,△DEF为直角三角形.
8.(2018上海黄浦二模,24)已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(1,0)和B(0,3),其顶点为D.(1)求此抛物线的表达式;(2)求△ABD的面积;(3)设P为该抛物线上一点,且位于抛物线对称轴的右侧,作PH垂直于对称轴,垂足为H,若△DPH与△AOB相似,求点P的坐标. 
解析　(1)由题意得 解得 所以抛物线的表达式为y=x2-4x+3.(2)抛物线的表达式可化为y=(x-2)2-1,则D(2,-1),作DT⊥y轴于点T(图略),则△ABD的面积= ×2×4- ×1×3- ×(1+2)×1=1.(3)设P(p,p2-4p+3)(p>2),则HP=p-2,DH=p2-4p+3+1.由△DPH与△AOB相似,易知∠AOB=∠PHD=90°,所以 =3或 = ,解得p=5或p= .
当p=5时,p2-4p+3=8;当p= 时,p2-4p+3=- .所以点P的坐标为(5,8)或 .
解题思路　第(3)问设出点P的坐标,用未知数分别表示三角形中HP、DH的长,然后按照相似三角形的对应边成比例列方程,求未知数即可,注意分类讨论,把问题考虑全面.
B组　2018—2020年模拟·提升题组时间:60分钟　分值:90分解答题(共90分)1.(2020黑龙江绥化一模,24)如图,已知抛物线y=- x2+bx+c经过点A 和点B(9,-10),与y轴交于点C,点P是直线AC上方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线对应的函数解析式;(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线BC交于点E,当四边形AECP的面积最大时,求点P的坐标;(3)当∠PCB=90°时,作∠PCB的平分线,交抛物线于点F.①求点P和点F的坐标;②在直线CF上是否存在点Q,使得以F、P、Q为顶点的三角形与△BCF相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
解析　(1)∵抛物线y=- x2+bx+c经过点A 和点B(9,-10),∴ 解得 ∴抛物线对应的函数解析式为y=- x2+2x-1.(2)由(1)可得C(0,-1),易得直线BC的解析式为y=-x-1.设P (0= × ×m+ × ×(5-m)=  =-  + ,∵0∵CP⊥CB,C(0,-1),直线BC的解析式为y=-x-1,∴直线CP的解析式为y=x-1.由x-1=- x2+2x-1可得x=0或x=3,当x=3时,y=3-1=2,∴P(3,2). ②存在.由P(3,2),F(6,-1)可得直线PF的解析式为y=-x+5.又直线BC的解析式为y=-x-1,
∴CB∥PF,∴∠BCF=∠PFC=45°,∴在直线CF上存在满足条件的点Q.设Q(t,-1),易求得CF=6,CB=9 ,PF=3 .当△PFQ1∽△BCF时, = ,即 = ,解得t=4,∴Q1(4,-1).当△PFQ2∽△FCB时, = ,即 = ,解得t=-3,∴Q2(-3,-1).综上所述,点Q的坐标为(4,-1)或(-3,-1).
2.(2020四川巴中5月模拟,25)如图,已知二次函数y=ax2+ x+c(a≠0)的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C的坐标为(8,0),连接AB、AC.(1)求二次函数表达式;(2)若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合),过点N作NM∥AC,交AB于点M,当△AMN的面积最大时,求点N的坐标;(3)若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,请求出点N的坐标. 
解析　(1)∵二次函数y=ax2+ x+c(a≠0)的图象过点A(0,4),点C(8,0),∴ 解得 ∴二次函数的表达式为y=- x2+ x+4.(2)由- x2+ x+4=0解得x1=8,x2=-2,∴点B的坐标为(-2,0).又∵A(0,4),C(8,0),O(0,0),∴AB= =2 ,BC=8-(-2)=10,AC= =4 ,∴AB2+AC2=BC2,∴∠BAC=90°,即AC⊥AB.∵AC∥MN,∴MN⊥AB.设点N的坐标为(n,0)(-2∵MN∥AC,∴△BMN∽△BAC,∴ = = ,∴BM= = ,MN= = ,∴AM=AB-BM=2 - = .∵S△AMN= AM·MN= × × =- (n-3)2+5,∵-2①以A为圆心,AC长为半径作圆,交x轴于N(异于点C),此时N的坐标为(-8,0).②以C为圆心,AC长为半径作圆,交x轴于N,此时N的坐标为(8-4 ,0)或(8+4 ,0).
综上,若点N在x轴上运动,当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时,点N的坐标分别为(-8,0),(8-4 ,0),(3,0),(8+4 ,0).
③作线段AC的垂直平分线交AC于P,交x轴于N,∴△NPC∽△AOC.∴ = ,即 = .∴CN=5.∴此时N的坐标为(3,0).
3.(2020四川成都青白江一诊,28)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A(3,0)、B两点,与y轴交于点C(0,3),点B在x轴的负半轴上,且OA=3OB.(1)求抛物线的表达式;(2)若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点,求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标;(3)在线段OC上是否存在一点M,使BM+ CM的值最小?若存在,请求出这个最小值及对应的M点的坐标;若不存在,请说明理由.
解析　(1)∵OA=3OB=3,点B在x轴负半轴上,∴点B的坐标为(-1,0),则抛物线的表达式为y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)(a≠0),又∵点C(0,3)在抛物线上,∴-3a=3,解得a=-1.故抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.(2)过点P作y轴的平行线交CA于点H.由点A、C的坐标得直线AC的表达式为y=-x+3.设P(m,-m2+2m+3)(0 (3)过点M作MN⊥AC,则MN= CM.故当B、M、N三点共线时,BM+ CM最小,最小值为BN的长.∵∠OAC=45°,BN⊥AC,∴∠ABN=45°.∴BN= AB=2 .易得点N(1,2).由点B、N的坐标得直线BN的表达式为y=x+1,
当x=0时,y=1.∴点M(0,1).故线段OC上存在点M(0,1),使BM+ CM的值最小,最小值为2 .
4.(2020湖北黄石模拟,25)如图,直线y=-x+4与x轴交于点B,与y轴交于点C,抛物线y=-x2+bx+c经过B,C两点,与x轴的另一交点为A.点P以每秒 个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动(点P不与点B和点C重合),设运动时间为t秒,过点P作x轴的垂线交x轴于点E,交抛物线于点M.(1)求抛物线的解析式;(2)如图①,过点P作y轴的垂线交y轴于点N,连接MN交BC于点Q,当 = 时,求t的值;(3)如图②,连接AM交BC于点D,当△PDM是等腰三角形时,求t的值.
解析　(1)在y=-x+4中,当x=0时,y=4,∴C(0,4).当y=0时,-x+4=0,解得x=4.∴B(4,0).∵抛物线y=-x2+bx+c经过B,C两点,∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2+3x+4.(2)∵B(4,0),C(0,4),∴OB=OC,又∵∠BOC=90°,∴∠OBC=∠OCB=45°.易得BC=4 ,∵点P在线段BC上运动,且点P不与点B和点C重合,∴0< t<4 ,即0∴BE=PE= PB=t.∴xM=xP=OE=OB-BE=4-t,yP=PE=t.∵点M在抛物线上,∴yM=-(4-t)2+3(4-t)+4=-t2+5t,∴MP=yM-yP=-t2+4t.∵PN⊥y轴,∴∠PNO=∠NOE=∠PEO=90°,∴四边形ONPE是矩形,∴ON=PE=t,∴NC=OC-ON=4-t.∵MP⊥x轴,∴MP∥CN,∴△MPQ∽△NCQ,∴ = = ,即 = ,解得t1= ,t2=4(不满足0∴t的值为 .(3)由(2)知∠BPE=∠PBE=45°,∴∠MPD=∠BPE=45°.①若MD=MP,则∠MDP=∠MPD=45°,∴∠DMP=90°,即DM∥x轴,与题意矛盾.②若DM=DP,则∠DMP=∠MPD=45°.∵∠AEM=90°,∴AE=ME.由-x2+3x+4=0解得x1=-1,x2=4,∴A(-1,0).由(2)得,xM=4-t,ME=yM=-t2+5t,∴AE=4-t-(-1)=5-t,∴5-t=-t2+5t,解得t1=1,t2=5(不满足0 ∴∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF,∴CF=CD.设直线AM的解析式为y=ax+m(a≠0),∵A(-1,0),M(4-t,-t2+5t),∴ 解得 ∴直线AM的解析式为y=tx+t.∴F(0,t),∴CF=OC-OF=4-t.由tx+t=-x+4解得x= .∴DG=xD= ,
∵∠CGD=90°,∠DCG=45°,∴CD= DG= ,∴4-t= ,解得t= -1(t=4舍去).综上所述,当△PDM是等腰三角形时,t=1或t= -1.
5.(2020四川成都龙泉驿三诊,26)某网店专售一款电动牙刷,其成本为20元/支,销售中发现,该商品每天的销售量y(支)与销售价格x(元/支)之间存在如图所示的关系.(1)请求出y与x的函数关系式;(2)该款电动牙刷销售单价定为多少元时,每天销售利润最大?最大利润是多少元?(3)因武汉爆发了新型冠状病毒性肺炎疫情,该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐赠给武汉,为了保证捐款后每天剩余利润不低于550元,如何确定该款电动牙刷的售价? 
解析　(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),将(30,100),(35,50)分别代入y=kx+b,得 解得 ∴y与x的函数关系式为y=-10x+400.(2)设该款电动牙刷每天的销售利润为w元,由题意得w=(x-20)·y=(x-20)(-10x+400)=-10x2+600x-8 000=-10(x-30)2+1 000,∵-10<0,∴当x=30时,w取最大值,最大值为1 000.答:该款电动牙刷销售单价定为30元时,每天销售利润最大,最大销售利润为1 000元.(3)设捐款后每天剩余利润为z元,由题意可得z=-10x2+600x-8 000-200=-10x2+600x-8 200,令z=550,即-10x2+600x-8 200=550,
解得x1=25,x2=35,画出每天剩余利润z(元)关于销售价格x(元/支)的函数关系图象如图. 由图象可知,当该款电动牙刷每支售价不低于25元,且不高于35元时,可保证捐款后每天剩余利润不低于550元.
6.(2019云南昆明模拟,23)如图,直线y=- x+ 与x轴、y轴分别交于B、C两点,点A在x轴上,∠ACB=90°,抛物线y=ax2+bx+ (a≠0)经过A,B两点.(1)求A、B两点的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)在直线BC上方的抛物线上是否存在点M,过点M作MH⊥BC交BC于点H,作MD∥y轴交BC于点D,使得S△MHD∶S△BCA=1∶12?若存在,求出点M的坐标和△DMH的周长;若不存在,请说明理由. 
解析　(1)∵直线y=- x+ 与x轴、y轴分别交于B、C两点,∴B(3,0),C(0, ),∴OB=3,OC= ,∴tan∠BCO= = ,∴∠BCO=60°.∵∠ACB=90°,∴∠ACO=30°,∴tan 30°= = ,解得AO=1,∴A(-1,0).(2)∵抛物线y=ax2+bx+ 经过A,B两点,∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y=- x2+ x+ .(3)存在.理由如下:∵MD∥y轴,MH⊥BC,∴∠MDH=∠BCO=∠OAC=60°,则∠DMH=30°,又∠OBC=90°-60°=30°,
∴△DMH∽△ABC,又S△MHD∶S△BCA=1∶12,∴MD∶AB=1∶2 ,由(1)知AB=4,∴MD=   .可设M (07.(2019天津西青一模,25)抛物线y=x2-bx+c与x轴交于点A(-1,0),点B(3,0),与y轴交于点C,其顶点为D,直线BD与y轴交于点E.(1)求顶点D的坐标;(2)如图,设点P为线段BD上一动点(点P不与点B、D重合),过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F,求△BDF的面积的最大值;(3)点Q在线段BD上(点Q不与点B、D重合),当∠BDC=∠QCE时,求点Q的坐标(直接写出结果,不必写解答过程). 
解析　(1)∵抛物线y=x2-bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0),∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.将其化成顶点式为y=(x-1)2-4.故顶点D的坐标为(1,-4).(2)设直线BD的解析式为y=kx+b(k≠0).∵点B,D的坐标分别为(3,0),(1,-4),∴ 解得 ∴直线BD的解析式为y=2x-6.∵P为线段BD上一动点(点P不与B,D重合),∴设点P的坐标为(m,2m-6)(1∵点P在点F上方,∴PF=2m-6-(m2-2m-3)=-m2+4m-3.设PF交x轴于点G,过点D作DH⊥PF于点H. ∵S△BDF=S△PDF+S△PBF,∴S△BDF= PF·(DH+BG)=-m2+4m-3,即S△BDF=-(m-2)2+1.∵二次项系数a=-1,a<0,∴抛物线开口向下,S△BDF有最大值.
又1又∵∠BDC=∠QCE,∴tan∠QCE=3.设点Q的坐标为(n,2n-6)(18.(2019四川绵阳涪城二诊,24)已知抛物线y=ax2-4x+3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P为抛物线上一点,当PB=PC时,求点P的坐标;(3)若点M为线段BC上的点(不含端点),且△MAB与△ABC相似,求点M的坐标. 　　　　　　　　　　　　　　　(备用图)
解析　(1)将点A的坐标代入抛物线解析式得0=a-4+3,解得a=1,故抛物线的解析式为y=x2-4x+3.(2)在y=x2-4x+3中,令x=0,则y=3,令y=0,则x=1或3,故点C(0,3),点B(3,0).当PB=PC时,点P在线段BC的垂直平分线上,又知线段BC的中点坐标为 ,直线BC的斜率为-1,则线段BC的垂直平分线的斜率为1,且其垂直平分线过点 ,所以线段BC的垂直平分线的解析式为y=x.将y=x代入y=x2-4x+3,解得x= ,则点P的坐标为  ,  或 .(3)∵M为线段BC上的点(不含端点),且△MAB与△ABC相似,且△MAB与△ABC有公共角(∠ABM),
∴△MAB∽△ACB,∴ = .易求AB=2,BC=3 ,则MB= .过点M作x轴的垂线交x轴于点H, ∵OB=OC=3,∴∠CBO=45°,则MH=HB=MB× = ,∴OH=OB-BH= ,∴点M的坐标为 .
9.(2019上海浦东新区二模,24)已知抛物线y= x2+bx+c经过点M(3,-4),与x轴相交于点A(-3,0)和点B,与y轴相交于点C.(1)求这条抛物线的表达式;(2)如果P是这条抛物线对称轴上一点,PC=BC,求点P的坐标;(3)在第(2)小题的条件下,当点P在x轴上方时,求∠PCB的正弦值.
解析　(1)∵抛物线y= x2+bx+c经过点M(3,-4),A(-3,0),∴ 解得 ∴这条抛物线的表达式为y= x2- x-5.(2)令 x2- x-5=0,解得x=-3或5.∵A(-3,0),∴B(5,0),∴抛物线的对称轴为直线x=1.设点P的坐标为(1,y).∵PC=BC,∴PC2=BC2.又知点C的坐标为(0,-5),∴12+(y+5)2=52+52,解得y=2或y=-12.
∴点P的坐标为(1,2)或(1,-12).(3)当点P在x轴上方时,由(2)知点P的坐标为(1,2).作PH⊥BC,垂足为点H. ∵点B(5,0),点C(0,-5),点P(1,2),∴PC=BC=5 .设直线BC的解析式为y=kx-5(k≠0),将B(5,0)的坐标代入解得k=1,∴直线BC的解析式为y=x-5,
把x=1代入得,y=-4,∴直线BC与抛物线的对称轴相交于点D(1,-4),∴PD=6.∵S△PBC=S△PCD+S△PBD,∴ ×5 ·PH= ×6×1+ ×6×4.解得PH=3 .∴sin∠PCB= = = .
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(2019湖北天门,9)已知反比例函数y=- ,下列说法不正确的是 (　　)A.图象经过点(1,-3)　     B.图象位于第二、四象限C.图象关于直线y=x对称　    D.y随x的增大而增大
2.(2020广东,7)把函数y=(x-1)2+2的图象向右平移1个单位长度,平移后图象的函数解析式为 (　　)A.y=x2+2　     B.y=(x-1)2+1C.y=(x-2)2+2　    D.y=(x-1)2+3
答案    C　根据抛物线的平移规律,知把函数y=(x-1)2+2的图象向右平移1个单位长度,平移后图象的函数解析式为y=[(x-1)-1]2+2=(x-2)2+2,故选C.
解题关键　本题考查二次函数图象的平移,解答的关键在于熟练掌握抛物线的平移规律“左加右减、上加下减”.
3.(2019内蒙古通辽,5)如图,直线y=kx+b(k≠0)经过点(-1,3),则不等式kx+b≥3的解集为 (　　) A.x>-1　    B.x<-1C.x≥3　    D.x≥-1
答案    D　观察题图可知当x≥-1时,kx+b≥3,故选D.
4.(2019四川雅安,9)在平面直角坐标系中,对于二次函数y=(x-2)2+1,下列说法中错误的是 (　　)A.y的最小值为1B.图象顶点坐标为(2,1),对称轴为直线x=2C.当x<2时,y的值随x值的增大而增大,当x≥2时,y的值随x值的增大而减小D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到
答案    C　∵二次函数y=(x-2)2+1中,a=1>0,∴该函数的图象开口向上,对称轴为直线x=2,顶点为(2,1),当x=2时,y取最小值1,当x≥2时,y的值随x值的增大而增大,当x<2时,y的值随x值的增大而减小,故选项A、B中的说法正确,选项C中的说法错误.根据平移的规律,将y=x2的图象向右平移2个单位长度得到y=(x-2)2的图象,再向上平移1个单位长度得到y=(x-2)2+1的图象,故选项D中的说法正确.故选C.
5.(2019甘肃庆阳,10)如图①,在矩形ABCD中,AB答案    B　当P点在AB上运动时,△AOP的面积逐渐增大,当P点到达B点时,△AOP的面积最大,为3.∴ AB· BC=3,即AB·BC=12①.当P点在BC上运动时,△AOP的面积逐渐减小,当P点到达C点时,△AOP的面积为0,此时结合题图可知P点的运动路径长为7,∴AB+BC=7②.联立①②可解得AB=4或3.∵AB二、填空题(每小题5分,共20分)6.(2020江苏苏州,11)使 在实数范围内有意义的x的取值范围是　　　    .
答案    x≥1
解析　由二次根式的被开方数为非负数,得x-1≥0,解得x≥1.
7.(2019黑龙江绥化,18)一次函数y1=-x+6与反比例函数y2= (x>0)的图象如图所示,当y1>y2时,自变量x的取值范围是　　　    . 
答案　2解析　由y1>y2知,此时一次函数的图象在反比例函数图象的上方,结合题图得当y1>y2时,28.(2019广西贺州,17)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x=1,其部分图象如图所示,下列说法中:①abc<0;②a-b+c<0;③3a+c=0;④当-10,正确的是　　　    .(填写序号) 
答案　①③④
9.(2019湖北天门,16)如图,在平面直角坐标系中,四边形OA1B1C1,A1A2B2C2,A2A3B3C3,…都是菱形,点A1,A2,A3,…都在x轴上,点C1,C2,C3,…都在直线y= x+ 上,且∠C1OA1=∠C2A1A2=∠C3A2A3=…=60°,OA1=1,则点C6的坐标是　　　    . 
答案　(47,16 )
三、解答题(共4小题,共55分)10.(10分)(2019广西贵港,21)如图,菱形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(1,0),点D(4,4)在反比例函数y= (x>0)的图象上,直线y= x+b经过点C,与y轴交于点E,连接AC,AE.(1)求k,b的值;(2)求△ACE的面积. 
解析　(1)∵点D(4,4)在反比例函数y= (x>0)的图象上,∴k=16,过D作DF⊥AB于F,则DF=4,AF=3,根据勾股定理得AD=5.∵在菱形ABCD中,DC=AB=AD=5,∴B(6,0),C(9,4),把(9,4)代入y= x+b,得b=-2.(2)由(1)可知,y= x-2,令x=0,得y=-2,∴E(0,-2).令y=0,得 x-2=0,解得x=3,∴直线y= x-2与x轴的交点坐标为(3,0),
∴S△AEC= ×2×(2+4)=6.
11.(15分)(2020山东潍坊,23)因疫情防控需要,消毒用品需求量增加.某药店新进一批桶装消毒液,每桶进价50元,每天销售量y(桶)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,其图象如图所示.(1)求y与x之间的函数表达式;(2)每桶消毒液的销售价定为多少元时,药店每天获得的利润最大,最大利润是多少元?(利润=销售价-进价) 
解析　(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx+b,k≠0,将(60,100)、(70,80)代入一次函数表达式,得 解得 所以y与x之间的函数表达式为y=-2x+220.(2)设药店每天获得的利润为w元,由题意得w=(x-50)(-2x+220)=-2(x-80)2+1 800.因为-2<0,故函数有最大值,所以当x=80时,w取最大值,最大值是1 800.故每桶消毒液的销售价定为80元时,药店每天获得的利润最大,最大利润为1 800元.
思路分析　(1)用待定系数法求函数表达式;(2)设该药店每天获得的利润为w元,求得函数关系式,利用二次函数的性质即可解决问题.
方法技巧　本题考查利用二次函数的性质解决利润问题.在商品经营活动中,经常会遇到求最大利润、最大销量等问题.解此类题的关键是通过题意确定出二次函数的表达式,然后确定其最大值.需注意自变量x的取值要使实际问题有意义,因此在求二次函数的最值时,一定要注意自变量x的取值范围.
12.(15分)(2019黑龙江鸡西,25)小明放学后从学校回家,出发5分钟时,同桌小强发现小明的数学作业卷忘记拿了,立即拿着数学作业卷按照同样的路线去追赶小明,小强出发10分钟时,小明才想起没拿数学作业卷,马上以原速原路返回,在途中与小强相遇.两人离学校的路程y(米)与小强所用时间x(分钟)之间的函数图象如图所示.(1)求函数图象中a的值;(2)求小强的速度;(3)求线段AB的函数解析式,并写出自变量的取值范围. 
解析　(1)a= ×(10+5)=900.(2)小明的速度为300÷5=60(米/分),小强的速度为(900-60×2)÷12=65(米/分).(3)两人相遇时,小强走的路程为65×12=780(米),故B(12,780).设线段AB所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0),把(10,900),(12,780)代入得 解得 ∴线段AB的解析式为y=-60x+1 500(10≤x≤12).
13.(15分)(2019西藏,25)已知:如图,抛物线y=ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A,B(-3,0),C(1,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,当点P运动到什么位置时,△PAB的面积最大?(3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E,连接DE,请问是否存在点P,使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.
图1　　　　　　　　 　　　　　　图2
解析　(1)∵抛物线y=ax2+bx+3过点B(-3,0),C(1,0),∴ 解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.(2)过点P作PH⊥x轴于点H,交AB于点F. 在y=-x2-2x+3中,当x=0时,y=3,∴A(0,3).易得直线AB的解析式为y=x+3.∵点P在线段AB上方的抛物线上,
∴设P(t,-t2-2t+3)(-3∴ =-1,∴xE=-2-xP=-2-t,∴PE=|xE-xP|=|-2-2t|.∵△PDE为等腰直角三角形,∠DPE=90°,∴PD=PE.①当-3综上所述,点P的坐标为(-2,3)或 时,△PDE为等腰直角三角形.