高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用优秀课堂检测

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用优秀课堂检测，共5页。试卷主要包含了4　平面向量的应用等内容，欢迎下载使用。

6.4.1 平面几何中的向量方法


6.4.2 向量在物理中的应用举例


课后篇巩固提升


基础巩固


1.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cs∠BDC=( )





A.-725B.725C.0D.12


答案B





解析如图建立平面直角坐标系,


则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),∴DB=(-3,-4),DC=(3,-4).


又∠BDC为DB,DC的夹角,


∴cs∠BDC=DB·DC|DB||DC|=-9+165×5=725.


2.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力的大小为20 N,则当它们的夹角为120°时,合力的大小为( )


A.40 NB.102 NC.202 ND.10 N


答案B


解析对于两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°,合力的大小为20 N时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是102 N;当它们的夹角为120°时,由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小为102 N.


3.河水的流速为2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为( )


A.10 m/sB.226 m/s


C.46 m/sD.12 m/s





答案B


解析由题意知|v水|=2 m/s,|v船|=10 m/s,作出示意图如图.


∴|v|=102+22=104=226(m/s).


4.(多选题)已知O是四边形ABCD内一点,若OA+OB+OC+OD=0,则下列结论错误的是( )


A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心


B.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的对角线交点


C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心


D.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD对边中点连线的交点


答案ABC


解析由OA+OB+OC+OD=0知,OA+OB=-(OC+OD).设AB,CD的中点分别为E,F,由向量加法的平行四边形法则,知OE+OF=0,O是EF的中点;同理,设AD,BC的中点分别为M,N,则O是MN的中点,所以O是EF,MN的交点.


5.已知A(3,2),B(-1,-1),若点Px,-12在线段AB的中垂线上,则x= .


答案74


解析设AB的中点为M,则M1,12,MP=(x-1,-1),由题意可知AB=(-4,-3),MP⊥AB,则MP·AB=0,所以-4(x-1)+(-1)×(-3)=0,解得x=74.


6.一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m,且力F所做的功W=2502 J,则F与s的夹角等于 .


答案π4


解析设F与s的夹角为θ,由W=F·s,得2502=10×50×cs θ,∴cs θ=22.又θ∈[0,π],∴θ=π4.


7.





如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.


证明 AD·CE=(AC+CD)·(CA+AE)


=AC+12CB·CA+23AB


=AC+12CB·CA+23CB-23CA


=AC+12CB·13CA+23CB


=-13|CA|2+13|CB|2.


因为CA=CB,所以-13|CA|2+13|CB|2=0,故AD⊥CE.


8.某人骑车以速度a向正东方向行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为2a时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速的大小和方向.





解设实际风速为v,由题意可知,此人以速度a向正东方向行驶时,感到的风速为v-a,当速度为2a时感到的风速为v-2a.如图,设OA=-a,OB=-2a,PO=v.


∵PO+OA=PA,∴PA=v-a,这就是速度为a时感到的由正北方向吹来的风速.


∵PO+OB=PB,∴PB=v-2a,这就是速度为2a时感到的由东北方向吹来的风速,由题意知∠PBO=45°,PA⊥BO,BA=AO,∴△POB为等腰直角三角形,


∴∠APO=45°,|PO|=|PB|=2|a|,即|v|=2|a|.


∴实际风速的大小是2|a|,为西北风.


能力提升


1.已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3OA+4OB+5OC=0,则OC·AB的值为( )


A.-15B.15C.-65D.65


答案A


解析因为3OA+4OB+5OC=0,


所以3OA+4OB=-5OC,


所以9OA2+24OA·OB+16OB2=25OC2.


因为A,B,C在圆上,所以|OA|=|OB|=|OC|=1.


代入原式得OA·OB=0,


所以OC·AB=-15(3OA+4OB)·(OB-OA)=-15(3OA·OB+4OB2-3OA2-4OA·OB)=-15.


2.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际行程为8 km,则河水的流速是 km/h.


答案23


解析如图,


用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,则v=v1+v2为船的实际航行速度.


由图知,|OA|=4,|OB|=8,则∠AOB=60°.又|v2|=2,∴|v1|=|v2|·tan 60°=23.即河水的流速是23 km/h.


3.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.





证明如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,


设A(0,2),C(2,0),


则D(1,0),AC=(2,-2).


设AF=λAC,则BF=BA+AF=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).又DA=(-1,2),由题设BF⊥DA,所以BF·DA=0,所以-2λ+2(2-2λ)=0,所以λ=23.所以BF=43,23.所以DF=BF-BD=13,23.又DC=(1,0),所以cs ∠ADB=DA·DB|DA||DB|=55,cs ∠FDC=DF·DC|DF||DC|=55,


又∠ADB,∠FDC∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC.


4.已知e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点P从P0(-1,2)开始,沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|e1+e2|;另一动点Q从Q0(-2,-1)开始,沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|3e1+2e2|.设P,Q在t=0 s时分别在P0,Q0处,当PQ⊥P0Q0时所需的时间t为多少秒?


解e1+e2=(1,1),|e1+e2|=2,其单位向量为22,22;3e1+2e2=(3,2),|3e1+2e2|=13,其单位向量为313,213.依题意知,|P0P|=2t,|Q0Q|=13t,


∴P0P=|P0P|22,22=(t,t),Q0Q=|Q0Q|313,213=(3t,2t),由P0(-1,2),Q0(-2,-1),得P(t-1,t+2),Q(3t-2,2t-1),∴P0Q0=(-1,-3),PQ=(2t-1,t-3),∵PQ⊥P0Q0,∴P0Q0·PQ=0,即2t-1+3t-9=0,解得t=2.


即当PQ⊥P0Q0时所需的时间为2 s.