高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示精品综合训练题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示精品综合训练题，共6页。试卷主要包含了已知点A,B,C,D等内容，欢迎下载使用。

6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示


课后篇巩固提升


基础巩固


1.若a=(6,6),b=(5,7),c=(2,4),则下列结论成立的是( )





A.a-c与b共线B.b+c与a共线


C.a与b-c共线D.a+b与c共线


答案C


解析∵b=(5,7),c=(2,4),∴b-c=(3,3).


∴b-c=12a.∴a与b-c共线.


2.已知点A(-1,-5),向量a=(-1,0),b=(1,-1),当AB=a+2b时,点B的坐标为( )


A.(2,7)B.(0,-7)


C.(3,-6)D.(-4,5)


答案B


解析∵a=(-1,0),b=(1,-1),


∴a+2b=(-1,0)+2(1,-1)=(1,-2).


设点B的坐标为(x,y),


则AB=(x+1,y+5),


∴由已知得(x+1,y+5)=(1,-2),


∴x+1=1,y+5=-2,解得x=0,y=-7.


∴点B的坐标为(0,-7).


3.已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c等于( )


A.(-2,6)B.(-4,0)


C.(7,6)D.(-2,0)


答案D


解析∵a-3b+2c=0,


∴(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),


即2x-5+9=0,2y+6-6=0,∴x=-2,y=0,


即c=(-2,0).故选D.


4.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b与非零向量ma+nb共线,则mn等于( )


A.-2B.2C.-12D.12


答案C


解析因为向量a=(2,3),b=(-1,2),


所以a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),ma+nb=(2m-n,3m+2n).


因为a-2b与非零向量ma+nb共线,


所以2m-n4=3m+2n-1,解得14m=-7n,mn=-12.


5.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,则顶点D的坐标为( )


A.2,72B.2,-12


C.(3,2)D.(1,3)


答案A


解析设顶点D的坐标为(x,y),


因为BC=(4,3),AD=(x,y-2),且BC=2AD,


所以2x=4,2y-4=3,所以x=2,y=72,所以选A.


6.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .


答案12


解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),


由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=12.


7.已知平面向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,则3a+2b= .


答案(14,7)


解析因为向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,


所以1·m-2×2=0,解得m=4.所以b=(4,2).


故3a+2b=(6,3)+(8,4)=(14,7).


8.已知OA=(-2,m),OB=(n,1),OC=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n= .


答案9或92


解析 AB=OB-OA=(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),


BC=OC-OB=(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2).


因为A,B,C共线,所以AB与BC共线,


所以-2(n+2)=(1-m)(5-n).①


又m=2n,②


解①②组成的方程组得m=6,n=3或m=3,n=32.


所以m+n=9或m+n=92.


9.已知点A(-1,2),B(2,8),及AC=13AB,DA=-13BA,求点C,D和CD的坐标.


解设点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),


则AC=(x1+1,y1-2),AB=(3,6),DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6).


∵AC=13AB,DA=-13BA,∴(x1+1,y1-2)=13(3,6),(-1-x2,2-y2)=-13(-3,-6),


即(x1+1,y1-2)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=(1,2).


∴x1+1=1,y1-2=2,-1-x2=1,2-y2=2.∴x1=0,y1=4,x2=-2,y2=0.


∴点C,D的坐标分别为(0,4)和(-2,0).


故CD=(-2,-4).


10.已知点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).


(1)求实数x的值,使向量AB与CD共线;


(2)当向量AB与CD共线时,点A,B,C,D是否在一条直线上?


解(1)AB=(x,1),CD=(4,x).


∵AB∥CD,∴x2=4,x=±2.


(2)由已知得BC=(2-2x,x-1),


当x=2时,BC=(-2,1),AB=(2,1),


∴AB和BC不平行,此时A,B,C,D不在一条直线上.


当x=-2时,BC=(6,-3),AB=(-2,1),


∴AB∥BC,此时A,B,C三点共线.


又AB∥CD,∴A,B,C,D四点在一条直线上.


综上,当x=-2时,A,B,C,D四点在一条直线上.


11.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设AB=a,BC=b,CA=c,且CM=3c,CN=-2b.


(1)求3a+b-3c;


(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;


(3)求M,N的坐标及MN的坐标.


解a=AB=(5,-5),b=BC=(-6,-3),c=CA=(1,8).


(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).


(2)∵a=mb+nc,


∴(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8).


∴5=-6m+n,-5=-3m+8n,∴m=-1,n=-1.


(3)设M(x1,y1),由CM=3c,


得(x1+3,y1+4)=3(1,8),∴x1+3=3,y1+4=24.


∴x1=0,y1=20.∴M(0,20).


同理,设N(x2,y2),由CN=-2b,


得(x2+3,y2+4)=-2(-6,-3).


∴x2+3=12,y2+4=6,解得x2=9,y2=2.


∴N(9,2).∴MN=(9,-18).


12.





如图,已知△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),OC=14OA,OD=12OB,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.


解因为OC=14OA=14(0,5)=0,54,所以C0,54.因为OD=12OB=12(4,3)=2,32,所以D2,32.


设M(x,y),则AM=(x,y-5),CM=x,y-54,CB=4,74,AD=2,32-(0,5)=2,-72.因为AM∥AD,所以-72x-2(y-5)=0,


即7x+4y=20.①


因为CM∥CB,


所以74x-4y-54=0,即7x-16y=-20.②


联立①②,解得x=127,y=2,故点M的坐标为127,2.


能力提升


1.已知点A(3,1),B(0,0),C(3,0).设∠BAC的平分线AE与BC相交于点E,设BC=λCE,则λ等于( )


A.2B.12C.-3D.-13


答案C





解析如图,由已知得,∠ABC=∠BAE=∠EAC=30°,∠AEC=60°,|AC|=1,


∴|EC|=1tan60°=33.


∵BC=λCE,λ<0,


∴|λ|=|BC||CE|=333=3.∴λ=-3.


2.设向量a=(a1,b1),b=(a2,b2),定义一种运算“?”,向量a?b=(a1,b1)?(a2,b2)=(a2b1,a1b2).已知m=2,12,n=π3,0,点P(x,y)在y=sin x的图象上运动,点Q在y=f(x)的图象上运动且满足OQ=m?OP+n(其中O为坐标原点),则y=f(x)的最小值为( )


A.-1B.-2C.2D.12


答案B


解析由题意知,点P的坐标为(x,sin x),


则OQ=m?OP+n=12x,2sinx+π3,0=12x+π3,2sinx.又因为点Q在y=f(x)的图象上运动,所以点Q的坐标满足y=f(x)的解析式,即y=2sin12x+π3.所以函数y=f(x)的最小值为-2.


3.设向量OA绕点O逆时针旋转π2得向量OB,且2OA+OB=(7,9),且向量OB= .


答案-115,235


解析设OA=(m,n),则OB=(-n,m),


所以2OA+OB=(2m-n,2n+m)=(7,9),即2m-n=7,m+2n=9,解得m=235,n=115.因此OB=-115,235.


4.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且AC=12BC,连接DC延长至E,使|CE|=14|ED|,则点E的坐标为 .


答案83,-7


解析设C(x1,y1),依题意有(x1-2,y1+1)=12(x1-1,y1-4),解得x1=3,y1=-6,即C(3,-6).


又依题意可得EC=14DE,


设E(x0,y0),所以(x0-3,y0+6)=14(x0-4,y0+3),


解得x0=83,y0=-7,故点E坐标为83,-7.


5.





如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB的交点P的坐标.


解法一由O,P,B三点共线,


可设OP=λOB=(4λ,4λ),


则AP=OP-OA=(4λ-4,4λ),AC=OC-OA=(-2,6).


由AP与AC共线得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,


解得λ=34,所以OP=34OB=(3,3),


所以点P的坐标为(3,3).


解法二设P(x,y),则OP=(x,y),因为OB=(4,4),


且OP与OB共线,所以x4=y4,即x=y.


又AP=(x-4,y),AC=(-2,6),且AP与AC共线,


则得(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,


所以点P的坐标为(3,3).


6.已知点O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设OA=a,OB=b,OC=c且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量AB,BC的坐标.


解如图所示,以点O为原点,OA所在直线为x轴的非负半轴,建立平面直角坐标系.





∵|OB|=1,∠AOB=150°,


∴B(-cs 30°,sin 30°),


∴B-32,12.


∵|OC|=3,


∴C(-3sin 30°,-3cs 30°),


即C-32,-323.又A(2,0),


∴AB=-32,12-(2,0)=-32-2,12,BC=-32,-323--32,12=3-32,-33-12.