人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性精品学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性精品学案，共5页。学案主要包含了学习过程，学习小结，精炼反馈，学习重难点，学习目标，核心素养等内容，欢迎下载使用。




【学习过程】


一、问题导学


预习教材内容，思考以下问题：


1．事件的相互独立性的定义是什么？


2．相互独立事件有哪些性质？


3．相互独立事件与互斥事件有什么区别？




















二、合作探究


1．相互独立事件的判断


一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：


（1）家庭中有两个小孩；


（2）家庭中有三个小孩．




















【解】（1）有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，


它有4个基本事件，由等可能性知概率都为eq \f(1,4).


这时A＝{(男，女)，(女，男)}，


B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，


AB＝{(男，女)，(女，男)}，


于是P（A）＝eq \f(1,2)，P（B）＝eq \f(3,4)，P(AB)＝eq \f(1,2).


由此可知P(AB)≠P（A）P（B），


所以事件A，B不相互独立．


（2）有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．


由等可能性知这8个基本事件的概率均为eq \f(1,8)，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．


于是P（A）＝eq \f(6,8)＝eq \f(3,4)，P（B）＝eq \f(4,8)＝eq \f(1,2)，P(AB)＝eq \f(3,8)，


显然有P(AB)＝eq \f(3,8)＝P（A）P（B）成立．


从而事件A与B是相互独立的．


王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：


（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；


（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率．














【解】用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件．


则P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，P（C）＝0.9，


所以P(eq \(A,\s\up10(－)))＝0.2，P(eq \(B,\s\up10(－)))＝0.3，P(eq \(C,\s\up10(－)))＝0.1．


（1）由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为


P1＝P(eq \(A,\s\up10(－))BC)＋P(Aeq \(B,\s\up10(－))C)＋P(ABeq \(C,\s\up10(－)))＝


P(eq \(A,\s\up10(－)))P（B）P（C）＋P（A）P(eq \(B,\s\up10(－)))P（C）＋P（A）P（B）P(eq \(C,\s\up10(－)))


＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398．


（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为


P2＝1－P(eq \(A,\s\up10(－))eq \(B,\s\up10(－))eq \(C,\s\up10(－)))＝1－P(eq \(A,\s\up10(－)))P(eq \(B,\s\up10(－)))P(eq \(C,\s\up10(－)))


＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994．





（1）[变问法]在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．


解：恰有一列火车正点到达的概率为


P3＝P(Aeq \(B,\s\up10(－))eq \(C,\s\up10(－)))＋P(eq \(A,\s\up10(－))Beq \(C,\s\up10(－)))＋P(eq \(A,\s\up10(－))eq \(B,\s\up10(－))C)＝P（A）P(eq \(B,\s\up10(－)))P(eq \(C,\s\up10(－)))＋P(eq \(A,\s\up10(－)))P（B）P(eq \(C,\s\up10(－)))＋P(eq \(A,\s\up10(－)))P(eq \(B,\s\up10(－)))P（C）＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092．


（2）[变条件]若一列火车正点到达记10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P(ξ≤20)．


解：事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以P(ξ≤20)＝1－P(ABC)＝1－P（A）P（B）P（C）


＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496．


3．相互独立事件的综合应用


本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,2)，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，两人租车时间都不会超过四小时．


（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；


（2）设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．

















【解】（1）由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,4).


记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P（A）＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,16).所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为eq \f(5,16).


（2）P(ξ＝4)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＝eq \f(5,16)，


P(ξ＝6)＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,4)＝eq \f(3,16).


【学习小结】


1．相互独立的概念


设A，B为两个事件，若P(AB)＝P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立．


2．相互独立的性质


若事件A与B相互独立，那么A与eq \(B,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))与B，eq \(A,\s\up6(－))与eq \(B,\s\up6(－))也都相互独立．


【精炼反馈】


1．如图，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )





A．eq \f(4,9) B．eq \f(2,9)


C．eq \f(2,3) D．eq \f(1,3)


解析：选A．左边圆盘指针落在奇数区域的概率为eq \f(4,6)＝eq \f(2,3)，右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为eq \f(2,3)，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为eq \f(2,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4,9).


2．已知A，B是相互独立事件，且P（A）＝eq \f(1,2)，P（B）＝eq \f(2,3)，则P(Aeq \(B,\s\up10(－)))＝________；P(eq \(A,\s\up10(－)) eq \(B,\s\up10(－)))＝________．


解析：因为P（A）＝eq \f(1,2)，P（B）＝eq \f(2,3).


所以P(eq \(A,\s\up10(－)))＝eq \f(1,2)，P(eq \(B,\s\up10(－)))＝eq \f(1,3).


所以P(A eq \(B,\s\up10(－)))＝P（A）P(eq \(B,\s\up10(－)))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,6)，P(eq \(A,\s\up10(－)) eq \(B,\s\up10(－)))＝P(eq \(A,\s\up10(－)))P(eq \(B,\s\up10(－)))＝eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(1,6).


答案：eq \f(1,6) eq \f(1,6)


3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：


（1）第3次拨号才接通电话；


（2）拨号不超过3次而接通电话．


解：设Ai＝{第i次拨号接通电话}，i＝1，2，3．


（1）第3次才接通电话可表示为eq \(A1,\s\up10(－))eq \(A2,\s\up10(－)) A3，


于是所求概率为P(eq \(A1,\s\up10(－))eq \(A2,\s\up10(－))A3)＝eq \f(9,10)×eq \f(8,9)×eq \f(1,8)＝eq \f(1,10).


（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为A1＋eq \(A1,\s\up10(－)) A2＋eq \(A1,\s\up10(－))eq \(A2,\s\up10(－))A3，


于是所求概率为P(A1＋eq \(A1,\s\up10(－))A2＋eq \(A1,\s\up10(－))eq \(A2,\s\up10(－))A3)


＝P(A1)＋P(eq \(A1,\s\up10(－))A2)＋P(eq \(A1,\s\up10(－))eq \(A2,\s\up10(－))A3)


＝eq \f(1,10)＋eq \f(9,10)×eq \f(1,9)＋eq \f(9,10)×eq \f(8,9)×eq \f(1,8)＝eq \f(3,10).【学习重难点】
【学习目标】
【核心素养】
相互独立事件的概念
理解相互独立事件的概念及意义
数学抽象
相互独立事件同时发生的概念
能记住相互独立事件概率的乘法公式；


能综合运用互斥事件的概率加法公式


及独立事件的乘法公式解题
数学运算、数学建模