高中数学第七章 复数本章综合与测试精品一课一练

第七章测评

(时间:120分钟　满分:150分)

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.(2019北京高考)已知复数z=2+i,则z·=(　　)

A. B. C.3 D.5

答案D

解析∵z=2+i,∴=2-i.

∴z·=(2+i)(2-i)=5.故选D.

2.若复数z满足z(2+3i)=i,则在复平面上对应的点位于(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

答案D

解析z=,

∴i,对应的点为,位于第四象限.

3.(2019全国Ⅰ高考)设z=,则|z|=(　　)

A.2 B. C. D.1

答案C

解析∵z=,∴z=i,

∴|z|=.故选C.

4.若复数z的实部为1,且|z|=2,则复数z的虚部是 (　　)

A.- B.± C.±i D.i

答案B

解析依题意设z=1+bi(b∈R),则=2,解得b=±,即复数z的虚部是±.

5.若复数z的共轭复数是,且z+=6,z·=10,则z= (　　)

A.1±3i B.3±i

C.3+i D.3-i

答案B

解析设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,

所以解得即z=3±i.

6.已知复数z1=cos 23°+isin 23°和复数z2=cos 37°+isin 37°,则z1z2为(　　)

A.i B.i

C.i D.i

答案A

解析z1z2=cos(23°+37°)+isin(23°+37°)=cos 60°+isin 60°=i.

7.已知z是复数,且p:z=i;q:z+∈R.则p是q的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析显然,当z=i时,z+i+i+=1∈R,但当z+∈R时,若令z=a+bi(a,b∈R),则a+bi+=a++b-i,所以有b=0或a2+b2=1,不一定有z=i.故p是q的充分不必要条件,选A.

8.关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是(　　)

A.3+4i B.4+3i

C.+3i D.3+i

答案B

解析设z=x+yi(x,y∈R),则有+2x+2yi=13+6i,于是

解得因为13-2x≥0,故x≤,

所以x=不符合要求,故z=4+3i.

二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.在复平面内,复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称,则(　　)

A.复数z=1+i

B.||=

C.复数z对应的点位于第一象限

D.复数的实部是-1

答案BD

解析复数=-1-i对应的点的坐标为(-1,-1).

∵复数z对应的点与复数对应的点关于实轴对称,∴复数z对应的点的坐标为(-1,1),

∴复数z=-1+i.故A,C均错;=-1-i,||=的实部是-1,B,D正确,故选BD.

10.已知复数z=1+2i(i为虚数单位),则下列结论错误的是(　　)

A.|z|= B.z2≥0

C.|z-|=2 D.z·=5

答案ABC

解析A中,|z|=,故A不正确;B中,z2=1+4i2+4i=-3+4i,不能和0比较大小,故B不正确;C中,=1-2i,|z-|=4,故C不正确;D中,z·=(1+2i)(1-2i)=5.

11.实数x,y满足(1+i)x+(1-i)y=2,设z=x+yi,则下列说法正确的是(　　)

A.z在复平面内对应的点在第一象限

B.|z|=

C.z的虚部是i

D.z的实部是1

答案ABD

解析实数x,y满足(1+i)x+(1-i)y=2,可化为x+y-2+(x-y)i=0,∴解得x=y=1,

∴z=x+yi=1+i.

对于A,z在复平面内对应的点的坐标为(1,1),位于第一象限,故A正确.

对于B,|z|=,故B正确.

对于C,z的虚部是1,故C错误.

对于D,z的实部是1,故D正确.故选ABD.

12.设f(θ)=cos θ+isin θ(i为虚数单位),则f2(θ)=cos 2θ+isin 2θ,f3(θ)=cos 3θ+isin 3θ,…,若f10(θ)为实数,则θ的值可能等于(　　)

A. B. C. D.

答案AC

解析f10(θ)=cos 10θ+isin 10θ,要使f10(θ)为实数,则sin 10θ=0,10θ=kπ,故θ=,当k=1时,θ=,当k=2时,θ=,故选AC.

三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

13.复数=　　　　　. 

答案-i

解析∵=i,

∴=i2 019=i2 016·i3=i3=-i.

14.6÷2=　. 

答案i

解析原式=cos+isin

=3i.

15.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+1+i|的最小值是　　　　,最大值是　　　　　. 

答案1　

解析由于|z+i|+|z-i|=2,则点Z在以(0,1)和(0,-1)为端点的线段上,|z+1+i|表示点Z到点(-1,-1)的距离.由图知最小值为1,最大值为.

16.设复数z=(a2-1)+(a2-3a+2)i,若z2<0,则实数a的值为　　　　. 

答案-1

解析由z2<0知z一定为纯虚数,

所以得解得a=-1.

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知复数z满足|z|=1+3i-z,求的值.

解设z=a+bi(a,b∈R),∵|z|=1+3i-z,

∴-1-3i+a+bi=0,

即解得

∴z=-4+3i,

∴=3+4i.

18.(12分)当实数m为何值时,复数z=+(m2-2m)i为

(1)实数?

(2)虚数?

(3)纯虚数?

解(1)若z为实数,可得解得m=2.

∴当m=2时,z为实数.

(2)z为虚数,则虚部m2-2m≠0,且m≠0,解得m≠2,且m≠0.∴当m≠2,且m≠0时,z为虚数.

(3)z为纯虚数,则解得m=-3.

∴当m=-3时,z为纯虚数.

19.(12分)已知关于x的方程=1,其中a,b为实数.

(1)若x=1-i是该方程的根,求a,b的值;

(2)当a>0且时,证明该方程没有实数根.

(1)解将x=1-i代入=1,

化简得i=1,

∴解得a=b=2.

(2)证明原方程化为x2-ax+ab=0,假设原方程有实数解,那么Δ=(-a)2-4ab≥0,即a2≥4ab.

∵a>0,∴,这与题设相矛盾.

故原方程无实数根.

20.(12分)设△ABC的两个内角A,B所对的边分别为a,b,复数z1=a+bi,z2=cos A+icos B,若复数z1·z2为纯虚数,试判断△ABC的形状,并说明理由.

解△ABC为等腰三角形或直角三角形.

理由如下:因为z1=a+bi,z2=cos A+icos B,所以z1·z2=(acos A-bcos B)+i(acos B+bcos A).

又因为z1·z2为纯虚数,

所以

由①及正弦定理,得sin Acos A=sin Bcos B,

即sin 2A=sin 2B.因为A,B为△ABC的内角,

所以0<2A<2π,0<2B<2π,且2A+2B<2π.

所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=.即A=B或C=.故△ABC为等腰三角形或直角三角形.

21.(12分)已知复数z1=m+ni,z2=2-2i和z=x+yi,设z=i-z2,m,n,x,y∈R.若复数z1所对应的点M(m,n)在曲线y=(x+2)2+上运动,求复数z所对应的点P(x,y)的轨迹C的方程.

解∵z1=m+ni,z2=2-2i,∴z=i-z2=(m-ni)i-(2-2i)=(n-2)+(m+2)i.∴x+yi=(n-2)+(m+2)i.∴x=n-2,y=m+2,即n=x+2,m=y-2.

又点M(m,n)在曲线y=(x+2)2+上运动,

∴x+2=[(y-2)+2]2+,整理上式,得点P(x,y)的轨迹C的方程为y2=2.

22.(12分)已知z1,z2是复数,定义复数的一种运算“?”为:z1?z2=是否存在复数z,使得(1+2i)?z为纯虚数,而z?(1+2i)是实数?若存在,求出复数z;若不存在,说明理由.

解假设存在复数z,使得(1+2i)?z为纯虚数,而z?(1+2i)是实数,设z=x+yi(x,y∈R).

由于|1+2i|=,所以

(1)当|z|<时,根据题意,(1+2i)?z=(1+2i)z=(1+2i)(x+yi)=(x-2y)+(y+2x)i是纯虚数,

所以 ①

又z?(1+2i)=z+(1+2i)=(x+yi)+(1+2i)=(x+1)+(y+2)i是实数,所以y+2=0, ②

由①②得所以z=-4-2i,但这时|z|=2与|z|<矛盾,故当|z|<时,符合条件的复数不存在.

(2)当|z|≥时,根据题意,(1+2i)?z=(1+2i)+z=(1+2i)+(x+yi)=(1+x)+(2+y)i是纯虚数,所以 ③

又z?(1+2i)=z(1+2i)=(x+yi)(1+2i)=(x-2y)+(y+2x)i是实数,所以y+2x=0, ④

由①②得所以z=-1+2i,

但这时|z|=与|z|≥不矛盾,

故符合条件的复数存在,z=-1+2i.