初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形优秀同步练习题

这是一份初中数学北师大版八年级下册1 等腰三角形优秀同步练习题，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题(每题3分，共30分)


1．若等腰三角形的底角为40°，则它的顶角度数为( )


A．40° B．50° C．60° D．100°


2．已知等腰三角形两边长是8 cm和4 cm，那么它的周长是( )


A．12 cm B．16 cm C．16 cm或20 cm D．20 cm


3．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( )


A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c


C．a与b相交 D．a⊥b


4．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )


A．eq \r(3)，eq \r(4)，eq \r(5) B．1，eq \r(2)，eq \r(3) C．6，7，8 D．2，3，4


5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是( )





A．30° B．35° C．40° D．45°


6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )





A．5 B．6 C．8 D．10


7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，且AD交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列说法错误的是( )





A．∠CAD＝30° B．AD＝BD C．BE＝2CD D．CD＝ED


8．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )





A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD


9．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于eq \f(1,2)AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为( )





A．7 B．14 C．17 D．20


10．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，则下列四个结论：


①∠DEF＝∠DFE；②AE＝AF；


③DA平分∠EDF；④EF垂直平分AD.


其中结论正确的有( )


A．1个 B．2个 C．3个 D．4个


二、填空题(每题3分，共30分)


11．如图，在△ABC中，∠C＝40°，CA＝CB，则△ABC的外角∠ABD＝________．





12．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是________．





13．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：____________________________________________，该逆命题是________(填“真”或“假”)命题．


14．如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β＝________.





15．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD，CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为________．





16．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝________．





17．等腰三角形ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BD＝eq \f(1,2)AC，则等腰三角形ABC底角的度数为________．


18．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E，AD＝3，BE＝1，则DE＝________．





19．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为________．





20．如图，等边三角形ABC的边长为12，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上的一点．若AE＝4，则EM＋CM的最小值为________．





三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)


21．已知：∠ABC，射线BC上一点D(如图所示)．


求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC的内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．(要求：请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)











22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB，CF交ED的延长线于点F.


(1)求证：△BDE≌△CDF；


(2)当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．











23．如图，锐角三角形ABC的两条高BE，CD相交于点O，且OB＝OC.


(1)求证：△ABC是等腰三角形；


(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．























24．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点在格点上，按要求画图．


(1)在图①中画出一个面积为4的等腰三角形ABC(点C在格点上)，使A，B，C中任意两点都不在同一条网格线上；


(2)在图②中画出一个面积为5的直角三角形ABD(点D在格点上)，使A，B，D中任意两点都不在同一条网格线上．


























25．如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题：


(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由．


(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t；若不能，请说明理由．

















26．数学课上，张老师举了下面的例题：


例1 等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)


例2 等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)


张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：


变式 等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．


(1)请你解答以上的变式题．


(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．





答案


一、1.D 2.D 3.C 4.B


5．C 点拨：∵AB＝AC，∠A＝30°，


∴∠ACB＝eq \f(1,2)×(180°－30°)＝75°.


∵∠1＝∠A＋∠AED＝145°，


∴∠AED＝145°－30°＝115°.


∵a∥b，∴∠AED＝∠2＋∠ACB.∴∠2＝115°－75°＝40°.


6．C 7.C 8.D 9.C


10．C 点拨：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，DE＝DF.∴∠DEF＝∠DFE.∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF.∴AE＝AF，∠ADE＝∠ADF.∴AD垂直平分EF.∴①②③正确，④不正确．


二、11.110° 12.3


13．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假


14．20° 15.2eq \r(7) 16.70°


17．45°或15°或75° 点拨：如图①，AC是底边，AB＝CB.


∵BD⊥AC，∴AD＝CD＝eq \f(1,2)AC.


∵BD＝eq \f(1,2)AC，∴AD＝BD.


∴∠A＝∠ABD＝45°.


如图②，BC是底边，AB＝AC，


∴∠ABC＝∠C.


∵BD＝eq \f(1,2)AC，∴BD＝eq \f(1,2)AB.


又∵BD⊥AC，∴∠BAD＝30°.


∵∠BAD＝∠ABC ＋∠C ＝2∠C，∴∠C＝15°.


如图③，BC是底边，同理可得∠A＝30°，


∴∠ABC＝∠C＝eq \f(1,2)(180°－∠A)＝75°.


若AB是底边，同理可得等腰三角形ABC底角的度数为15°或75°.


综上，等腰三角形ABC底角的度数为45°或15°或75°.


18．2 点拨：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠DAC＋∠DCA＝90°.


∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＋∠DCA＝90°.∴∠DAC＝∠ECB.


又∵AC＝CB，


∴△ACD≌△CBE.


∴AD＝CE＝3，CD＝BE＝1.


∴DE＝CE－CD＝3－1＝2.


19．3eq \r(3)


20．4eq \r(7) 点拨：如图，在AB上截取AE′＝AE＝4，连接CE′，CE′与AD交于点M，连接ME，易知此时EM＋CM的值最小，即为线段CE′的长度．过点C作CF⊥AB，垂足为F.





∵△ABC是等边三角形，


∴AF＝eq \f(1,2)AB＝6，∴CF＝eq \r(AC2－AF2)＝6eq \r(3)，E′F＝AF－AE′＝2，


∴CE′＝eq \r(CF2＋E′F2)＝4eq \r(7).


三、21.解：如图，△PBD为所求作的三角形．





22．(1)证明：∵CF∥AB，


∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F.


∵AD是BC边上的中线，


∴BD＝CD.


∴△BDE≌△CDF(AAS)．


(2)解：∵△BDE≌△CDF，


∴BE＝CF＝2.


∴AB＝AE＋BE＝1＋2＝3.


∵AD⊥BC，BD＝CD，


∴AC＝AB＝3.


23．(1)证明：∵OB＝OC，


∴∠OBC＝∠OCB.


∵BE，CD是两条高，


∴∠BDC＝∠CEB＝90°.


又∵BC＝CB，


∴△BDC≌△CEB(AAS)．


∴∠DBC＝∠ECB.


∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．


(2)解：点O在∠BAC的平分线上．


理由：∵△BDC≌△CEB，


∴DC＝EB.


∵OB＝OC，


∴OD＝OE.


又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，


∴点O在∠BAC的平分线上．


24．解：(1)如图①所示．





(2)如图②所示．


25．解：(1)当点Q到达点C时，PQ与AB垂直．


理由：∵点Q到达点C时，BQ＝BC＝6 cm，


∴t＝eq \f(6,2)＝3.


∴AP＝3 cm.


∴BP＝AB－AP＝3 cm＝AP.


∴点P为AB的中点．∴PQ⊥AB.


(2)能．


∵∠B＝60°，


∴当BP＝BQ时，△BPQ为等边三角形．


∴6－t＝2t，解得t＝2.


∴当t＝2时，△BPQ是等边三角形．


26．解：(1)若∠A为顶角，则∠B＝(180°－80°)÷2＝50°；


若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°－2×80°＝20°；


若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝80°.


故∠B为50°或20°或80°.


(2)分两种情况：


①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，


∴∠B的度数只有一个．


②当0＜x＜90时，


若∠A为顶角，则∠B＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180－x,2)))°；


若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝(180－2x)°；


若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°.


当eq \f(180－x,2)≠180－2x且180－2x≠x且eq \f(180－x,2)≠x，


即x≠60时，∠B有三个不同的度数．


综上所述，当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．