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数学人教A版 (2019)10.3 频率与概率教案配套ppt课件
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这是一份数学人教A版 (2019)10.3 频率与概率教案配套ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了频率与概率，稳定于，3由所给数据得等内容，欢迎下载使用。
10.3.1 频率的稳定性
1.频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增加，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn（A）会逐渐 事件A发生的概率P（A），我们称频率的这个性质为频率的稳定性。
2.频率稳定性的作用可以用频率fn（A）估计概率P（A）。
【思考】频率和概率有什么区别和联系？提示：区别：（1）在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn（A）= 为事件A出现的频率。
（2）概率是度量随机事件发生的可能性大小的量。（3）频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性。联系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn（A）随着试验次数的增加稳定于概率P（A），因此可以用频率fn（A）来估计概率P（A）。
【素养小测】1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）（1）随机事件的频率和概率不可能相等。（ ）（2）随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化。（ ）（3）概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能。（ ）
提示：（1）×。二者可能相等。（2）×。频率会发生变化，是变量，而概率是不变的，是客观存在的。（3）×。频率和概率都能反映随机事件发生的可能性的大小。
2.某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的（ ）A.概率为 B.频率为 C.频率为8D.概率接近于8
【解析】选B。做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为 。如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率。故 为事件A的频率。
3.某地气象局预报说：明天本地降水的概率为80%，则下列解释正确的是（ ）A.明天本地有80%的区域降水，20%的区域不降水B.明天本地有80%的时间降水，20%的时间不降水C.明天本地降水的可能性是80%D.以上说法均不正确
【解析】选C。选项A，B显然不正确，因为明天本地降水的概率为80%不是说有80%的区域降水，也不是说有80%的时间降水，而是指降水的可能性是80%。
类型一 概率和频率的区别与联系【典例】下列说法正确的是（ ）A.由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女B.一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖C.10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大D.10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
【思维·引】根据概率的意义和概率与频率的联系解题。【解析】选D。一对夫妇生两个小孩可能是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确。
【内化·悟】区别概率和频率的关键是什么？提示：频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性。
【类题·通】 理解概率与频率应关注的三个方面（1）概率是随机事件发生的可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值。
（2）由频率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映。（3）正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系。对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件。
【习练·破】给出下列3种说法：①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面朝上，因此，抛一枚硬币出现正面朝上的概率是 ；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率。其中正确说法的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3
【解析】选A。由频率与概率之间的联系与区别知，①②③均不正确。
【加练·固】试解释下面情况中概率的意义：（1）某商场为促进销售，举办有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20；（2）一生产厂家称，我们厂生产的产品合格的概率是0.98。
【解析】（1）指购买一件其商品的顾客中奖的可能性是20%；（2）是说一件该厂生产的产品合格的可能性是98%。
类型二 频率与概率的计算【典例】某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如表所示：
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到统计表：
（1）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P（A）的估计值。（2）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”。求P（B）的估计值。（3）求续保人本年度平均保费的估计值。
【思维·引】根据频率的定义计算频率，并利用频率估计概率。【解析】（1）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2。由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为 =0.55，故P（A）的估计值为0.55。
（2）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4。由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为 =0.3，故P（B）的估计值为0.3。
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a。因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a。
【内化·悟】计算频率与概率的关键是什么？提示：分析题干数据，准确找到相关事件与总体基本事件。
【类题·通】1.解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率。2.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小。通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数（概率），因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值。
【习练·破】黄种人人群中各种血型的人数所占的比例如表：
已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血，若他因病需要输血，问：（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
【解析】（1）任找一人，其血型为A，B，AB，O型血分别记为事件A′，B′，C′，D′，它们是互斥的.由已知，有P（A′）=0.28，P（B′）=0.29，P（C′）=0.08，P（D′）=0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，故“任找一个人，其血可以输给小明”为事件B′∪D′，根据概率加法公式，得P（B′∪D′）=P（B′）+P（D′）=0.29+0.35=0.64。（2）由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件A′∪C′，且P（A′∪C′）=P（A′）+P（C′）=0.28+0.08=0.36。
【加练·固】某射手在同一条件下进行射击，结果如表所示：
（1）填写表中击中靶心的频率。（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
【解析】（1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91。（2）由于频率稳定在常数0.89附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.89。
类型三 游戏的公平性【典例】某校高二年级（1）、（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目。
（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘（如图所示），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜。该方案对双方是否公平？为什么？
【思维·引】计算和为偶数时的概率，概率是 就公平，否则不公平。【解析】该方案是公平的，理由如下：各种情况如表所示：
由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以（1）班代表获胜的概率P1= ，（2）班代表获胜的概率P2= ，即P1=P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的。
【素养·探】游戏中概率的计算常用到核心素养中的数学运算。1.在本例中，若把游戏规则改为：两人各转动转盘一次，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果是偶数，那么（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜。游戏规则公平吗？为什么？
【解析】不公平。因为乘积出现奇数的概率为 ，而出现偶数的概率为 。
2.若在本例中，转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字。游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜。猜数方案从以下两种方案中选一种：
A.猜“是奇数”或“是偶数”；B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”。请回答下列问题：
（1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？（2）为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？
【解析】（1）为了尽可能获胜，乙应选择方案B。猜“不是4的整数倍”，这是因为“不是4的整数倍”的概率为 =0.8，超过了0.5，故为了尽可能获胜，选择方案B。
（2）为了保证游戏的公平性，应当选择方案A，这是因为方案A是猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏的公平性。
【类题·通】 游戏公平性的标准及判断方法（1）游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同。若相同，则规则公平，否则就是不公平的。
（2）具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较。
【习练·破】甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是（ ）A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜D.甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
【解析】选B。对于A，C，D，甲胜、乙胜的概率都是 ，游戏是公平的；对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平。
10.3.2 随机模拟
1.产生随机数的方法（1）利用计算器或计算机软件产生随机数。（2）构建模拟试验产生随机数。2.蒙特卡洛方法利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法。
【思考】用频率估计概率时，用计算机模拟随机试验产生随机数有什么优点？
提示：用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法真正进行。因此利用计算机进行随机模拟试验就成为一种很重要的替代方法，它可以在短时间内多次重复地来做试验，不需要对试验进行具体操作，可以广泛应用到各个领域。
【素养小测】1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）（1）在用计算器模拟抛硬币试验时，假设计算器只能产生0～9之间的随机数，则可以用4，5，6，7，8，9来代表正面。（ ）
（2）用随机模拟试验估计事件的概率时，试验次数越多，所得的估计值越接近实际值。（ ）
提示：（1）×。正面出现的概率是 ，所以应该用其中的五个数表示正面。（2）√。次数越多越精确。
2.利用抛硬币产生随机数1和2，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2。小王抛两次，则出现的随机数之和为3的概率为（ ）
【解析】选A。抛掷硬币两次，产生的随机数的情况有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）共四种，其中随机数之和为3的情况有（1，2），（2，1）两种，故所求概率为 。
3.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%。现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示未命中；再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
【解析】选B。易知20组随机数中表示恰有两次命中的数据有191，271，932，812，393，所以P= =0.25。
类型一 随机数的产生方法【典例】要产生1～25之间的随机整数，你有哪些方法？【思维·引】设计摸球试验产生随机数，或利用电子表格软件模拟试验产生随机数。
【解析】方法一：可以把25个大小形状相同的小球分别标上1，2，3，…，24，25，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数，放回后重复以上过程，就得到一系列的1～25之间的随机整数。
方法二：可以利用计算机产生随机数，以Excel为例：（1）选定A1格，键入“=RANDBETWEEN（1，25）”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的；
（2）选定A1格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2至A100，点击粘贴，则在A2至A100的格中均为随机产生的1～25之间的数，这样我们很快就得到了100个1～25之间的随机数，相当于做了100次随机试验。
【内化·悟】随机数产生的方法有哪些？提示：（1）利用计算机产生；（2）构建随机试验产生，如掷硬币，摸球，抽签等。
【类题·通】 随机数产生的方法比较
【习练·破】某校高一年级共20个班，1200名学生，期中考试时如何把学生分配到40个考场中去？
【解析】要把1200人分到40个考场，每个考场30人，可用计算机完成。（1）按班级，学号顺序把学生档案输入计算机。（2）用随机函数按顺序给每个学生一个随机数（每人都不相同）。
（3）使用计算机的排序功能按随机数从小到大排列，可得到1200名学生的考试号0001，0002，…，1200，然后0001～0030为第一考场，0031～0060为第二考场，依次类推。
类型二 利用随机模拟法估计概率角度1 设计简单的随机试验估计概率【典例】盒中有大小，形状相同的5个白球，2个黑球，用随机模拟法求下列事件的概率：（1）任取一球，得到白球。（2）任取三球，都是白球。
【思维·引】产生7个随机数，其中5个表示白球，2个表示黑球，计算频率，然后估计概率。
【解析】用1，2，3，4，5表示白球，6，7表示黑球。（1）步骤：①利用计算器或计算机可以产生1到7的整数随机数，每一个数一组，统计组数n；②统计这n组数中小于6的组数m；③任取一球，得到白球的概率估计值是 。
（2）步骤：①利用计算器或计算机可以产生1到7的整数随机数，每三个数一组（每组数字不重复），统计组数a；②统计这a组数中，每个数字均小于6的组数b；③任取三球，都是白球的概率估计值是 。
角度2 设计较复杂的随机试验估计概率【典例】种植某种树苗，成活率为0.9，请采用随机模拟的方法估计该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率。写出模拟试验的过程，并求出所求概率。
【思维·引】用计算机产生10个随机数，用其中9个代表成活，1个代表没成活，5个随机数一组即可计算。
【解析】先由计算机随机函数RANDBETWEEN（0，9），或计算器的随机函数RANDI（0，9）产生0到9之间取整数值的随机数，指定1至9的数字代表成活，0代表不成活，再以每5个随机数为一组代表5次种植的结果。
经随机模拟产生随机数，例如，如下30组随机数：69801 66097 77124 22961 74235 3151629747 24945 57558 65258 74130 2322437445 44344 33315 27120 21782 5855561017 45241 44134 92201 70362 8300594976 56173 34783 16624 30344 01117
这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成活，共有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率近似为 =0.3。
【素养·探】在典例中若树苗的成活率为0.8，则5棵树苗至少有4棵成活的概率是多少？
【解析】利用计算器或计算机可以产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0和1代表不成活，2到9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.8。因为是种植5棵，所以每5个随机数作为一组，例如，产生20组随机数：
23065 37052 89021 34435 77321 3367401456 12346 22789 02458 99274 2265418435 90378 39202 17437 63021 6731020165 12328
这就相当于做了20次试验，在这些数组中，如果至多有一个是0或1的数组表示至少有4棵成活，共有15组，于是我们得到种植5棵树苗至少有4棵成活的概率近似为15÷20=0.75。
【类题·通】利用随机模拟估计概率应关注三点用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果。我们可以从以下三方面考虑：
（1）当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；（2）研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；（3）当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复。
【习练·破】甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率。
先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4，5表示甲获胜；6，7，8，9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6。因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组。例如，产生30组随机数：
034 743 738 636 964 736 614 698 637 162332 616 804 560 111 410 959 774 246 762428 114 572 042 533 237 322 707 360 751
据此估计乙获胜的概率为________。
【解析】产生30组随机数，就相当于做了30次试验。如果6，7，8，9中恰有2个或3个数出现，就表示乙获胜，它们分别是738，636，964，736，698，637，616，959，774，762，707。共11个。所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为 ≈0.367。答案：0.367
【加练·固】一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率。
【解析】用1，2，3，4，5，6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间（包括1和7）取整数值的随机数。因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组。如下，产生20组随机数：
666 743 671 464 571561 156 567 732 375716 116 614 445 117573 552 274 114 662
就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为 =0.1。
10.3.1 频率的稳定性
1.频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增加，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn（A）会逐渐 事件A发生的概率P（A），我们称频率的这个性质为频率的稳定性。
2.频率稳定性的作用可以用频率fn（A）估计概率P（A）。
【思考】频率和概率有什么区别和联系？提示：区别：（1）在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn（A）= 为事件A出现的频率。
（2）概率是度量随机事件发生的可能性大小的量。（3）频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性。联系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn（A）随着试验次数的增加稳定于概率P（A），因此可以用频率fn（A）来估计概率P（A）。
【素养小测】1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）（1）随机事件的频率和概率不可能相等。（ ）（2）随机事件的频率和概率都随着试验次数的变化而变化。（ ）（3）概率能反映随机事件发生可能性的大小，而频率则不能。（ ）
提示：（1）×。二者可能相等。（2）×。频率会发生变化，是变量，而概率是不变的，是客观存在的。（3）×。频率和概率都能反映随机事件发生的可能性的大小。
2.某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的（ ）A.概率为 B.频率为 C.频率为8D.概率接近于8
【解析】选B。做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率为 。如果多次进行试验，事件A发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A的概率。故 为事件A的频率。
3.某地气象局预报说：明天本地降水的概率为80%，则下列解释正确的是（ ）A.明天本地有80%的区域降水，20%的区域不降水B.明天本地有80%的时间降水，20%的时间不降水C.明天本地降水的可能性是80%D.以上说法均不正确
【解析】选C。选项A，B显然不正确，因为明天本地降水的概率为80%不是说有80%的区域降水，也不是说有80%的时间降水，而是指降水的可能性是80%。
类型一 概率和频率的区别与联系【典例】下列说法正确的是（ ）A.由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两个小孩，则一定为一男一女B.一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖C.10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大D.10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
【思维·引】根据概率的意义和概率与频率的联系解题。【解析】选D。一对夫妇生两个小孩可能是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确。
【内化·悟】区别概率和频率的关键是什么？提示：频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化，概率是一个定值，是某事件的固有属性。
【类题·通】 理解概率与频率应关注的三个方面（1）概率是随机事件发生的可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值。
（2）由频率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映。（3）正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系。对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件。
【习练·破】给出下列3种说法：①设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面朝上，因此，抛一枚硬币出现正面朝上的概率是 ；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率。其中正确说法的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3
【解析】选A。由频率与概率之间的联系与区别知，①②③均不正确。
【加练·固】试解释下面情况中概率的意义：（1）某商场为促进销售，举办有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20；（2）一生产厂家称，我们厂生产的产品合格的概率是0.98。
【解析】（1）指购买一件其商品的顾客中奖的可能性是20%；（2）是说一件该厂生产的产品合格的可能性是98%。
类型二 频率与概率的计算【典例】某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如表所示：
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到统计表：
（1）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P（A）的估计值。（2）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”。求P（B）的估计值。（3）求续保人本年度平均保费的估计值。
【思维·引】根据频率的定义计算频率，并利用频率估计概率。【解析】（1）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2。由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为 =0.55，故P（A）的估计值为0.55。
（2）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4。由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为 =0.3，故P（B）的估计值为0.3。
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a。因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a。
【内化·悟】计算频率与概率的关键是什么？提示：分析题干数据，准确找到相关事件与总体基本事件。
【类题·通】1.解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率。2.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小。通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数（概率），因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值。
【习练·破】黄种人人群中各种血型的人数所占的比例如表：
已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血，若他因病需要输血，问：（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
【解析】（1）任找一人，其血型为A，B，AB，O型血分别记为事件A′，B′，C′，D′，它们是互斥的.由已知，有P（A′）=0.28，P（B′）=0.29，P（C′）=0.08，P（D′）=0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，故“任找一个人，其血可以输给小明”为事件B′∪D′，根据概率加法公式，得P（B′∪D′）=P（B′）+P（D′）=0.29+0.35=0.64。（2）由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件A′∪C′，且P（A′∪C′）=P（A′）+P（C′）=0.28+0.08=0.36。
【加练·固】某射手在同一条件下进行射击，结果如表所示：
（1）填写表中击中靶心的频率。（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
【解析】（1）表中依次填入的数据为：0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91。（2）由于频率稳定在常数0.89附近，所以这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.89。
类型三 游戏的公平性【典例】某校高二年级（1）、（2）班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目。
（1）班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘（如图所示），设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜。该方案对双方是否公平？为什么？
【思维·引】计算和为偶数时的概率，概率是 就公平，否则不公平。【解析】该方案是公平的，理由如下：各种情况如表所示：
由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以（1）班代表获胜的概率P1= ，（2）班代表获胜的概率P2= ，即P1=P2，机会是均等的，所以该方案对双方是公平的。
【素养·探】游戏中概率的计算常用到核心素养中的数学运算。1.在本例中，若把游戏规则改为：两人各转动转盘一次，转盘停止后，两个指针指向的两个数字相乘，如果是偶数，那么（1）班代表获胜，否则（2）班代表获胜。游戏规则公平吗？为什么？
【解析】不公平。因为乘积出现奇数的概率为 ，而出现偶数的概率为 。
2.若在本例中，转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字。游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜。猜数方案从以下两种方案中选一种：
A.猜“是奇数”或“是偶数”；B.猜“是4的整数倍数”或“不是4的整数倍数”。请回答下列问题：
（1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你会选哪种猜数方案？（2）为了保证游戏的公平性，你认为应选哪种猜数方案？
【解析】（1）为了尽可能获胜，乙应选择方案B。猜“不是4的整数倍”，这是因为“不是4的整数倍”的概率为 =0.8，超过了0.5，故为了尽可能获胜，选择方案B。
（2）为了保证游戏的公平性，应当选择方案A，这是因为方案A是猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5，从而保证了该游戏的公平性。
【类题·通】 游戏公平性的标准及判断方法（1）游戏规则是否公平，要看对游戏的双方来说，获胜的可能性或概率是否相同。若相同，则规则公平，否则就是不公平的。
（2）具体判断时，可以求出按所给规则双方的获胜概率，再进行比较。
【习练·破】甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是（ ）A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜B.同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜D.甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
【解析】选B。对于A，C，D，甲胜、乙胜的概率都是 ，游戏是公平的；对于B，点数之和大于7和点数之和小于7的概率相等，但点数等于7时乙胜，所以甲胜的概率小，游戏不公平。
10.3.2 随机模拟
1.产生随机数的方法（1）利用计算器或计算机软件产生随机数。（2）构建模拟试验产生随机数。2.蒙特卡洛方法利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法。
【思考】用频率估计概率时，用计算机模拟随机试验产生随机数有什么优点？
提示：用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法真正进行。因此利用计算机进行随机模拟试验就成为一种很重要的替代方法，它可以在短时间内多次重复地来做试验，不需要对试验进行具体操作，可以广泛应用到各个领域。
【素养小测】1.思维辨析（对的打“√”，错的打“×”）（1）在用计算器模拟抛硬币试验时，假设计算器只能产生0～9之间的随机数，则可以用4，5，6，7，8，9来代表正面。（ ）
（2）用随机模拟试验估计事件的概率时，试验次数越多，所得的估计值越接近实际值。（ ）
提示：（1）×。正面出现的概率是 ，所以应该用其中的五个数表示正面。（2）√。次数越多越精确。
2.利用抛硬币产生随机数1和2，出现正面表示产生的随机数为1，出现反面表示产生的随机数为2。小王抛两次，则出现的随机数之和为3的概率为（ ）
【解析】选A。抛掷硬币两次，产生的随机数的情况有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2）共四种，其中随机数之和为3的情况有（1，2），（2，1）两种，故所求概率为 。
3.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%。现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示未命中；再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
【解析】选B。易知20组随机数中表示恰有两次命中的数据有191，271，932，812，393，所以P= =0.25。
类型一 随机数的产生方法【典例】要产生1～25之间的随机整数，你有哪些方法？【思维·引】设计摸球试验产生随机数，或利用电子表格软件模拟试验产生随机数。
【解析】方法一：可以把25个大小形状相同的小球分别标上1，2，3，…，24，25，放入一个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个，这个球上的数就称为随机数，放回后重复以上过程，就得到一系列的1～25之间的随机整数。
方法二：可以利用计算机产生随机数，以Excel为例：（1）选定A1格，键入“=RANDBETWEEN（1，25）”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的；
（2）选定A1格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2至A100，点击粘贴，则在A2至A100的格中均为随机产生的1～25之间的数，这样我们很快就得到了100个1～25之间的随机数，相当于做了100次随机试验。
【内化·悟】随机数产生的方法有哪些？提示：（1）利用计算机产生；（2）构建随机试验产生，如掷硬币，摸球，抽签等。
【类题·通】 随机数产生的方法比较
【习练·破】某校高一年级共20个班，1200名学生，期中考试时如何把学生分配到40个考场中去？
【解析】要把1200人分到40个考场，每个考场30人，可用计算机完成。（1）按班级，学号顺序把学生档案输入计算机。（2）用随机函数按顺序给每个学生一个随机数（每人都不相同）。
（3）使用计算机的排序功能按随机数从小到大排列，可得到1200名学生的考试号0001，0002，…，1200，然后0001～0030为第一考场，0031～0060为第二考场，依次类推。
类型二 利用随机模拟法估计概率角度1 设计简单的随机试验估计概率【典例】盒中有大小，形状相同的5个白球，2个黑球，用随机模拟法求下列事件的概率：（1）任取一球，得到白球。（2）任取三球，都是白球。
【思维·引】产生7个随机数，其中5个表示白球，2个表示黑球，计算频率，然后估计概率。
【解析】用1，2，3，4，5表示白球，6，7表示黑球。（1）步骤：①利用计算器或计算机可以产生1到7的整数随机数，每一个数一组，统计组数n；②统计这n组数中小于6的组数m；③任取一球，得到白球的概率估计值是 。
（2）步骤：①利用计算器或计算机可以产生1到7的整数随机数，每三个数一组（每组数字不重复），统计组数a；②统计这a组数中，每个数字均小于6的组数b；③任取三球，都是白球的概率估计值是 。
角度2 设计较复杂的随机试验估计概率【典例】种植某种树苗，成活率为0.9，请采用随机模拟的方法估计该树苗种植5棵恰好4棵成活的概率。写出模拟试验的过程，并求出所求概率。
【思维·引】用计算机产生10个随机数，用其中9个代表成活，1个代表没成活，5个随机数一组即可计算。
【解析】先由计算机随机函数RANDBETWEEN（0，9），或计算器的随机函数RANDI（0，9）产生0到9之间取整数值的随机数，指定1至9的数字代表成活，0代表不成活，再以每5个随机数为一组代表5次种植的结果。
经随机模拟产生随机数，例如，如下30组随机数：69801 66097 77124 22961 74235 3151629747 24945 57558 65258 74130 2322437445 44344 33315 27120 21782 5855561017 45241 44134 92201 70362 8300594976 56173 34783 16624 30344 01117
这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成活，共有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗恰有4棵成活的概率近似为 =0.3。
【素养·探】在典例中若树苗的成活率为0.8，则5棵树苗至少有4棵成活的概率是多少？
【解析】利用计算器或计算机可以产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0和1代表不成活，2到9的数字代表成活，这样可以体现成活率是0.8。因为是种植5棵，所以每5个随机数作为一组，例如，产生20组随机数：
23065 37052 89021 34435 77321 3367401456 12346 22789 02458 99274 2265418435 90378 39202 17437 63021 6731020165 12328
这就相当于做了20次试验，在这些数组中，如果至多有一个是0或1的数组表示至少有4棵成活，共有15组，于是我们得到种植5棵树苗至少有4棵成活的概率近似为15÷20=0.75。
【类题·通】利用随机模拟估计概率应关注三点用整数随机数模拟试验估计概率时，首先要确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果。我们可以从以下三方面考虑：
（1）当试验的基本事件等可能时，基本事件总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件；（2）研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数；（3）当每次试验结果需要n个随机数表示时，要把n个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字能否重复。
【习练·破】甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，现采用随机模拟的方法估计乙获胜的概率。
先利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4，5表示甲获胜；6，7，8，9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6。因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组。例如，产生30组随机数：
034 743 738 636 964 736 614 698 637 162332 616 804 560 111 410 959 774 246 762428 114 572 042 533 237 322 707 360 751
据此估计乙获胜的概率为________。
【解析】产生30组随机数，就相当于做了30次试验。如果6，7，8，9中恰有2个或3个数出现，就表示乙获胜，它们分别是738，636，964，736，698，637，616，959，774，762，707。共11个。所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为 ≈0.367。答案：0.367
【加练·固】一个袋中有7个大小、形状相同的小球，6个白球，1个红球，现任取1个，若为红球就停止，若为白球就放回，搅拌均匀后再接着取，试设计一个模拟试验计算恰好第三次摸到红球的概率。
【解析】用1，2，3，4，5，6表示白球，7表示红球，利用计算器或计算机产生1到7之间（包括1和7）取整数值的随机数。因为要求恰好第三次摸到红球的概率，所以每三个随机数作为一组。如下，产生20组随机数：
666 743 671 464 571561 156 567 732 375716 116 614 445 117573 552 274 114 662
就相当于做了20次试验，在这些数组中，前两个数字不是7，第三个数字恰好是7就表示第一次、第二次摸到的是白球，第三次摸到的是红球，它们分别是567和117，共两组，因此恰好第三次摸到红球的概率约为 =0.1。
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