高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.2 事件的相互独立性优质课教案设计

事件的相互独立性

【教学过程】

一、问题导入

预习教材内容，思考以下问题：

1．事件的相互独立性的定义是什么？

2．相互独立事件有哪些性质？

3．相互独立事件与互斥事件有什么区别？

二、基础知识

1．相互独立的概念

设A，B为两个事件，若P(AB)＝P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立．

2．相互独立的性质

若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．

■名师点拨 （1）必然事件Ω，不可能事件∅都与任意事件相互独立．

（2）事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P（A）·P（B）．

三、合作探究

1．相互独立事件的判断

一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论A与B的独立性：

（1）家庭中有两个小孩；

（2）家庭中有三个小孩．

【解】（1）有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，

它有4个基本事件，由等可能性知概率都为.

这时A＝{(男，女)，(女，男)}，

B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，

AB＝{(男，女)，(女，男)}，

于是P（A）＝，P（B）＝，P(AB)＝.

由此可知P(AB)≠P（A）P（B），

所以事件A，B不相互独立．

（2）有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为Ω＝{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}．

由等可能性知这8个基本事件的概率均为，这时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件．

于是P（A）＝＝，P（B）＝＝，P(AB)＝，

显然有P(AB)＝＝P（A）P（B）成立．

从而事件A与B是相互独立的．

判断两个事件是否相互独立的两种方法

（1）根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件；

（2）定义法：通过式子P(AB)＝P（A）P（B）来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立，这是定量判断.    

2．相互独立事件同时发生的概率

王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：

（1）这三列火车恰好有两列正点到达的概率；

（2）这三列火车至少有一列正点到达的概率．

【解】  用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件．

则P（A）＝0.8，P（B）＝0.7，P（C）＝0.9，

所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1．

（1）由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为

P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝

P()P（B）P（C）＋P（A）P()P（C）＋P（A）P（B）P()

＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398．

（2）三列火车至少有一列正点到达的概率为

P2＝1－P()＝1－P()P()P()

＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994．

1．[变问法]在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．

解：恰有一列火车正点到达的概率为

P3＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝P（A）P()P()＋P()P（B）P()＋P()P()P（C）＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092．

2．[变条件]若一列火车正点到达记10分，用ξ表示三列火车的总得分，求P(ξ≤20)．

解：事件“ξ≤20”表示“至多两列火车正点到达”，其对立事件为“三列火车都正点到达”，所以P(ξ≤20)＝1－P(ABC)＝1－P（A）P（B）P（C）

＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496．

与相互独立事件有关的概率问题的求解策略

明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．

一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P（A），P（B），那么：

（1）A，B中至少有一个发生为事件A＋B．

（2）A，B都发生为事件AB．

（3）A，B都不发生为事件.

（4）A，B恰有一个发生为事件A＋ B．

（5）A，B中至多有一个发生为事件A＋B＋ .

它们之间的概率关系如表所示：

3．相互独立事件的综合应用

本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时．

（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

（2）设ξ为甲、乙两人所付的租车费用之和，求P(ξ＝4)和P(ξ＝6)的值．

【解】（1）由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为，.

记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P（A）＝×＋×＋×＝.所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为.

（2）P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，

P(ξ＝6)＝×＋×＝.

概率问题中的数学思想

（1）正难则反．灵活应用对立事件的概率关系(P（A）＋P()＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法．

（2）化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系．“所求事件”分几类(考虑加法公式转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式转化为相互独立事件)．

（3）方程思想．利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解．

四、课堂检测

1．如图，在两个圆盘中，指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是(    )

A． B．

C．   D．

解析：选A．左边圆盘指针落在奇数区域的概率为＝，右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为，所以两个指针同时落在奇数区域的概率为×＝.

2．已知A，B是相互独立事件，且P（A）＝，P（B）＝，则P(A)＝________；P( )＝________．

解析：因为P（A）＝，P（B）＝.

所以P()＝，P()＝.

所以P(A )＝P（A）P()＝×＝，P( )＝P()P()＝×＝.

答案： 

3．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率：

（1）第3次拨号才接通电话；

（2）拨号不超过3次而接通电话．

解：设Ai＝{第i次拨号接通电话}，i＝1，2，3．

（1）第3次才接通电话可表示为 A3，

于是所求概率为P(A3)＝××＝.

（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为A1＋ A2＋A3，

于是所求概率为P(A1＋A2＋A3)

＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)

＝＋×＋××＝.