中考数学几何模型加强版 模型21 旋转型相似模型

这是一份中考数学几何模型加强版 模型21 旋转型相似模型，文件包含模型21旋转型相似模型原卷版docx、模型21旋转型相似模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共102页， 欢迎下载使用。

专题21 旋转型相似模型
一、单选题
1．如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的个数为（ 　 ）

A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】
①四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，∠EAB、∠GAD与∠BAG的和均为90°，即可证明∠EAB与∠GAD相等；②由题意易得AD=DC，AG=FG，进而可得，∠DAG=∠CAF，然后问题可证；③由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证△HAF∽△FAC，则有，然后根据等量关系可求解；④由②及题意知∠ADG=∠ACF=45°，则问题可求证．
【详解】
解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形
∴∠EAG=∠BAD=90°
又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG
∴∠EAB=∠GAD
∴①正确
②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形
∴AD=DC，AG=FG
∴AC=AD，AF=AG
∴，
即
又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC
∴∠DAG=∠CAF
∴
∴②正确
③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线
∴∠AFH=∠ACF=45°
又∵∠FAH=∠CAF
∴△HAF∽△FAC
∴
即
又∵AF=AE
∴
∴③正确
④由②知
又∵四边形ABCD为正方形， AC为对角线
∴∠ADG=∠ACF=45°
∴DG在正方形另外一条对角线上
∴DG⊥AC
∴④正确
故选：D．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明．
二、解答题
2．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求证△ACF∽△ABE；
（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】
（1）由正方形的性质得，进而根据对顶角的性质得，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论；
（2）根据正方形的性质得，再证明其夹角相等，便可证明；
（3）由已知条件求得正方形的边长，进而由勾股定理求得的长度，再由，求得，进而求得正方形的对角线长，便可求得其边长．
【详解】
解：（1）四边形是正方形，四边形是正方形，
，
，
，
，
；
（2）四边形是正方形，
，，
，
同理可得，
，
，
，
；
（3），，
，
，
，
，即，
，
，
，
即正方形的边长为．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是掌握相似模型及证明方法和正方形性质．
3．如图，在中，∠AC8=90°，∠BAC=a，点D在边AC上（不与点A、C重合）连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作于点E，连结CK，EK，CE，将△ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90度)
(1)如图1．若a=45，则的形状为__________________；
(2)在（1)的条件下，若将图1中的三角形ADE绕点A旋转，使得D，E，B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示，求证：；
(3)若三角形ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D，E，B三点共线，点K仍为线段BD的中点，请你直接写出BE，AE，CK三者之间的数量关系（用含a的三角函数表示）

【答案】（1）等腰直角三角形；（2）见解析；（3）BE-AE=2CK；
【分析】
（1）利用直角三角形斜边中线的性质及等腰直角三角形的性质证明EK=KC，∠EKC =90°即可；
（2）在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BF于Q，结合等腰直角三角形的性质利用SAS可证△AEC≌△BGC，由全等三角形对应边、对应角相等的性质易证△ECG是等腰直角三角形，由直角三角形斜边中线的性质可得CK=EK=KG，等量代换可得结论.
（3）在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BE于Q，根据等角的余角相等可得∠CAE=∠CBG，由tanα的表示可得，易证△CAE∽△CBG，由直角三角形斜边中线的性质等量代换可得结论.
【详解】
（1）等腰直角三角形；
理由：如图1中，

∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠A=∠CBA=45°，
∴CA=CB，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵DK=KB，
∴EK=KB=DK= BD，
∴∠KEB=∠KBE，
∴∠EKD=∠KBE+∠KEB=2∠KBE，
∵∠DCB=90°，DK=KB，
∴CK=KB=KD= BD，
∴∠KCB=∠KBC，EK=KC，
∴∠DKC=∠KBC+∠KCB=2∠KBC，
∴∠EKC=∠EKD+∠DKC=2（∠KBE+∠KBC）=2∠ABC=90°，
∴△ECK是等腰直角三角形．
（2）证明：如图2中，在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BF于Q．

∵∠α=45°，DE⊥AE，
∴∠AED=90°，∠DAE=45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴DE=AE=BG，
∵∠1+∠3=∠2+∠4=90°，∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵AC=BC，
∴△AEC≌△BGC（SAS），
∴CE=CG，∠5=∠BCG，
∴∠ECG=∠ACB=90°，
∴△ECG是等腰直角三角形，
∵KD=KB，DE=BG，
∴KE=KG，
∴CK=EK=KG，
∴BE－AE= BE－BG=EG=EK＋KG =2CK．
（3）解：结论：BE-AE•tanα=2CK．
理由：如图3中，在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BE于Q．

∵DE⊥AE，∠ACB=90°，
∴∠CAE+∠EQA=90°,∠CBG+∠CQB=90°
∵∠EQA=∠CQB，
∴∠CAE=∠CBG，
在Rt△ACB中，tanα=，
在Rt△ADE中，tanα= ，
∴， DE=AE·tanα
∴△CAE∽△CBG，
∴∠ACE=∠BCG，
∴∠ECG=∠ACB=90°，
∵KD=KB，DE=BG，
∴KE=KG，
∴EG=2CK，
∵BE－BG=EG=2CK，
∴BE－DE=2CK，
∴BE－AE•tanα=2CK．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等，灵活的利用等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键.
4．（问题发现）（1）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连结EC，则线段BD与CE的数量关系是　 ，位置关系是　 ；

（探究证明）（2）如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；
（拓展延伸）（3）如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，将△ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角∠CAE为α（0°＜α＜360°），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度．
【答案】（1）BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE，理由见解析；（3）画出图形见解析，线段BE的长度为．
【分析】
（1）由题意易得AD=AE，∠CAE=∠BAD，从而可证△ABD≌△ACE，然后根据三角形全等的性质可求解；
（2）连接BD，由题意易得∠BAD=∠CAE，进而可证△BAD≌△CAE，最后根据三角形全等的性质及角的等量关系可求证；
（3）如图，过A作AF⊥EC，由题意可知Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，然后根据相似三角形的性质及题意易证△BAE∽△CAD，最后根据勾股定理及等积法进行求解即可．
【详解】
解：（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCE＝45°+45°＝90°，
故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；
（2）BD⊥CE，
理由：如图2，连接BD，

∵在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，
∵∠CAB＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AC＝AB，AE＝AD，
∴△CEA≌△BDA（SAS），
∴∠BDA＝∠AEC＝45°，
∴∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝90°，
∴BD⊥CE；
（3）如图3，过A作AF⊥EC，

由题意可知Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴，即，
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∴△BAE∽△CAD，
∴∠ABE＝∠ACD，
∵∠BEC＝180°﹣（∠CBE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ABE+∠BCE）＝180°﹣（∠CBA+∠ACD+∠BCE）＝90°，
∴BE⊥CE，
在Rt△BCD中，BC＝2CD＝4，
∴BD＝，
∵AC⊥BD，
∴S△BCD＝AC•BD＝BC•AC，
∴AC＝AE＝，AD＝，
∴AF=，CE＝2CF＝2×，
∴BE＝．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，关键是根据题意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性质得到相似三角形，进而求解．
5．（1）尝试探究：如图①，在中，，，点、分别是边、上的点，且EF∥AB．
①的值为_________；
②直线与直线的位置关系为__________；
（2）类比延伸：如图②，若将图①中的绕点顺时针旋转，连接，，则在旋转的过程中，请判断的值及直线与直线的位置关系，并说明理由；
（3）拓展运用：若，，在旋转过程中，当三点在同一直线上时，请直接写出此时线段的长．

【答案】（1）①，②；（2），，证明见解析；（3）或
【分析】
（1）①由锐角三角函数可得AC＝BC，CF＝CE，可得AF＝AC−CF＝（BC−CE），BE＝BC−CE，即可求；
②由垂直的定义可得AF⊥BE；
（2）由题意可证△ACF∽△BCE，可得，∠FAC＝∠CBE，由余角的性质可证AF⊥BE；
（3）分两种情况讨论，由旋转的性质和勾股定理可求AF的长．
【详解】
解：（1）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴ ，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2），
如图，连接，延长交于，交于点，

∵旋转，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）①如图，过点作交的延长线于点，

∵，，，，
∴，，
∵，，
∴，且三点在同一直线上，
∴，
∵旋转，
∴，
∴，且，
∴，，
∴，
∴；
②如图，过点作于点，

∵，，，，
∴，，
∵，，
∴，
∵旋转，∴，且，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】
本题是相似综合题，考查了平行线的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
6．△ABE内接于⊙O，C在劣弧AB上，连CO交AB于D，连BO，∠COB＝∠E．

（1）如图1，求证：CO⊥AB；
（2）如图2，BO平分∠ABE，求证：AB＝BE；
（3）如图3，在(2)条件下，点P在OC延长线上，连PB，ET⊥AB于T，∠P＝2∠AET，ET＝18，OP＝25，求⊙O半径的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）⊙O半径的长是．
【分析】
（1）连接CE、OA，根据圆周角定理可得∠CEB=COB，根据∠COB＝∠AEB可得∠COA=∠COB，根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得结论；
（2）过点O作OF⊥BE于F，根据角平分线的性质可得OD=OF，根据垂径定理可得BD=AB，BF=BE，根据勾股定理可得BD=BF，进而可得结论；
（3）根据等腰三角形的性质可得∠AEB=∠EAB，根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠DBO=∠AET，根据∠P＝2∠AET可得∠P=∠ABE，进而可得∠POB=∠PBO，即可证明OP=PB，由∠ETB=∠PDB=90°可证明△BET∽△PBD，根据相似三角形的性质可求出BD的长，进而根据勾股定理即可求出PD的长，根据线段的和差关系可得OD的长，利用勾股定理求出OB的长即可得答案．
【详解】
（1）如图，连接CE、OA，
∵∠COB和∠CEB分别是所对的圆心角和圆周角，
∴∠CEB=COB，
∵∠COB＝∠AEB，
∴∠CEB=∠AEB，
∴∠COA=∠COB，
∵OA=OB，
∴OC⊥AB．

（2）如图，过点O作OF⊥BE于F，
∵OB平分∠ABE，OD⊥AB，OF⊥BE，
∴OD=OF，BD=AB，BF=BE，
∵BD=，BF=，
∴BD=BF，
∴AB=BE．

（3）∵AB=BE，
∴∠AEB=∠EAB，
∵∠COB=∠AEB，
∴∠COB=∠BAE，
∵ET⊥AB，OC⊥AB，
∴∠BAE+∠AET=∠COB+∠DBO，
∴∠DBO=∠AET，
∵OB平分∠ABE，
∴∠ABE=2∠DBO=2∠AET，
∵∠P=2∠AET，
∴∠P=∠ABE，
∴∠AEB=∠OBO，
∵∠AEB=∠EAB，
∴∠POB=∠PBO，
∴OP=PB，
∵∠ETB=∠PDB=90°，
∴△BET∽△PBD，
∴，
∵ET=18，OP=25，
∴2BD2=18×25，
解得：BD=15，（负值舍去）
∴PD==20，
∴OD=OP-PD=5，
∴OB==，即⊙O半径的长是．
【点睛】
本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质及勾股定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相关定理是解题关键．
7．矩形中，，点分别在边上，且，连接并延长，交的延长线于点，点为射线上一动点，过点作的垂线，交于点．

（1）特例发现，如图，若点恰好与点重合，填空：
①________；②与的等量关系为_________．
（2）拓展探究
如图，若点在的延长线上，与能否相等？若能，求出的长；若不能，请说明理由．
（3）思维延伸
如图，点是线段上异于点一点，连接，过点作直线，交直线于点，是否存在点，使相等？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）①4； ②；（2）与能够相等，理由详见解析；（3）（3）能够相等，
【分析】
（1）①根据，利用对应边成比例列式求出ED长；
②过点Q作，交AB于点H，交DC于点G，设，利用，对应边成比例列式求出x，得到这两个三角形其实是全等的，所以；
（2）过点作，交的延长线于点，延长交于点，构造“k”字型全等三角形，设，再利用相似三角形的性质列式求解；
（3）过点作于点，过点作，交的延长线于点，延长交于点，同（2）构造“k”字型全等三角形，，再利用相似三角形的性质列式求解．
【详解】
（1）①∵，∴，∴，
，，
，解得，
故答案是：4；
②如图，过点Q作，交AB于点H，交DC于点G，
可得，，
∴，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
设，，
∵，∴，
∴，，得，
∴，
根据，得，解得，
∴，
∴，∴，
故答案是：；

（2）与能够相等，，
如图，过点作，交的延长线于点，延长交于点，
，
又，
设，则，
，解得，
经检验，是该分式方程的根，
；

（3）能够相等，，
如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，延长交于点，根据“k”字型全等得，
设，则，
，解得，故的长为．

【点睛】
本题考查“k”字型全等三角形，相似三角形的性质和判定，解题的关键是作辅助线构造“k”字型全等，再利用相似三角形对应边成比例列式求解．
8．已知，ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2α°，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2α°得到线段EF，连接FG，FD．
（1）如图1，当∠BAC＝60°时，请直接写出的值；
（2）如图2，当∠BAC＝90°时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；
（3）如图3，当点E在AD上移动时，请直接写出点E运动到什么位置时的值最小．最小值是多少？（用含α的三角函数表示）

【答案】（1）1；（2）不成立，＝，理由见解析；（3）E为AD中点时，的最小值 ＝sinα
【分析】
（1）取AC的中点M，连接EM，BF，可知△ABC和△EFC都是等边三角形，证明△ACE≌△BCF（SAS），可得结论．
（2）连接BF，证明△ACE∽△BCF，可得结论．
（3）连接BF，取AC的中点M，连接EM，易得∠ACE＝∠BCF，＝，证明△ACE∽△BCF，得出sinα＝的最小值 ，则得出的最小值＝sinα．
【详解】
（1）连接BF，

∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵线段CE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，
∴EC＝EF，∠CEF＝60°，
∴△EFC都是等边三角形，
∴AC＝BC，EC＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF，
∴＝1．
（2）不成立，结论：＝．
证明：连接BF，

∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠BAC＝∠CEF＝90°，
∴△ABC和△CEF为等腰直角三角形，
∴∠ACB＝∠ECF＝45°，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴＝＝，
∴△ACE∽△BCF，
∴∠CBF＝∠CAE＝α，
∴＝＝．
（3）结论：当点E为AD的中点时，的值最小，最小值为sinα．
连接BF，取AC的中点M，连接EM，

∵AB=AC，EC＝EF，∠BAC＝∠FEC＝2α，
∴∠ACB＝∠ECF，
∴△BAC∽△FEC，
＝，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE∽△BCF，
∵D为BC的中点，M为AC的中点，
∴＝＝＝，
∴＝，
∵当E为AD中点时，
又∵M为AC的中点，
∴EM∥CD,
∵CD⊥AD，
∴EM⊥AD,
此时，最小=sinα，

∴的最小值＝sinα．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，中位线定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
9．如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．
（Ⅰ）求m，n的值以及函数的解析式；
（Ⅱ）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c，
（1）当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；
（2）设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值．

【答案】（I）m＝﹣1，n＝3，y＝﹣x2+2x+3；（II）见解析；（III）（1）y最大值＝4；y最小值＝0；（2）t＝﹣1或t＝2．
【分析】
（I）首先解方程求得A、B两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（II）根据解方程直接写出点C的坐标，然后确定顶点D的坐标，根据两点的距离公式可得△BDC三边的长，根据勾股定理的逆定理可得∠DBC=90°，根据边长可得△AOB和△DBC两直角边的比相等，则两直角三角形相似；
（III）（1）确定抛物线的对称轴是x=1，根据增减性可知：x=1时，y有最大值，当x=3时，y有最小值；
（2）分5种情况：①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧；
②当t+1=1时；③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧；④当t=1时，⑤函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答．
【详解】
（I）∵m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n，
用因式分解法解方程：（x+1）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝3，
∴m＝﹣1，n＝3，
∴A（﹣1，0），B（0，3），
把（﹣1，0），（0，3）代入得，，
解得，
∴函数解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（ II）证明：令y＝﹣x2+2x+3＝0，即x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴的交点为A（﹣1，0），C（3，0），
∴OA＝1，OC＝3，
∴对称轴为，顶点D（1，﹣1+2+3），即D（1，4），
∴，，，
∵CD2＝DB2+CB2，
∴△BCD是直角三角形，且∠DBC＝90°，
∴∠AOB＝∠DBC，
在Rt△AOB和Rt△DBC中，，，
∴，
∴△BCD∽△OBA；
（ III）抛物线y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，顶点为D（1，4），
（1）在0≤x≤3范围内，
当x＝1时，y最大值＝4；当x＝3时，y最小值＝0；
（2）①当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x＝t时取得最小值q＝﹣t2+2t+3，最大值p＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，
令p﹣q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即﹣2t+1＝3，解得t＝﹣1．
②当t+1＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；
③当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧，
此时p＝4，令p﹣q＝4﹣（﹣t2+2t+3）＝3，即t2﹣2t﹣2＝0解得：t1＝1+（舍），t2＝1﹣（舍）；
或者p﹣q＝4﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，即（不合题意，舍去）；
④当t＝1时，此时p＝4，q＝3，不合题意，舍去；
⑤当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x＝t时取得最大值p＝﹣t2+2t+3，最小值q＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，
令p﹣q＝﹣t2+2t+3﹣[﹣（t+1）2+2（t+1）+3]＝3，解得t＝2．
综上，t＝﹣1或t＝2．
【点睛】
本题是二次函数的综合题型，考查利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，三角形相似的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识，解题时需注意运用分类讨论的思想解决问题．
10．如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将△COD绕点O逆时针旋转得到△EOF（旋转角为锐角），连AE，BF，DF，则AE=BF．
（1）如图2，若（1）中的正方形为矩形，其他条件不变．
①探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论；
②若BD=7，AE=，求DF的长；
（2）如图3，若（1）中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且BD=10，AC=6，AE=5，请直接写出DF的长．

【答案】（1）①AE=BF；证明见解析；②DF=；（2）DF=．
【分析】
（1）①利用矩形的性质，旋转的性质得到∠BOF=∠AOE，证明△BOF≌△AOE可得结论，
②利用矩形性质与旋转性质证明△BFD为直角三角形，从而可得答案，
（2）利用平行四边形的性质与旋转的性质，证明△AOE∽△BOF，求解BF，再证明△BDF是直角三角形，从而可得答案．
【详解】
（1）①AE=BF，理由如下：
证明：∵ABCD为矩形，
∴AC=BD，OA=OB=OC=OD，
∵△COD绕点O旋转得△EOF，
∴OC=OE，OD=OF，∠COE=∠DOF
∵∠BOD=∠AOC=180°
∴∠BOD-∠DOF=∠AOC-∠COE
即∠BOF=∠AOE
∴△BOF≌△AOE（SAS），
∴BF=AE

②∵OB=OD=OF，
∴∠BFD=90°
∴△BFD为直角三角形，
∴，
∵BF=AE
∴
∵BD=7，AE=
∴DF=

（2））∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC=OA=AC=3，OB=OD=BD=5，
∵将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△FOE，
∴OC=OE，OD=OF，∠EOC=∠FOD
∴OA=OE，OB=OF，∠EOA=∠FOB
∴ ，且∠EOA=∠FOB
∴△AOE∽△BOF，
∴


∵OB=OF=OD
∴△BDF是直角三角形，
∴


【点睛】
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，证明△AOE∽△BOF是解本题的关键．
11．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．

（1）如图1，在四边形中，，，对角线平分．求证：是四边形的“相似对角线”；
（2）如图2，已知是四边形的“相似对角线”，．连接，若的面积为，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据所给的相似对角线的证明方法证明即可；
（2）由题可证的，得到，过点E作，可得出EQ，根据即可求解；
【详解】
（1）证明：∵，平分，
∴，
∴．
∵，
∴．，
∴
∴是四边形ABCD的“相似对角线”．
（2）∵是四边形EFGH的“相似对角线”，
∴三角形EFH与三角形HFG相似．
又，
∴，
∴，
∴．
过点E作，垂足为．
则．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查了四边形综合知识点，涉及了相似三角形，解直角三角形等知识，准确分析并能灵活运用相关知识是解题的关键．
12．如图1，在正方形中，为线段上一点，连接，过作交于，连接．

（1）求证：；
（2）如图2，，为中点，，分别为线段，上的动点，满足，则在，运动过程中，当以为对角线的正方形的一边恰好落在的某一边上时，直接写出正方形的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）正方形的面积可以为：，，1，．
【分析】
（1）连接AC与BD相交于O，作GH⊥AB，GI⊥BC，证明△AGH≌△EGI可得AG=GE即△AGE为等腰直角三角形，再证明△ABE∽△AOG，可得，再结合正方形的性质可得，从而可证明结论．
（2）分正方形的一边恰好落在AE上，正方形的一边恰好落在AB上和正方形的一边恰好落在BE上三种情况讨论，画出对应图形，利用三角函数解直角三角形即可．
【详解】
解：(1)连接AC与BD相交于O，作GH⊥AB，GI⊥BC，

∴∠AHG=∠BIG=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE=90°，∠BAC=∠ABD=∠CBD=45°，∠AOG=90°,,BD=2OD，
∴HG=GI（角平分线上的点到角两端距离相等），
∠HGI=360°-∠BHG-∠BIG-∠ABE=90°，
∵∠AGH=∠AGE-∠HGE=90°-∠HGE，∠IGE=∠IGH-∠HGE=90°-∠HGE,
∴∠AGH=∠IGE，
在△AGH和△EGI中，
∵
∴△AGH≌△EGI（ASA）
∴AG=GE,
∴△AGE为等腰直角三角形，∠EAG=45°，
∴∠BAE=45°-∠EAC=∠CAG,
∵∠ABC=∠AOG,
∴△ABE∽△AOG，
∴,
∴，
∴，
∴
（2）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，BC=AB=4,
∵为中点，
∴BE=2,,
∴,
设AP=x，则
①若正方形的一边恰好落在AE上，分两种情况
如下图，若为正方形，

则 ，，
∴，
解得：，；
若为正方形，
则，
∴
解得：，；
②若正方形的一边恰好落在AB上，分两种情况
如下图，若为正方形，
则,
∴,，，
，
解得，；

若为正方形，
则，
∴，,
则，
解得，．
③若正方形的一边恰好落在BE上，
由可知，Q点和E点不可能重合，若P点和B点重合，如下：
此时AP=4，又，
∴，，
,故舍去．

综上所述：正方形的面积可以为：，，1，．
【点睛】
本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形．（1）中能正确作出辅助线，构造相似三角形是解题关键；（2）中能分类讨论，画出对应图形是解题关键．
13．如图（1），在矩形中，，点分别是边的中点，四边形为矩形，连接．

（1）问题发现
在图（1）中，_________；
（2）拓展探究
将图（1）中的矩形绕点旋转一周，在旋转过程中，的大小有无变化？请仅就图（2）的情形给出证明；
（3）问题解决
当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）；（2）的大小无变化，证明见解析；（3）或
【分析】
（1延长FG交BC于点H，可根据题意分别求出，的长，即可求的值；
（2）连接，先由勾股定理计算的值，再计算，最后根据相似三角形的判定与性质解题即可；
（3）采用分类讨论法解题，一种是点在线段上，另一种是点在的延长线上，据此分别求解即可.
【详解】
（1）解：延长FG交BC于点H，
则
，
，
故答案为：

（2）的大小无变化.
证明：如图（1），连接，
由题意可知：，
∴，
即，
在矩形中，，
∴，
∴，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；

（3）或
如图（2），图（3）：

如图（2），当点在线段上，由（2）知，，，在中，




；
当点在的延长线上时，由（2）知，，，在中，





综上所述，或
【点睛】
本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，其中涉及分类讨论思想，综合性较强，有一定难度，熟练并灵活运用知识是解题的关键.
14．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求的值，
（3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的边长．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【分析】
（1）由正方形的性质得∠ACD=∠AFG=45°，进而根据对顶角的性质得∠CFM=∠ACM，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论；
（2）根据正方形的性质得，再证明其夹角相等，便可证明△ACF∽△ABE，由相似三角形的性质得出结果；
（3）由已知条件求得正方形ABCD的边长，进而由勾股定理求得AM的长度，再由△MFC∽△MCA，求得FM，进而求得正方形AEFG的对角线长，便可求得其边长．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，
∴∠ACD=∠AFG=45°，
∵∠CFM=∠AFG，
∴∠CFM=∠ACM=45°，
∵∠CMF=∠AMC，
∴△MFC∽△MCA；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，∠BAC=45°，
∴AC=AB，
同理可得AF=，
∴，
∵∠EAF=∠BAC=45°，
∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE=45°，
∴∠CAF=∠BAE，
∴△ACF∽△ABE，
∴；
（3）∵DM=1，CM=2，
∴AD=CD=1+2=3，
∴AM=，
∵△MFC∽△MCA，
∴，即，
∴FM=，
∴AF=AM﹣FM=，
∴AF=，
即正方形AEFG的边长为．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，关键是综合应用这些知识解决问题．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，点P是AC边上的一个动点，延长DP到点E，使∠CAE＝∠CDE，作∠DCG＝∠ACE，其中G点在DE上．

（1）如图1，若∠B＝45°，则＝　　；
（2）如图2，若∠DCG＝30°，，求：＝　　；
（3）如图3，若∠ABC＝60°，延长CG至点M，使得MG＝GC，连接AM，BM．在点P运动的过程中，探究：当的值为多少时，线段AM与DM的长度之和取得最小值？
【答案】（1）；（2）；（3）当时，线段AM与DM的长度之和取得最小值．
【分析】
（1）如图1，根据△ABC是等腰直角三角形，得BC=AC，由点D是BC边上的中点，可知2CD=AC，得AC与CD的比，证明△DCG∽△ACE，列比例式可得结论；
（2）如图2，连接AD，同理得△DCG∽△ACE，可得 ，设AB=AC=5k，BD=CD=4k，则AD=3k，由此即可解决问题；
（3）如图3中，由题意，当A，M，D共线时，AM+DM的值最小．想办法证明∠GDM=∠GDC=45°，设CH=a，则PC=2a，PH=DH=a，推出AC=2CD=2（a+a），由此即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图1，

∵AB＝AC．∠B＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵BC＝AC，
又∵点D是BC边上的中点，
∴BC＝2CD，
∴2CD＝AC，
∴＝＝，
∵∠CAE＝∠CDE，∠DCG＝∠ACE，
∴△DCG∽△ACE，
∴＝；
故答案为：；
（2）如图2．连接AD，

∵∠CAE＝∠CDE．∠ECA＝∠GCD，
∴△DCG∽△ACE，
∴＝，
又∵AB＝AC，点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，AD⊥BC，
设AB＝AC＝5k．BD＝DC＝4k，
由勾股定理可得AD＝3k，
∵∠ECA＝∠GCD，
∴∠ACD＝∠ECG
∵
∴
∴△ADC∽△EGC，
∴∠ADC＝∠EGC＝90°
可得EG⊥GC，
又∵D，G，E三点共线，
∴∠DGC＝90°，
又∵∠DCG＝30°，
可得DG＝2k，GC＝2k，
∴S△DGC＝×2k×k＝2k2，
S△ABC＝×8k×3k＝12k2，
∴＝＝；
故答案为：；
（3）如图3，当A，M．D三点共线时，AM+DM的值最小，
连接EM，取AC的中点O，连接OE，OD．作PH⊥CD于点H，

∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
又∵BC＝AC．∠ACB＝60°，
∴∠DAC＝∠HPC＝30°，
∵BD＝CD，AC＝BC，
∴AC＝2CD，
∵∠CAE＝∠CDE，∠ECA＝∠GCD，
∴△DCG∽△ACE，
∴，
∴EC＝2CG，
又∵CG＝MG，
∴MC＝CE，
又∵∠ACD＝60°，
∴∠MCE＝60°，
∴△MCE是等边三角形，
又∵O是中点，
∴DC＝CO，∠ECO＝∠MCD，MC＝CE，
∴△MDC≌△EOC（SAS），
∴OE＝DM，
又∵∠CDE＝∠CAE，
∴A，D，C，E四点共圆，
∴∠ADC+∠AEC＝180°，
∴∠AEC＝90°，
∴AO＝OC，
∴EO＝OC＝CD＝MD，
又∵CG＝GM，CD＝DM，
∴∠GDM＝∠GDC＝45°，∠PDH＝∠DPH＝45°，
∴PH＝DH，
设CH＝a，则PC＝2a，PH＝DH＝，
∴AC＝2CD＝2（a+），
∴．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
16．如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转（0°＜≤360°），直线BE，DF相交于点P．
（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋至如图2所示的位置上，则线段BE与DF的位置关系是　 　，数量关系是　 　．
（2）若AD＝nAB（n≠1）将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由．
（3）若AB＝6，BC＝8，将△AEF旋转至AE⊥BE时，请直接写出DP的长．

【答案】（1）BE＝DF，BE⊥DF　
（2）不成立；结论：DF＝nBE，BE⊥DF；理由见解析
（3）4﹣3或4＋3
【分析】
（1）如图2中，结论：BE＝DF，BE⊥DF．证明△ABE≌△ADF（SAS），利用全等三角形的性质可得结论；
（2）结论：DF＝nBE，BE⊥DF，证明△ABE∽△ADF（SAS），利用相似三角形的性质可得结论；
（3）分两种情形画出图形，利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可.
【详解】
解：（1）如图2中，结论：BE＝DF，BE⊥DF，
理由：∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
AE＝AB，AF＝AD，
∴AE＝AF，
∵∠DAB＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴BE＝DF，∠ABE＝∠ADF，
∵∠ABE＋∠AHB＝90°，∠AHB＝∠DHP，
∴∠ADF＋∠PHD＝90°，
∴∠DPH＝90°，
∴BE⊥DF，
故答案为：BE＝DF，BE⊥DF；

（2）如图3中，结论不成立，结论：DF＝nBE，BE⊥DF，
∵AE＝AB，AF＝AD，AD＝nAB，
∴AF＝nAE，
∴AF∶AE＝AD∶AB，
∴AF∶AE＝AD∶AB，
∵∠DAB＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠DAF，
∴△BAE∽△DAF，
∴DF∶BE＝AF∶AE＝n，∠ABE＝∠ADF，
∴DF＝nBE，
∵∠ABE＋∠AHB＝90°，∠AHB＝∠DHP，
∴∠ADF＋∠PHD＝90°，
∴∠DPH＝90°，
∴BE⊥DF；

（3）如图4﹣1中，当点P在BE的延长线上时，
在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝6，AE＝3，
∴BE＝＝3，
∵△ABE∽△ADF，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝4，
∵四边形AEPF是矩形，
∴AE＝PF＝3，
∴PD＝DF﹣PF＝4﹣3；
如图4﹣2中，当点P在线段BE上时，同法可得DF＝4，PF＝AE＝3，
∴PD＝DF＋PF＝4＋3，
综上所述，满足条件的PD的值为4﹣3或4＋3.

【点睛】
此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，注意应用分类思想解决问题， 是一道较难的几何综合题.
17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）①当α＝0°时，= ； ②当α＝180°时，= ；
（2）试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
（3）当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，直接写出线段BD的长．

【答案】（1）①，②； （2）无变化，证明见解析； （3）或．
【分析】
（1）①先用勾股定理求出AC，再由中点可求出BD，AE，从而得到答案；
②当α＝180°时，点E在AC的延长线上，点D在BC的延长线上，由题可知，CD＝BC，CE＝AC，即可得出结论；
（2）先找到，然后证明△ACE∽△BCD，即可得出结论；
（3）先由（2）可算出BD＝AE，然后分类讨论即可得出结论．
【详解】
解：（1）①当α＝0°时，
在Rt△ABC中，AB＝2，BC＝1，
∴AC＝，
∵点D，E是BC，AC的中点，
∴BD＝BC＝，AE＝AC＝，
∴；
②当α＝180°时，如图，

点E在AC的延长线上，点D在BC的延长线上，
由题意可知，CD＝BC，CE＝AC，
∴BD＝BC+CD＝BC＝，AE＝AC+CE＝AC＝，
∴；
（2）无变化，
在图1中，点D，E是BC，AC的中点，
∴DE∥BA，
∴，
如图2，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，
∴仍然成立，
由旋转知，∠ACE＝∠BCD＝α，
∴△ACE∽△BCD，
∴，
∴的大小不变；
（3）由（1）知，CE＝AC＝，
在Rt△CBE中，BC＝1，根据勾股定理得，BE＝，
由（2）知，，
∴BD＝AE，
如图3，当点落在线段AB上时，

AE＝AB﹣BE＝，
∴BD＝AE＝×＝；
如图4，当点落在线段AB的延长线上时，

AE＝AB+BE＝2+＝
∴BD＝AE＝×＝，
即：当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，线段BD的长为或．
【点睛】
本题考查了几何变换的综合问题，主要考查了勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，注意分类讨论的思想是解题的关键．

18．如图，在中，，，，为边上一点，连接，作交于点，连接．猜想线段与之间的数量关系，并证明．

【答案】，见解析
【分析】
过点作交于点，通过证明，可得，即在中，，故，即．
【详解】
解：．
证明：如图，过点作交于点，
则，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，，
，即．

【点睛】
本题考查了相似三角形的综合问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、正切的性质是解题的关键．
19．在和中，，，与在同一条直线上，点与点重合，，如图为将绕点顺时针旋转后的图形，连接，，若，求和的面积．

【答案】和的面积分别为2和．
【分析】
过点D作DMBC于点M，根据30°所对直角边为斜边一半，分别求出BC、DC的长度，且证BDC∽AEC，在DMC中，可得DM=1，即BDC的面积可求，且，即AEC的面积可求．
【详解】
解：如图所示，过点D作DMBC于点M，

∵AC=2，，
∴，
又∵，，
∴在BAC和DEC中，，，由旋转性质知，，，
∴BDC∽AEC，故，
在DMC中，，，
∴，
∴，
∵BDC∽AEC，
∴，∴，
∴BDC和AEC的面积分别为2和．
【点睛】
本题主要考察了含30°角的直角三角形、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键在于证明BDC∽AEC，且相似三角形的面积之比为边长之比的平方．
20．如图，二次函数的图象交x轴于A，B（4，0）两点，交y轴于点C（0，2）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，PM⊥x轴于点M．交直线BC于点Q，过点C作CN⊥PM于点N．连接PC；
①若△PCQ为以CQ为腰的等腰三角形，求点P的横坐标；
②点G为点N关于PC的对称点，当点G落在坐标轴上时，直接写出点P的坐标．

【答案】（1） （2）①，2 ②（1，3）或（，）
【分析】
（1）将，的坐标代入抛物线中，即可求出抛物线解析式；
（2）①将等腰三角形分两种情况进行讨论，即可分别求出的值；②当点落在坐标轴上时，存在两种情形，一种是点落在轴上，一种是点落在轴上，分情况即可求出点的坐标．
【详解】
解：（1）抛物线经过，，
，解得，
抛物线的解析式为；

（2）直线BC经过，，设直线BC的解析式为：
由题意得
解得：
直线BC的解析式为
点在抛物线在第一象限内的图象上，点的横坐标为，
，，
①轴，交直线于点，
，
，
，
，
，
当时，，
解得，（舍去）；
当时，，
即，
，
解得，（舍去）；
综上，当是等腰三角形时，的值为，2；
②存在，理由如下：
当点落在坐标轴上时，存在两种情形：
如图1，当点落在轴上时，点在直线上，

，
解得，（舍去），
；
如图2，当点落在轴上时，△，

，
，
，
，
，
在中，，
，
则，，
综上所述，当点落在坐标轴上时，点的坐标为或，．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，等腰三角形的存在性等，解题关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用．
21．（感知）（1）如图①，在四边形ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD上，∠AEB=90°，求证：=．
（探究）（2）如图②，在四边形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且=，连接BG交CD于点H．求证：BH=GH．
（拓展）（3）如图③，点E在四边形ABCD内，∠AEB+∠DEC=180°，且=，过E作EF交AD于点F，若∠EFA=∠AEB，延长FE交BC于点G．求证：BG=CG．

【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析
【分析】
（1）证得∠BEC=∠EAD，证明Rt△AED∽Rt△EBC，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
（2）过点G作GM⊥CD于点M，由（1）可知，证得BC=GM，证明△BCH≌△GMH（AAS），可得出结论；
（3）在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，证明△AEF∽△EBM，由相似三角形的性质得出，证明△DEF∽△ECN，则，得出，则BM=CN，证明△BGM≌△CGN（AAS），由全等三角形的性质可得出结论．
【详解】
（1）∵∠C=∠D=∠AEB=90°，
∴∠BEC+∠AED=∠AED+∠EAD=90°，
∴∠BEC=∠EAD，
∴Rt△AED∽Rt△EBC，
∴；
（2）如图1，过点G作GM⊥CD于点M，

同（1）的理由可知：，
∵，，
∴，
∴CB=GM，
在△BCH和△GMH中，
，
∴△BCH≌△GMH（AAS），
∴BH=GH；
（3）证明：如图2，在EG上取点M，使∠BME=∠AFE，

过点C作CN∥BM，交EG的延长线于点N，则∠N=∠BMG，
∵∠EAF+∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠AEB+∠BEM=180°，∠EFA=∠AEB，
∴∠EAF=∠BEM，
∴△AEF∽△EBM，
∴，
∵∠AEB+∠DEC=180°，∠EFA+∠DFE=180°，
而∠EFA=∠AEB，
∴∠CED=∠EFD，
∵∠BMG+∠BME=180°，
∴∠N=∠EFD，
∵∠EFD+∠EDF+∠FED=∠FED+∠DEC+∠CEN=180°，
∴∠EDF=∠CEN，
∴△DEF∽△ECN，
∴，
又∵，
∴，
∴BM=CN，
在△BGM和△CGN中，
，
∴△BGM≌△CGN（AAS），
∴BG=CG．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
22．问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点．点在边上，，求的值；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，，直接写出的长．

【答案】问题背景：见详解；尝试应用：3；拓展创新：．
【分析】
问题背景：通过得到，，再找到相等的角，从而可证；
尝试应用：连接CE，通过可以证得，得到，然后去证，，通过对应边成比例即可得到答案；
拓展创新：在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，通过，，然后利用对应边成比例即可得到答案．
【详解】
问题背景：∵，
∴∠BAC=∠DAE， ，
∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴；
尝试应用：连接CE，

∵，，
∴，
∴，
∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
由于，，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
又∵
∴，
∴；
拓展创新：
如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，

∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD，，
∴∠ADE=∠ABC，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴，
∴，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴，
∴，
设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【点睛】
本题考查了相似三角形的综合问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23．将正方形的边绕点逆时针旋转至 ，记旋转角为．连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，
如图1，当时，的形状为 ，连接，可求出的值为 ；



当且时，
①中的两个结论是否仍然成立?如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由；
②当以点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值．

【答案】（1）等腰直角三角形，；（2）①结论不变，理由见解析；②3或1．
【分析】

（1）根据题意，证明是等边三角形，得，计算出，根据，可得为等腰直角三角形；证明，可得的值；
（2）①连接BD，通过正方形性质及旋转，表示出，结合，可得为等腰直角三角形；证明，可得的值；
②分为以CD为边和CD为对角线两种情况进行讨论即可．
【详解】

（1）由题知°，°，
∴°，且为等边三角形
∴°，
∴
∵
∴°
∴°
∴为等腰直角三角形
连接BD，如图所示

∵°
∴即
∵
∴
∴
故答案为：等腰直角三角形，
（2）①两个结论仍然成立
连接BD，如图所示：


∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵四边形为正方形
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴结论不变，依然成立
②若以点为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况讨论
第一种：以CD为边时，则，此时点在线段BA的延长线上，
如图所示：

此时点E与点A重合，
∴，得；
②当以CD为对角线时，如图所示：

此时点F为CD中点，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
综上：的值为3或1．
【点睛】

本题考查了正方形与旋转综合性问题，能准确的确定相似三角形，是解决本题的关键．

24．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．

(1)请找出图中与△ABE相似的三角形，并说明理由；
(2)求当点E在线段AF上时CD的长；
(3)设AE的中点为M，连接FM，试求FM长的取值范围．
【答案】(1)证明见详解；(2)； (3)．
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定可以判断△ABE∽△CBD．
（2）根据相似三角形的性质得到AB=BC=，根据勾股定理得AF===，如图1，E在线段AF上，AE=AF－EF=，从而求出CD的长．
（3）如图2，延长EF到G，使FG=EF，连接AG，BG，求得△BFG是等腰直角三角形，得到BG=BF=，设M为AE的中点，连接MF，根据三角形中位线定理得到AG=2FM，根据三角形的三边关系即可得出结论．
【详解】
解：（1）△ABE∽△CBD，
∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠EBD＝45°，
∴∠ABE＝∠CBD，
∵＝，＝，
∴ ，
∴△ABE∽△CBD；
（2）∵△ABE∽△CBD，
∴＝＝ ，
∴CD＝AE，
∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝BC＝ ，
∵当点E在线段AF上时CD的长，
∵∠AFB＝90°，
∴AF===，
如图1，AE＝AF﹣EF＝﹣2，
∴CD＝﹣；
所以CD的长为﹣．

（3）如图2，延长EF到G使FG＝EF，连接AG，BG，则△BFG是等腰直角三角形，
∴BG＝BF＝，
设M为AE的中点，
连接MF，
∴MF是△AGE的中位线，
∴AG＝2FM，
在△ABG中，∵AB﹣BG≤AG≤AB+BG，
∴≤AG≤，
∴≤FM≤．

【点睛】
本题考查了相似三角形的综合内容，这涉及到相似三角形的性质与判定，正方形的性质，三角形中位线定理，能正确做出相关的辅助线是解决本体的关键．
25．在中，，CD是中线，，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC交于点N．

（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立；
（3）若，，求DN的长．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠BCD＝∠ACD＝45°，∠BCE＝∠ACF＝90°，于是得到∠DCE＝∠DCF＝135°，根据全等三角形的性质即可的结论；
（2）证得△CDF∽△CED，根据相似三角形的性质得到，即CD2＝CE•CF；
（3）如图，过D作DG⊥BC于G，于是得到∠DGN＝∠ECN＝90°，CG＝DG，当CD＝2，时，求得，再推出△CEN∽△GDN，根据相似三角形的性质得到，求出GN，再根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵，，CD是中线，
∴，，
∴．
在与中，，
∴．
∴；
（2）证明：∵，
∴
∵，
∴．
∴．
∴，即．
（3）如图，过D作于点G，
则，．
当，时，
由，得．
在中，
．
∵，，
∴．
∴，
∴．
∴．

【点睛】
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．