中考数学几何模型加强版 模型02 截长补短

专题02 截长补短

【基础训练】

1、如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.

解析：如图，在EA上取点F,使EF=BE,连接CF,

∵CE⊥AB

∴CF=CB

∠CFB=∠B

∵∠AFC+∠CFB=180°，∠D+∠B=180°

∴∠D=∠AFC

∵AC平分∠BAD

即∠DAC=∠FAC

在△ACD和△ACF中

∠D=∠AFC

∠DAC=∠FAC

AC=AC

∴ACD≌△ACF（AAS）

∴AD=AF

∴AE=AF+EF=AD+BE

2、如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求证：AB=AC+CD

解析：在AB上取一点E,使AE=AC,

连接DE,

∵AE=AC,∠1=∠2，AD=AD

∴△ACD≌△AED

∴CD=DE,∠C=∠3

∵∠C=2∠B

∴∠3=2∠B=∠4+∠B

∴∠4=∠B，∴DE=BE,CD=BE

∵AB=AE+BE

∴AB=AC+CD

3、如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,∠B+∠E=180°，求证：AD平分∠CDE.

解析：

延长CB至点F,使BF=DE,连接BF=DE,连接AF,AC

∵∠1+∠2=180°，∠E+∠1=180°

∴∠2=∠E

∵AB=AE,∠2=∠E,BF=DE

∴△ABF≌△AED

∠F=∠4，AF=AD

∵BC+BF=CD

即FC=CD

又∵AC=AC

∴△ACF≌△ACD

∴∠F=∠3

∵∠F=∠4

∴∠3=∠4

∴AD平分∠CDE.

4、已知四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC，如图，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,求证：∠PBQ=90°-∠ADC

解析：

如图，延长DC，在上面找一点K，使得CK=AP，连接BK,

∵∠ABC+∠ADC=180°

∴∠BAD+∠BCD=180°

∵∠BCD+∠BCK=180°

∴∠BAD=∠BCK

在△BAP和△BKC中

AP=CK

∠BAP=∠BCK

AB=BC

∴△BPA≌△BKC（SAS）

∴∠ABP=∠CBK,BP=BK

∵PQ=AP+CQ

∴PQ=QK

∵在△BPQ和△BKQ中

BP=BK

BQ=BQ

PQ=KQ

∴△BPQ≌△BKQ(SSS)

∴∠PBQ=∠KBQ

∴∠PBQ=∠ABC

∵∠ABC+∠ADC=180°

∴∠ABC=180°-∠ADC

∴∠ABC=90°-∠ADC

∴∠PBQ=90°-∠ADC

5、如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CD=AC.

解析：

由题意可得∠AOC=120°

∴∠AOE=∠DOC=180°-∠AOC=180°-120°=60°

在AC上截取AF=AE，连接OF，如图

在△AOE和△AOF中，

AE=AF

∠OAE=∠OAF

OA=OA

∴△AOE≌△AOF（SAS）

∴∠AOE=∠AOF，

∴∠AOF=60°

∴∠COF=∠AOC-∠AOF=60°

又∠COD=60°，

∴∠COD=∠COF

同理可得：△COD≌△COF（ASA）

∴CD=CF

又∵AF=AE

∴AC=AF+CF=AE+CD

即AE+CD=AC

6、如图所示，AB∥CD,BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD.

解析：

在BC上取点F，使BF=AB

∵BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线

∴∠ABE=∠FBE,∠BCE=∠DCE

∵AB∥CD

∴∠A+∠D=180°

在△ABE和△FBE中

AB=FB

∠ABE=∠FBE

BE=BE

∴△ABE≌△FBE（SAS）

∴∠A=∠BFE

∴∠BFE+∠D=180°

∵∠BFE+∠EFC=180°

∴∠EFC=∠D

在△EFC和△EDC中，

∠EFC=∠D

∠BCE=∠DCE

CE=CE

∴△EFC≌△EDC（AAS）

∴CF=CD

∵BC=BF+CF

∴BC=AB+CD

7、四边形ABCD中，BD＞AB,AD=DC,DE⊥BC,BD平分∠ABC

（1）              证明：∠BAD+∠BCD=180°

（2）              DE=3,BE=6,求四边形ABCD的面积.

【解析】（1）过点D作BA的垂线，得△DMA≌DEC（HL）

∵∠ABC+∠MDE=180°，∠ADC=∠MDE

∴∠ABC+∠ADC=180°

∴∠BAD+∠BCD=180°

（2）S四边形ABCD=2S△BED=18

8、已知：在△ABC中，AB=CD-BD,求证：∠B=2∠C.

【解析】在CD上取一点M使得DM=DB

则CD-BD=CM=AB

∴∠AMD=∠B=2∠C

9、如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，且BD,CE交于点F，点G是线段CD上一点，连接AF，GF，若AF=GF,BD=CD.

求∠CAF的度数

判断线段FG与BC的位置关系，并说明理由.

【解析】

（1）延长AF与BC交于点M，可知AF⊥BC

∵BD=DC，BD⊥DC∴∠FBC=45°

∵AF=FG，FD⊥AG∴∠AFD=GFD=45°

∴AF⊥GF

∴∠CAF=45°

（2）由（1）可证FG∥BC

【提升训练】

1．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明．

证明：在BC上截取BF＝BE，连接OF.

∵BD平分∠ABC，

∴∠EBO＝∠FBO.

∴△EBO≌△FBO.

∴∠EOB＝∠FOB.

∵∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，

∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－(180°－∠A)＝120°.

∴∠EOB＝∠DOC＝60°.

∴∠BOF＝60°，∠FOC＝∠DOC＝60°.

∵CE平分∠DCB，

∴∠DCO＝∠FCO.

∴△DCO≌△FCO.

∴CD＝CF.

∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD.　

2．如图，AD//BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，E是DC的中点．问：AD，BC，AB之间有何关系？并说明理由．

解：AB＝AD＋BC.理由：作EF⊥AB于F，连接BE.

∵AE平分∠BAD，DC⊥AD，EF⊥AB，

∴EF＝DE.

∵DE＝CE，

∴EC＝EF.

∴Rt△BFE≌Rt△BCE(HL)．

∴BF＝BC

 同理可证：AF＝AD.

∴AD＋BC＝AF＋BF＝AB，即AB＝AD＋BC.　

3．如图，已知DE＝AE，点E在BC上，AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，请问线段AB，CD和线段BC有何大小关系？并说明理由．

解：线段AB，CD和线段BC的关系是：

BC＝AB＋CD.

理由：在△DCE中，

∠EDC＋∠DEC＝90°，

∵∠AEB＋∠DEC＝90°，

∴∠AEB＝∠EDC，

又∵ED＝AE，∠ABE＝∠ECD＝90°，

∴△ABE≌△ECD(AAS)，

∴AB＝EC，BE＝CD，

∴BC＝BE＋EC＝CD＋AB.

4．如图，AB∥CD，BE，CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，点E在AD上．

求证：BC＝AB＋CD.

证明：在BC上取点F，使BF＝BA，连接EF，如图，

∵BE，CE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，

∴∠ABE＝∠FBE，∠ECF＝∠ECD.

∴△ABE≌△FBE(SAS)，

∴∠A＝∠BFE，

∵AB∥CD，

∴∠A＋∠D＝180°，

∴∠BFE＋∠D＝180°.

∵∠BFE＋∠EFC＝180°，

∴∠EFC＝∠D.

∴△CDE≌△CFE(AAS)，

∴CF＝CD.

∵BC＝BF＋CF，

∴BC＝AB＋CD.

5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，∠B＝∠CAB＝45°，AD平分∠BAC交BC于D，

求证：AB＝AC＋CD.

证明：如图，延长AC到E，使CE＝CD，连接DE.

则∠E＝∠CDE＝45°，

∴∠B＝∠E.

∵AD平分∠BAC，

∴∠1＝∠2，

在△ABD和△AED中，

∠B＝∠E，∠2＝∠1，AD＝AD，

∴△ABD≌△AED(AAS)．

∴AE＝AB.

∵AE＝AC＋CE＝AC＋CD，

∴AB＝AC＋CD.

6．如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，AD，CE交于O.

(1)求∠AOC的度数；

(2)求证：AC＝AE＋CD.

(1)解：∵∠ABC＝60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB，

∴∠AOC＝180°－(∠OAC＋∠OCA)＝180°－(∠BAC＋∠ACB)＝180°－＝120°；

(2)证明：∵∠AOC＝120°，

∴∠AOE＝60°，

如图，在AC上截取AF＝AE，连接OF，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵AO＝AO，

∴△AOE≌△AOF(SAS)，

∴∠AOE＝∠AOF，

∵∠AOE＝60°，∠AOC＝120°，

∴∠AOF＝∠COD＝∠COF＝60°.

∵∠FOC＝∠DOC，CO＝CO，∠DCO＝∠FCO，

∴△COF≌△COD(ASA)，

∴CF＝CD，

∴AC＝AF＋CF＝AE＋CD.