考点03 分式与二次根式-备战2021年中考数学考点一遍过（含答案解析）试卷

这是一份考点03 分式与二次根式-备战2021年中考数学考点一遍过（含答案解析）试卷，共44页。试卷主要包含了分式，二次根式等内容，欢迎下载使用。

考点03 分式与二次根式

分式与二次根式是历年中考的考察重点，年年考查，分值为18分左右。预计2021年各地中考还将继续重视对分式与根式的有关概念、分式与根式的性质和分式与根式的混合运算等的考查，且考查形式多样，为避免丢分,学生应扎实掌握。

一、分式
1．分式的定义
（1）一般地，整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果除式B中含有字母，那么称为分式．
（2）分式中，A叫做分子，B叫做分母．
【注】①若B≠0，则有意义；②若B=0，则无意义；③若A=0且B≠0，则=0．
2．分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．
用式子表示为或，其中A，B，C均为整式．
3．约分及约分法则
（1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
（2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分．
【注】约分的根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式．
4．最简分式
分子、分母没有公因式的分式叫做最简分式．
【注】约分一般是将一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式．
5．通分及通分法则
（1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
（2）通分法则
把两个或者几个分式通分：
①先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；
②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；
③若分母是多项式，则先分解因式，再通分．
【注】通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．
6．最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．
7．分式的运算
（1）分式的加减 ①同分母的分式相加减法则：分母不变，分子相加减．用式子表示为：．
②异分母的分式相加减法则：先通分，变为同分母的分式，然后再加减．
用式子表示为：．
（2）分式的乘法
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．用式子表示为：．
（3）分式的除法
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘．
用式子表示为：．
（4）分式的乘方
乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示为：为正整数，．
（5）分式的混合运算
含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算．
混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的．
二、二次根式
1．二次根式的有关概念
（1）二次根式的概念
形如的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．
【注】被开方数只能是非负数．即要使二次根式有意义，则a≥0．
（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
（3）同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．
2．二次根式的性质
（1）≥ 0（≥0）；（2）； （3）；
（4）；（5）．
3．二次根式的运算
（1）二次根式的加减
合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．
（2）二次根式的乘除
乘法法则：；除法法则：．
（3）二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．
在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．









考向一 分式的有关概念
1．分式的三要素：（1）形如的式子；（2）均为整式；（3）分母中含有字母．
2．分式的意义：（1）有意义的条件是分式中的字母取值不能使分母等于零，即．
（2）无意义的条件是分母为0．（3）分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0．

1．（2020·江苏南京·中考真题）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是__________．
【答案】
【分析】由分式有意义的条件可得答案．
【解析】解：由题意得： 故答案为：
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解题的关键．
2．（2020·湖南郴州·中考真题）若分式的值不存在，则__________．
【答案】-1
【分析】根据分式无意义的条件列出关于x的方程，求出x的值即可．
【解析】∵分式的值不存在，∴x+1=0，解得：x=-1，故答案为：-1．
【点睛】本题考查的是分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答此题的关键．
3．（2020·浙江金华·中考真题）分式的值是零，则x的值为（ ）
A．5 B．2 C．－2 D．－5
【答案】D
【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．
【解析】解：依题意，得x+5=0，且x-2≠0，解得，x=-5,且x≠2,即答案为x=-5．故选：D．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

1．（2020·湖南衡阳·中考真题）要使分式有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式有意义的条件即可解答．
【解析】根据题意可知，，即．故选：B．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为0是解决问题的关键．
2．（2020·贵州贵阳·中考真题）当时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由分式有意义的条件分母不能为零判断即可.
【解析】,当x=1时,分母为零,分式无意义.故选B.
【点睛】本题考查分式有意义的条件,关键在于牢记有意义条件.
3．（2020·江苏淮安·）方程的解为__________．
【答案】x=-2
【分析】先用异分母分式加法法则运算，然后利用分式为零的条件解答即可．
【解析】解： 则： ，解得x=-2．
故答案为x=-2．
【点睛】本题考查了异分母分式加法法则和分式为零的条件，掌握分式为零的条件是解答本题的关键．

考向二 分式的基本性质
分式基本性质的应用主要反映在以下两个方面：
（1）不改变分式的值，把分式的分子、分母中各项的系数化为整数；
（2）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．

1．（2020·河北中考真题）若，则下列分式化简正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．
【解析】∵a≠b，∴，选项A错误；，选项B错误；
，选项C错误；，选项D正确；故选：D．
【点睛】本题考查分式的性质，解答本题的关键是明确分式的性质．

1．（2019·江苏扬州·中考真题）分式可变形为( )
A． B．- C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断即可.
【解析】A. ≠，故A选项错误；B. -=≠，故B选项错误；
C. =-，故C选项错误；D. ==，故D选项正确，故选D.
【点睛】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．

考向三 分式的约分与通分
约分与通分的区别与联系：
1．约分与通分都是根据分式的基本性质，对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值；
2．约分是针对一个分式而言，约分可使分式变得简单；
3．通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式．

1.（2020.成都市中考模拟）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确
A．约分的结果是 B．分式与的最简公分母是x-1
C．约分的结果是1 D．化简-的结果是1
【答案】D
【解析】A、=，故本选项错误；
B、分式与的最简公分母是x2-1，故本选项错误；
C、=，故本选项错误；D、-=1，故本选项正确，故选D．
【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握．
2．（山东滨州·中考真题）下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】选项A为最简分式；选项B化简可得原式==；
选项C化简可得原式==；选项D化简可得原式==，
故答案选A.
考点：最简分式.

1．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）分式与的最简公分母是_______，方程的解是____________．
【答案】 x=-4
【分析】根据最简公分母的定义得出结果，再解分式方程，检验，得解．
【解析】解：∵，∴分式与的最简公分母是，
方程，去分母得：，去括号得：，
移项合并得：，变形得：，解得：x=2或-4，
∵当x=2时，=0，当x=-4时，≠0，∴x=2是增根，∴方程的解为：x=-4．
【点睛】本题考查了最简公分母和解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．
2．（2020·浙江湖州·中考真题）化简：＝_____．
【答案】
【分析】先将分母因式分解，再根据分式的基本性质约分即可．
【解析】＝＝．故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的除法以及利用完全平方公式因式分解，解答本题的关键是掌握分式的基本性质以及因式分解的方法．

考向四 分式的运算
（1）分式的加减运算：异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．
（2）分式的乘除运算：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去．
（3）分式的乘方运算，先确定幂的符号，遵守“正数的任何次幂都是正数，负数的偶数次幂是正数，负数的奇数次幂是负数”的原则．
（4）分式的混合运算有乘方，先算乘方，再算乘除，有时灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．注意运算顺序，计算准确．

1．（2020·山西中考真题）下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．

第一步
第二步
第三步
　 第四步
　第五步
　第六步
任务一：填空：①以上化简步骤中，第_____步是进行分式的通分，通分的依据是____________________或填为_____________________________；
②第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________________________；
任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果；
任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
【答案】任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；任务二：；任务三：最后结果应化为最简分式或整式，答案不唯一，详见解析．
【分析】先把能够分解因式的分子或分母分解因式，化简第一个分式，再通分化为同分母分式，按照同分母分式的加减法进行运算，注意最后的结果必为最简分式或整式．
【解析】任务一：①三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；故答案为：三；分式的基本性质；分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；②五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
故答案为：五；括号前是“”号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
任务二：解；
．
任务三：解：答案不唯一，如：最后结果应化为最简分式或整式；约分，通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆，等．
【点睛】本题考查的是有理数的混合运算，分式的化简，掌握以上两种以上是解题的关键．
2．（2020·四川遂宁·中考真题）先化简，（﹣x﹣2）÷，然后从﹣2≤x≤2范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
【答案】﹣x+3，2
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．
【解析】解：原式＝×=
= ==﹣（x－3）=﹣x+3
∵x≠ ±2，∴可取x＝1，则原式＝﹣1+3＝2．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．

1．（2020·江苏南京·中考真题）计算：
【答案】
【分析】先把括号里通分，再把除法转化为乘法，然后约分化简即可．
【解析】解：．
【点睛】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
2．（2020·山东德州·中考真题）先化简：，然后选择一个合适的x值代入求值．
【答案】化简结果是：，选择x=1时代入求值为-1.
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可
【解析】解：原式
.
当x=1时代入，原式=.故答案为：化简结果是，选择x=1时代入求值为-1.
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键，最后在选择合适的x求值时要保证选取的x不能使得分母为0.

考向五 二次根式的概念与性质
1．二次根式的意义：首先考虑被开方数为非负数，其次还要考虑其他限制条件，这样就转化为解不等式或不等式组问题，如有分母时还要注意分式的分母不为0．
2．利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．

1．（2020·广东中考真题）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式里面被开方数即可求解．
【解析】解：由题意知：被开方数，解得：，故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0．
2．（四川凉山·中考真题）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，解得．2xy=2×2.5×（-3）=-15，故选A．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的解法，以及有理数的乘法运算，掌握以上知识是解题的关键.

1．（2020·广东中考真题）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式里面被开方数即可求解．
【解析】解：由题意知：被开方数，解得：，故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，必须保证被开方数大于等于0．
2．（2020·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．，且 B． C． D．，且
【答案】A
【分析】根据分式与二次根式的性质即可求解．
【解析】依题意可得x-3≠0，x-2≥0解得，且故选A．
【点睛】此题主要考查函数的自变量取值，解题的关键是熟知分式与二次根式的性质．


1．（2020·山东济宁·中考真题）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【解析】解：A、是最简二次根式，故选项正确；B、=，不是最简二次根式，故选项错误；
C、，不是最简二次根式，故选项错误；D、，不是最简二次根式，故选项错误；
故选A.
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．

1．（2019·山西中考真题）下列二次根式是最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的概念逐一进行判断即可.
【解析】A. ，故A选项不符合题意；B. ，故B选项不符合题意；
C. ，故C选项不符合题意；D. 是最简二次根式，符合题意，故选D.
【点睛】本题考查最简二次根式的识别，熟练掌握二次根式的化简以及最简二次根式的概念是解题的关键.

1．（2020·四川攀枝花·中考真题）实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（ ）．

A． B．0 C． D．
【答案】A
【分析】根据实数a和b在数轴上的位置得出其取值范围，再利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求出答案．
【解析】由数轴可知-2＜a＜-1，1＜b＜2，∴a+1＜0，b-1＞0，a-b＜0，
∴===-2故选A.
【点睛】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，要求学生正确根据数在数轴上的位置判断数的符号以及绝对值的大小，再根据运算法则进行判断．

1．（2020·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ）

A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a−1）和（a−2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．
【解析】解：由图知：1＜a＜2，∴a−1＞0，a−2＜0，
原式＝a−1-＝a−1＋（a−2）＝2a−3．故选D．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a−1＞0，a−2＜0是解题关键．

考向六 二次根式的运算
1．二次根式的运算
（1）二次根式的加减法就是把同类二次根式进行合并．
（2）二次根式的乘除法要注意运算的准确性；要熟练掌握被开方数是非负数．
（3）二次根式混合运算先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）．
2．比较分式与二次根式的大小
（1）分式：对于同分母分式，直接比较分子即可，异分母分式通常运用约分或通分法后作比较；
（2）二次根式：可以直接比较被开方数的大小，也可以运用平方法来比较．

1．（2020·重庆中考真题）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案．
【解析】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
B．2与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；C．，此选项计算正确；
D．2与﹣2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；故选：C．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则与同类二次根式的概念．
2．（2019·湖北中考真题）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即．根据以上方法，化简后的结果为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题中给的方法分别对和进行化简，然后再进行合并即可.
【解析】设，且，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴原式，故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.

1．（2020·内蒙古中考真题）计算：______．
【答案】
【分析】先将乘方展开，然后用平方差公式计算即可．
【解析】解：==
=．故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及平方差公式的应用，掌握二次根式混合运算的运算法则和平方差公式是解答本题的关键．
2．（2020·江苏泰州·中考真题）下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的运算法则即可逐一判断．
【解析】解：A、3和不能合并，故A错误；B、，故B错误；
C、，故C错误；D、，正确；故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握基本的运算法则．

1．（2020·山东临沂·中考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先估计的范围，再得出a的范围即可.
【解析】解：∵4＜7＜9，∴，∴，即，故选C.
【点睛】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握无理数的估算方法.
2．（2020·安徽天长·中考模拟）比较大小：___
【答案】＜
【分析】利用分子有理化即可比较大小．
【解析】解： ==
==
∵＞∴∴＜故答案为：＜．
【点睛】此题考查的是实数的比较大小，掌握利用分子有理化比较大小是解决此题的关键．

1．（2020·天津中考真题）估计的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】B
【分析】因为，所以在4到5之间，由此可得出答案.
【解析】解：∵，∴．故选：B
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
2.（2020·四川达州·中考真题）下列各数中，比3大比4小的无理数是（ ）
A．3.14 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据无理数的定义找出无理数，再估算无理数的范围即可求解．
【解析】解：∵四个选项中是无理数的只有和，而17＞42，32＜12＜42
∴＞4，3＜＜4∴选项中比3大比4小的无理数只有．故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义和估算，解题时注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．





1．（2019·江苏常州·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分式有意义的条件是分母不为．
【解析】代数式有意义，，故选D．
【点睛】本题运用了分式有意义的条件知识点，关键要知道分母不为是分式有意义的条件．
2．（2019·山东临沂·中考真题）计算的正确结果是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了．
【解析】原式.故选B．
【点睛】本题考查分式的通分和分式的约分的运用，解题关键在于在解答的过程中注意符号的运用及平方差公式的运用．
3．（2019·山东聊城·中考真题）如果分式的值为0，那么的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-1或1 D．1或0
【答案】B
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解析】根据题意，得|x|-1=0且x+1≠0，解得，x=1．故选B．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
4．（上海中考真题）下列式子中，属于最简二次根式的是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件　(1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.
【解析】∵，∴属于最简二次根式.故选B.
5．（2020·江苏南通·）下列运算，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式的运算性质进行计算即可．
【解析】A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；C．，此选项错误；
D．，此选项计算正确；故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式加减乘除计算，熟知以上计算是解题的关键．
6．（2019·四川绵阳·中考真题）已知是整数，当取最小值时，的值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】根据绝对值的意义，找到与最接近的整数，可得结论．
【解析】解：∵，∴，且与最接近的整数是5，
∴当取最小值时，的值是5，故选：A．
【点睛】本题考查了算术平方根的估算和绝对值的意义，熟练掌握平方数是关键．
7．（2019·江苏常州·中考真题）下列各数中与的积是有理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平方差公式可知与的积是有理数的为；
【解析】；故选：D．
【点睛】本题考查分母有理化；熟练掌握利用平方差公式求无理数的无理化因子是解题的关键．
8．（2020·贵州黔南·中考真题）已知，a介于两个连续自然数之间，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先估算出的范围，即可得出答案．
【解析】解：∵，∴，∴在3和4之间，即．故选：C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小．能估算出的范围是解题的关键．
9．（2020·辽宁朝阳·中考真题）计算的结果是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的性质化简第一项，根据二次根式的乘法化简第二项，然后合并即可．
【解析】解：原式= ==．故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．
10．（湖南张家界·中考真题）实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ）

A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b
【答案】C
【解析】利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可：
∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|，∴.故选C．
考点：1.绝对值；2.二次根式的性质与化简；3.实数与数轴．
11．（2020·浙江中考真题）计算的结果是_____．
【答案】
【分析】先通分，再相加即可求得结果．
【解析】解：，故答案为：．
【点睛】此题考察分式的加法，先通分化为同分母分式再相加即可．
12．（2020·湖北黄冈·中考真题）计算：的结果是____________．
【答案】
【分析】先计算括号内分式的减法、将被除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．
【解析】解：
，故答案为：．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
13．（2020·甘肃省庆阳市中考模拟）若都是实数，且，则_______．
【答案】2
【分析】根据二次根式有意义的条件可得关于x的不等式组，解不等式组可求得x的值，继而可求得y的值，将x、y的值代入所求式子进行计算即可．
【解析】因为，所以，解得：x=1，所以y=4，
所以，故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，算术平方根等，正确求出x、y的值是解题的关键．
14．（广西桂林·中考真题）分式与的最简公分母是__________．
【答案】2a2b2
【解析】与的分母分别是2a2b、ab2，故最简公分母是2a2b2，故答案为 2a2b2.
【点睛】本题考查了最简公分母的确定，确定最简公分母的关键是：各分母所含的所有因式的最高次幂的积即为最简公分母.
15．（2020·湖北武汉·中考真题）计算的结果是_______.
【答案】3
【分析】根据二次根式的性质进行求解即可.
【解析】==3，故答案为3.
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.
16．（2019·北京中考真题）若分式的值为0，则的值为______.
【答案】1.
【分析】根据分式的值为零的条件即可得出．
【解析】解：∵分式的值为0，∴x-1=0且x≠0，∴x=1．故答案为1．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．
17．（黑龙江大庆·中考真题）已知=+，则实数A=_____．
【答案】1
【分析】先计算出，再根据已知等式得出A、B的方程组，解之可得．
【解析】，
∵=+，∴，解得：，故答案为1．
【点睛】本题考查了分式的加减法运算，熟练掌握分式加减运算的法则、得出关于A、B的方程组是解本题的关键.
18．（2020·广东封开·初二期末）已知，则_________．
【答案】
【分析】根据被开方数是非负数，可得x，y，根据有理数的减法，可得答案．
【解析】解：由题意得，解得x=1，y=3，∴x-y=1-3=-2，故答案为：-2．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数，可得x，y是解题关键．
19．（2020·江苏宝应·初三二模）最简根式与是同类二次根式，则a=____．
【答案】﹣1．
【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解．
【解析】解：∵最简根式与是同类二次根式，∴a+6=a2﹣4a，解得：a=6或﹣1．
∵当a=6时，2，
∴此时与不是最简根式，∴a=6(不符题意，舍去)．
∵当a=﹣1时，，
∴此时与是最简根式，∴a=﹣1符合题意．故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
20．（贵州遵义·中考真题）已知为有理数，分别表示的整数部分和小数部分，且，则_________．
【答案】
【解析】因为2＜＜3，所以2＜＜3，故m=2，n=-2=3-．
把m=2，n=3-代入amn+bn2=1得，2（3-）a+（3-）2b=1
化简得（6a+16b）-（2a+6b）=1，等式两边相对照，因为结果不含，
所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=-0.5．所以2a+b=3-0.5=2.5．
考点：1.二次根式的混合运算；2.估算无理数的大小．
21．（广西贵港·中考真题）若分式的值不存在，则x的值为_____．
【答案】﹣1
【分析】直接利用分式无意义的条件得出x的值，进而得出答案．
【解析】若分式的值不存在，则x+1=0，解得：x=﹣1，故答案为﹣1．
【点睛】本题考查了分式无意义的条件，熟知分母为0时分式无意义是解题的关键.
22．（2019·山东滨州·中考真题）计算：_________．
【答案】
【分析】根据根式的计算法则计算即可.
【解析】解：原式，故答案为：．
【点睛】本题主要考查根式的计算，注意绝对值的计算，这是同学们往往容易计算错误的，应当引起重视.
23．（2020·广东深圳·中考真题）先化简，再求值：，其中a=2．
【答案】，1．
【分析】先将分式进行化简，再把a的值代入化简的结果中求值即可．
【解析】
当a=2时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是进行分式的化简．
24．（2020·宁夏中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，1．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，代入计算即可求出值．
【解析】原式
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是选择正确的计算方法，对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．
25．（2020·辽宁丹东·中考真题）先化简，再求代数式的值：，其中．
【答案】，12．
【分析】先利用分式的减法与除法法则化简分式，再根据特殊角的余弦值、负整数指数幂求出x的值，然后代入求值即可．
【解析】原式

将代入得：原式．
【点睛】本题考查了分式的减法与除法、特殊角的余弦值、负整数指数幂等知识点，熟记各运算法则是解题关键．
26．（2020·云南中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】
【分析】先把分子、分母能分解因式的分解因式，再把除法转化为乘法，约分后再代入求值即可．
【解析】解：
当 上式
【点睛】本题考查的是分式的除法运算，掌握把除法转化为乘法是解题的关键．
27．（2020·湖南娄底·中考真题）先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数代入求值．
【答案】，．
【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，后选一个使得分式有意义的x的值代入求值即可．
【解析】原式

分式的分母不能为0解得：m不能为，0，3
则选代入得：原式．
【点睛】本题考查了分式的减法与除法、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的运算法则是解题关键．
28．（2020·湖北黄石·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】先根据分式的减法法则进行化简，再将代入求值即可．
【解析】原式
将代入得：原式．
【点睛】本题考查了分式的减法运算与求值，熟练掌握分式的减法运算法则是解题关键．





















1.（2020·内蒙古赤峰·中考真题）估计的值应在 （ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】A
【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算，再估算无理数的大小.
【解析】==2+，
∵4<6<6.25， 2<<2.5， ∴4<2+<5，故选：A.
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，正确掌握二次根式的运算法则、会进行无理数的大小估算是解题的关键.
2．（2020·四川绵阳·中考真题）若有意义，则a的取值范围是（　　）
A．a≥1 B．a≤1 C．a≥0 D．a≤﹣1
【答案】A
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解析】解：若有意义，则，解得：．故选：．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
3．（山东济宁·中考真题）若在实数范围内有意义，则x满足的条件是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】要使有意义，则必满足2x-1≥0，且1-2x≥0，故，故选C.
考点：二次根式有意义的条件.
4．（甘肃兰州·中考真题）下列二次根式中，是最简二次根式的是　　
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
【解析】A、不是最简二次根式，错误；B、是最简二次根式，正确；
C、不是最简二次根式，错误；D、不是最简二次根式，错误，故选B．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
5．（2020·四川雅安·中考真题）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【答案】B
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0列式进行计算即可得.
【解析】∵分式的值为零，∴，解得：x=1，故选B．
【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键.
6．（2020·山东聊城·中考真题）计算的结果正确的是（ ）．
A．1 B． C．5 D．9
【答案】A
【分析】利用二次根式的乘除法则计算即可得到结果．
【解析】解：，故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
7．（山东莱芜·中考真题）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案．
【解析】根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍，
A、，错误；B、，错误；
C、，错误；D、，正确；故选D．
【点睛】本题考查的是分式的基本性质，即分子分母同乘以一个不为0的数，分式的值不变．此题比较简单，但计算时一定要细心．
8．（2020·内蒙古呼和浩特·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分别根据二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则判断即可.
【解析】解：A、，故选项错误；B、，故选项错误；
C、=
==，故选项正确；
D、，故选项错误；故选C.
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，幂的乘方和积的乘方，分式的混合运算，分式的除法法则，解题的关键是学会计算，掌握运算法则.
9．（2019·四川中考真题）一辆货车送上山，并按原路下山．上山速度为千米/时，下山速度为千米/时．则货车上、下山的平均速度为（ ）千米/时．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】平均速度＝总路程÷总时间，设单程的路程为s，表示出上山下山的总时间，把相关数值代入化简即可．
【解析】解：设上山的路程为x千米，则上山的时间小时，下山的时间为小时，
则上、下山的平均速度千米/时．故选D．
【点睛】本题考查了列代数式以及分式的化简，得到平均速度的等量关系是解决本题的关键，得到总时间的代数式是解决本题的突破点．
10．（贵州贵阳·中考真题）分式化简的结果为 ．
【答案】．
【解析】原式==．故答案为．
【点评】本题考查了利用分式性质约分．
11．（2020·湖北黄冈·中考真题）计算：的结果是____________．
【答案】
【分析】先计算括号内分式的减法、将被除式分母因式分解，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．
【解析】解：
，故答案为：．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
12．（2020·湖南中考真题）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】x＞3
【分析】本题考查二次根式是否有意义以及分式是否有意义，按照对应自变量要求求解即可．
【解析】因为二次根式有意义必须满足被开方数为非负数所以有．
又因为分式分母不为零所以．故综上：＞ 则：．故答案为：x＞3
【点睛】二次根式以及分式的结合属于常见组合，需要着重注意分母不为零的隐藏陷阱．
13．（2020·云南昆明·中考真题）要使有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】x≠﹣1
【分析】根据分式的性质即可求解．
【解析】解：要使分式有意义，需满足x+1≠0．即x≠﹣1．故答案为：x≠﹣1．
【点睛】此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分式的分母不为零．
14．（广西钦州·中考真题）当x=　 　时，分式无意义．
【答案】2
【解析】根据分式分母为0分式无意义的条件，要使在实数范围内有意义，必须x﹣2=0，即x=2．
【点睛】本题考查了分式无意义的条件，熟知分母为0时分式无意义是解题的关键.
15．（2020·湖南中考真题）计算：﹣＝_____．
【答案】3
【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．
【解析】解：原式＝﹣+2＝3．故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解答的关键.
16．（2020·湖南株洲·中考真题）计算的结果是________．
【答案】2
【分析】利用二次根式的乘除法则运算．
【解析】解：原式====2.故答案是：2.
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
17．（2020·山东青岛·中考真题）计算的结果是___．
【答案】4
【分析】根据二次根式的混合运算计算即可.
【解析】解：.故答案为4.
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键.
18．（2019·四川内江·中考真题）若，则_____．
【答案】1002．
【分析】根据绝对值的性质和二次根式的性质，即可解答
【解析】∵，∴．
由，得，
∴，∴．∴．故答案是：1002．
【点睛】此题考查绝对值的非负性，二次根式的性质，解题关键在于掌握运算法则
19．（2020·甘肃金昌·中考真题）已知，当分别取1，2，3，……，2020时，所对应值的总和是__________．
【答案】
【分析】先化简二次根式求出y的表达式，再将x的取值依次代入，然后求和即可得．
【解析】
当时，
当时，
则所求的总和为
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、绝对值运算等知识点，掌握二次根式的化简方法是解题关键．
20．（2020·湖南益阳·中考真题）若计算的结果为正整数，则无理数的值可以是__________．（写出一个符合条件的即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据为12，即可得到一个无理数的值．
【解析】解：∵，∴时的结果为正整数，故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了二次根式，注意是解题的关键．
21．（2019·上海中考真题）计算：
【答案】-3.
【分析】根据绝对值的性质，二次根式的混合运算，进行运算即可
【解析】原式＝
【点睛】此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则
22．（2020·湖南湘西·中考真题）化简：．
【答案】
【分析】先计算括号内异分母分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可得.
【解析】解：原式===.
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟记分式混合运算的顺序和各类运算法则是解题的关键．
23．（2020·浙江衢州·中考真题）先化简，再求值：，其中a=3．
【答案】，
【分析】直接利用分式的乘除运算法则化简进而代入数据求出答案．
【解析】解：原式=•（a﹣1）=，当a=3时，原式=．
【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，正确化简分式是解题关键．
24．（2020·湖南怀化·中考真题）先化简，再求值：，然后从，0，1中选择适当的数代入求值．
【答案】，1．
【分析】根据分式的运算法则进行运算求解，最后代入求值即可．
【解析】原式
．
∵x+1≠0且x-1≠0且x+2≠0，∴x≠-1且x≠1且x≠-2，
当时，分母不为0，代入：原式．
【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，注意运算顺序为：先算乘除，再算加减，有括号先算括号内的；另外本题选择合适的数时要注意选择的数不能使分母为0．
25．（2020·河南中考真题）先化简，再求值：，其中
【答案】，
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a值代入计算即可．
【解析】原式==，当时，原式=．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，解答的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则，注意运算结果要化成最简分式或整式．
26．（2020·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，1
【分析】根据分式的加减乘除运算法则进行运算即可化简，最后将代入求解即可．
【解析】解：原式
当时代入，原式．故答案为：1．
【点睛】本题考查分式的加减乘除运算法则及化简求值，先乘除，再加减，有括号先算括号内的，熟练掌握运算法则及运算顺序是解决此类题的关键．
27．（贵州黔西·中考真题）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中均为整数），则有．
∴．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
当均为正整数时，若，用含m、n的式子分别表示，得＝　，＝　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数，填空： ＋　 　＝(　 　＋　 　)2；
（3）若，且均为正整数，求的值．
【答案】（1），；（2）13,4，2，1（答案不唯一）；（3）＝7或＝13．
【解析】 (1)∵，∴，
∴a＝m2＋3n2，b＝2mn．故答案为m2＋3n2，2mn．
(2)设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝13，b＝2mn＝4．故答案为13，4，1，2(答案不唯一)．
(3)由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn．∵4＝2mn，且m、n为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝13．