考点21 解直角三角形-备战2021年中考数学考点一遍过（含答案解析）试卷

这是一份考点21 解直角三角形-备战2021年中考数学考点一遍过（含答案解析）试卷，共82页。试卷主要包含了锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，解直角三角形，解直角三角形的应用等内容，欢迎下载使用。

考点21 解直角三角形

该板块主要考查锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数, 尤其是应用主要在综合题中考查,是考查重点,每年都有一道三角函数的综合题,看似考查解题的综合能力,实质是基本的定义和应用.有时比较简单,有时难点较大不易得分,分值为12分左右.预计2021年各地中考还将以选题和综合题的形式出现,在牢固掌握定义的同时,一定要理解基本的方法,利用辅助线构造直角三角形,是得分的关键.

一、锐角三角函数的定义
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，

正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．
根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.
二、特殊角的三角函数值
α
sinα
cosα
tanα
30°



45°


1
60°



三、解直角三角形
1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：1）三边关系：a2+b2=c2； 2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； 4）sin2A+cos2A=1．
3．科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；
已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.
四、解直角三角形的应用
1）．仰角和俯角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
2）．坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
3)．方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．

4．解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：

解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.
5．解直角三角形实际应用的一般步骤
1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．

考向一 求三角函数的值
1）分清直角三角形中的斜边与直角边. 2）正确地表示出直角三角形的三边长，常设某条直角边长为k（有时也可设为1），在求三角函数值的过程中约去k． 3）正确应用勾股定理求第三边长． 4）应用锐角三角函数定义，求出三角函数值．

1．（2020·吉林长春市·中考真题）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示．设塔顶中心点为点，塔身中心线与垂直中心线的夹角为，过点向垂直中心线引垂线，垂足为点．通过测量可得、、的长度，利用测量所得的数据计算的三角函数值，进而可求的大小．下列关系式正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】确定所在的直角三角形，找出直角，然后根据三角函数的定义求解；
【详解】由题可知，△ABD是直角三角形，，
，,．选项B、C、D都是错误的，故答案选A．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形中三角函数的定义理解，准确理解是解题的关键．
2．（2020·江苏扬州市·中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．
【详解】∵和∠ABC所对的弧长都是，∴根据圆周角定理知，∠ABC＝，
∴在Rt△ACB中，AB=
根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，∴=，故选A．
【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．

1．（2020·浙江杭州市·中考真题）如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）

A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．
【详解】∵中，，、、所对的边分别为a、b、c
∴，即，则A选项不成立，B选项成立
，即，则C、D选项均不成立故选：B．
【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键．
2．（2020·山东聊城市·中考真题）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（ ）．

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点A作于点D，在中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．
【详解】解：如图，过点A作于点D，则，

∴，∴，故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
考向二 利用特殊角的三角函数值求值
锐角三角函数值与三角形三边的长短无关，只与锐角的大小有关.

1．（2020·广西玉林市·中考真题）sin45°的值等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】sin45°=．故选B．
【点睛】容易题.失分的原因是没有掌握特殊角的三角函数值.
2．（2020·江苏盐城市·中考真题）如图，在中，的平分线交于点．求的长？

【答案】6
【分析】由求出∠A=30°，进而得出∠ABC=60°，由BD是∠ABC的平分线得出∠CBD=30°，进而求出BC的长，最后用sin∠A即可求出AB的长．
【详解】解：在中，
是的平分线，又 ，
在中， ，．故答案为：．
【点睛】本题考查了用三角函数解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数是解决此类题的关键．

1．（2020·四川宜宾市·中考真题）如图，A，B，C是上的三点，若是等边三角形，则___________．

【答案】
【分析】由△OBC是等边三角形、则∠COB =60°，然后由圆周角定理可得∠A=30°,然后运用余弦定义求解即可．
【详解】解：∵△OBC是等边三角形∴∠COB=60°
∴∠A==30°∴=．故答案为．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和圆周角定理，掌握同弦所对的圆周角为圆心角的一半是解答本题的关键．
2．（2020·贵州黔东南苗族侗族自治州·中考真题）= ______.
【答案】.
【分析】根据特殊角的三角函数值填空即可.
【详解】由特殊角的三角函数值，能够确定=.故答案是
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值.

考向三 复杂几何图形中的三角函数问题

1．（2020·山东济南市·中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____．

【答案】
【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，

∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，∴2x2﹣20x+173＝125，解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，∴tan∠B'AC′＝=．故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键．
2．（2020·江苏苏州市·中考真题）如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线．过点作，交射线于点，过点作，交于点．设，，则________．

【答案】
【分析】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，根据等腰三角形的性质得OH⊥AB，AH=BH，从而得四边形ABED是平行四边形，利用勾股定理和三角形的面积法，求得AG的值，进而即可求解．
【详解】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，
由尺规作图步骤，可得：OD是∠MON的平分线，OA=OB，∴OH⊥AB，AH=BH，
∵，∴DE∥AB，∵，∴四边形ABED是平行四边形，
∴AB=DE=12，∴AH=6，∴OH=，
∵OB∙AG=AB∙OH，∴AG===，∴=．故答案是：．

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质定理，勾股定理，锐角三角函数的定义，添加合适的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．

1．（2020·江苏常州市·中考真题）如图，点C在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则_________．

【答案】
【分析】设BC=a，则AC=2a，然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、∠GCD=ECD=45°，进而说明△ECG为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答．
【详解】解：设BC=a，则AC=2a
∵正方形∴EC=，∠ECD=
同理：CG=,∠GCD= ∴．故答案为．

【点睛】本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明△ECG是直角三角形是解答本题的关键．
2．（2020·湖北咸宁市·中考真题）如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连结，则的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据折叠的性质得到∠AEB=∠AEF，再根据点E是BC中点可得EF=EC，可得∠EFC=∠ECF，从而推出∠ECF=∠AEB，求出即可得到结果.
【详解】解：由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，
∵点E是BC中点，，∴BE=CE=EF=，∴∠EFC=∠ECF，AE=，
∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF，∴∠ECF=∠AEB，∴==，
故选C.
【点睛】本题考查了矩形的性质和折叠的性质，以及余弦的定义，解题的关键是利用折叠的性质得到∠ECF=∠AEB.
考向四 解直角三角形的应用—坡角（堤坝）问题
解此类题的一般方法：（1）构造直角三角形；（2）理清直角三角形的边角关系；（3）利用特殊角的三角函数值解答问题.

1．（2020·辽宁阜新市·中考真题）如图，为了了解山坡上两棵树间的水平距离，数学活动小组的同学们测得该山坡的倾斜角，两树间的坡面距离，则这两棵树的水平距离约为_________m（结果精确到，参考数据：）．

【答案】4.7
【分析】如图所示作出辅助线，得到∠BAC=α=20°，AB=5，再利用余弦的定义，得到即可解答．
【详解】解：如图所示，过点A作AC平行于水平面，过点B作BC⊥AC于点C，则AC为所求，

由题意可知：∠BAC=α=20°，AB=5，则，
即，故答案为：4.7．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是作出辅助线，熟悉余弦的定义．
2．（2020·山东泰安市·中考真题）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．，斜坡长，斜坡的坡比为12∶5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿至少向右移________时，才能确保山体不滑坡．（取）

【答案】10
【分析】如图，设点B沿BC向右移动至点H，使得∠HAD=50°，过点H作HF⊥AD于点F，根据AB及AB的坡比，计算出BE和AE的长度，再根据∠HAF=50°，得出AF的值即可解答．

【详解】解：如图，设点B沿BC向右移动至点H，使得∠HAD=50°，过点H作HF⊥AD于点F，
∵AB=26，斜坡的坡比为12∶5，则设BE=12a，AE=5a，
∴，解得：a=2，∴BE=24，AE=10，∴HF=BE=24，
∵∠HAF=50°，则，解得：AF=20，∴BH=EF=20-10=10，
故坡顶B沿至少向右移10时，才能确保山体不滑坡，故答案为：10．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

1．（2020·四川自贡市·中考真题）如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形，∥,长为6米，坡角为45°，的坡角为30°，则的长为 ________ 米 （结果保留根号）

【答案】
【分析】过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，分别在Rt△CEB与Rt△DFA中使用三角函数即可求解.
【详解】解：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，可得矩形CEFD和Rt△CEB与Rt△DFA，
∵BC=6，∴CE=，∴DF=CE=，∴，故答案为：．

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．
2．（2020·湖南娄底市·中考真题）如实景图，由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，彰显了国企的担当精神，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面，从E点处测得D点俯角为30°，斜面长为，水平面长为，斜面的坡度为1∶4，求处于同一水平面上引桥底部的长．（结果精确到，）．

【答案】引桥桥墩底端A点到起点B之间的距离为．
【分析】延长，与相交于F，过点D、C两点分别作的垂线交于点G、H，计算AG，GH，BH的长度，再求和即可．
【详解】解：如图，延长，与相交于F，过点D、C两点分别作的垂线交于点G、H，则在中，，
，在中，

答：引桥桥墩底端A点到起点B之间的距离为．

【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用问题，熟练的构造直角三角形，并计算各边的计算是解题的关键．
考向五 解直角三角形的应用—仰角俯角问题

1．（2020·辽宁葫芦岛市·中考真题）如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度，在观测点处测得大桥主架顶端的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距离为60米，且垂直于桥面．（点在同一平面内）

（1）求大桥主架在桥面以上的高度；（结果保留根号）（2）求大桥主架在水面以上的高度．（结果精确到1米）（参考数据）
【答案】（1）大桥主架在桥面以上的高度为米；（2）大桥主架在水面以上的高度约为50米．
【分析】（1）在Rt△ACM中，根据锐角三角函数求出AM的长度．
（2）在Rt△BCM中，求出BM的长度，再求出AB的长度即可．
【详解】解：（1）垂直于桥面
在中，
（米）
答：大桥主架在桥面以上的高度为米．

（2）在中，

（米）答：大桥主架在水面以上的高度约为50米．
【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的前提．
2．（2020·湖北鄂州市·中考真题）鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的左岸C处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行50米至B处，测得正前方河流右岸D处的俯角为30°．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．其中米．（1）求无人机的飞行高度；（结果保留根号）（2）求河流的宽度．（结果精确到1米，参考数据：）

【答案】（1）米；（2）263米
【分析】（1）根据正切的定义即可求出AM的长；
（2）过点B作BH⊥MD，根据三角函数求出DH的长，利用CD=DH-CH即可求解．
【详解】（1）由题意可得AF∥MD∴∠ACM=∠FAC=
在Rt△ACM中，AM=CMtan∠ACM=CM(米);
（2）如图，过点B作BH⊥MD，在Rt△BDH中，∠BDH=∠FBD=30°，BH=
∴DH=BH÷tan30°=÷=300米，∵AM⊥DM，AM⊥AF∴四边形ABHM是矩形
∴MH=AB=50米∴CH=CM-MH=-50(米)∴CD=DH-CH=300-（-50）=350-≈263（米）
故河流的宽度为263米．

【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知解直角三角形的方法．

1．（2020·云南昆明市·中考真题）（材料阅读）2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度．其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个规标，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加．因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为f＝（其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度＝测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差．
（问题解决）某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动．如图，点A，B的水平距离d＝800m，测量仪AC＝1.5m，觇标DE＝2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山项觇标顶端E的仰角为37°，测量点A处的海拔高度为1800m．
（1）数据6400000用科学记数法表示为　 　；
（2）请你计算该山的海拔高度．（要计算球气差，结果精确到0.01m）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【答案】（1）6.4×106；（2）2399.54m
【分析】（1）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
（2）如图，过点C作CH⊥BE于H．解直角三角形求出DB，加上海拔高度，加上球气差即可．
【详解】解：（1）6400000＝6.4×106，故答案为6.4×106．
（2）如图，过点C作CH⊥BE于H．

由题意AB＝CH＝800m，AC＝BH＝1.5m，在Rt△ECH中，EH＝CH•tan37°≈600（m），
∴DB＝600﹣DE+BH＝599.5（m），由题意f＝≈0.043（m），
∴山的海拔高度＝599.5+0.043+1800≈2399.54（m）．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，科学记数法等知识，解题的关键是理解题意，学会构造直角三角形解决问题．
2．（2020·辽宁盘锦市·中考真题）如图，某数学活动小组要测量建筑物的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测量结果如下表．

测量项目
测量数据
测角仪到地面的距离

点到建筑物的距离

从处观测建筑物顶部的仰角

从处观测建筑物底部的俯角

请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑物的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：．）（选择一种方法解答即可）
【答案】
【分析】第一种选择：选取，解直角三角形ACE求得AE，根据AE+EB即可得到结论；第二种选择：选取，先解直角三角形BCD求出BD的长，再解直角三角形ACE求出AE的长，根据AE+EB即可得到结论；第三种选择：选取，，求出CD和AE的长即可．
【详解】解：第一种选择：选取‘

∴四边形为矩形
在中，

答：建筑物的高度约为．
第二种选择选取

∴四边形为矩形
在中，
在中，

答：建筑物的高度的为．
第三种选择选取，

∴四边形为矩形在中，

在中，
答：建筑物的高度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
考向六 解直角三角形的应用—方位角问题

1．（2020·湖北咸宁市·中考真题）如图，海上有一灯塔P，位于小岛A北偏东60°方向上，一艘轮船从北小岛A出发，由西向东航行到达B处，这时测得灯塔P在北偏东30°方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔P的正南方，此时轮船与灯塔P的距离是________．（结果保留一位小数，）

【答案】20.8
【分析】证明△ABP是等腰三角形，过P作PD⊥AB，从而求得PD的长即可．
【详解】解：过P作PD⊥AB于D，∵AB=24，
∵∠PAB=90°-60°=30°，∠PBD=90°-30°=60°，∴∠BPD=30°，
∴∠APB=30°，即∠PAB=∠APB，∴AB=BP=24，
在直角△PBD中，PD=BP•sin∠PBD=24×=≈20.8.故答案为：20.8.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出垂线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关键．
2．（2020·湖北荆门市·中考真题）如图，海岛B在海岛A的北偏东方向，且与海岛A相距20海里，一艘渔船从海岛B出发，以5海里/时的速度沿北偏东方向航行，同时一艘快艇从海岛A出发，向正东方向航行．2小时后，快艇到达C处，此时渔船恰好到达快艇正北方向的E处．（1）求的度数；（2）求快艇的速度及C，E之间的距离．（参考数据：）

【答案】（1）；（2）快艇的速度为9.85海里时，C，E之间的距离为19.9海里．
【分析】（1）过点B作于点D，作于点E，根据题意求出∠ABD和∠ADE的度数，即可求解；（2）求出BE的长度，根据解直角三角形求出BF和EF的长度，在中，求出AD、BD的长度，证出四边形为矩形，可求得快艇的速度和CE之间的距离．
【详解】（1）过点B作于点D，作于点E．
由题意得：，，
∵，∴，而
∴．
（2）（海里）在中，，
（海里），（海里），
在中，，（海里），

（海里），
∵，，，∴，
∴四边形为矩形，∴，
∴ ，
设快艇的速度为v海里/时，则（海里时）
答：快艇的速度为9.85海里时，C，E之间的距离为19.9海里．
【点睛】本题考查矩形的判定与性质、解直角三角形的实际应用−方位角问题，理清题中各个角的度数，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．

1．（2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离为________海里．

【答案】20
【分析】过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解．
【详解】如图，过点A作AC⊥BD，依题意可得∠ABC=45°
∴△ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)∴AC=BC=ABsin45°=10(海里)
在Rt△ACD中，∠ADC=90°-60°=30°∴AD=2AC=20 (海里)故答案为：20．

【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
2．（2020·广西中考真题）如图，一艘渔船位于小岛的北偏东方向，距离小岛的点处，它沿着点的南偏东的方向航行．（1）渔船航行多远距离小岛最近(结果保留根号)？（2）渔船到达距离小岛最近点后，按原航向继续航行到点处时突然发生事故，渔船马上向小岛上的救援队求救，问救援队从处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短，最短航程是多少(结果保留根号)？

【答案】（1）；（2）南偏东；
【分析】（1）过点作的垂线交于点，则AD为所求，根据已知条件得到∠BAD=45°即可解答；（2）根据特殊角的锐角三角函数值得到∠C=30°，∠DBC=60°，从而求出BC的长度，再求出∠DBE的度数，即可得到∠EBC的度数．
【详解】解：（1）过点作的垂线交于点，

∵垂线段最短，上的点距离点最近，即为所求，由题意可知：∠BAF=30°，∠CAF=15°，
∴，
∴渔船航行时，距离小岛最近．
（2）在中，，∠DBC=60°，
∵∠ABD=45°，∠ABE=90°-30°=60°，∴，
.答：从处沿南偏东出发，最短行程.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
考向七 解直角三角形的应用—其他问题

1．（2020·山东济南市·中考真题）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AFBE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（ ）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）

A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m
【答案】B
【分析】首先证明四边形ACDF是矩形，利用∠PBE的正弦值可求出AC的长，即可得DF的长，利用∠PEB的正切值即可得答案．
【详解】∵FD⊥AB，AC⊥EB，∴DF∥AC，∵AF∥EB，∴四边形ACDF是平行四边形，
∵∠ACD＝90°，∴四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠ABE=43°，∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），∴DF＝AC＝1.12（m），
在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∠PEB=20°，∴tan∠PEB＝≈0.4，∴DE≈＝2.8（m），故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用及矩形的判定与性质，熟练掌握各三角函数的定义是解题关键．
2．（2020·山西中考真题）图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形和是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称，和均垂直于地面，扇形的圆心角，半径，点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为．

（1）求闸机通道的宽度，即与之间的距离（参考数据：，，）；（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．
【答案】（1）与之间的距离为；（2）一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．
【分析】（1）连接，并向两方延长，分别交，于点，,则，,根据的长度就是与之间的距离，依据解直角三角形，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度；
（2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据“一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟”列出分式方程求解即可；还可以设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程求解．
【详解】解：连接，并向两方延长，分别交，于点，．

由点与点在同一水平线上，，均垂直于地面可知，，，所以的长度就是与之间的距离．同时，由两圆弧翼成轴对称可得．
在中，，，，
，．
．与之间的距离为．
（1）解法一：设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人．
根据题意，得解，得．经检验是原方程的解 当时，
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．
解法二：设一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．
根据题意，得．解，得经检验是原方程的解．
答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数为人．
【点睛】本题考查了解直角三角形及列分式方程解应用题，关键是掌握含30度的直角直角三角形的性质．

1．（2020·浙江金华市·中考真题）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β，则tanβ的值是______．

【答案】
【分析】作AT//BC，过点B作BH⊥AT于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为a，边心距=a，然后再.求出BH、AH即可解答．
【详解】解：如图，作AT//BC，过点B作BH⊥AT于H，设正六边形的边长为a，则正六边形的半径为a，边心距=a

观察图像可知：
所以tanβ＝．故答案为．
【点睛】本题考查了正六边形的性质和解直角三角形的应用，解题的关键在于正确添加常用辅助线、构造直角三角形求解．
2．（2020·贵州遵义市·中考真题）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　）

A． B．﹣1 C． D．
【答案】B
【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.
【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝，
故选：B.

【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.







1．（2020·广西河池市·中考真题）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．
【详解】解：如图所示：∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，∴，
∴．故选：D．

【点睛】本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，解题的关键是理解三角函数的定义．
2．（2020·四川南充市·中考真题）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．
【详解】解：如图，作BD⊥AC于D，由勾股定理得，，
∵，∴，
∴．故选：B．

【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．
3．（2020·山东泰安市·中考真题）如图，四边形是一张平行四边形纸片，其高，底边，，沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形，若，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点F作，AG=2，，可得BG=FM=2，令AF=x，根据，根据正切值可得EM的长，加起来等于BC即可得到结果．
【详解】如图所示，过点F作交BC于点M，

∵，，AG=2，∴BG=FM=2，AF=GM，令AF=x，
∵两个梯形全等，∴AF=GM=EC=x，又∵，∴，∴，
又∵BC=6，∴，∴．故答案选D．
【点睛】本题主要考查了利用特殊角的三角函数值及三角函数的意义进行求解，准确根据全等图形的性质判断边角是解题的关键．
4．（2020·湖南长沙市·中考真题）从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（ ）
A．米 B．米 C．21米 D．42米
【答案】A
【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
【详解】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42（米）.故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
5．（2020·广东深圳市·中考真题）如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）

A．200tan70°米 B．米 C．200sin70°米 D． 米
【答案】B
【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．
【详解】解：在Rt△PQT中，∵∠QPT=90°，∠PQT=90°-70°=20°，∴∠PTQ=70°，
∴，∴，即河宽米，故选：B．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．
6．（2020·贵州黔西南布依族苗族自治州·中考真题）如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（ ）
A．米 B．4sinα米 C．米 D．4cosα米

【答案】B
【分析】过点A′作A′C⊥AB于点C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【详解】解：如答图，过点A′作A′C⊥AB于点C．在Rt△OCA′，sinα＝，所以A′C＝A′O·sinα．由题意得A′O＝AO＝4，所以A′C＝4sinα，因此本题选B．

【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
7．（2020·湖北孝感市·中考真题）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算的长为______．（结果保留根号）

【答案】
【分析】如图（见解析），先在中，解直角三角形可求出CF的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得DE的长，从而可得CE的长，然后根据线段的和差即可得．
【详解】如图，过A作，交DF于点E，则四边形ABFE是矩形

由图中数据可知，，，，
在中，，即解得
是等腰三角形

则的长为故答案为：．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的判定与性质等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键．
8．（2020·四川乐山市·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为4． 则自动扶梯的垂直高度=_________．（结果保留根号）

【答案】
【分析】先推出∠ABC=∠BAC，得BC=AC=4，然后利用三角函数即可得出答案．
【详解】∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°，∠BAC=30°，
∴∠ABC=30°，∴∠ABC=∠BAC，∴BC=AC=4，
在Rt△BCD中，BD=BCsin60°=4×=，故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，得出BC=AB=4是解题关键．
9．（2020·湖南湘潭市·中考真题）计算：________．
【答案】
【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可．
【详解】故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键．
10．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）如图所示，在四边形中，，，．连接，，若，则长度是_________．

【答案】10
【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算，再在直角三角形中，利用勾股定理即可求出．
【详解】解：在中，

∵，∴．
在中，．故答案为：10．
【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的边角间关系，求出AC是解决本题的关键．
11．（2020·江苏泰州市·中考真题）如图，点在反比例函数的图像上且横坐标为，过点作两条坐标轴的平行线，与反比例函数的图像相交于点、，则直线与轴所夹锐角的正切值为______．

【答案】
【分析】由题意，先求出点P的坐标，然后表示出点A和点B的坐标，即可求出答案．
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上且横坐标为，∴点P的坐标为：（1，3），

如图，AP∥x轴，BP∥y轴，∵点A、B在反比例函数的图像上，
∴点A为（），点B为（1，），∴直线与轴所夹锐角的正切值为：
；故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，解直角三角形的应用，解题的关键是掌握反比例函数的性质与一次函数的性质进行解题．
12．（2020·山东枣庄市·中考真题）如图，人字梯，的长都为2米.当时，人字梯顶端高地面的高度是____米（结果精确到.参考依据：，，）

【答案】1.5.
【分析】在中，根据锐角三角函数正弦定义即可求得答案.
【详解】在中，∵，，∴，
∴.故答案为1.5.
【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
13．（2020·浙江金华市·中考真题）图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC，BD（点A与点B重合），点O是夹子转轴位置，OE⊥AC于点E，OF⊥BD于点F，OE=OF=1cm，AC=BD=6cm， CE=DF， CE:AE=2:3.按图示方式用手指按夹子，夹子两边绕点O转动．
(1)当E，F两点的距离最大值时，以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长是_____ cm．
(2)当夹子的开口最大（点C与点D重合）时，A，B两点的距离为_____cm．

【答案】16
【分析】（1）当E、O、F三点共线时，E、F两点间的距离最大，此时四边形ABCD是矩形，可得AB=CD=EF=2cm，根据矩形的性质求出周长即可．（2）当夹子的开口最大（点C与D重合）时，连接OC并延长交AB于点H，可得，AH=BH，利用已知先求出，在Rt△OEF中利用勾股定理求出CO的长，由，求出AH，从而求出AB=2AH的长．
【详解】（1）当E、O、F三点共线时，E、F两点间的距离最大，此时四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=EF=2cm，∴以点A，B，C，D为顶点的四边形的周长为2+6+2+6=16cm．
（2）当夹子的开口最大（点C与D重合）时，连接OC并延长交AB于点H，∴，AH=BH，

∵AC=BD=6cm，CE∶AE=2∶3，∴，在Rt△OEF中，，
∵，，∴AB=2AH=．故答案为16，．
【点睛】本题主要考查了勾股定理与旋转的结合，做题时准确理解题意利用已知的直角三角形进行求解是解题的关键．
14．（2020·吉林长春市·中考真题）如图，在中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、．（1）求证：．（2）若，，求的值．

【答案】（1）见解析1；（2）
【分析】（1）根据题意由平行四边形性质得，由ASA证得，即可得出结论；
（2）根据题意由（1）得OE=OF，则OE=2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果．
【详解】解：（1）证明：在中，
∵，∴∴
又∵∴∴
（2）∵，∴ ∵∴
在中，，.
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键．
81．（2020·湖南湘潭市·中考真题）为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形为矩形，，其坡度为，将步梯改造为斜坡，其坡度为，求斜坡的长度．（结果精确到，参考数据：，）

【答案】斜坡AF的长度为20.61米．
【分析】先由DE的坡度计算DC的长度，根据矩形性质得AB长度，再由AF的坡度得出BF的长度，根据勾股定理计算出AF的长度．
【详解】∵，其坡度为，∴在中，∴解得
∵四边形ABCD为矩形∴∵斜坡的坡度为∴∴
在中，（m）∴斜坡的长度为20.61米．
【点睛】本题考查了坡度的概念，及用勾股定理解直角三角形的用法，熟知以上知识点是解题的关键．
15．（2020·贵州贵阳市·中考真题）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，）

（1）求屋顶到横梁的距离；（2）求房屋的高（结果精确到）．
【答案】（1）4.2米；（2）14米
【分析】（1）可得，在中由即可求AG；
（2）设，利用三角函数由x表示DH、CH，由DH-CH=8列方程即可求解．
【详解】解：（1）∵房屋的侧面示意图是轴对称图形，所在直线是对称轴，，
∴，，．
在中，，，∵，，．
∴（米）答：屋顶到横梁的距离约是4.2米．
（2）过点作于点，设，在中，，，

∵，∴，在中，，，
∵，∴．∵，∴，
∵，，解得．
∴（米）答：房屋的高约是14米．
【点睛】本题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解仰角的定义，然后构造直角三角形利用三角函数和已知条件列方程解决问题．
16．（2020·安徽中考真题）如图，山顶上有一个信号塔，已知信号塔高米，在山脚下点处测得塔底的仰角，塔顶的仰角．求山高(点在同一条竖直线上)．(参考数据： )

【答案】75米
【分析】设山高CD=x米，先在Rt△BCD中利用三角函数用含x的代数式表示出BD，再在Rt△ABD中，利用三角函数用含x的代数式表示出AD，然后可得关于x的方程，解方程即得结果．
【详解】解：设山高CD=x米，则在Rt△BCD中，，即，
∴，在Rt△ABD中，，即，
∴，∵AD－CD=15，∴1.2x－x=15，解得：x=75．∴山高CD=75米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握三角函数的知识是解题的关键．
17．（2020·山东德州市·中考真题）如图，无人机在离地面60米的C处，观测楼房顶部B的俯角为30°，观测楼房底部A的俯角为60°，求楼房的高度．

【答案】这栋楼高为40米
【分析】过点B作交于点E，解，求出AD，即可求出BE，解中，求出CD，问题得解．
【详解】解：过点B作交于点E，由题意知，．
在中，，∴，∴，
在中，，∴，
∴，∴（米）．答：这栋楼高为40米．

【分析】本题考查了解直角三角形应用-测高问题，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，应用已知条件解直角三角形．
18．（2020·海南中考真题）为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图， 隧道在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道米的高度上水平飞行，到达点处测得点的俯角为继续飞行米到达点处，测得点的俯角为．

（1）填空：__________度，_________度；
（2）求隧道的长度(结果精确到米)．(参考数据：)
【答案】（1）30，45；（2）2729米
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求解即可；（2）过点作于点过点作于点.在中求出AM的值，在中求出NB的值，进而可求隧道的长度.
【详解】解:（1）由题意知PQ//AB，∴∠A=30°，∠B=45°，故答案为：30，45；
（2）过点作于点过点作于点.

则米，米，
在中，，.
在中，，，
(米).答:隧道的长度约为米.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．
19．（2020·山东菏泽市·中考真题）某兴趣小组为了测量大楼的高度，先沿着斜坡走了米到达坡顶点处，然后在点处测得大楼顶点的仰角为，已知斜坡的坡度为，点到大楼的距离为米，求大楼的高度．（参考数据：，，）

【答案】大楼的高度为52米
【分析】过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F，在Rt△ABE中，根据坡度及勾股定理求出BE和AE的长，进而由三个角是直角的四边形是矩形判断四边形BEDF是矩形，得到BF和FD的长，再在Rt△BCF中，根据∠CBF的正切函数解直角三角形，得到CF的长，由CD=CF+FD得解．
【详解】解：如下图，过点B作BE⊥AD于点E，作BF⊥CD于点F，在Rt△ABE中，AB=52，

∵∴tan∠BAE==，∴AE=2.4BE，
又∵BE2+AE2=AB2，∴BE2+(2.4BE)2=522，解得：BE=20，∴AE=2.4BE=48；
∵∠BED=∠D=∠BFD=90°，∴四边形BEDF是矩形，∴FD=BE=20，BF=ED=AD-AE=72-48=24；
在Rt△BCF中， tan∠CBF=，即：tan53°==∴CF=BF=32，
∴CD=CF+FD=32+20=52．答：大楼的高度为52米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握仰角的定义，准确确定合适的直角三角形并且根据勾股定理或三角函数列出方程是解题的关键．
20．（2020·内蒙古中考真题）如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地当他由A地出发时，发现他的北偏东方向有一电视塔P，他由A地向正北方向骑行了到达B地，发现电视塔P在他北偏东方向，然后他由B地向北偏东方向骑行了到达C地．（1）求A地与电视塔P的距离；（2）求C地与电视塔P的距离．

【答案】（1）AP=；（2）6
【分析】（1）由题意知：∠A=45°，∠NBC=15°，∠NBP=75°，过点B作BE⊥AP于点E，求出AE=BE=3；
（2）先利用三角函数求出BP=6，继而根据方位角求得∠CBP=60°，结合BC=6，即可证得△BCP是等边三角形，从而求得答案．
【详解】（1）由题意知：∠A=45°，∠NBC=15°，∠NBP=75°，过点B作BE⊥AP于点E，如图，
在Rt△ABE中，∠ABE=90°-45°=45°，∴AE=BE，∵，∴AE=BE=3，
在Rt△BEP中，∠EBP=180°-∠ABE-∠NBP=60°，∴PE=，∴AP=AE+PE=；

（2）∵BE=3，∠BEP=90°，∠EBP=60°，∴BP=，
又∵∠CBP=∠NBP-∠NBC=75°-15°=60°，BC=6，∴△BCP是等边三角形，∴CP=BP=6．
【点睛】此题考查锐角三角函数的实际应用，方位角的运用，等边三角形的判定及性质，根据题意明确各角度及线段，正确计算即可解决问题．
21．（2020·浙江绍兴市·中考真题）如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m．（1）若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长．（2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【答案】（1）6.9m；（2）当∠AFE由60°变为74°时，棚宽BC是减少了，减少了0.5m．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠AFE＝60°,连接MF并延长交AE于K，则FM＝2FK，求得,于是得到结论;（2）解直角三角形即可得到结论.
【详解】解：（1）∵AE＝EF＝AF＝1,∴△AEF是等边三角形,∴∠AFE＝60°,
连接MF并延长交AE于K，则FM＝2FK,∵△AEF是等边三角形,∴AK＝,
∴,∴FM＝2FK＝,∴BC＝4FM＝4≈6.92≈6.9（m）;
（2）∵∠AFE＝74°,∴∠AFK＝37°,∴KF＝AF•cos37°≈0.80,
∴FM＝2FK＝1.60,∴BC＝4FM＝6.40＜6.92,6.92﹣6.40＝0.5,
答：当∠AFE由60°变为74°时,棚宽BC是减少了，减少了0.5m.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用,观察图形,发现直角三角形是解题的关键.
22．（2020·山东烟台市·中考真题）今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．

（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：
测量对象
男性（18～60岁）
女性（18～55岁）
抽样人数（人）
2000
5000
20000
2000
5000
20000
平均身高（厘米）
173
175
176
164
165
164
根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用　 　厘米，女性应采用　 　厘米；（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点P距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆AB，AC的连接点A处，A点距地面110厘米．臂杆落下时两端点B，C在同一水平线上，BC＝100厘米，点C在点P的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．（参考数据表）
计算器按键顺序
计算结果（近似值）
计算器按键顺序
计算结果（近似值）

0.1

78.7

0.2

84.3

1.7

5.7

3.5

11.3
【答案】（1）176，164；（2）157.4°
【分析】（1）根据样本平均数即可解决问题；（2）根据等腰三角形的性质得出FC，由题意得到AF，即可求出tan∠FAC，根据表格即可得出∠FAC，即可得出答案．
【详解】解：（1）用表格可知，男性应采用176厘米，女性应采用164厘米，故答案为：176，164；
（2）如图2中，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝FC＝50cm，∠FAC＝∠FAB，
由题意AF＝10cm，∴tan∠FAC＝＝＝5，∴∠FAC＝78.7°，
∴∠BAC＝2∠FAC＝157.4°，答：两臂杆的夹角为157.4°．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，样本平均数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．





















1．（2020·湖北荆州市·中考真题）如图，在 正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是的外接圆，则的值是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC=∠BDC，根据余弦的定义解答即可．
【详解】解：如图，作直径BD，连接CD， 由勾股定理得，
在Rt△BDC中，cos∠BDC= 由圆周角定理得，∠BAC=∠BDC，
∴cos∠BAC=cos∠BDC=故选：B．

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握勾股定理的应用，圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．
2．（2020·天津中考真题）2sin45°的值等于（ 　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【详解】解：2sin45°=2×故选B
3．（2020·湖南娄底市·中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）

A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
【答案】A
【分析】根据杠杆原理及的值随着的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．
【详解】解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，
∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，∴动力随着动力臂的增大而减小，
∵杠杆向下运动时的度数越来越小，此时的值越来越大，
又∵动力臂，∴此时动力臂也越来越大，∴此时的动力越来越小，故选：A．
【点睛】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．
4．（2020·四川广元市·中考真题）规定：给出以下四个结论：（1） ；（2）；（3） ；（4）其中正确的结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论．
【详解】解：（1），故此结论正确；
（2），故此结论正确；
（3）故此结论正确；
（4）==
，故此结论错误.故选：C．
【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式.
5．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图①，AB＝5，射线AM∥BN，点C在射线BN上，将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，点P，Q分别在射线AM、BN上，PQ∥AB．设AP＝x，QD＝y．若y关于x的函数图象（如图②）经过点E(9，2)，则cosB的值等于（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得四边形ABQP是平行四边形，可得AP＝BQ＝x，由图象②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，可求BD＝7，由折叠的性质可求BC的长，由锐角三角函数可求解．
【详解】解：∵AM∥BN，PQ∥AB，∴四边形ABQP是平行四边形，∴AP＝BQ＝x，
由图②可得当x＝9时，y＝2，此时点Q在点D下方，且BQ＝x＝9时，y＝2，如图①所示，

∴BD＝BQ﹣QD＝x﹣y＝7，
∵将△ABC沿AC所在直线翻折，点B的对应点D落在射线BN上，
∴BC＝CD＝BD＝，AC⊥BD，∴cosB＝＝＝，故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识．理解函数图象上的点的具体含义是解题的关键．
6．（2020·山东烟台市·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan∠DAE的值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质得AF＝AD＝BC=5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理可求出BF的长，则CF可得，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可得到x，进一步可得DE的长，再根据正切的定义即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF＝，∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x 在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝，
∴DE＝EF＝3﹣x＝，∴tan∠DAE＝，故选：D．

【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、锐角三角函数和勾股定理等知识，属于常考题型，灵活运用这些性质进行推理与计算是解题的关键．
6．（2020·浙江温州市·中考真题）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（ ）

A．(1.5＋150tan)米 B．(1.5＋)米 C．(1.5＋150sin)米 D．(1.5＋)米
【答案】A
【分析】过点A作AE⊥BC于E，则BE可由仰角的正切值求得，再加上AD的长即为BC的长．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，

可知AE=DC=150，EC=AD=1.5，
∵塔顶的仰角为，∴，∴，
∴，故选：A．
【点睛】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
7．（2020·湖南株洲市·中考真题）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点，则此时线段CA扫过的图形的面积为（ ）

A． B．6 C． D．
【答案】D
【分析】求线段CA扫过的图形的面积，即求扇形ACA1的面积.
【详解】解：由题意，知AC=4,BC=4-2=2,∠A1BC=90°.由旋转的性质，得A1C=AC=4.
在Rt△A1BC中，cos∠ACA1==.∴∠ACA1=60°.∴扇形ACA1的面积为=.
即线段CA扫过的图形的面积为.故选：D
【点睛】此题考查了扇形面积的计算和解直角三角形，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．
8．（2020·湖南湘西土家族苗族自治州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边．则点C到x轴的距离等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作CE⊥y轴于E．解直角三角形求出OD，DE即可解决问题．
【详解】作CE⊥y轴于E．

在Rt△OAD中，∵∠AOD=90°，AD=BC=，∠OAD=，∴OD=，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，∴∠CDE+∠ADO=90°，
又∵∠OAD+∠ADO=90°，∴∠CDE=∠OAD=，∴在Rt△CDE中，
∵CD=AB=，∠CDE=，∴DE=，
∴点C到轴的距离=EO=DE+OD=，故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
9．（2020·江苏苏州市·中考真题）如图，小明想要测量学校操场上旗杆的高度，他作了如下操作：（1）在点处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角；（2）量得测角仪的高度；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长CE交AB于F，得四边形CDBF为矩形，故CF=DB=b，FB=CD=a，在直角三角形ACF中，利用CF的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF的长，从而可求出旗杆AB的长．
【详解】延长CE交AB于F，如图，根据题意得，四边形CDBF为矩形，∴CF=DB=b，FB=CD=a，
在Rt△ACF中，∠ACF=α，CF=b，tan∠ACF= ∴AF=,
AB=AF+BF=，故选：A．

【点睛】主要考查了利用了直角三角形的边角关系来解题，通过构造直角三角形，将实际问题转化为数学问题是解答此类题目的关键所在．
10．（2020·贵州黔南布依族苗族自治州·中考真题）如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角为55°，测角仪的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆的高度为x米，则下列关系式正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据仰角的定义和锐角三角函数解答即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，，，故选：B．
【点睛】本题考查了锐角三角函数和解直角三角形的实际应用．注意数形结合思想的应用．
11．（2020·山东菏泽市·中考真题）如图，在中，，点为边的中点，连接，若，，则的值为______．

【答案】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到DC=DB，∠DCB=∠B，根据锐角三角函数的定义即可求解．
【详解】∵∠ACB=90°，BC=4，CD=3，点D是AB边的中点，∴DC=DB，
∴∠DCB=∠B，AB=2CD=6，∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半和三角函数的定义是解题的关键．
12．（2020·江苏常州市·中考真题）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形中，．如图，建立平面直角坐标系，使得边在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是_________．

【答案】(2，)
【分析】根据菱形的性质可知AD=AB=CD=2，∠OAD=60°，由三角函数即可求出线段OD的长度，即可得到答案．
【详解】解：∵四边形为菱形，∴AD=AB=CD=2，
∵∴在Rt△DOA中，
∴OD=∴点C的坐标是(2，)．故答案为：(2，)．
【点睛】本题考查了平面直接坐标系中直角三角形的计算问题，以及菱形的性质，熟练掌握特殊三角函数值是解题关键．
13．（2020·山东潍坊市·中考真题）如图，矩形中，点G，E分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点B，C恰好落在上的同一点，记为点F．若，则_______．

【答案】
【分析】根据折叠的性质结合勾股定理求得GE，BC=AD=8，证得Rt△EGFRt△EAG，求得，再利用勾股定理得到DE的长，即可求解．
【详解】矩形中，GC=4，CE =3，∠C=90，∴GE=，

根据折叠的性质：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=3，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，∠GFE =∠C=90，
∴BG=GF=GC=4，∴BC=AD=8，∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180，∴∠AGE=90，
∴Rt△EGFRt△EAG，∴，即，∴，
∴DE=，∴，故答案为：．
【点睛】本考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的知识等，利用勾股定理和相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．
14．（2020·山东济宁市·中考真题）如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1：,则斜坡AB的长是__________米．

【答案】
【分析】首先根据题意得出∠ABF=30°，进而得出∠PBA=90°，∠BAP=45°，再利用锐角三角函数关系求出即可．
【详解】解：如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，
∵斜面坡度为1：，∴tan∠ABF=，∴∠ABF=30°，
∵在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，
∴∠HPB=30°，∠APB=45°，∴∠HBP=60°，∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，∴PB=AB，
∵PH=30m，sin60°=，解得：PB=，故AB=m，故答案为：.

【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出PB=AB是解题关键．
15．（2020·浙江绍兴市·中考真题）如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连结BD．若BD的长为2，则m的值为_____．

【答案】2或2．
【分析】由作图知，点D在AC的垂直平分线上，得到点B在AC的垂直平分线上，求得BD垂直平分AC，设垂足为E，得到BE＝，当点D、B在AC的两侧时，如图，证出BE＝DE，即可求出m；当点D、B在AC的同侧时，如图，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：由作图知，点D在AC的垂直平分线上，
∵△ABC是等边三角形，∴点B在AC的垂直平分线上，∴BD垂直平分AC，
设垂足为E，∵AC＝AB＝2，∴BE＝AB·sin60°=，
当点D、B在AC的两侧时，如图，∵BD＝2，∴BE＝DE，∴AD＝AB＝2，∴m＝2；
当点D、B在AC的同侧时，如图，∵＝2，∴＝3，∴＝＝2，
∴m＝2，综上所述，m的值为2或2，故答案为：2或2．

【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、垂直平分线的性质、锐角三角函数和勾股定理，掌握等边三角形的性质、垂直平分线的性质、分类讨论的数学思想、锐角三角函数和勾股定理是解决此题的关键．
16．（2020·江苏南通市·中考真题）如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为_____m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【答案】7.5
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为点E，根据正切进行求解即可；
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝BC＝5，DC＝BE＝1.5，
在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝，∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），
∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米），故答案为：7.5．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，准确构造直角三角形是解题的关键．
17．（2020·河南中考真题）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文化遗产之一．

某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度．如图所示，他们在地面一条水 平步道上架设测角仪，先在点处测得观星台最高点的仰角为，然后沿方向前进到达点处，测得点的仰角为．测角仪的高度为，
求观星台最高点距离地面的高度(结果精确到．参考数据： )；
“景点简介”显示，观星台的高度为，请计算本次测量结果的误差，并提出一条减小误差的合理化建议．
【答案】（1）12.3m；（2）0.3m，多次测量，求平均值
【分析】（1）过点A作AE⊥MN交MN的延长线于点E，交BC的延长线于点D，根据条件证出四边形BMNC为矩形、四边形CNED为矩形、三角形ACD与三角形ABD均为直角三角形，设AD的长为xm，则CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，在Rt△ABD中，解直角三角形求得AD的长度，再加上DE的长度即可；
（2）根据（1）中算的数据和实际高度计算误差，建议是多次测量求平均值．
【详解】解：（1）如图，过点A作AE⊥MN交MN的延长线于点E，交BC的延长线于点D，

设AD的长为xm，∵AE⊥ME，BC∥MN，∴AD⊥BD，∠ADC=90°，
∵∠ACD=45°，∴CD=AD=xm，BD=BC+CD=（16+x）m，由题易得，四边形BMNC为矩形，
∵AE⊥ME，∴四边形CNED为矩形，∴DE=CN=BM=，
在Rt△ABD中，，解得：，
即AD=10.7m，AE=AD+DE=10.7+1.6=12.3m，答：观星台最高点距离地面的高度为12.3m．
（2）本次测量结果的误差为：12.6-12.3=0.3m，减小误差的合理化建议：多次测量，求平均值．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
18．（2020·江苏镇江市·中考真题）如图，点E与树AB的根部点A、建筑物CD的底部点C在一条直线上，AC＝10m．小明站在点E处观测树顶B的仰角为30°，他从点E出发沿EC方向前进6m到点G时，观测树顶B的仰角为45°，此时恰好看不到建筑物CD的顶部D（H、B、D三点在一条直线上）．已知小明的眼睛离地面1.6m，求建筑物CD的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，≈1.73．）

【答案】19.8m．
【分析】延长FH，交CD于点M，交AB于点N，求CD，只需求出DM即可，即只要求出HN就可以，在Rt△BNF中，设BN＝NH＝x，则根据tan∠BFN＝就可以求出x的值，再根据等腰直角三角形的性质和线段的和可求得CD的长．
【详解】解：如图，延长FH，交CD于点M，交AB于点N，

∵ ∠BHN＝45°，BA⊥MH，则BN＝NH，设BN＝NH＝x，
∵ HF＝6，∠BFN＝30°，且tan∠BFN＝＝，∴tan30°＝，解得x≈8.22，
根据题意可知：DM＝MH＝MN+NH，∵ MN＝AC＝10，则DM＝10+8.22＝18.22，
∴ CD＝DM+MC＝DM+EF＝18.22+1.6＝19.82≈19.8（m）．答：建筑物CD的高度约为19.8m．
【点睛】本题考查解直角三角形应用-仰角俯角问题，理解仰角俯角的概念，根据题意构造直角三角形，利用锐角三角函数解直角三角形是解答的关键．
19．（2020·浙江舟山市·中考真题）为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向．测量方案与数据如下表：
课题
测量河流宽度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案示意图



说明
点B，C在点A的正东方向
点B，D在点A的正东方向
点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向．
测量数据
BC＝60m，
∠ABH＝70°，
∠ACH＝35°．
BD＝20m，
∠ABH＝70°，
∠BCD＝35°．
BC＝101m，
∠ABH＝70°，
∠ACH＝35°．
（1）哪个小组的数据无法计算出河宽？（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到0.1m）．（参考数据：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70）

【答案】（1）第二个小组的数据无法计算河宽；（2）河宽为56.4m
【分析】（1）第二个小组的数据无法计算出河宽；（2）第一个小组：证明BC＝BH＝60m，解直角三角形求出AH即可．第三个小组：设AH＝xm，则CA＝，AB＝，根据CA+AB＝CB，构建方程求解即可．
【详解】解：（1）第二个小组的数据无法计算河宽；
（2）第一个小组的解法：
∵∠ABH＝∠ACH+∠BHC，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°，
∴∠BHC＝∠BCH＝35°，∴BC＝BH＝60m，∴AH＝BH•sin70°＝60×0.94≈56.4（m）．
第三个小组的解法：设AH＝xm，则CA＝，AB＝，
∵CA+AB＝CB，∴＝101，解得x≈56.4．答：河宽为56.4m．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用、等腰三角形的判定和性质等知识，弄清题意、列出方程是解答本题的关键．
20．（2020·湖北恩施土家族苗族自治州·中考真题）如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在处测得小岛位于其西北方向（北偏西方向），2小时后轮船到达处，在处测得小岛位于其北偏东方向．求此时船与小岛的距离（结果保留整数，参考数据：，）．

【答案】此时船与小岛的距离约为44海里
【分析】过P作PH⊥AB，设PH=x，由已知分别求PB、BH、AH，然后根据锐角三角函数求出x值即可求解
【详解】如图，过P作PH⊥AB，设PH=x，由题意，AB=60，∠PBH=30º，∠PAH=45º，
在Rt△PHA中，AH=PH=x,在Rt△PBH中，BH=AB-AH=60-x，PB=2x，
∴tan30º=，即，解得：，∴PB=2x=≈44（海里），
答：此时船与小岛的距离约为44海里．

【点睛】本题考查了直角三角形的应用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知识是解答本题的关键．
21．（2020·辽宁朝阳市·中考真题）为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是，第二组乘公交车，速度是，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）

【答案】第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地，理由见解析
【分析】法1：过点B作BD AC于D，在中证得，设，则，在中，，利用三角函数定义或勾股定理表示出AD的长，在中，利用三角函数表示出CD的长，由AD＋CD＝AC列出方程问题得解；法2与法1辅助组相同，不同点是法2是在BCD中，利用三角定义列方程求解．
【详解】方法1：解：作于D．依题意得，

，，，．
在中，，，，， ，
设，则，在中，，
，，，（或者由勾股定理得）
在中，，，，，
，，，，，
第一组用时：；第二组用时： ，∴第二组先到达目的地，
答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．
方法2：解：于点D，依题意得：，，．
，，在中，，
， ，设，则，由勾股定理得：，
，，在中，
，，，，，
第一组用时：；第二组用时：，第二组先到达目的地．
答：第一组用时1.5小时，第二组用时小时，第二组先到达目的地．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
22．（2020·宁夏中考真题）如图（1）放置两个全等的含有30°角的直角三角板与，若将三角板向右以每秒1个单位长度的速度移动（点C与点E重合时移动终止），移动过程中始终保持点B、F、C、E在同一条直线上，如图（2），与、分别交于点P、M，与交于点Q，其中，设三角板移动时间为x秒．

（1）在移动过程中，试用含x的代数式表示的面积；
（2）计算x等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？
【答案】（1）；（2）当时，重叠部分面积最大，最大面积是．
【分析】（1）解直角三角形ABC求得，设，可求，，根据三角形面积公式即可求出结论；（2）根据“”列出函数关系式，通过配方求解即可．
【详解】（1）解：因为中∴
∵ ∴∴为等边三角形
过点M作，垂足为点N．

在中，∴
根据题意可知∴
∴∴而
∴
（2）由（1）知
∴

所以当时，重叠部分面积最大，最大面积是
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，等边三角形的性质和判定，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
23．（2020·湖南益阳市·中考真题）沿江大堤经过改造后的某处横断面为如图所示的梯形，高米，斜坡的坡度，此处大堤的正上方有高压电线穿过，表示高压线上的点与堤面的最近距离（、、在同一直线上），在点处测得．
（1）求斜坡的坡角
（2）电力部门要求此处高压线离堤面的安全距离不低于米，请问此次改造是否符合电力部门的安全要求？（参考数据：，，，）

【答案】（1）45°；（2）此次改造符合电力部门的安全要求．
【分析】（1）根据坡度可求出α的值；
（2）延长AD交PC于点E，过点E作EF⊥BC于F，解直角三角形EFC求出CF的长得到HF的长，故可得DE的长，解直角三角形PDE得PD的长，再与18进行比较即可得到结论．
【详解】解（1）∵，∴；
（2）延长AD交PC于点E，过点E作EF⊥BC于F，如图，

则四边形DEFH是矩形，∴EF=DH=12m，DE=HF，∠HDE=∠EFH=∠DHF=90°，
∵α=45°，∴∠HDC=45°，∴HC=DH=12m，又∠PCD=26°，∴∠ECF=45°+26°=71°，
∴，即m，∴HF=HC-CF=12-4.14=7.86m， ∴DE=7.86m，
∵AE//BC，∴∠PED=∠PCH=71°，在Rt△PDE中，，即 ，
∴m，∴此次改造符合电力部门的安全要求．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
24．（2020·山东日照市·中考真题）阅读理解：
如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：sinA＝，sinB＝，可得＝＝c＝2R，即：＝＝＝2R，（规定sin90°＝1）．

探究活动：
如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么：　 　　 　（用＞、＝或＜连接），并说明理由．
事实上，以上结论适用于任意三角形．
初步应用：在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝8，求b．
综合应用：如图3，在某次数学活动中，小凤同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（≈1.732，sin15°＝）
【答案】探究活动：＝，＝，＝；初步应用：；综合应用：古塔高度约为36.6m．
【分析】探究活动：过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，根据圆周角定理和正弦概念即可得出，同理得出，从而得出答案；
初步应用：根据，得出，即可得出b的值；
综合应用：由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，可知∠ACB＝30°．设古塔高DC＝x，则BC＝，灾解直角三角形即可得出答案．
【详解】解：探究活动：，
理由如下：如图2，过点C作直径CD交⊙O于点D，连接BD，

∴∠A＝∠D，∠DBC＝90°，∴sinA＝sinD，sinD＝，∴，
同理可证：，∴；故答案为：＝，＝，＝．
初步应用：∵，∴，∴．
综合应用：由题意得：∠D＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝45°，AB＝100，∴∠ACB＝30°．
设古塔高DC＝x，则BC＝，
∵，∴，∴，
∴，∴古塔高度约为36.6m．
【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形，添加合适的辅助线是解题的关键．