数学必修 第二册6.4 平面向量的应用优秀第4课时课时练习

这是一份数学必修 第二册6.4 平面向量的应用优秀第4课时课时练习，共6页。试卷主要包含了一艘船上午9等内容，欢迎下载使用。

课后篇巩固提升





基础巩固


1.





如图,要测量某湖泊两侧A,B两点间的距离,若给出下列数据,则其中不能唯一确定A,B两点间的距离的是( )


A.角A,B和边b


B.角A,B和边a


C.边a,b和角C


D.边a,b和角A


答案D


解析根据正弦定理,可知当已知两边和其中一边的对角时,解三角形得出的结果不一定唯一,故选D.


2.如图,在河岸一侧取A,B两点,在河岸另一侧取一点C,若AB=12 m,借助测角仪测得∠CAB=45°,∠CBA=60°,则C处河面宽CD为( )





A.6(3+3)mB.6(3-3)m


C.6(3+23)mD.6(3-23)m


答案B


解析由CDsin60°=BDsin(90°-60°),CDsin45°=ADsin(90°-45°)⇒BD=33CD,AD=CD⇒


AB=AD+BD=1+33CD=12⇒CD=6(3-3)m,故选B.


3.如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得点A的仰角分别是β,α(α<β),则点A离地面的高度AB等于( )





A.asinαsinβsin(β-α)


B.asinαsinβcs(α-β)


C.asinαcsβsin(β-α)


D.acsαsinβcs(α-β)


答案A


解析在△ADC中,∠DAC=β-α.由正弦定理,得asin(β-α)=ACsinα,∴AC=asinαsin(β-α),


∴AB=ACsin β=asinαsinβsin(β-α).


4.一艘船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30°的方向,且与它相距82 n mile, 之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向,则此船的航速是( )


A.8(6+2)n mile/hB.8(6-2)n mile/h


C.16(6+2)n mile/hD.16(6-2)n mile/h


答案D


解析由题意,得在△SAB中,∠BAS=30°,∠SBA=180°-75°=105°,∠BSA=45°.


由正弦定理,得SAsin105°=ABsin45°,即82sin105°=ABsin45°,解得AB=8(6-2),故此船的航速为8(6-2)12=16(6-2)(n mile/h).


5.





如图,地平面上有一根旗杆OP,为了测得它的高度h,在地面上取一基线AB,AB=20 m,在A处测得点P的仰角∠OAP=30°,在B处测得点P的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,则旗杆的高度为( )


A.20(3-2)mB.204-2 m


C.204-3 mD.10(3+2)m


答案C


解析由已知,得AO=3h,BO=h,则在△ABO中,由余弦定理,得AB2=AO2+BO2-2AO·BO·cs 60°,


即400=3h2+h2-3h2,解得h=204-3(m).





6.如图所示,位于A处的信息中心获悉,在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20 n mile的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援,则cs θ等于( )


A.217B.2114C.32114D.2128


答案B


解析在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°.


由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cs 120°=2 800,所以BC=207.


由正弦定理,得sin∠ACB=ABBC·sin∠BAC=217.


由∠BAC=120°,得∠ACB为锐角,故cs∠ACB=277.故cs θ=cs(∠ACB+30°)


=cs∠ACBcs 30°-sin∠ACBsin 30°=2114.


7.某船在岸边A处向正东方向航行x海里后到达B处,然后朝南偏西60°方向航行3海里到达C处,若A处与C处的距离为 3 n mile,则x的值为 .


答案3或23


解析在△ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cs B,即x2+9-2·x·3cs 30°=(3)2,即x2-33x+6=0,解得x=23或x=3.


8.已知甲船在岛B的正南方A处,AB=10 n mile,甲船以4 n mile/h的速度向正北方向的岛B航行,同时乙船自岛B出发以6 n mile/h的速度向北偏东60°的方向航行,当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是 h.


答案514





解析如图,设甲、乙两船距离最近时航行时间为t h,距离为s n mile,此时甲船到达C处,则甲船距离B岛(10-4t)n mile,乙船距离B岛6t n mile,所以由余弦定理,得cs 120°=(6t)2+(10-4t)2-s22·6t·(10-4t)=-12,化简,得s2=28t2-20t+100,所以当t=202×28=514时,s2取最小值,即当甲、乙两船距离最近时,它们所航行的时间是514 h.


9.某人见一建筑物A在正北方向,另一建筑物B在北偏西30°方向.此人沿北偏西70°方向行走了3 km后到达C,则见A在其北偏东56°方向上,B在其北偏东74°方向上,试求这两个建筑物间的距离.





解如图,在△BCO中,∠BOC=70°-30°=40°,∠BCO=(180°-70°)-74°=36°,∴∠CBO=180°-40°-36°=104°.∵OC=3,由正弦定理,得COsin104°=BOsin36°,


则BO=3sin36°sin104°.在△ACO中,∠AOC=70°,∠CAO=56°,则∠ACO=54°.由正弦定理,得COsin56°=AOsin54°,则AO=3sin54°sin56°.在△ABO中,由余弦定理,得AB=AO2+BO2-2AO·BO·cs30°≈1.630(km)=1 630(m).故这两个建筑物间的距离约为1 630 m.


能力提升


1.如图所示,在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C相对于山坡的斜度为15°,向山顶前进100 m 到达B处,又测得C相对于山坡的斜度为45°,若CD=50 m,山坡的坡角为θ,则cs θ=( )





A.32B.3-1C.2-3D.22


答案B


解析在△ABC中,由正弦定理,得


BC=ABsin∠BACsin∠ACB=100sin15°sin(45°-15°)=50(6-2)(m).在△BCD中,由正弦定理,得sin∠BDC=BCsin∠CBDCD=50(6-2)sin45°50=3-1.由题图知cs θ=sin∠ADE=sin∠BDC=3-1,故选B.


2.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,由炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°与60°,且两条船与炮台底部的连线成30°角,则两条船之间的距离为 m.


答案103





解析设炮台顶部为A,两条船分别为B,C,炮台底部为D(如图),则∠BAD=45°,∠CAD=30°,∠BDC=30°,AD=30 m.


在Rt△ABD与Rt△ACD中,tan 45°=DBAD,tan 30°=DCAD,


则DB=30 m,DC=103 m.


在△DBC中,由余弦定理,得BC2=DB2+DC2-2DB·DCcs 30°,即BC2=30°+(103)2-2×30×103×32,解得BC=103 m.


3.某海上养殖基地A,接到气象部门预报,位于基地南偏东60°方向相距20(3+1)n mile的海面上有一台风中心,影响半径为20 n mile,正以102 n mile/h的速度沿某一方向匀速直线前进,预计台风中心将从基地东北方向刮过且(3+1)h后开始影响基地持续2 h.求台风移动的方向.





解如图,设预报时台风中心为B,开始影响基地时台风中心为C,基地刚好不受影响时台风中心为D,则B,C,D在一条直线上,且AD=20 n mile,AC=20 n mile.


由题意,得AB=20(3+1)n mile,DC=202 n mile,BC=102(3+1)n mile.在△ADC中,


∵DC2=AD2+AC2,∴∠DAC=90°,∠ADC=45°.


在△ABC中,由余弦定理,得cs∠BAC=AC2+AB2-BC22AC·AB=32.∴∠BAC=30°.∵B位于A的南偏东60°方向,且60°+30°+90°=180°,∴D位于A的正北方向.又∠ADC=45°,∴台风移动的方向为向量CD的方向,即北偏西45°方向.


4.如图,A,B,C,D都在同一个铅垂面内(与水平面垂直的平面),B,D为海岛上两座灯塔的塔顶.测量船于A处测得点B和点D的仰角分别为75°,30°,于C处测得点B和点D的仰角均为60°,AC=1 km,求点B,D间的距离.





解(方法一)在△ACD中,∠ADC=60°-∠DAC=60°-30°=30°.由正弦定理,得AD=ACsin120°sin30°=3.


在△ABC中,∠ABC=75°-60°=15°,∠ACB=60°,


由正弦定理,得AB=ACsin60°sin15°=32+62.在△ADB中,∠BAD=180°-75°-30°=75°,由余弦定理,得BD=AB2+AD2-2AB·ADcs75°


=32+622+3-2×32+62×3cs75°=32+62.即点B,D间的距离为32+62 km.


(方法二)如图,过点D作DH垂直于水平线于点H,过点B作BE垂直于水平线于点E,记AD与BC的交点为M.





由外角定理,得∠CDA=∠DCH-∠DAC=60°-30°=30°,所以∠DAC=∠DCH-∠CDA=30°,所以AC=DC.又易知∠MCD=∠MCA=60°,所以△AMC≌△DMC,


所以M为AD的中点,所以BA=BD.


又AB=ACsin60°sin15°=32+62,


所以BD=32+62.


所以点B,D间的距离为32+62 km.