中考数学几何模型加强版 模型06 半角模型

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一、单选题


1．如图所示，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A按顺时针方向旋转90°后得到△AFB，连接EF，有下列结论：①BE＝DC；②∠BAF＝∠DAC；③∠FAE＝∠DAE；④BF＝DC．其中正确的有（ ）





A．①②③④B．②③C．②③④D．③④





二、解答题


2．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC= 90°，AB=AC，点M，N在边BC 上，且∠MAN=45°．若BM= 1，CN=3，求MN的长．








3．在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD=CD，点E，F分别在边AM和AN上．





（1）如图1，若∠BED=∠CFD，请说明DE=DF；


（2）如图2，若∠BDC=120°，∠EDF=60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．





4．如图，，，点、分别在边、上，，过点作，且点在的延长线上．





（1）与全等吗？为什么？


（2）若，，求的长．





5．如图，在四边形中，，，分别是，上的点，连接，，．


（1）如图①，，，．求证：；





（2）如图②，，当周长最小时，求的度数；


（3）如图③，若四边形为正方形，点、分别在边、上，且，若，，请求出线段的长度．








6．如图，是边长为2的等边三角形，是顶角为120°的等腰三角形，以点为顶点作，点、分别在、上．


（1）如图①，当时，则的周长为______；


（2）如图②，求证：．





7．问题背景


如图①，在四边形中，，，，点，分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系．





探究发现


（1）小明同学的方法是将绕点逆时针旋转至的位置，使得与重合，然后再证明，从而得出结论：______；


拓展延伸


（2）如图②，在四边形中，，，点，分别是边，上的点，且，连接．（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；


（3）如图③，在正方形中，点，分别是边，上的点，且，连接，已知，，求正方形的边长．





8．如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以为顶点作一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，求的周长．








9．如图，已知：正方形，点，分别是，上的点，连接，，，且，求证：．





10．如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程．





（1）延长CB到点G，使BG＝ ，连接AG；


（2）证明：EF＝BE＋DF





11．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．


小明同学探究的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是 （直接写结论，不需证明）；


（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；


（3）如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．








12．如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接DE，将DE绕着点E逆时针旋转90°，得到EG，过点G作GF⊥CB，垂足为F，GH⊥AB，垂足为H，连接DG，交AB于I．





（1）求证：四边形BFGH是正方形；


（2）求证：ED平分∠CEI；


（3）连接IE，若正方形ABCD的边长为3，则△BEI的周长为 ．


13．请阅读下列材料：


已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系：





（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；


（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；


（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．





14．（2020•锦州模拟）问题情境：已知，在等边△ABC中，∠BAC与∠ACB的角平分线交于点O，点M、N分别在直线AC，AB上，且∠MON＝60°，猜想CM、MN、AN三者之间的数量关系．


方法感悟：小芳的思考过程是在CM上取一点，构造全等三角形，从而解决问题；





小丽的思考过程是在AB取一点，构造全等三角形，从而解决问题；


问题解决：（1）如图1，M、N分别在边AC，AB上时，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明；


（2）如图2，M在边AC上，点N在BA的延长线上时，请你在图2中补全图形，标出相应字母，探索CM、MN、AN三者之间的数量关系，并证明．


15．（2019秋•东台市期末）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．





（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ；此时 ；


（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（ I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．


（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．





16．（2019秋•九龙坡区校级月考）如图．在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，AB＝AD，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF∠BAD，求证：EF＝BE﹣FD．








17．如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，将绕点A顺时针旋转 后，得到，连接EM，AE，且使得．





（1）求证：；（2）求证：.


19．如图所示，在中，，，的两边交边于，两点，将绕点旋转





（1）画出绕点顺时针旋转后的；


（2）在（1）中，若，求证：；


（3）在（2）的条件下，若，直接写出的长.


20．已知，如图所示，正方形中，，分别在边，上，且，，分别交于，，连，求证：


① ②.








三、填空题


21．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝4，AB＝AC，∠CBD＝30°，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____．





22．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝43，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为_____．