数学必修 第二册9.2 用样本估计总体精品同步练习题

9.2.3　总体集中趋势的估计　9.2.4　总体离散程度的估计

课后篇巩固提升

基础巩固

1.贵阳地铁1号线12月28日开通运营,某趟车某时刻从下麦西站驶往贵阳北站的过程中,10个车站上车的人数统计如下:70,60,60,50,60,40,40,30,30,10,则这组数据的众数、中位数、平均数的和为(　　)

A.170 B.165 C.160 D.150

答案D

解析数据70,60,60,50,60,40,40,30,30,10的众数是60,中位数是45,平均数是45,故众数、中位数、平均数的和为150,故选D.

2.某雷达测速区规定:凡车速大于或等于70 km/h的汽车视为“超速”,并将受到处罚,某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图如图所示,则从图中可以看出被处罚的汽车大约有(　　)

A.30辆 B.40辆 C.60辆 D.80辆

答案B

解析由题图可知,车速大于或等于70 km/h的汽车的频率为0.02×10=0.2,则将被处罚的汽车大约有200×0.2=40(辆).故选B.

3.一组样本数据的频率分布直方图如图所示,则依据图形中的数据,可以估计总体的平均数与中位数分别是(　　)

A.12.5,12.5

B.13.5,13

C.13.5,12.5

D.13,13

答案D

解析根据频率分布直方图可以得到第一组的频率为0.2,第二组的频率为0.5,则第三组的频率为0.3,则平均数为7.5×0.2+12.5×0.5+17.5×0.3=13,由中位数的概念可以得到中位数在第二组区间[10,15)内,设为x,则0.2+(x-10)×0.1=0.5,解得x=13,故选D.

4.某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,…,x10,其平均数和方差分别为和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为(　　)

A.,s2+1002 B.+100,s2+1002

C.,s2 D.+100,s2

答案D

解析由题意知yi=xi+100,

则(x1+x2+…+x10+100×10)=(x1+x2+…+x10)+100=(+100)元,方差s2={[(x1+100)-(+100)]2+[(x2+100)-(+100)]2+…+[(x10+100)-(+100)]2}=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2]=s2.故选D.

5.如图是某市甲、乙两地五月上旬日平均气温的统计图(温度为整数),则甲、乙两地这十天的日平均气温和日平均气温的标准差s甲,s乙的大小关系应为(　　)

A.,s甲<s乙 B.,s甲>s乙

C.,s甲<s乙 D.,s甲>s乙

答案B

解析由折线统计图可得甲、乙两地五月上旬10天的日平均气温,从方差的统计意义是“各数据浮动的大小”可得乙的标准差比较小.则只需要计算均值即可.

=26,

=26.

故选B.

6.某次体检,6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,则这组数据的中位数是　　　　　. 

答案1.76

解析∵6位同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,从小到大排列为1.69,1.72,1.75,1.77,1.78,1.80,位于中间的两个数值为1.75,1.77,∴这组数据的中位数是=1.76.

7.已知样本9,10,11,x,y的平均数是10,标准差为,则xy=　　　　　. 

答案96

解析由平均数得9+10+11+x+y=50,

所以x+y=20.又由(9-10)2+(10-10)2+(11-10)2+(x-10)2+(y-10)2=()2×5=10,得x2+y2-20(x+y)=-192,

(x+y)2-2xy-20(x+y)=-192,所以xy=96.

8.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为　　　　　. 

答案2

解析由图表中甲、乙两位射击运动员的训练成绩得

=90,

=90.

方差=

=4,

=

=2.

所以乙运动员的成绩较稳定,且方差为2.

9.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(单位:分,均为整数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后画出如图所示的频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列问题:

(1)求第四小组的频率,并补全这个频率分布直方图;

(2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)、众数和中位数.

解(1)因为各组的频率和等于1,故第四组的频率为1-(0.025+0.015×2+0.01+0.005)×10=0.3.

补全频率分布直方图如图所示:

(2)依题意,60及以上的分数所在的是第三、四、五、六组,频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75,所以抽样学生成绩的及格率是75%,众数为最高小长方形底边中点的横坐标,所以众数是75分.

由0.1+0.15+0.15=0.4,0.4+0.3=0.7,得中位数在[70,80)分内,设中位数为x,则(x-70)×0.03+0.4=0.5,解得x≈73.3,所以估计中位数是73.3分.

能力提升

1.样本(x1,x2,…,xn)的平均数为,样本(y1,y2,…,ym)的平均数为),若样本(x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym)的平均数为=a+(1-a),其中0<a<,则n,m的大小关系为(　　)

A.n<m B.n>m

C.n=m D.不能确定

答案A

解析x1+x2+…+xn=n,y1+y2+…+ym=m,x1+x2+…+xn+y1+y2+…+ym=(m+n)=(m+n)[a+(1-a)]=(m+n)a+(m+n)(1-a),所以n+m=(m+n)a+(m+n)(1-a),

所以

故n-m=(m+n)[a-(1-a)]=(m+n)(2a-1).

因为0<a<,所以2a-1<0.

所以n-m<0,即n<m.

2.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x,y,10,11,9,已知这组数据的平均数为10,方差为2,则|x-y|的值为　　　　　. 

答案4

解析根据题意知n=5,s2=2,=10.

由方差的简易计算公式s2=,

则有=5(s2+)=5×(2+102)=510,

即x2+y2+102+112+92=510,所以x2+y2=208.

又=10,即x+y=20.

所以x2+y2=(x+y)2-2xy=208,解得2xy=192,

所以|x-y|==4.

3.某校高一(1)(2)班各有49名学生,两班学生在一次数学测试(满分100分)中的成绩(单位:分)统计如下表:

(1)请你对下面的一段话给予简要分析:

高一(1)班的小刚回家对妈妈说:“昨天的数学测试中,全班的平均分为79分,得70分的人最多,我得了85分,在班里算是上游了.”

(2)请你根据表中的数据分析两班的测试情况,并提出教学建议.

解(1)由高一(1)班成绩的中位数是87分可知,85分排在25名以后,从名次上讲并不能说85分在班里是上游,但也不能从这次测试的名次上来判断学习的好坏.小刚得了85分,说明他对这阶段的学习内容掌握得较好,从掌握的学习内容上讲也算是上游.

(2)高一(1)班成绩的中位数是87分,说明高于87分的人数占一半左右,而平均分为79分,标准差又很大,说明低分者很多,两极分化严重,建议对学习差的学生给予帮助.

高一(2)班成绩的中位数和平均数都是79分,标准差较小,说明学生成绩之间的差别也较小,学习差的学生较少,但学习优秀的学生也很少,建议采取措施提高优秀学生的人数.