高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.2 立体图形的直观图图片ppt课件

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1.直观图的概念把空间图形（平面图形和立体图形的统称）画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图。
【思考】直观图与立体图形之间有什么关系？提示：直观图与立体图形的形状往往不完全相同。在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的平面图形。
2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤（1）画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于O′，且使∠x′O′y′=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面。
（2）画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段。（3）取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半。
【思考】用斜二测画法画水平放置的平面图形时，原来平行的直线还平行吗？原来长度相等的线段长度还相等吗？
提示：用斜二测画法画水平放置的平面图形时，原来平行的直线仍然平行；原来长度相等的线段长度不一定相等，因为与x轴平行的线段，长度不变，与y轴平行的线段，长度减半。
3.空间几何体直观图的画法（1）画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴。（2）画底面：平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面。
（3）画侧棱：已知图形中平行于z轴（或在z轴上）的线段，在其直观图中平行性和长度都不变。（4）成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线。
【思考】空间几何体的直观图中实虚线表示什么意思？提示：在用斜二测画法画立体图形时，实线表示看得见的部分，虚线表示看不见（被遮挡）的部分。
【素养小测】1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）（1）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段，原来垂直的仍垂直。（　　）（2）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段，原来平行的仍平行。（　　）
（3）正方形的直观图为平行四边形。（　　）（4）梯形的直观图不是梯形。（　　）
提示：（1）×。由直观图的性质知，原来垂直的不一定垂直。（2）√。斜二测画法中平行关系不变。（3）√。利用斜二测画法，原来平行的线段仍然平行，所以正方形的直观图为平行四边形。（4）×。利用斜二测画法所得梯形的直观图仍是梯形。
2.如图所示为某一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的（　　）
【解析】选A。由直观图可知，该平面图形为两腰不平行且不与底边垂直的梯形。
3.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A=90°，则在直观图中∠A′=（　　）　　　　　A.45°B.135°C.45°或135°　D.90°
【解析】选C。在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′=45°或135°。
4.水平放置的△ABC的直观图如图所示，已知A′C′=3，B′C′=2，则AB边上的中线的实际长度为________。 
【解析】由于在直观图中∠A′C′B′=45°，则在原图形中∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5，AB边上的中线为2.5。答案：2.5
类型一　平面图形的直观图【典例】1.给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是（　　）①角的水平放置的直观图一定是角；②相等的角在直观图中仍相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行。A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
2.画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图。
【思维·引】1.按照用斜二测画法画水平放置的平面图形的要求逐个判断。2.按步骤画直观图。
【解析】1.选C。由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，所以④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都会发生改变，所以②③错。
2.画法：（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′=45°。
（2）以O′为中点在x′轴上取A′B′=AB，在y轴上取O′E′= OE，以E′为中点画线段C′D′∥x′轴，并使C′D′=CD。（3）连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图。
【内化·悟】画直观图时怎样建系，建系时应注意哪些问题？提示：建系时，要让尽可能多的点在坐标系上，另外还要注意对称原则。
【类题·通】　画平面图形的直观图的关键点及对策（1）关键点：画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置。（2）对策：首先画与坐标轴平行的线段（平行性不变），与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段。
【习练·破】用斜二测画法画如图所示边长为4cm的水平放置的正三角形的直观图。
【解析】（1）如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴。
（2）画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′=45°。在x′轴上截取O′B′=O′C′=OB=OC=2cm，在y′轴上取O′A′= OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示。
类型二　空间几何体的直观图的画法【典例】画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图。
【思维·引】本题所要画的是四棱锥的直观图，所以要先画轴，再画水平放置的正方形的直观图，再画侧棱，最后成图。
【解析】画法：（1）画轴。画Ox轴，Oy轴，Oz轴，∠xOy=45°（或135°），∠xOz=90°，如图。
（2）画底面。以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD。（3）画顶点。在Oz轴上截取OP使OP的长度等于原四棱锥的高。（4）成图。顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图。
【内化·悟】画立体图形的直观图时，要注意哪些问题？提示：画立体图形时，我们一般从一个底面开始建系，作图，画完底面后再画侧棱，全部画完后，把画图所作的辅助线擦掉，把遮挡住的部分改为虚线。
【类题·通】1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可。2.直观图画法口诀可以总结为：“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变。”
【习练·破】画底面半径为2，高为5的圆柱的直观图。【解析】画法：（1）画轴。画出x轴，y轴，z轴。
（2）在z轴上取点O′，使OO′等于5个单位长度，过O′作x轴的平行线O′x′，过O′作y轴的平行线O′y′。在x轴，x′轴上分别取点A，B，A′，B′，使OA=OB=O′A′=O′B′=2个单位长度，在y轴，y′轴上分别取C，D，C′，D′，使OC=OD=O′C′=O′D′=1个单位长度，画两个圆（椭圆形），即底面圆O和底面圆O′。
（3）连线。连接AA′，BB′，并擦去辅助线，则得到圆柱OO′。
类型三　直观图的还原与计算【典例】如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图。若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1= C1D1=2，A1D1=O′D1=1。试画出原四边形，并求原图形的面积。
【思维·引】逆用斜二测画法，还原原图形。先定点，再连线得原图，求面积。
【解析】如图建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD=O′D1=1；OC=O′C1=2。
在过点D与y轴平行的直线上截取DA=2D1A1=2。在过点A与x轴平行的直线上截取AB=A1B1=2。连接BC，便得到了原图形。由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB=2，CD=3，直角腰长为AD=2。所以面积为S= ×2=5。
【类题·通】1.直观图的还原技巧由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可。
2.直观图与原图面积之间的关系若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′= S或S=2 S′。利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积。
【习练·破】一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰为 ，上底边为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是________。 
【解析】如图所示，由已知斜二测直观图根据斜二测画法画出原平面图形，所以BC=B′C′=1，OA=O′A′=1+1+1=3，OC=2O′C′=2 ，所以这个平面图形的面积为 ×（1+3）×2 =4 。