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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行一等奖教学设计
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行一等奖教学设计，共16页。教案主要包含了第一课时，教学目标，教学重难点，教学过程，课堂检测，第二课时，第三课时等内容，欢迎下载使用。
空间直线、平面的平行
【第一课时】
直线与直线平行
【教学目标】
1．理解基本事实4，并会用它解决两直线平行问题
2．理解定理的内容，套用定理解决角相等或互补问题
【教学重难点】
1．基本事实4
2．等角定理
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．基本事实4的内容是什么？
2．定理的内容是什么？
二、基础知识
1．基本事实4
（1）平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质通常叫做平行线的传递性．（2）符号表示：⇒a∥c.
2．等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
名师点拨
定理实质上是由如下两个结论组合成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向都相同（或方向都相反），则这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补．
三、新知探究
基本事实4的应用
例1：如图，E，F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．
【证明】如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1.
因为E是AA1的中点，所以EQA1D1.
因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1，
所以EQB1C1，
所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1EC1Q.
又Q，F分别是D1D，C1C的中点，
所以QDC1F，
所以四边形DQC1F为平行四边形，
所以C1QFD.
又B1EC1Q，所以B1EFD，
故四边形B1EDF为平行四边形．
[规律方法]
证明空间中两条直线平行的方法
（1）利用平面几何的知识（三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等）来证明．
（2）利用基本事实4即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b.
定理的应用
例2：如图所示，不共面的三条射线OA，OB，OC，点A1，B1，C1分别是OA，OB，OC上的点，且＝＝.
求证：△A1B1C1∽△ABC.
【证明】在△OAB中，因为＝，所以A1B1∥AB.
同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC.
所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.
所以△A1B1C1∽△ABC.
[规律方法]
运用定理判定两个角是相等还是互补的途径有两种：一是判定两个角的方向是否相同；二是判定这两个角是否都为锐角或都为钝角，若都为锐角或都为钝角则相等，反之则互补．
【课堂检测】
1.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，M是AD的中点，N是B1C1的中点，求证：CM∥A1N.
证明：取A1D1的中点P，连接C1P，MP，则A1P＝A1D1.又N为B1C1的中点，B1C1A1D1，
所以C1NPA1，四边形PA1NC1为平行四边形，A1N∥C1P.
又由PMDD1CC1，得C1P∥CM.所以CM∥A1N.
2．如图，已知直线a，b为异面直线，A，B，C为直线a上三点，D，E，F为直线b上三点，A′，B′，C′，D′，E′分别为AD，DB，BE，EC，CF的中点．求证：∠A′B′C′＝∠C′D′E′.
证明：因为A′，B′分别是AD，DB的中点，所以A′B′∥a，
同理C′D′∥a，B′C′∥b，D′E′∥b，所以A′B′∥C′D′，B′C′∥D′E′.
又∠A′B′C′的两边和∠C′D′E′的两边的方向都相同，
所以∠A′B′C′＝∠C′D′E′.
【第二课时】
直线与平面平行
【教学目标】
1．理解直线与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，会用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面位置关系
2．理解并能证明直线与平面平行的性质定理，明确定理的条件，能利用直线与平面平行的性质定理解决有关的平行问题
【教学重难点】
1．直线与平面平行的判定
2．直线与平面平行的性质
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．直线与平面平行的判定定理是什么？
2．直线与平面平行的性质定理是什么？
二、基础知识
1．直线与平面平行的判定定理
文字语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号语言
a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α
图形语言
名师点拨
用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：
（1）直线a在平面α外，即a⊄α.
（2）直线b在平面α内，即b⊂α.
（3）两直线a，b平行，即a∥b.
2．直线与平面平行的性质定理
文字语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
符号语言
a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b
图形语言
名师点拨
（1）线面平行的性质定理成立的条件有三个：
①直线a与平面α平行，即a∥α；
②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；
③直线a在平面β内，即a⊂β.
以上三个条件缺一不可．
（2）定理的作用：
①线面平行⇒线线平行；
②画一条直线与已知直线平行．
（3）定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想．
三、合作探究
直线与平面平行的判定
例1：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
【证明】连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1.
又ABA1B1D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，
所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.
又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G，
所以EF∥平面AD1G.
[规律方法]
应用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
①空间直线平行关系的传递性法；
②三角形中位线法；
③平行四边形法；
④成比例线段法．
[提醒]线面平行判定定理应用的误区
（1）条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”．
（2）不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．
线面平行性质定理的应用
例2：如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
【证明】如图，连接AC，交BD于点O，连接MO.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以点O是AC的中点．
又因为点M是PC的中点，
所以AP∥OM.
又因为AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，
所以AP∥平面BDM.
因为平面PAHG∩平面BDM＝GH，
AP⊂平面PAHG，所以AP∥GH.
[规律方法]
【课堂检测】
1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是（ ）
A．b与α内的一条直线不相交
B．b与α内的两条直线不相交
C．b与α内的无数条直线不相交
D．b与α内的所有直线不相交
解析：选D.若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α.
2．给出下列命题：
①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；
②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；
③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.①中，直线可能与平面相交，故①错；②是正确的；③中，一条直线与平面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故③错．
3．三棱台ABCA1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行
C．在平面内 D．不确定
解析：选B.在三棱台ABCA1B1C1中，AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1.
4．如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.
证明：如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．
又D是AB的中点，连接DF，则DF∥BC1.
因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.
【第三课时】
平面与平面平行
【教学目标】
1．理解平面与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述平面与平面平行的判定定理，会用平面与平面平行的判定定理证明空间面面位置关系
2．理解并能证明平面与平面平行的性质定理，能利用平面与平面平行的性质定理解决有关的平行问题
【教学重难点】
1．平面与平面平行的判定
2．平面与平面平行的性质
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．面面平行的判定定理是什么？
2．面面平行的性质定理是什么？
二、基础知识
1．平面与平面平行的判定定理
文字语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言
a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α
图形语言
名师点拨
（1）平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．
（2）面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．
2．平面与平面平行的性质定理
文字语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
图形语言
名师点拨
（1）用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：
①平面α和平面β平行，即α∥β；
②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；
③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.
以上三个条件缺一不可．
（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．
（3）该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．
三、合作探究
平面与平面平行的判定
例1：如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1.
（1）求证：平面A1BD∥平面B1D1C；
（2）若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.
【证明】（1）因为B1BDD1，
所以四边形BB1D1D是平行四边形，
所以B1D1∥BD，又BD⊄平面B1D1C，
B1D1⊂平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C.
同理A1D∥平面B1D1C.
又A1D∩BD＝D，
所以平面A1BD∥平面B1D1C.
（2）由BD∥B1D1，
得BD∥平面EB1D1.
取BB1的中点G，
连接AG，GF，
易得AE∥B1G，
又因为AE＝B1G，
所以四边形AEB1G是平行四边形，
所以B1E∥AG.
易得GF∥AD，又因为GF＝AD，
所以四边形ADFG是平行四边形，
所以AG∥DF，所以B1E∥DF，
所以DF∥平面EB1D1.
又因为BD∩DF＝D，
所以平面EB1D1∥平面FBD.
[变条件]把本例（2）的条件改为“E，F分别是AA1与CC1上的点，且A1E＝A1A”，求F在何位置时，平面EB1D1∥平面FBD?
解：当F满足CF＝CC1时，两平面平行，下面给出证明：
在D1D上取点M，
且DM＝DD1，
连接AM，FM，
则AED1M，
从而四边形AMD1E是平行四边形．
所以D1E∥AM.
同理，FMCD，
又因为ABCD，所以FMAB，
从而四边形FMAB是平行四边形．所以AM∥BF.
即有D1E∥BF.又BF⊂平面FBD，
D1E⊄平面FBD，
所以D1E∥平面FBD.
又B1BD1D，从而四边形BB1D1D是平行四边形．故而B1D1∥BD，
又BD⊂平面FBD，B1D1⊄平面FBD，
从而B1D1∥平面FBD，
又D1E∩B1D1＝D1，
所以平面EB1D1∥平面FBD.
[规律方法]
证明面面平行的方法
（1）要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可．
（2）判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．
面面平行性质定理的应用
例2：如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于点B，A和D，C，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN∥平面α.
【证明】如图，过点A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，BD，AC.
因为AE∥CD，所以AE，CD确定平面AEDC.
则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC，因为α∥β，所以AC∥DE.
又P，N分别为AE，CD的中点，
所以PN∥DE，PN⊄α，DE⊂α，所以PN∥α.
又M，P分别为AB，AE的中点，
所以MP∥BE，且MP⊄α，BE⊂α.
所以MP∥α，因为MP∩PN＝P，
所以平面MPN∥α.
又MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α.
1．[变条件]在本例中将M，N分别为AB，CD的中点换为M，N分别在线段AB，CD上，且＝，其他不变．
证明：MN∥平面α.
证明：作AE∥CD交α于点E，连接AC，BD，如图．
因为α∥β且平面AEDC与平面α，β的交线分别为ED，AC，所以AC∥ED，所以四边形AEDC为平行四边形，作NP∥DE交AE于点P，
连接MP，BE，于是＝.
又因为＝，所以＝，所以MP∥BE.
而BE⊂α，MP⊄α，所以MP∥α.同理PN∥α.
又因为MP∩NP＝P，所以平面MPN∥平面α.
又MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α.
2．[变条件、变问法]两条异面直线与三个平行平面α，β，γ分别交于A，B，C和D，E，F，求证：＝.
证明：连接AF交平面β于点M.
连接MB，ME，BE，AD，CF，因为α∥β，
所以ME∥AD.
所以＝.
同理，BM∥CF，
所以＝，
即＝.
[规律方法]
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
[提醒]面面平行性质定理的实质：面面平行⇒线线平行，体现了转化思想．与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化．
平行关系的综合问题
例3：在正方体ABCDA1B1C1D1中，如图．
（1）求证：平面AB1D1∥平面C1BD；
（2）试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.
【解】（1）证明：因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，ADB1C1，
所以四边形AB1C1D是平行四边形，
所以AB1∥C1D.
又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD.
所以AB1∥平面C1BD.
同理B1D1∥平面C1BD.
又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.
（2）如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接A1C，连接AO1与A1C交于点E.
又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；
连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．证明A1E＝EF＝FC的过程如下：
因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，
平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，
平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，
所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；
同理可证OF∥AE，
所以F是CE的中点，
即CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.
[规律方法]
解决平行关系的综合问题的方法
（1）在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．
（2）要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的性质，实现相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．
【课堂检测】
1．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是（ ）
A．平面α内有一条直线与平面β平行
B．平面α内有两条直线与平面β平行
C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D．平面α与平面β不相交
解析：选D.选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.
2.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于（ ）
A．2∶25 B．4∶25
C．2∶5 D．4∶5
解析：选B.因为平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，
所以AB∥A′B′，
同理B′C′∥BC，
易得△ABC∽△A′B′C′，
S△A′B′C′∶S△ABC＝＝＝.
3．在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．
解析：在正方体ABCDA1B1C1D1中，
因为平面MCD1∩平面DCC1D1＝CD1，
所以平面MCD1∩平面ABB1A1＝MN，
且MN∥CD1，
所以N为AB的中点，
所以该截面为等腰梯形MNCD1，
因为正方体的棱长为2，
易知，MN＝，CD1＝2，MD1＝，
所以等腰梯形MNCD1的高MH＝＝.
所以截面面积为（＋2）×＝.
答案：
4.如图，已知AB与CD是异面直线，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝G，BC∩α＝H.求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：因为AB∥平面α，AB⊂平面ABC，
平面ABC∩平面α＝EH，所以AB∥EH，
因为AB∥平面α，AB⊂平面ABD，
平面ABD∩平面α＝FG，
所以AB∥FG，所以EH∥FG，
同理由CD∥平面α可证EF∥GH，
所以四边形EFGH是平行四边形．
空间直线、平面的平行
【第一课时】
直线与直线平行
【教学目标】
1．理解基本事实4，并会用它解决两直线平行问题
2．理解定理的内容，套用定理解决角相等或互补问题
【教学重难点】
1．基本事实4
2．等角定理
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．基本事实4的内容是什么？
2．定理的内容是什么？
二、基础知识
1．基本事实4
（1）平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质通常叫做平行线的传递性．（2）符号表示：⇒a∥c.
2．等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
名师点拨
定理实质上是由如下两个结论组合成的：①若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向都相同（或方向都相反），则这两个角相等；②若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补．
三、新知探究
基本事实4的应用
例1：如图，E，F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．
【证明】如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1.
因为E是AA1的中点，所以EQA1D1.
因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1，
所以EQB1C1，
所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1EC1Q.
又Q，F分别是D1D，C1C的中点，
所以QDC1F，
所以四边形DQC1F为平行四边形，
所以C1QFD.
又B1EC1Q，所以B1EFD，
故四边形B1EDF为平行四边形．
[规律方法]
证明空间中两条直线平行的方法
（1）利用平面几何的知识（三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等）来证明．
（2）利用基本事实4即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b.
定理的应用
例2：如图所示，不共面的三条射线OA，OB，OC，点A1，B1，C1分别是OA，OB，OC上的点，且＝＝.
求证：△A1B1C1∽△ABC.
【证明】在△OAB中，因为＝，所以A1B1∥AB.
同理可证A1C1∥AC，B1C1∥BC.
所以∠C1A1B1＝∠CAB，∠A1B1C1＝∠ABC.
所以△A1B1C1∽△ABC.
[规律方法]
运用定理判定两个角是相等还是互补的途径有两种：一是判定两个角的方向是否相同；二是判定这两个角是否都为锐角或都为钝角，若都为锐角或都为钝角则相等，反之则互补．
【课堂检测】
1.如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，M是AD的中点，N是B1C1的中点，求证：CM∥A1N.
证明：取A1D1的中点P，连接C1P，MP，则A1P＝A1D1.又N为B1C1的中点，B1C1A1D1，
所以C1NPA1，四边形PA1NC1为平行四边形，A1N∥C1P.
又由PMDD1CC1，得C1P∥CM.所以CM∥A1N.
2．如图，已知直线a，b为异面直线，A，B，C为直线a上三点，D，E，F为直线b上三点，A′，B′，C′，D′，E′分别为AD，DB，BE，EC，CF的中点．求证：∠A′B′C′＝∠C′D′E′.
证明：因为A′，B′分别是AD，DB的中点，所以A′B′∥a，
同理C′D′∥a，B′C′∥b，D′E′∥b，所以A′B′∥C′D′，B′C′∥D′E′.
又∠A′B′C′的两边和∠C′D′E′的两边的方向都相同，
所以∠A′B′C′＝∠C′D′E′.
【第二课时】
直线与平面平行
【教学目标】
1．理解直线与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，会用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面位置关系
2．理解并能证明直线与平面平行的性质定理，明确定理的条件，能利用直线与平面平行的性质定理解决有关的平行问题
【教学重难点】
1．直线与平面平行的判定
2．直线与平面平行的性质
【教学过程】
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．直线与平面平行的判定定理是什么？
2．直线与平面平行的性质定理是什么？
二、基础知识
1．直线与平面平行的判定定理
文字语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号语言
a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α
图形语言
名师点拨
用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：
（1）直线a在平面α外，即a⊄α.
（2）直线b在平面α内，即b⊂α.
（3）两直线a，b平行，即a∥b.
2．直线与平面平行的性质定理
文字语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
符号语言
a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b
图形语言
名师点拨
（1）线面平行的性质定理成立的条件有三个：
①直线a与平面α平行，即a∥α；
②平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；
③直线a在平面β内，即a⊂β.
以上三个条件缺一不可．
（2）定理的作用：
①线面平行⇒线线平行；
②画一条直线与已知直线平行．
（3）定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行，即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想．
三、合作探究
直线与平面平行的判定
例1：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
【证明】连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1.
又ABA1B1D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形，
所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.
又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G，
所以EF∥平面AD1G.
[规律方法]
应用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：
①空间直线平行关系的传递性法；
②三角形中位线法；
③平行四边形法；
④成比例线段法．
[提醒]线面平行判定定理应用的误区
（1）条件罗列不全，最易忘记的条件是“直线在平面外”．
（2）不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．
线面平行性质定理的应用
例2：如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.
【证明】如图，连接AC，交BD于点O，连接MO.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以点O是AC的中点．
又因为点M是PC的中点，
所以AP∥OM.
又因为AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，
所以AP∥平面BDM.
因为平面PAHG∩平面BDM＝GH，
AP⊂平面PAHG，所以AP∥GH.
[规律方法]
【课堂检测】
1．已知b是平面α外的一条直线，下列条件中，可得出b∥α的是（ ）
A．b与α内的一条直线不相交
B．b与α内的两条直线不相交
C．b与α内的无数条直线不相交
D．b与α内的所有直线不相交
解析：选D.若b与α内的所有直线不相交，即b与α无公共点，故b∥α.
2．给出下列命题：
①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；
②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；
③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.①中，直线可能与平面相交，故①错；②是正确的；③中，一条直线与平面平行，则它与平面内的直线平行或异面，故③错．
3．三棱台ABCA1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行
C．在平面内 D．不确定
解析：选B.在三棱台ABCA1B1C1中，AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1.
4．如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.
证明：如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．
又D是AB的中点，连接DF，则DF∥BC1.
因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.
【第三课时】
平面与平面平行
【教学目标】
1．理解平面与平面平行的定义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述平面与平面平行的判定定理，会用平面与平面平行的判定定理证明空间面面位置关系
2．理解并能证明平面与平面平行的性质定理，能利用平面与平面平行的性质定理解决有关的平行问题
【教学重难点】
1．平面与平面平行的判定
2．平面与平面平行的性质
一、问题导入
预习教材内容，思考以下问题：
1．面面平行的判定定理是什么？
2．面面平行的性质定理是什么？
二、基础知识
1．平面与平面平行的判定定理
文字语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言
a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α
图形语言
名师点拨
（1）平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．
（2）面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．
2．平面与平面平行的性质定理
文字语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
图形语言
名师点拨
（1）用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：
①平面α和平面β平行，即α∥β；
②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；
③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.
以上三个条件缺一不可．
（2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．
（3）该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．
三、合作探究
平面与平面平行的判定
例1：如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1.
（1）求证：平面A1BD∥平面B1D1C；
（2）若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.
【证明】（1）因为B1BDD1，
所以四边形BB1D1D是平行四边形，
所以B1D1∥BD，又BD⊄平面B1D1C，
B1D1⊂平面B1D1C，所以BD∥平面B1D1C.
同理A1D∥平面B1D1C.
又A1D∩BD＝D，
所以平面A1BD∥平面B1D1C.
（2）由BD∥B1D1，
得BD∥平面EB1D1.
取BB1的中点G，
连接AG，GF，
易得AE∥B1G，
又因为AE＝B1G，
所以四边形AEB1G是平行四边形，
所以B1E∥AG.
易得GF∥AD，又因为GF＝AD，
所以四边形ADFG是平行四边形，
所以AG∥DF，所以B1E∥DF，
所以DF∥平面EB1D1.
又因为BD∩DF＝D，
所以平面EB1D1∥平面FBD.
[变条件]把本例（2）的条件改为“E，F分别是AA1与CC1上的点，且A1E＝A1A”，求F在何位置时，平面EB1D1∥平面FBD?
解：当F满足CF＝CC1时，两平面平行，下面给出证明：
在D1D上取点M，
且DM＝DD1，
连接AM，FM，
则AED1M，
从而四边形AMD1E是平行四边形．
所以D1E∥AM.
同理，FMCD，
又因为ABCD，所以FMAB，
从而四边形FMAB是平行四边形．所以AM∥BF.
即有D1E∥BF.又BF⊂平面FBD，
D1E⊄平面FBD，
所以D1E∥平面FBD.
又B1BD1D，从而四边形BB1D1D是平行四边形．故而B1D1∥BD，
又BD⊂平面FBD，B1D1⊄平面FBD，
从而B1D1∥平面FBD，
又D1E∩B1D1＝D1，
所以平面EB1D1∥平面FBD.
[规律方法]
证明面面平行的方法
（1）要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面即可．
（2）判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．
面面平行性质定理的应用
例2：如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于点B，A和D，C，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN∥平面α.
【证明】如图，过点A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，BD，AC.
因为AE∥CD，所以AE，CD确定平面AEDC.
则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC，因为α∥β，所以AC∥DE.
又P，N分别为AE，CD的中点，
所以PN∥DE，PN⊄α，DE⊂α，所以PN∥α.
又M，P分别为AB，AE的中点，
所以MP∥BE，且MP⊄α，BE⊂α.
所以MP∥α，因为MP∩PN＝P，
所以平面MPN∥α.
又MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α.
1．[变条件]在本例中将M，N分别为AB，CD的中点换为M，N分别在线段AB，CD上，且＝，其他不变．
证明：MN∥平面α.
证明：作AE∥CD交α于点E，连接AC，BD，如图．
因为α∥β且平面AEDC与平面α，β的交线分别为ED，AC，所以AC∥ED，所以四边形AEDC为平行四边形，作NP∥DE交AE于点P，
连接MP，BE，于是＝.
又因为＝，所以＝，所以MP∥BE.
而BE⊂α，MP⊄α，所以MP∥α.同理PN∥α.
又因为MP∩NP＝P，所以平面MPN∥平面α.
又MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α.
2．[变条件、变问法]两条异面直线与三个平行平面α，β，γ分别交于A，B，C和D，E，F，求证：＝.
证明：连接AF交平面β于点M.
连接MB，ME，BE，AD，CF，因为α∥β，
所以ME∥AD.
所以＝.
同理，BM∥CF，
所以＝，
即＝.
[规律方法]
应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
[提醒]面面平行性质定理的实质：面面平行⇒线线平行，体现了转化思想．与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化．
平行关系的综合问题
例3：在正方体ABCDA1B1C1D1中，如图．
（1）求证：平面AB1D1∥平面C1BD；
（2）试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.
【解】（1）证明：因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，ADB1C1，
所以四边形AB1C1D是平行四边形，
所以AB1∥C1D.
又因为C1D⊂平面C1BD，AB1⊄平面C1BD.
所以AB1∥平面C1BD.
同理B1D1∥平面C1BD.
又因为AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面C1BD.
（2）如图，连接A1C1交B1D1于点O1，连接A1C，连接AO1与A1C交于点E.
又因为AO1⊂平面AB1D1，所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点；
连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．证明A1E＝EF＝FC的过程如下：
因为平面A1C1C∩平面AB1D1＝EO1，
平面A1C1C∩平面C1BD＝C1F，
平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，
所以E是A1F的中点，即A1E＝EF；
同理可证OF∥AE，
所以F是CE的中点，
即CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC.
[规律方法]
解决平行关系的综合问题的方法
（1）在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．
（2）要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的性质，实现相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．
【课堂检测】
1．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是（ ）
A．平面α内有一条直线与平面β平行
B．平面α内有两条直线与平面β平行
C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D．平面α与平面β不相交
解析：选D.选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.
2.如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于（ ）
A．2∶25 B．4∶25
C．2∶5 D．4∶5
解析：选B.因为平面α∥平面ABC，平面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，
所以AB∥A′B′，
同理B′C′∥BC，
易得△ABC∽△A′B′C′，
S△A′B′C′∶S△ABC＝＝＝.
3．在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积是________．
解析：在正方体ABCDA1B1C1D1中，
因为平面MCD1∩平面DCC1D1＝CD1，
所以平面MCD1∩平面ABB1A1＝MN，
且MN∥CD1，
所以N为AB的中点，
所以该截面为等腰梯形MNCD1，
因为正方体的棱长为2，
易知，MN＝，CD1＝2，MD1＝，
所以等腰梯形MNCD1的高MH＝＝.
所以截面面积为（＋2）×＝.
答案：
4.如图，已知AB与CD是异面直线，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝G，BC∩α＝H.求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：因为AB∥平面α，AB⊂平面ABC，
平面ABC∩平面α＝EH，所以AB∥EH，
因为AB∥平面α，AB⊂平面ABD，
平面ABD∩平面α＝FG，
所以AB∥FG，所以EH∥FG，
同理由CD∥平面α可证EF∥GH，
所以四边形EFGH是平行四边形．
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