高中数学9.1 随机抽样精品教案设计

随机抽样

【教学目标】

1．理解全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量、样本数据等概念

2．理解简单随机抽样的概念，掌握简单随机抽样的两种方法：抽签法和随机数法

3．理解分层随机抽样的概念，并会解决相关问题

【教学重难点】

1．抽样调查

2．简单随机抽样

3．分层随机抽样

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量、样本数据的概念是什么？

2．什么叫简单随机抽样？

3．最常用的简单随机抽样方法有哪两种？

4．抽签法是如何操作的？

5．随机数法是如何操作的？

6．什么叫分层随机抽样？

7．分层随机抽样适用于什么情况？

8．分层随机抽样时，每个个体被抽到的机会是相等的吗？

9．获取数据的途径有哪些？

二、基础知识

1．全面调查与抽样调查

（1）对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查Ｗ．

（2）在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体Ｗ．

（3）根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查Ｗ．

（4）把从总体中抽取的那部分个体称为样本Ｗ．

（5）样本中包含的个体数称为样本量Ｗ．

（6）调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据．

2．简单随机抽样

（1）有放回简单随机抽样

一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个抽取n（1≤n<N）个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样．

（2）不放回简单随机抽样

如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样．

（3）简单随机抽样

放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样．

（4）简单随机样本

通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本．

（5）简单随机抽样的常用方法

实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法．

名师点拨

（1）从总体中，逐个不放回地随机抽取n个个体作为样本，一次性批量随机抽取n个个体作为样本，两种方法是等价的．

（2）简单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样的公平性．

3．总体平均数与样本平均数

（1）总体平均数

①一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称＝＝Yi为总体均值，又称总体平均数．

②如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi（i＝1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式＝fiYiＷ．

（2）样本平均数

如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称＝＝yi为样本均值，又称样本平均数．在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数．

4．分层随机抽样

（1）分层随机抽样

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层Ｗ．

（2）比例分配

在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．

5．分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数

（1）在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n．我们用X1，X2，…，XM表示第1层各个个体的变量值，用x1，x2，…，xm表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y1，Y2，…，YN表示第2层各个个体的变量值，用y1，y2，…，yn表示第2层样本的各个个体的变量值，则：①第1层的总体平均数和样本平均数分别为＝＝Xi，＝＝xi．

②第2层的总体平均数和样本平均数分别为＝＝Yi，＝＝yi．

③总体平均数和样本平均数分别为＝，＝Ｗ．

（2）由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数．因此我们可以用＝＋估计总体平均数．

（3）在比例分配的分层随机抽样中，＝＝，可得＋＝＋＝．因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数．

6．获取数据的途径

获取数据的基本途径有：（1）通过调查获取数据；（2）通过试验获取数据；（3）通过观察获取数据；（4）通过查询获取数据

三、合作探究

总体、样本等概念辨析题

例1：为了调查参加运动会的1 000名运动员的平均年龄，从中抽取了100名运动员进行调查，下面说法正确的是（    ）

A．1 000名运动员是总体

B．每个运动员是个体

C．抽取的100名运动员是样本

D．样本量是100

【解析】根据调查的目的可知，总体是这1 000名运动员的年龄，个体是每个运动员的年龄，样本是抽取的100名运动员的年龄，样本量为100．故答案为D．

【答案】D

[规律方法]

此类题目要正确理解总体与个体的概念，要弄明白概念的实质，并注意样本与样本容量的不同，其中样本量为数目，无单位．

简单随机抽样的概念

例2：下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？

（1）从无数个个体中抽取50个个体作为样本；

（2）仓库中有1万支奥运火炬，从中一次抽取100支火炬进行质量检查；

（3）某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区开展救灾工作．

【解】（1）不是简单随机抽样．因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的．（2）不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．（3）不是简单随机抽样．因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．

[规律方法]

要判断所给的抽样方法是否为简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点．

抽签法及随机数法的应用

例3：某班有50名学生，要从中随机地抽出6人参加一项活动，请分别写出利用抽签法和随机数法抽取该样本的过程．

【解】（1）利用抽签法步骤如下：

第一步：将这50名学生编号，编号为01，02，03，…，50．

第二步：将50个号码分别写在纸条上，并揉成团，制成号签．

第三步：将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀．

第四步：从容器中逐一抽取6个号签，并记录上面的号码．

对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生．

（2）利用随机数法步骤如下：

第一步：将这50名学生编号，编号为1，2，3，…，50．

第二步：用随机数工具产生1～50范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的学生进入样本．

第三步：重复第二步的过程，直到抽足样本所需人数．

对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生．

[规律方法]

（1）利用抽签法抽取样本时应注意以下问题：

①编号时，如果已有编号（如学号、标号等）可不必重新编号．（例如该题中50名同学，可以直接利用学号）

②号签要求大小、形状完全相同．

③号签要搅拌均匀．

④抽取号签时要逐一、不放回抽取．

（2）利用随机数法抽取样本时应注意的问题：如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，应剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需的人数．

分层随机抽样中的有关计算

例4：（1）某单位共有老、中、青年职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工身体状况，现采用分层随机抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工的人数为Ｗ．

（2）某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：

其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取人．

【解析】（1）设该单位老年职工人数为x，由题意得3x＝430－160，解得x＝90．则样本中的老年职工人数为90×＝18．

（2）法一：因为“泥塑”社团的人数占总人数的，

故“剪纸”社团的人数占总人数的，

所以“剪纸”社团的人数为800×＝320；

因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为＝＝，

所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×＝96．

由题意知，抽样比为＝，

所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×＝6．

法二：因为“泥塑”社团的人数占总人数的，

故“剪纸”社团的人数占总人数的，

所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50×＝20．

又“剪纸”社团中高二年级人数比例为＝＝，

所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20×＝6．

【答案】（1）18（2）6

[规律方法]

分层随机抽样中有关计算的方法

（1）抽样比＝＝．

（2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比．

对于分层抽样中求某层个体数，或某层要抽取的样本个体数，都可以通过上面两个等量关系求解．

样本平均数的求法

例5：（1）甲在本次飞镖游戏中的成绩为8，6，7，7，8，10，9，8，7，8．求甲在本次游戏中的平均成绩．

（2）在了解全校学生每年平均阅读多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6．已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本均值．

【解】（1）甲在本次游戏中的平均成绩为＝7．8．

（2）合在一起后的样本均值为＝＝．

[规律方法]

在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为x；第二层的样本量为n，平均值为y，则样本的平均值为．

【课堂检测】

1．在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性（    ）

A．与第几次抽样有关，第一次抽中的可能性要大些

B．与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等

C．与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些

D．每个个体被抽中的可能性无法确定

解析：选B．在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性都相等，与第几次抽样无关．

2．若对某校1 200名学生的耐力做调查，抽取其中120名学生，测试他们1500米跑的成绩，得出相应的数值，在这项调查中，样本是指（    ）

A．120名学生

B．1 200名学生

C．120名学生的成绩

D．1 200名学生的成绩

解析：选C．本题抽取的是120名学生的成绩，因此每个学生的成绩是个体，这120名学生的成绩构成一个样本．

3．（2019·广西钦州市期末考试）某中学共有1 000名学生，其中高一年级350人，该校为了了解本校学生视力情况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽出一个容量为100的样本进行调查，则应从高一年级抽取的人数为（    ）

A．20 B．25

C．30 D．35

解析：选D．高一年级抽取的人数为×100＝35．故选D．

4．在调查某中学的学生身高时，利用分层抽样的方法抽取男生20人，女生15人，得到了男生身高的平均值为170，女生身高的平均值为165．试估计该中学所有学生的平均身高是多少？

解：＝＝167．即该中学所有学生的平均身高为167．

第四步，把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本．