考点18 尺规作图与定义、命题、定理-备战2021年中考数学考点一遍过（含答案解析）试卷

这是一份考点18 尺规作图与定义、命题、定理-备战2021年中考数学考点一遍过（含答案解析）试卷，共69页。试卷主要包含了尺规作图，尺规作图的方法，定义与命题，公理与定理，互逆命题，反证法等内容，欢迎下载使用。

考点18 尺规作图与定义、命题、定理

本考点内容以考查尺规作图和真假命题为主，年年考查,是广大考生的得分点，分值为6分左右。预计2021年各地中考还将继续考查这两个知识点，重要题型有尺规作图的五种基本作法和与其他几何知识结合考查，为避免丢分，学生应扎实掌握。

一、尺规作图
1．尺规作图的定义:在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图．
2．五种基本作图
1）作一条线段等于已知线段；2）作一个角等于已知角；3）作一个角的平分线；4）作一条线段的垂直平分线；5）过一点作已知直线的垂线．
3．根据基本作图作三角形
1）已知三角形的三边，求作三角形；2）已知三角形的两边及其夹角，求作三角形；
3）已知三角形的两角及其夹边，求作三角形；4）已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形；
5）已知直角三角形一直角边和斜边，求作直角三角形．
4．与圆有关的尺规作图
1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）；2）作三角形的内切圆．
5．有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考常见类型．
6．作图题的一般步骤
（1）已知；（2）求作；（3）分析；（4）作法；（5）证明；（6）讨论．
其中步骤（3）（4）（5）（6）一般不作要求，但作图中一定要保留作图痕迹.
二、尺规作图的方法
1．尺规作图的关键
1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么；2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题．
 2．根据已知条件作等腰三角形或直角三角形
求作三角形的关键是确定三角形的三个顶点，作图依据是三角形全等的判定，常借助基本作图来完成，如作直角三角形就先作一个直角．
三、定义与命题
1．一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义．
2．判断一件事情的语句叫做命题．
3．命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．
二、真命题、假命题
1．正确的命题叫做真命题．
2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）．
3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可．
三、逆命题
1．把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题．
2．在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题．
3．正确写出一个命题的逆命题的关键是能够正确区分这个命题的题设和结论．
4．每个命题都有逆命题，但原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题．
四、公理与定理
1．如果一个命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理．
2．如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理．
3．公理和定理都是真命题，都可作为证明其他命题是否为真命题的依据．
4．由定理直接推出的结论，并且和定理一样可作为进一步推理依据的真命题叫做推论．
五、互逆命题
1．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．
2．任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理．
3．角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都是互逆定理．
六、反证法
1．定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法．
2．反证法的步骤：①假设命题结论的反面正确；②从假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、定理、定义或已知条件相矛盾的结论；③说明假设不成立，从而得出原命题正确．


考向一 基本作图
1．最基本、最常用的尺规作图，通常称为基本作图．
2．基本作图有五种：1）作一条线段等于已知线段；2）作一个角等于已知角；3）作一个角的平分线；
4）作一条线段的垂直平分线；5）过一点作已知直线的垂线．

1．（2020·陕西中考真题）如图，已知△ABC，AC＞AB，∠C＝45°．请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）

【答案】详见解析
【分析】根据尺规作图法，作一个角等于已知角，在AC边上求作一点P，使∠PBC＝45°即可．
【详解】解：如图，点P即为所求．

作法：（1）以点C为圆心，以任意长为半径画弧交AC于D，交BC于E，
（2）以点B为圆心，以CD长为半径画弧，交BC于F，
（3）以点F为圆心，以DE长为半径画弧，交前弧于点M，
（3）连接BM，并延长BM与AC交于点P，则点P即为所求．

【点睛】本题考查了作图——基本作图．解决本题的关键是掌握基本作图方法．
2．（2020·湖北襄阳市·中考真题）如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解．
【详解】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，
在△AED和△ABD中：∵，∴△AED≌△ABD(AAS)，
∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确，
又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C，在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C，∴∠EDC=∠BAC，选项C正确，
选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误．故选：D.
【点睛】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键．
3．（2020·浙江台州市·中考真题）如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于同样长为半径画弧，两弧交于点C，D，连接AC，AD，BC，BD，CD，则下列说法错误的是（ ）

A．AB平分∠CAD B．CD平分∠ACB C．AB⊥CD D．AB=CD
【答案】D
【分析】根据作图判断出四边形ACBD是菱形，再根据菱形的性质：菱形的对角线平分一组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案
【详解】解：由作图知AC=AD=BC=BD，∴四边形ACBD是菱形，
∴AB平分∠CAD、CD平分∠ACB、AB⊥CD，不能判断AB=CD，选：D．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的尺规作图、菱形的判定方法等，解题的关键是掌握菱形的判定与性质．

1．（2020·湖南湘西·中考真题）已知，作的平分线，在射线上截取线段，分别以O、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F．画直线，分别交于D，交于G．那么，一定是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
【答案】C
【分析】根据题意知EF垂直平分OC，由此证明△OMD≌△ONG，即可得到OD=OG得到答案.

【详解】如图，连接CD、CG，
∵分别以O、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F∴EF垂直平分OC，
设EF交OC于点N，∴∠ONE=∠ONF=90°，∵OM平分，∴∠NOD=∠NOG，
又∵ON=ON，∴△OMD≌△ONG，∴OD=OG，∴△ODG是等腰三角形，故选：C.
【点睛】此题考查基本作图能力：角平分线的做法及线段垂直平分线的做法，还考查了全等三角形的判定定理及性质定理，由此解答问题，根据题意得到EF垂直平分OC是解题的关键.
2．（2020·广东深圳市·中考真题）如图，已知AB=AC，BC=6，尺规作图痕迹可求出BD=（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据尺规作图的方法步骤判断即可．
【详解】由作图痕迹可知AD为∠BAC的角平分线，而AB=AC，
由等腰三角形的三线合一知D为BC重点，BD=3，故选B
【点睛】本题考查尺规作图-角平分线及三线合一的性质,关键在于牢记尺规作图的方法和三线合一的性质.
3．（2020·河北中考真题）如图1，已知，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，
第一步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线，于点，；
第二步：分别以，为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点；
第三步：画射线．射线即为所求．下列正确的是（ ）

A．，均无限制 B．，的长
C．有最小限制，无限制 D．，的长
【答案】B
【分析】根据作角平分线的方法进行判断，即可得出结论．
【详解】第一步：以为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点，；∴；
第二步：分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点；
∴的长；第三步：画射线．射线即为所求．综上，答案为：；的长，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法．

考向二 复杂作图
利用五种基本作图作较复杂图形．

1．（2020·福建中考真题）如图，为线段外一点．

（1）求作四边形，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形中，，相交于点，，的中点分别为，求证：三点在同一条直线上．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【分析】（1）按要求进行尺规作图即可；(2)通过证明角度之间的大小关系，得到，即可说明三点在同一条直线上．
【详解】解：（1）

则四边形就是所求作的四边形．
（2）∵，∴，，∴，∴．
∵分别为，的中点，∴，，∴．
连接，，又∵， ∴，∴，
∵点在上∴，∴，
∴三点在同一条直线上．

【点睛】本题考查尺规作图、平行线的判定与性质、相似三角形的性质与判定等基础知识，考查推理能力、空间观念与几何直观，考查化归与转化思想．
2．（2020·柳州市柳林中学中考真题）通过如下尺规作图，能确定点是边中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作线段的垂直平分线可得线段的中点．
【详解】作线段的垂直平分线可得线段的中点．由此可知：选项A符合条件，故选A．
【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．

1．（2020·浙江衢州市·中考真题）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．
【详解】A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意．
B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意．
C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，
D、无法判断两直线平行，故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．
2．（2020·甘肃兰州市·中考真题）如图，在中．
利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离的长等于PC的长；
利用尺规作图，作出中的线段PD．
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑

【答案】作图见解析； （2）作图见解析.
【分析】由点P到AB的距离的长等于PC的长知点P在平分线上，再根据角平分线的尺规作图即可得（以点A为圆心，以任意长为半径画弧，与AC、AB分别交于一点，然后分别以这两点为圆心，以大于这两点距离的一半长为半径画弧，两弧交于一点，过点A及这个交点作射线交BC于点P，P即为要求的点）；根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得（以点P为圆心，以大于点P到AB的距离为半径画弧，与AB交于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点间距离一半长为半径画弧，两弧在AB的一侧交于一点，过这点以及点P作直线与AB交于点D，PD即为所求）．
【详解】如图，点P即为所求；

如图，线段PD即为所求．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，灵活运用所学知识解决问题．
考向三 圆中的作图问题

1．（2020·浙江嘉兴市·中考模拟）如图，已知，．

（1）在图中，用尺规作出的内切圆，并标出与边，，的切点，，（保留痕迹，不必写作法）；（2）连接，，求的度数．
【答案】（1）作图见解析；（2）70°．
【解析】（1）直接利用基本作图即可得出结论；（2）利用四边形的性质，三角形的内切圆的性质即可得出结论．

解析：（1）如图1，
⊙O即为所求．
（2）如图2，
连接OD，OE，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴∠ODB=∠OEB=90°，
∵∠B=40°，∴∠DOE=140°，∴∠EFD=70°．
考点：1.作图—复杂作图；2.三角形的内切圆与内心．
2．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：
①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．则⊙O的半径为（　　）

A．2 B．10 C．4 D．5
【答案】D
【分析】如图，设OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，设OA交BC于T．

∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC，∴AO⊥BC，BT＝TC＝4，
∴AE＝，在Rt△OCT中，则有r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5，故选：D．
【点睛】本题考查作图——复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

1．（2020·黑龙江绥化市·中考真题）（1）如图，已知线段和点O，利用直尺和圆规作，使点O是的内心（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）在所画的中，若，则的内切圆半径是______．
【答案】（1）作法：如图所示，见解析；（2）2．
【分析】（1）内心是角平分线的交点，根据AO和BO分别是∠CAB和∠CBA的平分线，作图即可；
（2）连接OC，设内切圆的半径为r，利用三角形的面积公式，即可求出答案．
【详解】解：（1）作法：如图所示：

①作射线、； ②以点A为圆心，任意长为半径画弧分别交线段，射线于点D，E；
③以点E为圆心，长为半径画弧，交上一步所画的弧于点F，同理作出点M；
④作射线，相交于点C，即所求．
（2）如图，连接OC，
∵，由勾股定理，得：，∴；
∵，∴，∴，
∴，∴的内切圆半径是2；故答案为：2；
【点睛】本题考查了求三角形内切圆的半径，角平分线的性质，勾股定理，以及三角形的面积公式，解题的关键是作出图形，利用所学的知识正确求出三角形内切圆的半径．
2．（2020·江苏盐城市·中考真题）如图，点是正方形，的中心．

（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接求证：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）作BC的垂直平分线即可求解；（2）根据题意证明即可求解．
【详解】如图所示，点即为所求．

连接 由得：是正方形中心，
在和中，．
【点睛】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知正方形的性质、垂直平分线的作图及全等三角形的判定与性质．
考向四　逻辑推理

1．（2020·北京中考真题）如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______．

【答案】丙，丁，甲，乙
【分析】根据甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数量分别为2，3，4，5可得若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，那么丙选座要尽可能得小，因此丙先选择：1，2，3，4．丁所购票数最多，因此应让丁第二购票，据此判断即可．
【详解】解：丙先选择：1，2，3，4．丁选：5，7，9，11，13．甲选：6，8．乙选：10，12，14．
∴顺序为丙，丁，甲，乙．（答案不唯一）
【点睛】本题考查有理数的加法，认真审题，理解题意是解题的关键．
2．（2020·北京平谷区·九年级二模）如图，是某企业甲、乙两位员工的能力测试结果的网状图，以O为圆心的五个同心圆分别代表能力水平的五个等级由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述测试者的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：

①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习的能力是甲自身的不足；
③与甲相比乙需要加强与他人的沟通合作能力；④乙的综合评分比甲要高．其中合理的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】D
【分析】根据甲、乙两位员工的能力测试结果的网状图一一判断即可得到答案；
【详解】因为甲、乙两位员工的动手操作能力均是5分，故甲乙两人的动手操作能力都很强，故①正确；
因为甲的探索学习的能力是1分，故缺少探索学习的能力是甲自身的不足，故②正确；
甲的与他人的沟通合作能力是5分，乙的与他人的沟通合作能力是3分，故与甲相比乙需要加强与他人的沟通合作能力，故③正确；乙的综合评分是：3+4+4+5+5=22分，甲的综合评分是：1+4+4+5+5=19分，故乙的综合评分比甲要高，故④正确；故选：D；
【点睛】本题主要考查图象信息题，能从图象上获取相关的信息是解题的关键；

1．（2020·北京门头沟区·九年级一模）疫情期间，甲、乙、丙、丁4名同学约定周一至周五每天做一组俯卧撑．为了增加趣味性，他们通过游戏方式确定每个人每天的训练计划．
首先，按如图方式摆放五张卡片，正面标有不同的数字代表每天做俯卧撑的个数，反面标有，，，，便于记录． 具体游戏规则如下：
甲同学：同时翻开，，将两个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，，，按原顺序记录在表格中；
乙同学：同时翻开，，，将三个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，，按原顺序记录在表格中；
以此类推，到丁同学时，五张卡片全部翻开，并由小到大记录在表格中．
下表记录的是这四名同学五天的训练计划：

星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
甲同学





乙同学





丙同学





丁同学





根据记录结果解决问题：
（1）补全上表中丙同学的训练计划；
（2）已知每名同学每天至少做30个，五天最多做180个．
①如果，，那么所有可能取值为__________________________；
②这四名同学星期_________做俯卧撑的总个数最多，总个数最多为_________个．
【答案】（1）见解析；（2）①41，42，43；②三，162．
【分析】（1）由题意同时翻开将四个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，x5按原顺序记录在表格中即可．（2）①由题意推出x5可以取31，32，33，34，35，x1＞40，应用列举法即可解决问题．②观察表格可知星期三的做俯卧撑的总个数最多，不妨设，当x2=32时，x3+x1的最大值为180-30-31-32=87，若x1=44，则x3=43，此时星期三的做俯卧撑的总个数为162．应用列举法即可解决问题．
【详解】解：（1）由题意同时翻开将四个数字进行比较，
由乙同学可知，又结合丁同学可知，所以，
然后由小到大记录在表格中，x5按原顺序记录在表格中
补全表中丙同学的训练计划：．故答案为：．
（2）①由题意x4=30，∵，
∴x5可以取31，32，33，34，35，x1＞40，当x5=31时，x1的最大值为43，
当x5=32时，x1的最大值为42，当x5=33时，x1的最大值为41，
当x5=34或35时，x1的值不符合题意，∴x1的可能取41，42，43．故答案为：41，42，43．
②观察表格可知星期三的做俯卧撑的总个数最多，
不妨设x4=30，x5=31，当x2=32时，x3+x1的最大值为180-30-31-32=87，
若x1=44，则x3=43，此时星期三的做俯卧撑的总个数为162．当x2=33时，x3+x1的最大值为180-30-31-33=86，
若x1=44，则x3=42，此时星期三的做俯卧撑的总个数为161，当x2=34时，x3+x1的最大值为180-30-31-34=85，若x1=43，则x3=42，此时星期三的做俯卧撑的总个数为161，当x2=35时，x3+x1的最大值为180-30-31-33=84，
若x1=43，则x3=41，此时星期三的做俯卧撑的总个数为160，
综上所述，星期三的做俯卧撑的总个数的最大值为162．故答案为：162．
【点睛】本题考查推理与论证，统计等知识，解题的关键是理解题意，学会推理论证的方法．
考向五　真命题、假命题
1．判断语句是否为命题要抓住两条：①命题必须是一个完整的带有判断性的句子，通常是陈述句（包括肯定句和否定句），而疑问句和命令性语句都不是命题；②命题必须对某件事作出肯定或否定的判断．
2．辨别命题的真假时，对命题的正确性理解一定要准确，进行辨别时要熟练掌握相关的定理、公理、定义．要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法解决．命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例．

1．（2020·云南昆明市·中考真题）下列判断正确的是（　　）
A．北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查
B．一组数据6，5，8，7，9的中位数是8
C．甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8．则甲组学生的身高较整齐
D．命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题
【答案】D
【分析】根据抽样调查、中位数定理、命题的判断进行分析即可；
【详解】解：A．北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择全面调查，所以A选项错误；
B．一组数据6，5，8，7，9的中位数是7，所以B选项错误；
C．甲、乙两组学生身高的方差分别为S甲2＝2.3，S乙2＝1.8．则乙组学生的身高较整齐，所以C选项错误；
D．命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题，所以D选项正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查了数据分析的知识点应用，准确判断是解题的关键．
2．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是(　　　)
（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解；（3）棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是；（4）弧长是，面积是的扇形的圆心角是．
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】分别判断各命题的真假，再利用概率公式求解.
【详解】解：（1）无理数都是无限小数，是真命题，（2）因式分解，是真命题，
（3）棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是，是真命题，
（4）设扇形半径为r，圆心角为n，∵弧长是，则=，则，
∵面积是，则=，则360×240，则，则n=3600÷24=150°，
故扇形的圆心角是，是假命题，则随机抽取一个是真命题的概率是，故选C.
【点睛】本题考查了命题的真假，概率，扇形的弧长和面积，无理数，因式分解，正方体展开图，知识点较多，难度一般，解题的关键是运用所学知识判断各个命题的真假.

1．（2020·广西贵港市·中考真题）下列命题中真命题是（ ）
A．的算术平方根是2 B．数据2，0，3，2，3的方差是
C．正六边形的内角和为360° D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】B
【分析】A.根据算术平方根解题；B.根据方差、平均数的定义解题；
C.根据多边形的内角和为解题；D.根据菱形、梯形的性质解题．
【详解】A. ，2的算术平方根是，故A错误；
B. 数据2，0，3，2，3的平均数是，方差是
，故B正确；
C. 正六边形的内角和为，故C错误；
D. 对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，可能是梯形，故D错误，故选：B．
【点睛】本题考查判断真命题，其中涉及算术平方根、方差、多边形内角和、梯形性质、菱形性质等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．（2020·湖南岳阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）
A．一个角的补角一定大于这个角 B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．等边三角形是中心对称图形 D．旋转改变图形的形状和大小
【答案】B
【分析】由补角的定义、平行线公理，中心对称图形的定义、旋转的性质分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、一个角的补角不一定大于这个角，故A错误；B、平行于同一条直线的两条直线平行，故B正确；C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；D、旋转不改变图形的形状和大小，故D错误；故选：B．
【点睛】本题考查了补角的定义、平行线公理，中心对称图形的定义、旋转的性质，以及判断命题的真假，解题的关键是熟练掌握所学的知识，分别进行判断．
考向六　互逆命题与互逆定理
1．如果两个命题的题设和结论正好相反，那么这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．
2．一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，则称这两个定理互为逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．
3．“题设与结论正好相反”可理解为第一个命题的题设是第二个命题的结论，第一个命题的结论是第二个命题的题设．

1．（2020·上海市九年级期中）下列定理中，没有逆定理的是（ ）．
A．两直线平行，同旁内角互补 B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
C．等腰三角形两个底角相等 D．同角的余角相等
【答案】D
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．再分析逆命题是否为真命题．
【详解】解：A、逆命题是：同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故本选项不符合题意；
B、逆命题是：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，故选项不符合题意；
C、逆命题是：如果三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，是真命题，故本选项不符合题意；
D、逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，是假命题，故选项符合题意．故选：D．
【点睛】本题主要考查了互逆定理的知识，如果一个定理的逆命题是假命题，那这个定理就没有逆定理．
2．（2020·内蒙古包头市·）下列命题：（1）对于，当时，y随x的增大而减小；（2）菱形的对角线互相垂直；（3）若，则；（4）若，则；其中原命题和逆命题均为真命题的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据逆命题的书写方法，写出逆命题，判断原命题，逆命题的真假性即可．
【详解】A.原命题：对于，当时，y随x的增大而减小；假命题
逆命题：对于，当y随x的增大而减小时，；假命题
B.原命题：菱形的对角线互相垂直；真命题 逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形；假命题
C.原命题：若，则；真命题 逆命题：若，则；真命题
D.原命题：若，则；真命题 逆命题：若，则；假命题 故选：B．
【点睛】本题考查了逆命题的书写，及原，逆命题的真假性的判断，熟知相关知识点是解题的关键．

1．（2020·广东广州市·）下列命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等 B．两个角都是，则这两个角相等
C．有两边相等的三角形是等腰三角形 D．菱形的对角线互相垂直
【答案】C
【分析】写出每个命题的逆命题，然后逐一判断逆命题的真假，即可．
【详解】A.全等三角形的对应角相等的逆命题是：“对应角相等的三角形是全等三角形”，不成立；
B. 两个角都是，则这两个角相等的逆命题是：“两个角相等，则这两个角都是45°”不成立；
C. 有两边相等的三角形是等腰三角形的逆命题是：“等腰三角形有两边相等”，成立
D. 菱形的对角线互相垂直的逆命题是：“对角形相互垂直的四边形是菱形”，不成立 故选C．
【点睛】本题主要考查命题的逆命题，熟练掌握全等三角形的性质，等腰三角形的定义，菱形的性质，是解题的关键．
2．（2020·安徽滁州市·九年级二模）命题“等边三角形的重心与内心重合”的逆命题_________________．
【答案】重心与内心重合的三角形是等边三角形
【分析】根据逆命题的定义写出即可得到．
【详解】解：命题“等边三角形的重心与内心重合”的逆命题是重心与内心重合的三角形是等边三角形．
故答案为：重心与内心重合的三角形是等边三角形．
【点睛】考查了四种命题及其关系，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
考向七　反证法
①当命题的结论涉及“否定”“至多”“至少”“无限”“无数”“唯一”时常用反证法．
②矛盾的类型：a．与已知定义、定理、公理相矛盾；b．与已知条件相矛盾；c．推出自相矛盾的结果．
③用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，有哪些情况，不要遗漏；利用反证法证明时，每一
步都要有依据，直到推出矛盾．

1．（2020·安徽宿州市·）为了说明命题“等腰三角形腰上的高小于腰”是假命题，可以找的反例是_____．
【答案】因为等腰直角三角形的腰上的高等于腰，则可以找出该命题的反例，即为等腰直角三角形．
【解析】
【分析】等腰三角形腰上的高大于腰是不可能的，只能从等腰三角形腰上的高等于腰进行思考．
【详解】解：因为等腰直角三角形的腰上的高等于腰，则可以找出该命题的反例，即为等腰直角三角形．
故答案为等腰直角三角形.
【点睛】考查反证法, 说明一个命题是假命题时，只需举出一个反例即可．
2．（2020·吉林长春市·）用反证法证明命题“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O的外部”，首先应假设_____．
【答案】若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O上或⊙O内．
【分析】直接利用反证法的基本步骤得出答案．
【详解】用反证法证明命题“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O的外部”，
首先应假设：若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O上或⊙O内．
故答案为：若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P在⊙O上或⊙O内．
【点睛】本题主要考查了反证法，正确掌握反证法的解题方法是解题关键．

1．（2020·湖北宜昌市·中考真题）能说明“锐角，锐角的和是锐角”是假命题的例证图是（ ）．
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】先将每个图形补充成三角形，再利用三角形的外角性质逐项判断即得答案．
【详解】解：A、如图1，∠1是锐角，且∠1=，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；

B、如图2，∠2是锐角，且∠2=，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意；C、如图3，∠3是钝角，且∠3=，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是假命题，故本选项符合题意；D、如图4，∠4是锐角，且∠4=，所以此图说明“锐角，锐角的和是锐角”是真命题，故本选项不符合题意．故选：C．
【点睛】本题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及三角形的外角性质等知识，属于基本题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
2．（2020·浙江宁波市·九年级一模）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应首先假设这个四边形中（ ）
A．没有一个角是锐角 B．每一个角都是钝角或直角 C．至少有一个角是钝角或直角 D．所有角都是锐角
【答案】D
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【详解】用反证法 “四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步假设：四边形中所有角都是锐角．选D．
【点睛】本题考查反证法和四边形内角和，解题的关键是掌握反证法和四边形内角和.





1．（2020·上海九年级二模）现有以下命题：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③在圆中，平分弦的直径垂直于弦；④平行于同一条直线的两直线互相平行．其中真命题的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据全等三角形的判定、平行四边形的判定、垂径定理、平行线的性质一一判断即可．
【详解】①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等，是真命题；
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，是假命题，比如等腰梯形；
③在圆中，平分弦的直径垂直于弦，是假命题（此弦非直径）；
④平行于同一条直线的两直线互相平行，是真命题；故选B．
【点睛】本题考查命题与定理、全等三角形的判定、平行四边形的判定、垂径定理、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念．
2．（2019·湖南郴州市·中考真题）如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O．在直线EF上任取一点P（不与O重合），连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依据分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O，即可得到EF垂直平分AB，进而得出结论．
【解析】由作图可知，EF垂直平分AB，，故A选项正确；
，故B选项正确；，故C选项错误；，故D选项正确，故选C．
【点睛】本题考查不基本作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法，利用线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等解决问题．
3．（2020·浙江嘉兴市·中考模拟）数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥l与点Q ．”分别作出了下列四个图形．其中做法错误的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据作已知线段的垂直平分线对B进行判断；根据圆周角定理对C进行判断；根据对称的性质对D进行判断.
【详解】解：A.没有任何作法依据，A选项的作法错误；
B.作了线段的垂直平分线，则PQ⊥l，所以C选项的作法正确；
C.作了直径所对的圆周角，则PQ⊥l，所以D选项的作法正确．
D.作了P点关于l的对称点，则PQ⊥l，所以B选项的作法正确；故选A．
【点睛】本题考查了基本作图：掌握5个基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．注意D选项要运用圆周角定理判断．
4．（2020·湖北宜昌市·中考模拟）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据过直线外一点向直线作垂线即可．
【解析】已知：直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C．
作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．
（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，
（4）作直线CF．直线CF就是所求的垂线．故选B．

【点睛】此题主要考查了过一点作直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键．
5．（2020·河北中考模拟）尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：

则正确的配对是（　　）
A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
【答案】D
【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．
【解析】Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线，观察可知图②符合；
Ⅱ、作线段的垂直平分线，观察可知图③符合；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线，观察可知图④符合；
Ⅳ、作角的平分线，观察可知图①符合，
所以正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ，故选D．
【点睛】本题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．
6．（2019·辽宁铁岭市·中考真题）如图，，点B为AM上一点，以点A为圆心、任意长为半径画弧，交AM于点E，交AN于点D．再分别以点D，E为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点F．作射线AF，在AF上取点G，连接BG，过点G作，垂足为点C．若，则BG的长可能为（　　）

A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】利用基本作图得到AG平分，所以，利用含30度的直角三角形三边的关系得到，根据角平分线的性质得到G点到AM的距离为3，然后对各选项进行判断．
【详解】解：由作法得AG平分，，
，，，
∵AG平分，∴G点到AM的距离为3，．故选：D．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．
7．（2019·广西中考真题）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，可知的度数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到，则平分，利用和三角形内角和计算出，从而得到的度数.
【解析】由作法得，∵，∴平分，，
∵，∴．故选：C．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的性质.
8．（2019·内蒙古巴彦淖尔市·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，则的面积是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用基本作图得到AG平分∠BAC，利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积．
【详解】解：由作法得平分，点到的距离等于的长，即点到的距离为，
所以的面积．故选C．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了交平分线的性质．
9．（2019·新疆中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，以点B为圆心，适当长为半径的画弧，分别交BA，BC于点M、N；再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D，则下列说法中不正确的是（）

A．BP是∠ABC的平分线 B．AD=BD C． D．CD=BD
【答案】C
【分析】A、由作法得BD是∠ABC的平分线，即可判定；B、先根据三角形内角和定理求出∠ABC的度数，再由BP是∠ABC的平分线得出∠ABD＝30°＝∠A,即可判定；
C，D、根据含30°的直角三角形，30°所对直角边等于斜边的一半，即可判定.
【详解】解：由作法得BD平分∠ABC，所以A选项的结论正确；
∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝30°＝∠A，∴AD＝BD，所以B选项的结论正确；
∵∠CBD＝∠ABC＝30°，∴BD＝2CD，所以D选项的结论正确；
∴AD＝2CD，∴S△ABD＝2S△CBD，所以C选项的结论错误．故选C．

【点睛】此题考查含30°角的直角三角形的性质，尺规作图（作角平分线），解题关键在于利用三角形内角和进行计算.
10．（2019·山东潍坊市·中考真题）如图，已知．按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接．②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，．③连接交于点．下列结论中错误的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用基本作图得出是角平分线的作图，进而解答即可．
【详解】由作图步骤可得：是的角平分线，∴∠COE=∠DOE，
∵OC=OD，OE=OE，OM=OM，∴△COE≌△DOE，∴∠CEO=∠DEO，
∵∠COE=∠DOE，OC=OD，∴CM=DM，OM⊥CD，
∴S四边形OCED=S△COE+S△DOE=，但不能得出，
∴A、B、D选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意，故选C．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)是解题的关键.
11．（2009·黑龙江鸡西市·中考真题）尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（ ）

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【答案】D
【解析】解：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；
以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；
再有公共边OP，根据“SSS”即得△OCP≌△ODP．故选D．
12．（2020·渠县崇德实验学校九年级一模）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：

第一题
第二题
第三题
第四题
第五题
得分
甲
C
C
A
B
B
4
乙
C
C
B
B
C
3
丙
B
C
C
B
B
2
丁
B
C
C
B
A
　 　
（1）则丁同学的得分是　 　；
（2）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是　 　（写出一种即可）
【答案】（1）3；（2）CACCC
【分析】（1）分甲从第1题到第5题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，即可得出结论；
（2）由（1）先得出五道题的正确选项，然后留一个正确，其他都错误即可得出结论．
【详解】解：（1）当甲选错了第1题，那么，其余四道全对，
针对于乙来看，第1，3，5道错了，做对两道，此时，得分为2，而乙得分3，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错了第2题，那么其余四道全对，
针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙得分3分，所以，此种情况不符合题意，当甲选错第3题时，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第5道错了，而乙的得分是3分，所以，乙只能做对3道，即：第3题乙也选错，即：第3题的选项C正确，
针对于丙来看，第1，5题错了，做对3道，此时，丙的得分为3分，而丙的地方为2分，所以，此种情况不符合题意，当甲选错第4题，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第3，4，5道错了，做对了2道，此时，得分2分，而乙的得分为3分，所以，此种情况不符合题意，当甲选错第5题，那么其余四道都对，针对于乙来看，第3道错了，而乙的得分为3分，所以，乙只能做对3道，所以，乙第5题也错了，所以，第5题的选项A是正确的，
针对于丙来看，第1，3，5题错了，做对了2道，得分2分，
针对于丁来看，第3，5题错了，做对了3道，得分3分，故答案为3；
（2）由（1）知，五道题的正确选项分别是：CCABA，如果有一个同学得了1分，那么，只选对1道，
即：他的答案可能是CACCC或CBCCC或CABAB或BBBBB等，故答案为：CACCC（答案不唯一）.
【点睛】本题考查合情推理的应用，考查分析图表的能力，熟练运用推理能力是解决本题的关键.
13．（2020·安徽九年级三模）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的逆命题是__________．
【答案】如果两条直线平行， 那么这两条直线垂直于同一条直线
【分析】根据逆命题的定义写出即可．
【详解】解：根据命题的定义得到：垂直于同一条直线的两条直线平行的逆命题是：如果两条直线平行， 那么这两条直线垂直于同一条直线，
故答案为：如果两条直线平行， 那么这两条直线垂直于同一条直线．
【点睛】考查了四种命题及其关系，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．
14．（2020·安徽滁州市·九年级其他模拟）命题“若两个三角形全等，则它们关于一条直线对称”的逆命题是：__________．
【答案】若两个三角形关于一条直线对称，则它们全等
【分析】将原命题的条件和结论对调，可形成逆命题．
【详解】“若两个三角形全等，则它们关于一条直线对称”的逆命题是：若两个三角形关于一条直线对称，则它们全等．故答案为：若两个三角形关于一条直线对称，则它们全等．
【点睛】本题考查了原命题与逆命题的书写，熟知此知识点是解题的关键．
15．（2020·安徽合肥市·九年级二模）命题：“如果是自然数，那么它是有理数”，则它的逆命题为：__________.
【答案】如果是有理数，那么它是自然数；
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【详解】解：命题：“如果是自然数，那么它是有理数”的逆命题为“如果是有理数，那么它是自然数”．
故答案为“如果是有理数，那么它是自然数”．
【点睛】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
16．（2020·北京九年级二模）用一个的值说明命题“若，则”是假命题，这个值可以是_____________．
【答案】答案不唯一，如
【分析】举出一个反例：a＝﹣2，说明命题“若，则”是错误的即可．
【详解】解：当a＝﹣2时，，此时a＜1，∴命题“若，则”是错误，
当a＝﹣3时，，此时a＜1，∴命题“若，则”是错误，故答案不唯一，如．
【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
17．（2020·丰台区·北京十八中九年级零模）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在、、三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：

第一题
第二题
第三题
第四题
第五题
得分
甲





4
乙





3
丙





2
丁






（1）则甲同学错的是第 题；（2）丁同学的得分是 ；
（3）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是 （写出一种即可）．
【答案】（1）5；（2）3；（3）A
【分析】(1)分甲从第1题到第5题依次错一道,进而得出其余四道的正确选项,再根据乙,丙的选项和得分判断,进而得出甲具体选错的题号,即可得出结论;
(2) 分甲从第1题到第5题依次错一道,进而得出其余四道的正确选项,再根据乙丙的选项和得分判断,进而得出甲具体选错的题号,即可得出结论．
(3)由（1）先得出五道题的正确选项,然后留一个正确,其他都错误即可得出结论．
【详解】解:（1）当甲选错了第1题,那么,其余四道全对, 针对于乙来看,第1,3,5道错了,做对两道,此时,得分为2,而乙得分3,所以,此种情况不符合题意,
当甲选错了第2题,那么其余四道全对,
针对于乙来看,第2,3,5道错了,做对2道,此时,得分为2分,而乙得分3分,所以,此种情况不符合题意,
当甲选错第3题时,那么其余四道都对,
针对于乙来看,第5道错了,而乙的得分是3分,所以,乙只能做对3道,即:第3题乙也选错,即:第3题的选项C正确, 针对于丙来看,第1题错了,做对4道,此时,丙的得分为4分,而丙的得分为2分,所以此种情况不符合题意, 当甲选错第4题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3,4,5道错了,做对了2道,此时,得分2分,而乙的得分为3分,所以,此种情况不符合题意,
当甲选错第5题,那么其余四道都对,
针对于乙来看,第3道错了,而乙的得分为3分,所以,乙只能做对3道,所以,乙第5题也错了,所以,第5题的选项A是正确的,
针对于丙来看,第1,3,5题错了,做对了2道,得分2分,
针对于丁来看,第1，3题错了,做对了3道,得分3分, 故答案为5;
（2）当甲选错了第1题,那么,其余四道全对, 针对于乙来看,第1,3,5道错了,做对两道,此时,得分为2,而乙得分3,所以,此种情况不符合题意,
当甲选错了第2题,那么其余四道全对,
针对于乙来看,第2,3,5道错了,做对2道,此时,得分为2分,而乙得分3分,所以,此种情况不符合题意,
当甲选错第3题时,那么其余四道都对,
针对于乙来看,第5道错了,而乙的得分是3分,所以,乙只能做对3道,即:第3题乙也选错,即:第3题的选项C正确,
针对于丙来看,第1题错了,做对4道,此时,丙的得分为4分,而丙的得分为2分,所以,此种情况不符合题意,
当甲选错第4题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3,4,5道错了,做对了2道,此时,得分2分,而乙的得分为3分,所以,此种情况不符合题意,
当甲选错第5题,那么其余四道都对,
针对于乙来看,第3道错了,而乙的得分为3分,所以,乙只能做对3道,所以,乙第5题也错了,所以,第5题的选项A是正确的,
针对于丙来看,第1,3,5题错了,做对了2道,得分2分,
针对于丁来看,第1，3题错了,做对了3道,得分3分, 故答案为3;
（3）由（1）知,五道题的正确选项分别是:CCABA, 如果有一个同学得了1分,那么,只选对1道, 即:他的答案可能是CACCC或CBCCC或CABAB或BBBBB等,
故答案为:CACCC或BBBBB（答案不唯一）.
【点睛】本题主要考查是推理与论证问题和分类讨论的思想,确定出甲选错的题号是解本题的关键.
18．（2020·山东德州市·中考模拟）有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）

【答案】答案作图见解析
【分析】根据题意知道，点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点．
【详解】解：连接A,B两点，作AB的垂直平分线，作两直线交角的角平分线，交点有两个．
（1）作两条公路夹角的平分线OD或OE；
（2）作线段AB的垂直平分线FG；
则射线OD，OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置．

考点：作图-应用与设计作图
19．（2019·甘肃中考真题）如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）

【答案】见解析.
【分析】根据角平分线的作法、线段垂直平分线的作法作图即可．
【详解】解：如图，点M即为所求，

作法：如解图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于、两点，再分别以、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接；以、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧分别交于、，连接，则的延长线与的延长线的交点即为所求的点.
【点睛】本题考查的是复杂作图、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握基本尺规作图的一般步骤是解题的关键．
20．（2020·山东临沂市·）已知的半径为，的半径为，以为圆心，以的长为半径画弧，再以线段的中点P为圆心，以的长为半径画弧，两弧交于点A，连接，，交于点B，过点B作的平行线交于点C．

（1）求证：是的切线；（2）若，，，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）过点O2作O2D⊥BC，交BC于点D，根据作图过程可得AP=O1P=O2P，利用等腰三角形的性质和三角形内角和证明AO2⊥AO1，再根据BC∥AO2，证明四边形ABDO2为矩形，得到O2D=，点D在圆O2上，可得结论；（2）证明△AO1O2∽△BO1C，求出O1C，利用△BO1C的面积减去扇形BO1E的面积即可.
【详解】解：（1）由作图过程可得：AP=O1P=O2P=O1O2，AO1=AB+BO1=，
∴∠PAO1=PO1A，∠PAO2=∠PO2A，AB=，而∠PAO1+∠PO1A+∠PAO2+∠PO2A=180°，
∴∠PAO1+∠PAO2=90°，即AO2⊥AO1，
∵BC∥AO2，∴O1B⊥BC，即BC与圆O1相切，过点O2作O2D⊥BC，交BC于点D，
可知四边形ABDO2为矩形，∴AB=O2D=，而圆O2的半径为，∴点D在圆O2上，
即BC是的切线；

（2）∵AO2∥BC，∴△AO1O2∽△BO1C，∴，
∵，，，即AO1==3，BO1=2，∴，∴O1C=4，
∵BO1⊥BC，∴cos∠BO1C=，∴∠BO1C=60°，∴BC=，
∴S阴影=-==
【点睛】本题考查了尺规作图的原理，切线的判定和性质，矩形的判定和性质，扇形面积，相似三角形的判定和性质，等边对等角，知识点较多，解题的关键是根据作图过程得到相应的线段关系.
21．（2020·山西中考真题）阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．

×年×月×日 星期日
没有直角尺也能作出直角
今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？
办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在上量出，然后分别以，为圆心，以与为半径画圆弧，两弧相交于点，作直线，则必为．

办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出，两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则．

我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？
……
任务：
（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；
②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）
【答案】（1）勾股定理的逆定理；（2）详见解析；（3）①详见解析；②答案不唯一，详见解析
【分析】（1）利用说明△DCE是直角三角形，说明，进而得出利用的原理是勾股定理逆定理即可；（2）由作图的方法可以得出：，，得出，，利用三角形内角和得出，即，说明垂直即可；
（3）①以点为圆心，任意长为半径画弧，与有两个交点，分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，这两段弧交于一点，连接即可；
②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可说明垂直．
【详解】（1）勾股定理的逆定理（或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）；
（2）证明：由作图方法可知：，，，．
又，．
．即．
（3）解：①如图，直线即为所求；

图③
②答案不唯一，如：三边分别相等的两个三角形全等（或）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．
【点睛】本题主要考查了垂直的判定，熟练掌握说明垂直的方法是解决本题的关键．
22．（2020·山东青岛市·中考真题）已知：．．
求作：，使它经过点和点，并且圆心在的平分线上，

【答案】见详解．
【分析】要作圆，即需要先确定其圆心，先作∠A的角平分线，再作线段BC的垂直平分线相交于点O，即O点为圆心．
【详解】解：根据题意可知，先作∠A的角平分线，再作线段BC的垂直平分线相交于O，
即以O点为圆心，OB为半径，作圆O，如下图所示：

【点睛】此题主要考查了学生对确定圆心的作法，要求学生熟练掌握应用．
23．（2020·青海中考真题）如图，在中，．（1）尺规作图：作的外接圆；作的角平分线交于点D，连接AD．（不写作法，保留作图痕迹） （2）若AC =6，BC =8，求AD的长．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据外接圆，角平分线的作法作图即可；
（2）连接AD，OD，根据CD平分，得°，根据圆周角与圆心角的关系得到°，在中计算AB，在中，计算AD．
【详解】（1）作图如下：

（2）连接AD，OD，如图所示
由（1）知：平分，且°∴°∴°
在中，，∴，即
在中，
【点睛】本题考查了三角形的外接圆，角平分线，以及利用圆周角与圆心角的关系，及勾股定理计算线段长度的方法，熟知以上方法是解题的关键．















1．（2020·广西中考真题）如图，在中，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠BCA，进而求得∠ACD，由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，利用角平分线定义求解即可．
【详解】∵在中，，∴，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，由作图痕迹可知CE为∠ACD的平分线，
∴，故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义和作法，熟练掌握等腰三角形的性质以及角平分线的尺规作图法是解答的关键．
2．（2020·贵州贵阳市·中考真题）如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ）

A．无法确定 B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】当GP⊥AB时，GP的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，再根据角平分线的性质可知，当GP⊥AB时，GP=CG=1．
【详解】解：由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小，
根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，
∵∠C=90°，∴当GP⊥AB时，GP=CG=1，故答案为：C．
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图以及角平分线的性质，难度不大，解题的关键是根据题意得到GB是∠ABC的角平分线，并熟悉角平分线的性质定理．
3．（2020·四川雅安市·中考真题）下列四个选项中不是命题的是（ ）
A．对顶角相等 B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边 D．如果，那么
【答案】B
【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．
【详解】解：由题意可知，A、对顶角相等，故选项是命题；
B、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，故选项不是命题；
C、三角形任意两边之和大于第三边，故选项是命题；
D、如果，那么，故选项是命题；故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．注意：疑问句与作图语句都不是命题．
4．（2020·安徽中考真题）已知点在上．则下列命题为真命题的是（ ）
A．若半径平分弦．则四边形是平行四边形
B．若四边形是平行四边形．则
C．若．则弦平分半径
D．若弦平分半径．则半径平分弦
【答案】B
【分析】根据圆的有关性质、垂径定理及其推论、特殊平行四边形的判定与性质依次对各项判断即可．
【详解】A∵半径平分弦，∴OB⊥AC，AB=BC，不能判断四边形OABC是平行四边形，假命题；
B．∵四边形是平行四边形,且OA=OC,∴四边形是菱形，∴OA=AB=OB，OA∥BC，
∴△OAB是等边三角形，∴∠OAB=60º,∴∠ABC=120º,真命题；
C．∵，∴∠AOC=120º，不能判断出弦平分半径，假命题；
D．只有当弦垂直平分半径时，半径平分弦，所以是假命题，故选：B．
【点睛】本题主要考查命题与证明，涉及垂径定理及其推论、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，解答的关键是会利用所学的知识进行推理证明命题的真假．
5．（2020·四川凉山彝族自治州·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）
A．顶点在圆上的角叫圆周角 B．三点确定一个圆
C．圆的切线垂直于半径 D．三角形的内心到三角形三边的距离相等
【答案】D
【分析】根据圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫圆周角，故A错误；
B、不在同一条直线上的三点确定一个圆，故B错误；
C、圆的切线垂直于过切点的半径，故C错误；
D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，故D正确；故选：D．
【点睛】本题考查了判断命题的真假，圆周角的定义、圆的定义、切线的定义，以及三角形内心的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行判断．
6．（2020·辽宁盘锦市·九年级一模）下列命题中，是假命题的是（　　）
A．正十七边形的外角和等于360° B．方程无实数根
C．位似图形必定相似 D．样本方差越大，数据波动越小
【答案】D
【分析】利用方差的意义、正多边形的性质、位似图形的定义及一元二次方程根的判别式分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、任意正多边形的外角和均为360°，故原命题正确，选项A是真命题；
B、方程x2+x+1=0的根的判别式，故方程无实数根，故原命题正确，选项B是真命题，
C、位似图形必相似，故原命题正确，选项C是真命题；
D、样本方差越大，数据波动越大，故原命题错误，选项D是假命题；故选：D．
【点睛】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解方差的意义、正多边形的性质、位似图形的定义及一元二次方程根的判别式，难度不大．
7．（2020·北京八中九年级月考）数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a＞2，那么a2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（　　）
A．两直线平行，同位角相等 B．如果|a|＝1，那么a＝1
C．全等三角形的对应角相等 D．如果x＞y，那么mx＞my
【答案】C
【分析】分别判断原命题和其逆命题的真假后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、原命题正确，逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，为真命题，不符合题意；
B、原命题错误，是假命题；逆命题为如果a＝1，那么|a|＝1，正确，是真命题，不符合题意；
C、原命题正确，是真命题；逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，是假命题，符合题意；
D、当m＝0时原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：C．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．
8．（2020·河北邢台市·九年级二模）能说明命题“关于的不等式组的解集为无解”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的解集得出m的取值范围，进而解答即可．
【详解】“关于的不等式组的解集为无解”是假命题，说明不等式组有解，
即，得，即．∴符合条件的是选A．
【点睛】此题考查命题问题，关键是根据不等式的解集得出m的取值范围．
9．（2020·河北九年级二模）求证：两直线平行，内错角相等
如图1，若，且、被所截，求证：

以下是打乱的用反证法证明的过程
①如图2，过点作直线，使，
②依据理论依据1，可得，
③假设，
④．
⑤与理论依据2矛盾，假设不成立．
证明步骤的正确顺序是（ ）


A．①②③④⑤ B．①③②⑤④ C．③①④②⑤ D．③①②⑤④
【答案】D
【分析】根据反证法的证明步骤分析即可．
【详解】解：假设，如图2，过点作直线，使，
∴，这与平行公理“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，
∴假设不成立，∴．故选：D

【点睛】本题考查了反证法，反证法的证明步骤一般先假设与要求证结的相反的命题，再根据已知条件进行正面，最后得出的结论与已知或数学定理矛盾，从而说明要求证命题正确．
10．（2020·浙江衢州市·中考模拟）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）

A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【解析】①作一个角等于已知角的方法正确；②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．故选C．
考点：基本作图.
11．（2020·湖南郴州市·中考真题）如图，在矩形中，．分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和．作直线分别与交于点，则__________．

【答案】2．
【分析】连接DN，在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，根据勾股定理可得BD的长，根据作图过程可得，MN是BD的垂直平分线，所以DN=BN，在Rt△ADN中，根据勾股定理得DN的长，在Rt△DON中，根据勾股定理得ON的长，进而可得MN的长．
【详解】如图，连接DN，

在矩形ABCD中，AD=4，AB=8，∴BD=，
根据作图过程可知：MN是BD的垂直平分线，∴DN=BN，OB=OD=2，∴AN=AB-BN=AB-DN=8-DN，
在Rt△ADN中，根据勾股定理，得DN2=AN2+AD2，∴DN2=（8-DN）2+42，解得DN=5，
在Rt△DON中，根据勾股定理，得ON=，
∵CD∥AB，∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
∵OD=OB，∴△DMO≌△BNO（AAS），∴OM=ON=，∴MN=2．故答案为：2．
【点睛】本题考查了作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
12．（2020·湖北荆州市·中考真题）已知：，求作的外接圆，作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画弧，如图⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据是___________________．

【答案】线段的垂直平分线的性质
【分析】利用线段垂直平分线的性质得到OA=OC=OB，然后根据点与圆的位置关系可判断点A、C在⊙O上．
【详解】解：如图，连接，
∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点， ∴OA=OC=OB， ∴⊙O为的外接圆．

故答案为：线段的垂直平分线的性质．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．考查线段的垂直平分线的性质，确定圆的条件，掌握作图的原理是解题的关键．
13．（2020·宁夏中考真题）如图，在中，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M、N，作直线交点D；以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点E、F，再分别以点E、F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，此时射线恰好经过点D，则_____度．

【答案】32
【分析】由作图可得MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，根据它们的性质可得，再根据三角形内角和定理即可得解．
【详解】
由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，
∴AD=BD，
∴
∴
∵，且，
∴，即，∴．故答案为：32．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法和角平分线的作法．
14．（2020·广东九年级一模）小明背对小亮按小列四个步骤操作：
（1）分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌现有的张数相同；
（2）从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
（3）从右边一堆拿出两张，放入中间一堆；
（4）左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆，当小亮知道小明操作的步骤后，便准确地说出中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是_______________．
【答案】6
【分析】把每堆牌的数量用字母表示出来，列出表示变化情况的式子即可解答.
【详解】设第一步时，每堆牌的数量都是x(x≥2)，第二步时：左边x-2，中间x+2，右边x；
第三步时：左边x-2，中间x+4，右边x-2，第四步时：左边x-2，所以从中间拿走x-2，
则中间剩余牌数为（x+4）-(x-2)=x+4-x+2=6，所以中间一堆现有张数是6，故答案为：6.
【点睛】本题主要考查整式的加减，把复杂问题通过逻辑推理简单化是解答的关键.
15．（2020·杭州市九年级期中）命题“对顶角相等”的逆命题是__________．
【答案】相等的角是对顶角
【分析】
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
【详解】 “对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，所以逆命题是：相等的角是对顶角．
【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
16．（2020·安徽九年级其他模拟）命题“如果，那么”的逆命题为____________．
【答案】如果a=b，则a-b=0．
【分析】交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题，然后再进行判断即可．
【详解】解：命题“如果a-b=0，则a=b”的逆命题是“如果a=b，则a-b=0”．
故答案为：如果a=b，则a-b=0．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解该命题的题设和结论，难度不大．
17．（2020·北京平谷区·九年级二模）用一个a的值说明命题“一定表示一个负数”是错误的，a的值可以是__________．
【答案】答案不唯一，如
【分析】根据题意找到一个使得命题不成立的值即可．
【详解】当时，不是一个负数，故命题错误．故答案为：
【点睛】本题主要考查了举例说明真（假）命题，根据题意找到反例是解题的关键．
18．（2020·吉林长春市·九年级零模）用反证法证明：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.第一步应假设：______．
【答案】这两条直线不平行
【分析】本题需先根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案．
【详解】证明：已知两条直线都和第三条直线平行； 
假设这两条直线不平行，则两条直线有交点，
因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
因此，两条直线有交点时，它们不可能同时与第三条直线平行
因此假设与结论矛盾．故假设不成立，
即如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
故答案为：这两条直线不平行．
【点睛】本题主要考查了反证法，在解题时要根据反证法的特点进行证明是本题的关键．
19．（2020·四川达州市·中考真题）如图，点O在的边上，以为半径作，的平分线交于点D，过点D作于点E．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；
（2）判断与交点的个数，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）与有1个交点，理由见解析
【分析】（1）根据已知圆心和半径作圆、作已知角的平分线、过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图的步骤作图即可；（2）连接OD，由OB=OD，得到∠1=∠2，再由角平分线得出∠1=∠3，等量代换进而证出OD∥BA，根据两直线平行同旁内角互补，得到∠ODE=90°，由此得出OD是的切线，即与有1个交点.
【详解】解：（1）如下图，补全图形：

（2）如下图，连接OD，
∵点D在上，∴OB=OD，∴∠1=∠2，
又∵BM平分，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD∥BA，∴∠ODE+∠BED=180°，
∵∴∠ODE=90°，∴ED是的切线，∴与有1个交点.
【点睛】本题考查尺规作图、圆的切线的判定，熟练掌握尺规作图的步骤及圆的切线的判定定理是解题的关键.
20．（2020·甘肃金昌市·中考真题）如图，在中，是边上一点，且．
（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）
①作的角平分线交于点；②作线段的垂直平分线交于点．
（2）连接，直接写出线段和的数量关系及位置关系．

【答案】（1）①作图见解析，②作图见解析；（2）
【分析】（1）①根据角平分线的作图方法直接作图即可；②根据垂直平分线的作图方法直接作图即可；（2）根据等腰三角形的性质与垂直平分线的定义证明是的中位线，根据中位线的性质可得答案．
【详解】解：（1）如图，①即为所求作的的角平分线，
②过的垂线是所求作的线段的垂直平分线．

（2）如图，连接，平分
由作图可知： 是的中位线，

【点睛】本题考查的是角平分线与垂直平分线的尺规作图，同时考查了三角形的中位线的性质，掌握以上知识是解题的关键．
21．（2020·江苏无锡市·中考真题）如图，已知是锐角三角形．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线，使上的各点到、两点的距离相等；设直线与、分别交于点、，作一个圆，使得圆心在线段上，且与边、相切；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若，，则的半径为________．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）由题意知直线为线段BC的垂直平分线，若圆心在线段上，且与边、相切，则再作出的角平分线，与MN的交点即为圆心O；
（2）过点作，垂足为，根据即可求解．
【详解】解：（1）①先作的垂直平分线：分别以B，C为圆心，大于的长为半径画弧，连接两个交点即为直线l，分别交、于、；
②再作的角平分线：以点B为圆心，任意长为半径作圆弧，与的两条边分别有一个交点，再以这两个交点为圆心，相同长度为半径作弧，连接这两条弧的交点与点B，即为的角平分线，这条角平分线与线段MN的交点即为；
③以为圆心，为半径画圆，圆即为所求；
（2）过点作，垂足为，设
∵，，∴，∴根据面积法，∴
∴，解得，故答案为：．

【点睛】本题考查了尺规作图，切线的性质等内容，解题的关键是掌握线段垂直平分线、角平分线的尺规作图．
22．（2020·江苏泰州市·中考真题）如图，已知线段，点在平面直角坐标系内，

（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点，使点到两坐标轴的距离相等，且与点的距离等于．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，点的坐标为，求点的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）P（5,5）．
【分析】（1）作第一象限的平分线OM，再以点A为圆心，a为半径画弧，交OM于点P即可；
（2）根据题意，设点P（t，t），再根据两点之间的距离公式列出方程即可解答．
【详解】解：（1）如图所示，作第一象限的平分线OM，再以点A为圆心，a为半径画弧，交OM于点P，则点P为所求；

（2）∵点P到两坐标轴的距离相等，且在第一象限，∴设点P（t，t），
则AP=，解得：t=5或t=-1（舍去），∴P（5,5）．
【点睛】本题考查了尺规作图以及两点之间的距离公式，解题的关键是读懂题意，明确如何作图能满足题意．
23．（2020·湖南长沙市·中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法： 已知： 求作：的平分线
做法：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N，
（2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C
（3）画射线OC，射线OC即为所求．

请你根据提供的材料完成下面问题：
（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．
① ② ③ ④
（2）请你证明OC为的平分线．
【答案】（1）①；（2）证明见解析
【分析】（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，由“SSS”可以证得△EOC≌△DOC；
（2）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为的平分线．
【详解】（1）根据作图的过程知道：OM=ON，OC=OC，CM=CM，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC，从而得到OC为的平分线；故答案为：①；
（2）如图，

连接MC、NC．根据作图的过程知，在△MOC与△NOC中，，
∴△MOC≌△NOC（SSS），∠AOC=∠BOC，∴OC为的平分线．
【点睛】本题考查了作图-基本作图及全等三角形的判定定理的应用，注意：三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
24．（2020·江苏南通市·中考真题）（1）如图①，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．（2）如图②，A为⊙O上一点，按以下步骤作图：①连接OA；②以点A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B；③在射线OB上截取BC＝OA；④连接AC． 若AC＝3，求⊙O的半径．

【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为．
【分析】（1）根据“AAS“证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的性质得到结论；
（2）连接AB，如图②，由作法得OA=OB=AB=BC，先判断△OAB为等边三角形得到∠OAB=∠OBA=60°，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠C=∠BAC=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求OA的长．
【详解】（1）证明：在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AB＝AC；
（2）解：连接AB，如图②，

由作法得OA＝OB＝AB＝BC，∴△OAB为等边三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝60°，
∵AB＝BC，∴∠C＝∠BAC，∵∠OBA＝∠C+∠BAC，∴∠C＝∠BAC＝30°∴∠OAC＝90°，
在Rt△OAC中，OA＝AC＝×3＝．即⊙O的半径为．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定与性质．