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人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率本章综合与测试精品同步练习题
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率本章综合与测试精品同步练习题，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第十章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.“某点P到点A(-2,0)和点B(2,0)的距离之和为3”这一事件是( )
A.随机事件 B.不可能事件
C.必然事件 D.以上都不对
答案B
解析由于“某点P到点A(-2,0)和点B(2,0)的距离之和必大于等于4”,故这一事件是不可能事件.故选B.
2.某种彩票中奖的概率为110 000,这是指( )
A.买10 000张彩票一定能中奖
B.买10 000张彩票只能中奖1次
C.若买9 999张彩票未中奖,则第10 000张必中奖
D.买一张彩票中奖的可能性是110 000
答案D
解析如果某种彩票的中奖概率为110 000,则买10 000张这种彩票仍然是随机事件,即买10 000张彩票,可能有多张中奖,也可能不中奖,排除A,B;
若买9 999张彩票未中奖,则第10 000张也是随机事件,且发生概率仍然是110 000,故C错误,这里的中奖的概率为110 000,是指买一张彩票中奖的可能性是110 000,故D正确.故选D.
3.一个家庭有3个小孩,设这个家庭生男孩或女孩的概率均为12,则这个家庭有3个男孩的概率是( )
A.18 B.14 C.38 D.12
答案A
解析根据题意画树状图如下.∴一共有8种情况,∴这个家庭有3个男孩的概率是18,故选A.
4.甲、乙同时参加某次法语考试,甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,两人考试相互独立,则甲、乙两人都未达到优秀的概率为( )
A.0.42 B.0.28 C.0.18 D.0.12
答案D
解析∵甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,两人考试相互独立,∴甲、乙两人都未达到优秀的概率为:P=(1-0.6)(1-0.7)=0.12.故选D.
5.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%,则抽验一只是正品(甲级)的概率为( )
A.0.95 B.0.97 C.0.92 D.0.08
答案C
解析记抽验的产品是甲级品为事件A,是乙级品为事件B,是丙级品为事件C,这三个事件彼此互斥,
因而抽验产品是正品(甲级)的概率为P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5%-3%=92%=0.92.故选C.
6.某城市一年的空气质量状况如下表所示:
污染指
数T
不大
于30
(30,60]
(60,
100]
(100,
110]
(110,
130]
(130,
140]
概率P
110
16
13
730
215
130
其中当污染指数T≤50时,空气质量为优;当50
答案C
解析空气质量为优、良、轻微污染彼此互斥,所求概率为110+16+13=35.
7.若从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是( )
A.45 B.35 C.25 D.15
答案D
解析所有的基本事件是(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共有15个,b>a包含的基本事件有(1,2),(1,3),(2,3),共3个,所以b>a的概率是315=15.
8.甲袋装有m个白球,n个黑球,乙袋装有n个白球,m个黑球(m≠n),现从两袋中各摸一个球,A=“两球同色”,B=“两球异色”,则P(A)与P(B)的大小关系为( )
A.P(A)
答案A
解析设A1=“取出的都是白球”,A2=“取出的都是黑球”,则A1,A2互斥且A=A1∪A2,
P(A)=P(A1)+P(A2)=mn(m+n)2+mn(m+n)2=2mn(m+n)2.
设B1=“甲袋取出白球乙袋取出黑球”,
B2=“甲袋取出黑球乙袋取出白球”,
则B1、B2互斥且B=B1∪B2,P(B)=P(B1)+P(B2)=m2(m+n)2+n2(m+n)2=m2+n2(m+n)2.
由于m≠n,故2mn
9.设靶子上的环数取1~10这10个正整数,脱靶计为0环.某人射击一次,设事件A=“中靶”;事件B=“击中环数大于5”;事件C=“击中环数大于1且小于6”;事件D=“击中环数大于0且小于6”,则错误的关系是( )
A.B与C互斥 B.B与C互为对立
C.A与D互斥 D.A与D互为对立
答案BCD
解析事件B“击中环数大于5”和事件C“击中环数大于1且小于6”,不会同时发生,两事件互斥,但可能会同时不发生,故不互为对立.事件A“中靶”与事件D“击中环数大于0且小于6”会同时发生,不互斥,也不互为对立.
10.甲、乙两人下棋,和棋的概率为12,乙获胜的概率为13,则下列说法错误的是( )
A.甲获胜的概率是16 B.甲不输的概率是12
C.乙输了的概率是23 D.乙不输的概率是12
答案BCD
解析∵甲、乙两人下棋,和棋的概率为12,乙获胜的概率为13,
∴甲获胜的概率是1-12-13=16,故A正确;
甲不输的概率是1-13=23,故B不正确;
乙输了的概率是1-13-12=16,故C不正确;
乙不输的概率是12+13=56.故D不正确.
故选BCD.
11.(2019化州期末)若干个人站成一排,其中不是互斥事件的是( )
A.“甲站排头”与“乙站排头”
B.“甲站排头”与“乙不站排尾”
C.“甲站排头”与“乙站排尾”
D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”
答案BCD
解析对于A,“甲站排头”与“乙站排头”不可能同时发生,是互斥事件,对于B,“甲站排头”时,乙可以“不站排尾”,两者可以同时发生,不是互斥事件,对于C,“甲站排头”时,乙可以“站排尾”,两者可以同时发生,不是互斥事件,对于D,“甲不站排头”时,乙可以“不站排尾”,两者可以同时发生,不是互斥事件.
12.已知袋中有大小相同的黄、红、白球各一个,每次任取一个,有放回地取3次,则下列事件的概率不为89的是( )
A.颜色相同 B.颜色不全相同
C.颜色全不相同 D.无红球
答案ACD
解析有放回地取球3次,共27种可能结果,其中颜色相同的结果有3种,其概率为327=19;颜色不全相同的结果有24种,其概率为2427=89;颜色全不相同的结果有6种,其概率为627=29;无红球的结果有8种,其概率为827.故选ACD.
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.下列试验是古典概型的为 .
①从6名同学中选出4人参加竞赛,每人被选中的概率;②同时掷两颗骰子,点数和为6的概率;③近三天中有一天降雨的概率;④10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率.
答案①②④
解析在①中,从6名同学中选出4人参加竞赛,每人被选中的概率,
这个试验具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性,故①是古典概型;
在②中,同时掷两颗骰子,点数和为6的概率,
这个试验具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性,故②是古典概型;
在③中,近三天中有一天降雨的概率,没有等可能性,故③不是古典概型;
④10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率,
这个试验具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性,故④是古典概型.
14.管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记,然后放回池塘,将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后,再捕上50条,发现其中带标记的鱼有2条.根据以上数据可以估计该池塘约有 条鱼.
答案750
解析设池塘约有n条鱼,则含有标记的鱼的概率为30n,由题意得30n×50=2,∴n=750.
15.甲乙二人进行射击游戏,目标靶上有三个区域,分别涂有红、黄、蓝三色,已知甲击中红、黄、蓝三区域的概率依次是15、25、15,乙击中红、黄、蓝三区域的概率依次是16、12、14,二人射击情况互不影响,若甲乙各射击一次,则二人命中同色区域的概率为 ,二人命中不同色区域的概率为 .
答案1760 2760
解析设甲射中红、黄、蓝三色的事件分别为A1,A2,A3,
乙射中红、黄、蓝三色的事件分别为B1,B2,B3;
∴P(A1)=15,P(A2)=25,P(A3)=15,P(B1)=16,P(B2)=12,P(B3)=14.
∵二人射击情况互不影响相互独立,
∴二人命中同色区域的概率P(A1B1+A2B2+A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=15×16+25×12+15×14=1760.
二人命中不同色区域的概率P(A1B2+A1B3+A2B1+A2B3+A3B1+A3B2)=P(A1)P(B2)+P(A1)P(B3)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B3)+P(A3)P(B1)+P(A3)P(B2)=15×12+15×14+25×16+25×14+15×16+15×12=2760.
16.为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况,调查部门在某学校进行了如下的随机调查:向被调查者提出两个问题:(1)你的学号是奇数吗?(2)在过路口的时候你是否闯过红灯?要求被调查者背对调查人抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第(1)个问题;否则就回答第(2)个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题,只需要回答“是”或“不是”,因为只有被调查本人知道回答了哪个问题,所以都如实做了回答.如果被调查的600人(学号从1到600)中有180人回答了“是”,由此可以估计在这600人中闯过红灯的人数是 .
答案60
解析设闯红灯的概率为p,
由已知中被调查者回答的两个问题,
(1)你的学号是奇数吗?(2)在过路口的时候你是否闯过红灯?
再由调查人抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第(1)个问题;否则就回答第(2)个问题,
可得回答是有两种情况:
①正面朝上且学号为奇数,其概率为12×12=14;
②反面朝上且闯了红灯,其概率为12×p.
则回答是的概率为14+p2=180600,
解得p=0.1.所以闯灯人数为600×0.1=60.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个,现依次有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球.
(1)一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果.
(2)若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所得总分为5分的概率.
解(1)一共有8种不同的结果,列举如下:(红、红、红),(红、红、黑),(红、黑、红),(红、黑、黑),(黑、红、红),(黑、红、黑),(黑、黑、红),(黑、黑、黑).
(2)记“3次摸球所得总分为5分”为事件A,事件A包含的基本事件为:(红、红、黑),(红、黑、红),(黑、红、红),事件A包含的基本事件数为3.
由(1)可知,基本事件总数为8,
所以发生事件A的概率为P(A)=38.
18.(12分)将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次,其底面落于桌面上,记第一次朝下面的数字为x,第二次朝下面的数字为y.
(1)求满足条件“xy为整数”的事件的概率;
(2)求满足条件“x-y<2”的事件的概率.
解根据题意,可以用(x,y)来表示得到的点数情况,则得到的点数有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4),共16种情况;
(1)记“xy为整数”为事件A,则A包括(1,1)、(2,1)、(2,2)、(3,1)、(3,3)、(4,1)、(4,2)、(4,4),共8种情况,则P(A)=816=12;
(2)记“x-y<2”为事件B,则B包括(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,3)、(4,4),共13种情况,则P(B)=1316.
19.(12分)为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人).
高校
相关人数
抽取人数
A
18
x
B
36
2
C
54
y
(1)求x,y;
(2)若从高校B,C抽取的人中选2人作专题发言,求这2人都来自高校C的概率.
解(1)由题意可得,x18=236=y54,
所以x=1,y=3.
(2)记从高校B抽取的2人为b1,b2,从高校C抽取的3人为c1,c2,c3,则从高校B,C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共10种.
设选中的2人都来自高校C的事件为X,则X包含的基本事件有(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共3种.因此P(X)=310.故选中的2人都来自高校C的概率为310.
20.(12分)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
赔付金额/元
0
1 000
2 000
3 000
4 000
车辆数/辆
500
130
100
150
120
(1)若平均每辆车的投保金额为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;
(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.
解(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”,B表示事件“赔付金额为4 000元”,以频率估计概率得P(A)=1501 000=0.15,P(B)=1201 000=0.12.
由于投保金额为2 800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元,所以估计其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔金额为4 000元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000=100(辆),而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24(辆).
所以样本车辆中新司机获赔金额为4 000元的频率为24100=0.24,由频率估计概率得P(C)=0.24.
21.(12分)随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点,共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆电动车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为14,12;一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为12,14;两人租车时间都不会超过三小时.
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率.
解(1)甲、乙两人所付费用相同即同为2,4,6元,
都付2元的概率P1=14×12=18,
都付4元的概率P2=12×14=18,
都付6元的概率P3=14×14=116,
∴所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=18+18+116=516.
(2)设两人费用之和为8、10、12的事件分别为A、B、C,
P(A)=14×14+12×14+12×14=516
P(B)=14×14+12×14=316,
P(C)=14×14=116,
设两人费用之和大于或等于8的事件为W,则W=A+B+C,∴两人费用之和大于或等于8的概率P(W)=P(A)+P(B)+P(C)=516+316+116=916.
22.(12分)某小组共有A,B,C,D,E五名同学,他们的身高(单位:m)以及体重指标(单位:kg/m2)如下表所示:
A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9
(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率;
(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率.
解(1)从身高低于1.80的同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6个.
由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人身高都在1.78以下的事件有(A,B),(A,C),(B,C),共3个.因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P=36=12.
(2)从该小组同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个.
由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.
选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有(C,D),(C,E),(D,E),共3个.
因此选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P1=310.
第十章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.“某点P到点A(-2,0)和点B(2,0)的距离之和为3”这一事件是( )
A.随机事件 B.不可能事件
C.必然事件 D.以上都不对
答案B
解析由于“某点P到点A(-2,0)和点B(2,0)的距离之和必大于等于4”,故这一事件是不可能事件.故选B.
2.某种彩票中奖的概率为110 000,这是指( )
A.买10 000张彩票一定能中奖
B.买10 000张彩票只能中奖1次
C.若买9 999张彩票未中奖,则第10 000张必中奖
D.买一张彩票中奖的可能性是110 000
答案D
解析如果某种彩票的中奖概率为110 000,则买10 000张这种彩票仍然是随机事件,即买10 000张彩票,可能有多张中奖,也可能不中奖,排除A,B;
若买9 999张彩票未中奖,则第10 000张也是随机事件,且发生概率仍然是110 000,故C错误,这里的中奖的概率为110 000,是指买一张彩票中奖的可能性是110 000,故D正确.故选D.
3.一个家庭有3个小孩,设这个家庭生男孩或女孩的概率均为12,则这个家庭有3个男孩的概率是( )
A.18 B.14 C.38 D.12
答案A
解析根据题意画树状图如下.∴一共有8种情况,∴这个家庭有3个男孩的概率是18,故选A.
4.甲、乙同时参加某次法语考试,甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,两人考试相互独立,则甲、乙两人都未达到优秀的概率为( )
A.0.42 B.0.28 C.0.18 D.0.12
答案D
解析∵甲、乙考试达到优秀的概率分别为0.6,0.7,两人考试相互独立,∴甲、乙两人都未达到优秀的概率为:P=(1-0.6)(1-0.7)=0.12.故选D.
5.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,在正常生产情况下,出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%,则抽验一只是正品(甲级)的概率为( )
A.0.95 B.0.97 C.0.92 D.0.08
答案C
解析记抽验的产品是甲级品为事件A,是乙级品为事件B,是丙级品为事件C,这三个事件彼此互斥,
因而抽验产品是正品(甲级)的概率为P(A)=1-P(B)-P(C)=1-5%-3%=92%=0.92.故选C.
6.某城市一年的空气质量状况如下表所示:
污染指
数T
不大
于30
(30,60]
(60,
100]
(100,
110]
(110,
130]
(130,
140]
概率P
110
16
13
730
215
130
其中当污染指数T≤50时,空气质量为优;当50
答案C
解析空气质量为优、良、轻微污染彼此互斥,所求概率为110+16+13=35.
7.若从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是( )
A.45 B.35 C.25 D.15
答案D
解析所有的基本事件是(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共有15个,b>a包含的基本事件有(1,2),(1,3),(2,3),共3个,所以b>a的概率是315=15.
8.甲袋装有m个白球,n个黑球,乙袋装有n个白球,m个黑球(m≠n),现从两袋中各摸一个球,A=“两球同色”,B=“两球异色”,则P(A)与P(B)的大小关系为( )
A.P(A)
答案A
解析设A1=“取出的都是白球”,A2=“取出的都是黑球”,则A1,A2互斥且A=A1∪A2,
P(A)=P(A1)+P(A2)=mn(m+n)2+mn(m+n)2=2mn(m+n)2.
设B1=“甲袋取出白球乙袋取出黑球”,
B2=“甲袋取出黑球乙袋取出白球”,
则B1、B2互斥且B=B1∪B2,P(B)=P(B1)+P(B2)=m2(m+n)2+n2(m+n)2=m2+n2(m+n)2.
由于m≠n,故2mn
9.设靶子上的环数取1~10这10个正整数,脱靶计为0环.某人射击一次,设事件A=“中靶”;事件B=“击中环数大于5”;事件C=“击中环数大于1且小于6”;事件D=“击中环数大于0且小于6”,则错误的关系是( )
A.B与C互斥 B.B与C互为对立
C.A与D互斥 D.A与D互为对立
答案BCD
解析事件B“击中环数大于5”和事件C“击中环数大于1且小于6”,不会同时发生,两事件互斥,但可能会同时不发生,故不互为对立.事件A“中靶”与事件D“击中环数大于0且小于6”会同时发生,不互斥,也不互为对立.
10.甲、乙两人下棋,和棋的概率为12,乙获胜的概率为13,则下列说法错误的是( )
A.甲获胜的概率是16 B.甲不输的概率是12
C.乙输了的概率是23 D.乙不输的概率是12
答案BCD
解析∵甲、乙两人下棋,和棋的概率为12,乙获胜的概率为13,
∴甲获胜的概率是1-12-13=16,故A正确;
甲不输的概率是1-13=23,故B不正确;
乙输了的概率是1-13-12=16,故C不正确;
乙不输的概率是12+13=56.故D不正确.
故选BCD.
11.(2019化州期末)若干个人站成一排,其中不是互斥事件的是( )
A.“甲站排头”与“乙站排头”
B.“甲站排头”与“乙不站排尾”
C.“甲站排头”与“乙站排尾”
D.“甲不站排头”与“乙不站排尾”
答案BCD
解析对于A,“甲站排头”与“乙站排头”不可能同时发生,是互斥事件,对于B,“甲站排头”时,乙可以“不站排尾”,两者可以同时发生,不是互斥事件,对于C,“甲站排头”时,乙可以“站排尾”,两者可以同时发生,不是互斥事件,对于D,“甲不站排头”时,乙可以“不站排尾”,两者可以同时发生,不是互斥事件.
12.已知袋中有大小相同的黄、红、白球各一个,每次任取一个,有放回地取3次,则下列事件的概率不为89的是( )
A.颜色相同 B.颜色不全相同
C.颜色全不相同 D.无红球
答案ACD
解析有放回地取球3次,共27种可能结果,其中颜色相同的结果有3种,其概率为327=19;颜色不全相同的结果有24种,其概率为2427=89;颜色全不相同的结果有6种,其概率为627=29;无红球的结果有8种,其概率为827.故选ACD.
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.下列试验是古典概型的为 .
①从6名同学中选出4人参加竞赛,每人被选中的概率;②同时掷两颗骰子,点数和为6的概率;③近三天中有一天降雨的概率;④10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率.
答案①②④
解析在①中,从6名同学中选出4人参加竞赛,每人被选中的概率,
这个试验具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性,故①是古典概型;
在②中,同时掷两颗骰子,点数和为6的概率,
这个试验具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性,故②是古典概型;
在③中,近三天中有一天降雨的概率,没有等可能性,故③不是古典概型;
④10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率,
这个试验具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性,故④是古典概型.
14.管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记,然后放回池塘,将带标记的鱼完全混合于鱼群中.10天后,再捕上50条,发现其中带标记的鱼有2条.根据以上数据可以估计该池塘约有 条鱼.
答案750
解析设池塘约有n条鱼,则含有标记的鱼的概率为30n,由题意得30n×50=2,∴n=750.
15.甲乙二人进行射击游戏,目标靶上有三个区域,分别涂有红、黄、蓝三色,已知甲击中红、黄、蓝三区域的概率依次是15、25、15,乙击中红、黄、蓝三区域的概率依次是16、12、14,二人射击情况互不影响,若甲乙各射击一次,则二人命中同色区域的概率为 ,二人命中不同色区域的概率为 .
答案1760 2760
解析设甲射中红、黄、蓝三色的事件分别为A1,A2,A3,
乙射中红、黄、蓝三色的事件分别为B1,B2,B3;
∴P(A1)=15,P(A2)=25,P(A3)=15,P(B1)=16,P(B2)=12,P(B3)=14.
∵二人射击情况互不影响相互独立,
∴二人命中同色区域的概率P(A1B1+A2B2+A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=15×16+25×12+15×14=1760.
二人命中不同色区域的概率P(A1B2+A1B3+A2B1+A2B3+A3B1+A3B2)=P(A1)P(B2)+P(A1)P(B3)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B3)+P(A3)P(B1)+P(A3)P(B2)=15×12+15×14+25×16+25×14+15×16+15×12=2760.
16.为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况,调查部门在某学校进行了如下的随机调查:向被调查者提出两个问题:(1)你的学号是奇数吗?(2)在过路口的时候你是否闯过红灯?要求被调查者背对调查人抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第(1)个问题;否则就回答第(2)个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题,只需要回答“是”或“不是”,因为只有被调查本人知道回答了哪个问题,所以都如实做了回答.如果被调查的600人(学号从1到600)中有180人回答了“是”,由此可以估计在这600人中闯过红灯的人数是 .
答案60
解析设闯红灯的概率为p,
由已知中被调查者回答的两个问题,
(1)你的学号是奇数吗?(2)在过路口的时候你是否闯过红灯?
再由调查人抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第(1)个问题;否则就回答第(2)个问题,
可得回答是有两种情况:
①正面朝上且学号为奇数,其概率为12×12=14;
②反面朝上且闯了红灯,其概率为12×p.
则回答是的概率为14+p2=180600,
解得p=0.1.所以闯灯人数为600×0.1=60.
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个,现依次有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球.
(1)一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果.
(2)若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所得总分为5分的概率.
解(1)一共有8种不同的结果,列举如下:(红、红、红),(红、红、黑),(红、黑、红),(红、黑、黑),(黑、红、红),(黑、红、黑),(黑、黑、红),(黑、黑、黑).
(2)记“3次摸球所得总分为5分”为事件A,事件A包含的基本事件为:(红、红、黑),(红、黑、红),(黑、红、红),事件A包含的基本事件数为3.
由(1)可知,基本事件总数为8,
所以发生事件A的概率为P(A)=38.
18.(12分)将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次,其底面落于桌面上,记第一次朝下面的数字为x,第二次朝下面的数字为y.
(1)求满足条件“xy为整数”的事件的概率;
(2)求满足条件“x-y<2”的事件的概率.
解根据题意,可以用(x,y)来表示得到的点数情况,则得到的点数有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4),共16种情况;
(1)记“xy为整数”为事件A,则A包括(1,1)、(2,1)、(2,2)、(3,1)、(3,3)、(4,1)、(4,2)、(4,4),共8种情况,则P(A)=816=12;
(2)记“x-y<2”为事件B,则B包括(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,3)、(4,4),共13种情况,则P(B)=1316.
19.(12分)为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人).
高校
相关人数
抽取人数
A
18
x
B
36
2
C
54
y
(1)求x,y;
(2)若从高校B,C抽取的人中选2人作专题发言,求这2人都来自高校C的概率.
解(1)由题意可得,x18=236=y54,
所以x=1,y=3.
(2)记从高校B抽取的2人为b1,b2,从高校C抽取的3人为c1,c2,c3,则从高校B,C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有(b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共10种.
设选中的2人都来自高校C的事件为X,则X包含的基本事件有(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3),共3种.因此P(X)=310.故选中的2人都来自高校C的概率为310.
20.(12分)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:
赔付金额/元
0
1 000
2 000
3 000
4 000
车辆数/辆
500
130
100
150
120
(1)若平均每辆车的投保金额为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;
(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.
解(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”,B表示事件“赔付金额为4 000元”,以频率估计概率得P(A)=1501 000=0.15,P(B)=1201 000=0.12.
由于投保金额为2 800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元,所以估计其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.
(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔金额为4 000元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000=100(辆),而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24(辆).
所以样本车辆中新司机获赔金额为4 000元的频率为24100=0.24,由频率估计概率得P(C)=0.24.
21.(12分)随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.广元某景点设有共享电动车租车点,共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆电动车,若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为14,12;一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为12,14;两人租车时间都不会超过三小时.
(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率;
(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和大于或等于8的概率.
解(1)甲、乙两人所付费用相同即同为2,4,6元,
都付2元的概率P1=14×12=18,
都付4元的概率P2=12×14=18,
都付6元的概率P3=14×14=116,
∴所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=18+18+116=516.
(2)设两人费用之和为8、10、12的事件分别为A、B、C,
P(A)=14×14+12×14+12×14=516
P(B)=14×14+12×14=316,
P(C)=14×14=116,
设两人费用之和大于或等于8的事件为W,则W=A+B+C,∴两人费用之和大于或等于8的概率P(W)=P(A)+P(B)+P(C)=516+316+116=916.
22.(12分)某小组共有A,B,C,D,E五名同学,他们的身高(单位:m)以及体重指标(单位:kg/m2)如下表所示:
A
B
C
D
E
身高
1.69
1.73
1.75
1.79
1.82
体重指标
19.2
25.1
18.5
23.3
20.9
(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率;
(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率.
解(1)从身高低于1.80的同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共6个.
由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人身高都在1.78以下的事件有(A,B),(A,C),(B,C),共3个.因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P=36=12.
(2)从该小组同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10个.
由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.
选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有(C,D),(C,E),(D,E),共3个.
因此选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P1=310.
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