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    数学必修 第二册7.1 复数的概念优秀教案及反思

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    这是一份数学必修 第二册7.1 复数的概念优秀教案及反思,共8页。教案主要包含了第一课时,教学过程,第二课时等内容,欢迎下载使用。




    【第一课时】


    数系的扩充和复数的概念


    【教学过程】


    一、问题导入


    预习教材内容,思考以下问题:


    1.复数是如何定义的?其表示方法又是什么?


    2.复数分为哪两大类?


    3.复数相等的条件是什么?


    二、新知探究


    探究点1:


    复数的概念


    下列命题:


    ①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;


    ②若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i;


    ③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±2;


    ④实数集是复数集的真子集.


    其中正确的命题是( )


    A.①B.②


    C.③D.④


    解析:对于复数a+bi(a,b∈R),当a=0且b≠0时,为纯虚数.对于①,若a=-1,则(a+1)i不是纯虚数,即①错误;两个虚数不能比较大小,则②错误;对于③,若x=-2,则x2-4=0,x2+3x+2=0,此时(x2-4)+(x2+3x+2)i=0不是纯虚数,则③错误;显然,④正确.故选D.


    答案:D


    eq \a\vs4\al()


    判断与复数有关的命题是否正确的方法


    (1)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这种类型的题时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答.


    (2)化代数形式:对于复数实部、虚部的确定,不但要把复数化为a+bi的形式,更要注意这里a,b均为实数时,才能确定复数的实部、虚部.


    提醒:解答复数概念题,一定要紧扣复数的定义,牢记i的性质.


    探究点2:


    复数的分类


    当实数m为何值时,复数z=eq \f(m2+m-6,m)+(m2-2m)i:(1)为实数?(2)为虚数?(3)为纯虚数?


    解:(1)当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2-2m=0,,m≠0,))即m=2时,复数z是实数.


    (2)当m2-2m≠0且m≠0,即m≠0且m≠2时,复数z是虚数.


    (3)当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≠0,,\f(m2+m-6,m)=0,,m2-2m≠0,))即m=-3时,复数z是纯虚数.


    eq \a\vs4\al()


    解决复数分类问题的方法与步骤


    (1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.


    (2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.


    (3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),


    ①z为实数⇔b=0;


    ②z为虚数⇔b≠0;


    ③z为纯虚数⇔a=0且b≠0.


    探究点3:


    复数相等


    (1)(2019·浙江杭州期末考试)若z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i(m,n∈R),且z1=z2,则m+n=( )


    A.4或0B.-4或0


    C.2或0D.-2或0


    (2)若lg2(x2-3x-2)+ilg2(x2+2x+1)>1,则实数x的值是________.


    解析:(1)由z1=z2,得n2-3m-1=-3且n2-m-6=-4,解得m=2,n=±2,所以m+n=4或0,故选A.


    (2)因为lg2(x2-3x-2)+ilg2(x2+2x+1)>1,


    所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(lg2(x2-3x-2)>1,,lg2(x2+2x+1)=0,))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2-3x-2>2,,x2+2x+1=1,))解得x=-2.


    【答案:(1)A


    (2)-2


    eq \a\vs4\al()


    复数相等的充要条件


    复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据,多用来求解参数.解决复数相等问题的步骤是:分别分离出两个复数的实部和虚部,利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解.


    注意:在两个复数相等的充要条件中,注意前提条件是a,b,c,d∈R,即当a,b,c,d∈R时,a+bi=c+di⇔a=c且b=d.若忽略前提条件,则结论不能成立.


    三、课堂总结


    1.复数的有关概念


    (1)复数的定义


    形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足i2=-1.


    (2)复数集


    全体复数所构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.


    (3)复数的表示方法


    复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部.


    2.复数相等的充要条件


    在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d.


    3.复数的分类


    (1)复数z=a+bi(a,b∈R)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(实数(b=0),,虚数(b≠0)\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(纯虚数a=0,,非纯虚数a≠0W.))))


    (2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系





    ■名师点拨


    复数bi(b∈R)不一定是纯虚数,只有当b≠0时,复数bi(b∈R)才是纯虚数.


    四、课堂检测


    1.若复数z=ai2-bi(a,b∈R)是纯虚数,则一定有( )


    A.b=0B.a=0且b≠0


    C.a=0或b=0D.ab≠0


    解析:选B.z=ai2-bi=-a-bi,由纯虚数的定义可得a=0且b≠0.


    2.若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,则实数m的值为( )


    A.-1B.2


    C.1D.-1或2


    解析:选D.因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,


    所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.


    3.若复数z=(m+1)+(m2-9)i<0,则实数m的值等于____________.


    解析:因为z<0,所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2-9=0,,m+1<0,))解得m=-3.


    答案:-3


    4.已知eq \f(x2-x-6,x+1)=(x2-2x-3)i(x∈R),则x=________.


    解析:因为x∈R,所以eq \f(x2-x-6,x+1)∈R,


    由复数相等的条件得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2-x-6,x+1)=0,,x2-2x-3=0,,x+1≠0,))


    解得x=3.


    答案:3


    【第二课时】


    复数的几何意义


    【教学过程】


    一、问题导入


    预习教材内容,思考以下问题:


    1.复平面是如何定义的?


    2.复数与复平面内的点及向量的关系如何?复数的模是实数还是虚数?


    3.复数z=a+bi的共轭复数是什么?


    二、新知探究


    探究点1:


    复数与复平面内的点


    已知复数z=(a2-1)+(2a-1)i,其中a∈R.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时,求a的值(或取值范围).


    (1)在实轴上;


    (2)在第三象限.


    解:(1)若z对应的点在实轴上,则有


    2a-1=0,解得a=eq \f(1,2).


    (2)若z对应的点在第三象限,则有


    eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2-1<0,,2a-1<0,))解得-1

    故a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-1,\f(1,2))).


    互动探究:


    变条件:本例中复数z不变,若点Z在抛物线y2=4x上,求a的值.


    解:若z对应的点(a2-1,2a-1)在抛物线y2=4x上,则有(2a-1)2=4(a2-1),即4a2-4a+1=4a2-4,解得a=eq \f(5,4).


    eq \a\vs4\al()


    利用复数与点的对应解题的步骤


    (1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据.


    (2)列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.


    探究点2:


    复数与复平面内的向量


    在复平面内,复数i,1,4+2i对应的点分别是A,B,C.求平行四边形ABCD的顶点D所对应的复数.


    解:法一:由复数的几何意义得A(0,1),B(1,0),C(4,2),则AC的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2,\f(3,2))),由平行四边形的性质知该点也是BD的中点,设D(x,y),则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x+1,2)=2,,\f(y+0,2)=\f(3,2),))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=3,,y=3,))即点D的坐标为(3,3),所以点D对应的复数为3+3i.


    法二:由已知得eq \(OA,\s\up6(→))=(0,1),eq \(OB,\s\up6(→))=(1,0),eq \(OC,\s\up6(→))=(4,2),


    所以eq \(BA,\s\up6(→))=(-1,1),eq \(BC,\s\up6(→))=(3,2),


    所以eq \(BD,\s\up6(→))=eq \(BA,\s\up6(→))+eq \(BC,\s\up6(→))=(2,3),所以eq \(OD,\s\up6(→))=eq \(OB,\s\up6(→))+eq \(BD,\s\up6(→))=(3,3),


    即点D对应的复数为3+3i.


    eq \a\vs4\al()


    复数与平面向量的对应关系


    (1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数,反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.


    (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.


    探究点3:


    复数的模


    (1)设复数z1=a+2i,z2=-2+i且|z1|<|z2|,则实数a的取值范围是( )


    A.-11


    C.a>1D.a>0


    (2)(2019·贵州遵义贵龙中学期中测试)已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z在复平面内对应点的集合是( )


    A.1个圆B.线段


    C.2个点D.2个圆


    解析:(1)由题意得eq \r(a2+22)

    (2)由题意知(|z|-3)(|z|+1)=0,


    即|z|=3或|z|=-1,


    因为|z|≥0,所以|z|=3,


    所以复数z在复平面内对应点的集合是1个圆.


    答案:(1)A


    (2)A


    eq \a\vs4\al()


    求解复数的模的思路


    解决复数的模的求解问题,应先把复数表示成标准的代数形式,再根据复数的模的定义求解.


    三、课堂总结


    1.复平面


    建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.


    2.复数的两种几何意义


    (1)复数z=a+bi(a,b∈R)eq \(←――→,\s\up7(一一对应))复平面内的点Z(a,b).


    (2)复数z=a+bi(a,b∈R) eq \(←――→,\s\up7(一一对应))平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).


    3.复数的模


    复数z=a+bi(a,b∈R)对应的向量为eq \(OZ,\s\up6(→)),则eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=eq \r(a2+b2).


    4.共轭复数


    (1)一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.


    (2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.


    (3)复数z的共轭复数用eq \(z,\s\up6(-))表示,即如果z=a+bi,那么eq \(z,\s\up6(-))=a-bi.


    ■名师点拨


    复数z=a+bi在复平面内对应的点为(a,b),复数eq \(z,\s\up6(-))=a-bi在复平面内对应的点为(a,-b),所以两个互为共轭复数的复数,它们所对应的点关于x轴对称.


    四、课堂检测


    1.已知z=(m+3)+(m-1)i(m∈R)在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是( )


    A.(-3,1)B.(-1,3)


    C.(1,+∞)D.(-∞,-3)


    解析:选A.由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m+3>0,,m-1<0,))解得-3

    2.在复平面内,O为原点,向量eq \(OA,\s\up6(→))对应的复数为-1-2i,若点A关于实轴的对称点为B,则向量eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数为( )


    A.-2-iB.2+i


    C.1+2iD.-1+2i


    解析:选D.由题意可知,点A的坐标为(-1,-2),则点B的坐标为(-1,2),故向量eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数为-1+2i.


    3.已知0<a<2,复数z的实部为a,虚部为1,则|z|的取值范围是____________.


    解析:依题意,可知z=a+i(a∈R),则|z|2=a2+1.因为0<a<2,所以a2+1∈(1,5),即|z|∈(1,eq \r(5)).


    答案:(1,eq \r(5))


    4.若复数z1=2+bi与复数z2=a-4i互为共轭复数,则a=________,b=________.


    解析:因为z1与z2互为共轭复数,


    所以a=2,b=4.


    答案:2 4教学重难点
    教学目标
    核心素养
    复数的有关概念
    了解数系的扩充过程,理解复数的概念
    数学抽象
    复数的分类
    理解复数的分类
    数学抽象
    复数相等
    掌握复数相等的充要条件及其应用
    数学运算
    教学重难点
    教学目标
    核心素养
    复平面
    了解复平面的概念
    数学抽象
    复数的几何意义
    理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系
    直观想象
    复数的模
    掌握复数的模的概念,会求复数的模
    数学运算
    共轭复数
    掌握共轭复数的概念,并会求一个复数的共轭复数
    数学运算
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